数值分析作业

数值分析第一章作业1.数值计算方法设计的基本手段是( ).(A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ).(A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ).(A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响.(A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x+=+⎰,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+6.计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么?(B) 3(3- (D) 99-7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310-⨯,则计算所得体积的相对误差限如何估计?8.设0x >,近似值*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限.9.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限不超过δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?.10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =-+-在2x =处的值.11.已知近似值 1.0000x *=的误差限4()110x ε*-=⨯,21()16f x x =,求(())f x ε*,并说明x *及()f x *的各有几位有效数字.12.设a 为非零常数,已知0y 的近似值0y *,由递推式1n n y ay -=计算序列{}n y 的近似值,分析该算法的稳定性.。

(1)
要使
应满足（）.
(2) 已知方程组
，则解此方程组的
Jacobi 迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度 R(B)=
公式（6.13）直接计算即可。
对
，取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。
按式（6.11）求出
，按式（6.13）求得
，
积分
2. 用 Simpson 公式求积分 ，并估计误差 解：直接用 Simpson 公式（6.7）得
由（6.8）式估计误差，因
，故
3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指明求积公式所具有的代数精确度.
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11. 填空题
(1) 满 足 条 件
的插值多项式
p(x)=( ).
(2)
,则 f［1,2,3,4］=( )，f［1,2,3,4,5］
=( ).
(3) 设
为互异节点， 为对应的四次插值基函
数，则
＝( )，
＝( ).
(4) 设
是区间［0,1］上权函数为 ρ(x)=x 的最
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误差估计由公式（5.19）得
这里 仍为 0.565 8． 求 一 个 次 数 不 高 于 四 次 的 多 项 式 p(x),使 它 满 足
解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处
可先造 使它满足
，显然 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2
，再令
由 p(2)=1 求出 A＝ ，于是
5.计算
取 ，利用 ：
式计算误差最小。
四个选项： 第二、三章 插值与函数逼近
习题二、三

的逆阵 A ，用左除命令 A \ E 检验你的结果。
clc clear close all A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; fprintf('对上述矩阵进行列主元素分解：\n') for i=1:1:r-1 [mx,ro]=max(abs(A(i:r,i))); % 寻找a阵第i列的最大值 [A(i,:),A(ro+i-1,:)]=exchange(A(i,:),A(ro+i-1,:)); % 进行行与行交换 for j=i+1:1:r A(j,:)=A(j,:)-A(j,i)/A(i,i)*A(i,:); end A End %--矩阵A的逆阵 A1=inv(A) %--左除验证 E=eye(5); A2=A\E % 5x5单位阵 % A阵的逆矩阵 % 输出每次交换后的A
第一章
1、计算积分 I n
Code： clc clear close all n=9; %--梯形积分法 x=0:0.01:1; y=(x.^n).*exp(x-1); In = trapz(x,y); In2=vpa(In,6) % 6位有效数字 %--高精度积分法 F = @(x1)(x1.^n).*exp(x1-1); s = quad(F,0,1); s1=vpa(s,6)
0
0, 0, 0, 0, 0 。
T
if abs(er(:,i-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后，满足精度要求，x向量的值如下：\n',i); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x(1,i),x(2,i),x(3,i),x(4,i),x(5,i)); break end end %--绘图 figure(1) plot(1:1:i,x(1,:),'b',1:1:i,x(2,:),'k',1:1:i,x(3,:),'g',1:1:i,x(4,:), 'r',1:1:i,x(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5') grid on title('Jacobi迭代法——x值随迭代次数变化曲线') figure(2) plot(1:1:i-1,er(1,:),'b',1:1:i-1,er(2,:),'k',1:1:i-1,er(3,:),'g',1:1: i-1,er(4,:),'r',1:1:i-1,er(5,:),'c') legend('△x1','△x2','△x3','△x4','△x5') grid on title('Jacobi迭代法——△x值随迭代次数变化曲线') %% fprintf('\n-------------Gauss-Seidel迭代法---------------------\n'); U=-(A1-D); L=-(A2-D); DL_1=inv(D-L); M1=DL_1*U; b2=DL_1*b; x1(:,1)=M1*x0+b2; for j=2:1:100 x1(:,j)=M1*x1(:,j-1)+b2; er1(:,j-1)=x1(:,j)-x1(:,j-1); if abs(er1(:,j-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后，满足精度要求，x向量的值如下：\n',j); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x1(1,j),x1(2,j),x1(3,j),x1(4,j),x1(5,j)); break end end %--绘图 figure(3) plot(1:1:j,x1(1,:),'b',1:1:j,x1(2,:),'k',1:1:j,x1(3,:),'g',1:1:j,x1(4 ,:),'r',1:1:j,x1(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5')

习题（一）1. 指出四舍五入得到的下列各数有几位有效数字：x 1∗=7.8673,x 2∗=8.0916,x 3∗=0.06213,x 4∗=0.07800,x 5∗=90×103,x 6∗=2.0×10−4解：由有效数字定义得：x 1∗，x 2∗具有5位有效数字x 3∗，x 4∗具有4位有效数字x 5∗，x 6∗具有2位有效数字.2. 设准确值为x=3.78695，y=10,它们的近似值分别为x 1∗=3.7869，x 2∗=3.7870及y 1∗=9.9999，y 2∗=10.1，y 3∗=10.0001，试分析x 1∗，x 2∗，y 1∗，y 2∗，y 3∗分别具有几位有效数字. 解：x 1∗=3.7869=x 1∗=0.37869×101，k 1=1|x 1∗−x|=|3.7869−3.78695|=0.00005≤0.5×10−4=0.5×101−5, 即x 1∗具有5位有效数字；同理，x 2∗=3.7870=0.37870×101，k 2=1|x 2∗−x|=|3.7870−3.78695|=0.00005≤0.5×101−5，所以x 2∗具有5位有效数字； 将y 1∗，y 2∗，y 3∗分别写成y=±10k ×0.α1α2...αn 的表示形式，有：y 1∗=9.9999=0.99999×101，k 3=1；y 2∗=10.1=y 2∗=0.101×102，k 4=2；y 3∗=10.0001=0.100001×102，k 5=2；|y 1∗−y |=|9.9999−10|=0.0001=0.1×10−3≤0.5×101−4,n=4;|y 2∗−y |=|10.1−10|=0.1≤0.5×102−2,n=2;|y 3∗−y |=|10.0001−10|=0.0001=0.1×10−3≤0.5×102−5,n=5;所以y 1∗，y 2∗，y 3∗分别具有4，2，5位有效数字.8.为了使√11的近似值的相对误差不超过0.1%，问至少应取几位有效数字. 解：√11=0.3316624…=0.α1α2...αn ×10k ，α1=3，设x ∗有n 位有效数字，又因为|E x ∗|比值比较小， 故可用E r ∗(x ∗)= |E(x ∗)x ∗|代替相对误差E r ∗(x ∗)，用εr ∗=εx ∗代替相对误差限εr 所以εr ∗≤12α1×10−n+1=16×10−n+1 令16×10−n+1≤0.1%，解得n ≥3.22即至少应取4位有效数字.12.如何计算下列函数值才比较精确.(1)11+2x −11+x ，对|x|≪1; (2)√x +1x −√x −1x ，对x ≫1;(3)∫dx 1+x 2N+1N，其中N 充分大； (4)1−cos xsin x ，对|x|≪1;(5)ln(30−√302−1)(开平方用6位函数表)；解:(1)原式=1+x−(1+2x)(1+2x)(1+x)=−x (1+2x)(1+x)； (2)原式=x+1x −(x−1x )√x+1x +√x−1x =2x √x+1x +√x−1x ；(3)原式=arc tan x|NN+1=arc tan N +1−arc tan N =arc tan N+1−N 1+N(N+1)=arc tan 11+N(N+1)； (4)原式=2sinx 222sin x 2cos x 2=tan x2; (5)原式=30+√302−1=−ln(30+√302−1)令f(x)=ln(x −√x 2−1)，则f(30)=ln(30−√302−1)=ln(30−√899),记a=30−√899 若用6位开方函数表，则有a ∗=30−29.9833=0.0167,故有ε(a ∗)=0.5×10−4, 而f(30)≈ln a ∗,于是ε(f (30))=ε(ln a ∗)≈|1a ∗|ε(a ∗)=0.50.0167×10−4≈0.003; 又因为f(x)等价于f(x)=-ln(x +√x 2−1)，则f (30)=-ln(30+√899)，记b=30+√899 同理b ∗=59.9833,进而ε(b ∗)=(2×10−4)−1,对f (30)≈ln b ∗ε(f (30))=ε(ln b ∗)≈|1b ∗|ε(b ∗)=0.559.9833×10−4≈0.834×10−6。

R ⋅V 'Vr p r r r r 第一单元1.计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 时允许的相对误差是多少？解：∵球体体积公式为V =4πR 3，则该函数的条件数C 为3pC p ===3∴ξ(V *)=C ξ(R *)=3ξ(R *)∵ξ(V *)=1%∴ξ(R *)=1300=0.33%即度量半径R 时允许的相对误差是0.3%。

4.正方形的边长大约为100cm ，问测量时允许多大的误差才能使其面积误差不超过1cm 2。

解：设测量得到的正方形边长为x *，即其面积可表示为S (x *)=(x *)2；∵S (x *)=(x *)2∴ξ(S )=2x *ξ(x *)∵x *=100且ξ(S )≤1∴ξ(x *)≤1⨯10-22即测量时允许的误差不超过0.005cm ，才能使其面积误差不超过1cm 2。

x k -131+x 2k 1x2231+x 2k 00200⎝⎪第二单元1.为求方程x 3-x 2-1=0在x 0=1.5附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式。

(1)x =1+1/x 2，迭代公式x k +1=1+1/x 2；(2)x 2=1/(x -1)，迭代公式x k +1=1/；(3)x 3=x 2+1，迭代公式x k +1=；试分析每种迭代公式的收敛性，选取一种公式求出具有4位有效数字的近似根。

x=1+1/x 2，ϕ(x )=1+，解：（1）∵k +1k∴ϕ'(x )=-2⨯x -3，ϕ'(x )=-2⨯1.5-3=16/27=0.5926<1；（2）∵x k +1=1/1，ϕ(x )=1/-3，1∴ϕ'(x )=-(x -1)22，ϕ'(x )=-(1.5-1)2=≈1.414>1；（3）∵x k +1=，ϕ(x )=，2x -223⎛2⎛3⎫2⎫3∴ϕ'(x )=(1+x 2)3，ϕ('x )=⨯⨯ 1+⎪=0.4558<1；3032 ⎪⎝⎭⎭对比分析得，第（1）种迭代公式收敛，第（2）种迭代公式发散，第（3）种迭代公式收敛。

数值分析期末考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. 插值法B. 拟合法C. 微分法D. 积分法A. 高斯消元法B. 高斯赛德尔迭代法C. 共轭梯度法D.SOR方法3. 下列哪个算法不是求解非线性方程的方法？A. 二分法B. 牛顿法C. 割线法D. 高斯消元法A. 梯形法B. 辛普森法C. 高斯积分法D. 复化求积法A. 欧拉法B. 龙格库塔法C.亚当斯法D. 高斯消元法A. 幂法B. 反幂法C. 逆迭代法D. QR算法A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 共轭梯度法D. 高斯消元法A. 拉格朗日插值法B. 牛顿插值法C. 埃尔米特插值法D. 分段插值法A. 前向差分法B. 后向差分法C. 中心差分法D. 拉格朗日插值法A. 牛顿法B. 割线法C. 雅可比迭代法D. 高斯消元法二、填空题（每题4分，共40分）1. 数值分析的主要任务包括数值逼近、数值微积分、数值线性代数和______。

2. 在求解线性方程组时，迭代法的收敛速度与______密切相关。

3. 牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} = x_k f(x_k)/______。

4. 在数值积分中，复化梯形公式的误差为______。

5. 求解常微分方程初值问题，龙格库塔法的阶数取决于______。

6. 矩阵特征值的雅可比方法是一种______方法。

7. 梯度下降法在求解无约束优化问题时，每次迭代的方向为______。

8. 拉格朗日插值多项式的基函数为______。

9. 数值微分中的中心差分公式具有______阶精度。

10. 在求解非线性方程组时，牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} =x_k J(x_k)^{1}______。

三、计算题（每题10分，共60分）1. 给定数据点（1，2），（2，3），（3，5），（4，7），求经过这四个数据点的拉格朗日插值多项式。

2. 用牛顿迭代法求解方程x^3 2x 5 = 0，初始近似值为x0 = 2，计算前三次迭代结果。

第一章 误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____, ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。

0.2499作为1/4的近似值, 有几位有效数字？00.24990.249910,0m =⨯=即，031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即22 3.1428751...,7=作为圆周率的近似值，误差和误差限分别是多少，有几位有效数字？2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系3. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误!未找到引用源。

, 建立稳定的数值算法。

该算法是不稳定的。

因为:11()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==-111n n I I n n -=-， 10110I =4. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.时间复杂度是指: , 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式, 并写出误差估计式, 以及验证插值多项式的唯一性。

x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应 的标准基函数 为:1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x =2()...l x =因此, 所求插值多项式为:220()()()....i i i P x f x l x ===∑ (3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=--- Newton:构造出插商表:xi f(xi ) 一 二 三0 11 9 84 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为:2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项: 2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3.过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式, 使得满足插值条件: f(0)=1. .’(0)=... f(1.=2. .’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则，， 写出插商表:xi f(xi) 一 二 三0 10 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为:插值余项:222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4.求f(x)=sinx 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式, 并写出误差估计式。

数值分析课后作业：习题一1.在字长为3的十进制计算机上计算f （3.33）和g （3.33），其中f(x)=x 4-x 3+3x 2+x-2,g(x)=(((x-1)x+3)x+1)x-2解： m=3; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 121 ans =121 2.下列各近似值的绝对误差限都是1021⨯-3，试指出它们各有几位有效数字：x=1.00052， y=0.05， z=0.00052.解：当 x=1.00052时， 由丨X*—X 丨 ≤0.5×10-3 得 x=1.00052 有四位有效数字； 同理 y=0052 有两位有效数字 Z=0.00052有零位有效数字 3,计算圆的面积，要使其相对误差限为1%，问测量半径r 允许的相对误差限是多少？ 解：设圆的面积为S ， 由题意有|e(S)|≤1%。

又S=πr 2 dS=2πr dr 所以 dS/S=(2πrdr)/(πr 2)=2(dr/r)∴|e(r)|≈21|e(S)|≤0.5×1%=0.5% 11.数组与矩阵是Matlab 编程的基础，试学习Matlab 的数组与矩阵的表示方法，并举例介绍数组、矩阵的常见运算. 解：>> syms a b c d; >> a=[1 2 3];>> b=[4 5 6];>> a+bans =5 7 9>> b-aans =3 3 3>> a.*bans =4 10 18 >> a.^2 ans = 1 4 9>> c=[1 2 3;1 2 3;1 2 3];>> d=[4 5 6;4 5 6;4 5 6];>> cc = 1 2 3 1 2 3 1 2 3d = 4 5 6 4 5 6 4 5 6 >> c+dans =5 7 9 5 7 9 5 7 9>> d-cans = 3 3 33 3 33 3 3 12.学习使用Matlab 命令help 和doc 学习自己感兴趣的Matlab 的运算、函数或命令的用法，并对于任意给定的实数a,b,c,编写Matlab 程序求方程ax 2+bx+c=0的根. 解：x 1=a ac b b b 24)sgn(2---, x 2=1ax c1 x>0 其中 sgn = 0 x=0 -1 x<0 disp('Please input the coefficients of');disp('quadratic equation ax^2+bx+c=0, respectively') a=input('a='); b=input('b='); c=input('c=');m=3; if abs(a)<eps & abs(b)<eps error End if abs(a)<eps disp('Since a=0, quadrtic equation degen erates into a linear equation.') disp('The only solution of the linear equtio n is')x=digit(-c/b,m) return Enddelta=b^2-4*a*c; temp=sqrt(delta); x 1=(-b+temp)/(2*a) ; x 2=(-b-temp)/(2*a) ;err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c) ; err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c) ; if b>0x 1=(-b-temp)/(2*a) End if b<0x 1=(-b+temp)/(2*a) End if b=0x 1=temp/(2*a) Endx 2=c/(a*x 1)err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c) err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c) if abs(a)<epsdisp('Since a=0, quadrtic equation degen erates into a linear equation.')disp('The only solution of the linear equtio n is')x=digit(-c/b,m) return Enddelta=digit(digit(b^2,m)-digit(4*digit(a*c,m),m),m);temp=digit(sqrt(delta),m);x 1=digit(digit(-b+temp,m)/digit(2*a,m),m); x 2=digit(digit(-b-temp,m)/digit(2*a,m),m); err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c); err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c); if b>0x 1=digit(digit(-b-temp,m)/digit(2*a,m),m) ; End if b<0x 1=digit(digit(-b+temp,m)/digit(2*a,m),m); End if b=0x 1=digit(temp/digit(2*a,m),m); Endx 2=digit(digit(c/a,m)/x1,m) ; err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c) ; err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c) ; 14分别利用ln (1+x)=11,)1(11≤<--+∞=∑x nx nn n 和ln11...),12...53(2111253<<-++++++=-++x n x x x x x x n ，给出计算ln2的近似方法，编写相应的Matlab 程序，并比较算法运行情况. 解：方法一： x=1; s=0;for k=1:100s=s+(-1)^(k+1)*(x^k)/k; end sq=log(2)err=abs(t-q) ans= t =0.6882 q =0.6931 err = 0.0050方法二x=1/3; s=0;for k=1:2:100 s=s+(x^k)/k; end t=2*s q=log(2)err=abs(t-q) Ans= t =0.6931 q =0.6931 err =2.2204e-16所以方法二较方法一好。

数值分析作业及答案Chap11、写出下列语句的运行结果。

在MA TLAB 上执行它们以验证所得解答。

a=[1 2 3 ;4 5 6 ]’ b=[9;7;5;3;1] c=b(2:4) d=b(4:-1:1) e=sort(b) f=[3,b ’]解：a=635241 b=13579c=357d=9753 e=97531F=[3 9 7 5 3 1] 3、给定一向量：a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]写一段程序计算a 中正数的和。

运行程序并显示结果。

解：a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; s=0;for i=1:length(a) if a(i)>0s=s+a(i); end end s6、编写一个函数M 文件fun_es(x)，计算如下函数：230.5sin x y e x x =-其中参数可以为标量，也可以为向量。

在MA TLAB 里键入如下命令检验此函数:fun_es(3) fun_es([1 2 3])解：function y=fun_es(x) y=0.5*exp(x/3)-x.^2.*sin(x);chap21、设0x >，x 的相对误差为δ，求L nx 的误差。

解：Lnx-Lnx*=dLnx=dx/x=δ2、设x 的相对误差为2%，求2x 的相对误差。

解：dLnf(x)=xf ’(x)/f(x)dLnx=4%5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：dLnf(x)=xf ’(x)/f(x)dLnx=3dLnx=1% dLnx=0.33%9、正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm 2? 解：s=x 2s-s*=2x(x-x*)=1x-x*=1/(2x)=1/200=0.5*10-2 即测量边的误差不超过0.005cm 10、设212S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有±0.1秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。

第二章15.方程组的性态和矩阵条件数试验。

设有线性方程组Ax=b ，其中系数矩阵A=(a ij )nXn 分别为a ij =x i j −1(x i =1+0.1i;i,j=1,2…,n)或a ij =1i+j −1(i,j=1,2…,n),右端向量b=（ a 1j n j=1, a 2j n j=1,…, a nj nj=1）T .利用MATLAB 中的库函计算：（1）取n=5,10,20，分别系数矩阵的2-条件数，判别他们是否是病态矩阵？随着n 的增大。

矩阵形态的变化如何？（2）分别取n=5,10,20解两个线性方程组，并求的的解与精确解做比较，说明的什么？（3）取n=10，对系数矩阵中的a 22和a nn 增加扰动10-8，求解方程组，解得变化？ 程序如下：n=input('n='); for i=1:n; for j=1:n;a(i,j)=1/(i+j-1); end end c=norm(a); d=norm(inv(a)); t=c*d; b=sum(a'); x=inv(a)*b'; disp(t); disp(x')输入n=5时得到t=4.7661e+005 X=1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 输入n=10时得到t=1.6025e+013 X=1.0000 1.0001 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9991 0.9999 1.0000 1.0001 输入n=20时得到t= 2.3003e+018 X=Columns 1 through 130.2609 9.6667 0.9976 1.1094 0.6875 1.3750 3.3125 2.0000 16.0000 -18.0000 32.0000 -10.0000 8.0000Columns 14 through 20-56.0000 4.0000 24.0000 39.5000 -144.0000 28.0000 -14.0000通过题意可知线性方程组的精确解为x=ones(n,1).通过对条件数t 值计算可知其随n 值增加而增加，n 值变大矩阵变为病态矩阵，病态矩阵的结果偏差较大。

《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

数值分析作业
1、确定参数p、q、r,使得迭代
收敛到，并使收敛的阶尽可能高。

（16分）
2、用matlab编程求著名的Van Der Pol 方程的数值解并绘制其时间响应曲线和状态轨迹图（给出源程序）（14分）
3、试确定常数A，B，C，使得数值求积公式具有尽可能高的代数精度。

此时的代数精度是多少？它是否是Gauss型公式？（14分）
4、已知美国1910-2010人口数据如表1(单位：百万)，且假定人口数随时间关系增长服从阻滞增长模型,即t时刻的人口数x(t)为其中r、为待定参数，使用matlab编程拟合这些参数，并预测2020年的人口数。

（14分）
表1.美国1910-2010年的人口变化情况
年1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
人口数 92 106 123 132 150 179 204 226 251 281 307。

数值分析（在线作业）单选：1、设是经过四舍五入后得到的近似值，则分别有几位有效数字？（A ）A、3，3B、2，4C、3，4D、4，32、计算球的体积时，为使其相对误差限为1%，测量半径R时，相对误差最大为（B ）A、1%B、0.33%C、3%D、9.9%3、超定方程组的最小二乘解为（A）A、B、C、D、4、已知则为（D）A、2B、6C、-6D、85、已知A=则为（D）A、0.367B、0C、-34D、396016、设方程组Ax=b，其中则A能进行Cholesky分解（即A=LLT，其中L为下三角矩阵）时，取值范围为（A ）A、B、C、D、7、设，则差商为（A ）A、1B、-1C、0D、28、设，则差商为（C）A、1B、-1C、0D、29、已知函数表为分别用Newton向前、向后插值公式计算f(1.5)，f(3.7)的近似值（B ）A、B、C、D、10、设，则的Newton迭代公式为（A ）A、B、C、D、11、设，则当的Newton迭代收敛时,的取值范围为（A）A、B、C、D、12、已知325413有6位有效数字，则绝对误差限为（B ）A、0.05B、0.5C、0.005D、513、已知，则下列哪个多项式为的二次最佳平方逼近（B）A、B、C、D、14、计算积分，若用复合Simpson公式进行近似计算，并且想误差不超过则至少要进行多少等分？（ C ）A、3B、6C、12D、2415、给定线性方程组,其中，，使用迭代公式，若迭代收敛，则的取值范围为（D）A、B、C、D、16、已知，则的谱半径为（C ）A、3B、1C、7D、817、已知，则的拉格朗日插值多项式为（A ）A、B、C、D、18、已知，则用梯形公式计算积分与精确值相比（A）A、偏大B、偏小C、相等D、不确定19、对于线性方程组，则雅克比迭代与高斯-赛德尔迭代的敛散性分别为（A ）A、收敛发散B、收敛收敛C、发散收敛D、发散发散20、已知函数值，则均差为（D ）A、B、6 C、10 D、2。

第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。

一、问题提出设方程f(x)=x 3-3x-1=0有三个实根 x *1=1.8793 , x *2=-0.34727 ,x *3=-1.53209现采用下面六种不同计算格式，求 f(x)=0的根 x *1 或x *2 。

1、 x = 213xx + 2、x = 313-x3、 x = 313+x4、 x = 312-x 5、 x = x13+6、 x = x - ()1133123---x x x二、目的和意义1、通过实验进一步了解方程求根的算法；2、认识选择计算格式的重要性；3、掌握迭代算法和精度控制；4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。

三、结构程序设计本程序实在matlab 软件上进行操作的。

首先建立一个空白的M-文件。

在编辑器中输入以下内容，并保存。

function [X1,m,n,q]=shizi1(p) x=zeros(100,1); x=double(x);x(1,1)=p;i=1;deltax=100;while (i<100 & deltax > 0.000001)x(i+1,1)=(3*x(i,1)+1)/x(i,1)^2deltax=abs(x(i+1,1)-x(i,1));i=i+1;endX1=x(1,1);m=i;n=x(i,1);q=deltax;以上是运行函数，下一步在建立一个执行M-文件，输入以下内容，并保存。

其中X1为初始值，m为迭代次数，n为最后得到的值，q为|x k+1-x k|。

clear all;clc;p=1.8;[X1,m,n,q]=shizi1(p)1、对第一个迭代公式，在执行文件中输入p=1.8；[X1,m,n,q]=shizi1(p)。

得到如下结果如下：初值为1.8，迭代100次，精度为10-6。

可见该迭代公式是发散的，将初值改为-1.5，其他均条件不变。

p=-1.5;[X1,m,n,q]=shizi1(p)改变初值后可以得到一个接近真值的结果x*3的结果ans=-1.5321。

一、数值求解如下正方形域上的Poisson 方程边值问题 2222(,)1,0,1(0,)(1,)(1),01(,0)(,1)0,01u u f x y x y x y u y u y y y y u x u x x ⎧⎛⎫∂∂-+==<<⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎨==-≤≤⎪⎪==≤≤⎩二、用椭圆型第一边值问题的五点差分格式得到线性方程组为2,1,1,,1,10,1,,0,141,?,?,?,?0,1i j i j i j i j i j ijj N j i i N u u u u u h f i j N u u u u i j N -+-+++----=≤≤====≤≤+， 写成矩阵形式Au=f 。

其中1．三 、编写求解线性方程组Au=f 的算法程序, 用下列方法编程计算, 并比较计算速度。

2．用Jacobi 迭代法求解线性方程组Au=f 。

3．用块Jacobi 迭代法求解线性方程组Au=f 。

4． 用SOR 迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。

1122N N v b v b u f v b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4114114ii A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭11,12,1,121,22,2,21,2,,2211,12,1,121,22,2,221,2,,(,,...,),(,,...,),......,(,,...,)(,,...,)?,(,,...,)?,......,(,,...,)?1,999,0.10.011T T N N TN N N N N T T N N T N N N N N v u u u v u u u v u u u b h f f f b h f f f b h f f f h N h N ====+=+=+===+取或则或,1,,1,2,...,i j f i j N== 1122NN A I I A A I I A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭5．用块SOR 迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。

目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。