完全平方数的性质及推论

完全平方数知识要点一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。

0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。

观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。

推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。

性质3：完全平方数除以3余0或1；完全平方数除以4余0或1；。

性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。

性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。

性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。

一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。

约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。

性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B），其中A＋B与A－B的奇偶性相同。

与平方数相关的常用公式:1、1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n＋（n＋1）＋…＋3＋2＋1＝n22、1＋3＋5＋7＋9＋…＋（2n－1）＝n23、12＋22＋32＋…＋n2＝61 21n）＋（）＋（nn⨯⨯4、13＋23＋33＋43＋53＋…＋n3＝（1＋2＋3＋4＋5＋…＋n）25、111…12＝1234…n…4321（n≦9）n个1典题解析（一）基本知识例题1、完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？例题2、将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？例题3、一个房间里有100盏灯，用自然数1、2、3、4、……、100编号，每盏灯各有一个开关，开始时，所有的灯都不亮。

完全平方数的性质及推论(详细)一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明已知m^2=10k+6，证明k为奇数。

因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

完全平方数完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

完全平方数的一般性质①完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；⑤平方数除以3余0或者余1；⑥平方数除以16余0或者余1或者余4或者余9；⑦平方数除以余0或者1或者4；⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和n本身)。

例1如从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？例2有一个四位数的个位数字与千位数字相等，且正好等于其十位数字的5倍与1的和的完全平方，求这个四位数。

例3在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有多少个？例4(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球…依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。

那么，最后袋中留下()个球。

例5能不能找到一个自然数n，是完全平方数，且n＋1999也是完全平方数？例6有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是()。

测试题1．从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？2．请说明任意两个相邻的正整数的积不是平方数。

3．有一个由不同数字组成的四位数A，2；已知A的千位数字是2，十位数字是1，且A各个位数上的数A B字相加的和为3的倍数。

那么这个四位数是几？4．所有六位数中，末四位是2004的完全平方数有多少个?它们的和是多少？答案1．【解析】因为327223=⨯，而根据一个完全平方数的分解质因数形式中所有质因数的个数都必须是偶数的特征，可以得出与72相乘的这个正整数一定是2的倍数，还要再乘以一个完全平方数，这样得到的结果还是完全平方数，乘数应该是221⨯、222⨯、223⨯、 、22n ⨯。

第9讲完全平方数第一部分基本知识点——这是重中之重一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。

0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。

观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。

推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。

性质3：完全平方数除以3余0或1；完全平方数除以4余0或1；。

性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。

性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。

性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。

一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。

约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。

性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B），其中A＋B与A－B的奇偶性相同。

第二部分学案[学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？分析：⑴两位数从10到99共90个，其中偶数90÷2＝45（个）。

⑵两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9＝54（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54－6＝48个。

⑶两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。

[学案2] 将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？分析：⑴要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16分成8＋8的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。

2．5 完全平方数数学竞赛中的许多问题涉及到完全平方数，需要用到完全平方数的一些特性．性质1 完全平方数≡0或1()mod4，奇数的平方()1mod8≡．性质2 相邻两个完全平方数之间没有一个正整数是完全平方数．（这个性质经常用来证明某一类数不是完全平方数）性质3 若两个互素的正整数之积是完全平方数，则这两个数都是完全平方数．注意，“两个完全平方数之积是完全平方数”这个结论是显然的．这里的性质2与性质3对一般的n 次方数都成立，而性质1只列出了完全平方数模4和模8的性质，模其余的数亦有一些相应的性质．例如：完全平方数≡0或1()mod3，完全平方数的末尾数字只能是0，1，4，5，6，9等等．例1 设素数从小到大依次排列为12p p ，，…．证明：对任意大于1的正整数n ，数12n p p p …－1和12n p p p …＋1都不是完全平方数．证明 注意到，n ≥2时，123|n p p p …，故12n p p p …－1≡2()mod3．所以，12n p p p …－1不是完全平方数．又n ≥2时，2n p p …为奇数，设221n p p k …＝＋，就有 ()()1212211433mod4n p p p k k ⋯≡＋＝＋＋＝＋．所以，12n p p p …＋1也不是完全平方数．说明 在处理与完全平方数有关的问题时，经常要用到同余的方法，其中取恰当的“参照物”（即模哪个数）是非常关键的．例2 已知正整数a 、b 满足关系式2223a a b b ＋＝＋．证明：a －b 和2a ＋2b ＋1都是完全平方数．证明 由条件，知()()()22222221b a a b b a b a b ＝＋－＋＝－＋＋． ① 上式左边大于零，右边中2a ＋2b ＋1大于零，故a －b 大于零．由①知，要证a －b 和2a ＋2b ＋1都是完全平方数，只需证明（a －b ，2a ＋2b ＋1）＝1．设（a －b ，2a ＋2b ＋1）＝d ，则由①知22|d b ，故|d b ．进而结合|d a b －，知|d a ，故()|2d a b ＋．又|221d a b ＋＋，所以，|1d ，进而d ＝1．命题获证．说明 这里我们并没有求出①中a 、b 的值（这是比较困难的），但是我们对①作恰当变形，使一边为完全平方数、另一边是两个式子之积后，问题解决起来就容易了．例3 设正整数x 、y 、z 满足（x ，y ，z ）＝1，并且111x y z＋＝．证明：x ＋y 、x －z 、y －z 都是完全平方数．证明 设（x ，y ）＝m ，并设x ＝mn ，y ＝ml ，这里m 、l 、n 都是正整数，且（l ，n ）＝1．从而，由条件可知 （l ＋n ）z ＝mln ． ①利用（x ，y ，z ）＝1，知（m ，z ）＝1，于是，由①知 |z ln ．而（l ，n ）＝1，故（l ，l ＋n ）＝1，（n ，l ＋n ）＝1，因此，由①知|l z ，|n z ，再由（l ，n ）＝1，知ln |z ．所以，z ＝ln ，进而m ＝l ＋n ．这样，我们有()()2x y m l n l n ＋＝＋＝＋，y －z ＝mn －ln ()2n m l n ＝－＝， y －z ＝ml －ln ＝()2l m n l －＝． 命题获证．说明 另一种处理方式基于下面的变形：1x y x y y xy z x z⇒＋＋＝＝ x y x x x z⇒＋＝－ ()()2x y x z x ⇒＋－＝，然后对最后一式利用上例的方法可证x ＋y 与x －z 都是完全平方数，这种处理或许更能体现问题的本质． 例4 求所有的素数p ，使得349p p －＋是一个完全平方数．解：设3249p p x －＋＝，x 为非负整数，则2|9p x －，即()()|33p x x ＋－，结合p 为素数，可设x ＝kp ±3，k 为非负整数．于是，3222496p p x k p kp ±－＝－＝，得2246p k p k ±－＝，这表明：|64p k ±．当p ＞2时，p 为奇素数，可知|32p k ±，故总有p ≤3k ＋2，这表明：()212933p p pk x －－≤－≤． 若24p x ≤，则()2212934p p p －－≤，得368p p≤＋，可知11p ≤；若24p x ＞，则4324916p p p x －＋＝＞，得()3164916p p p －＜－，可知13p ≤． 综上可知，13p ≤，直接枚举，得（p ，x ）＝（2，3），（7，8），（11，36）．求得p ＝2，7，或11． 说明 此例所处理的等式两边不是奇次的，想方设法得到素数p 的一个范围后去枚举是常用的方法，这时一些数论知识的运用结合不等式估计往往是有效的．例5 已知n 为正整数，且2n ＋1与3n ＋1都是完全平方数．证明：40|n ．证明 设221n x ＋＝，231n y ＋＝，其中x 、y 都是正整数．由性质1，知()21mod8x ≡（因为2x 为奇数，故x 为奇数），从而 ()0mod 4n ≡，进而3n ＋1为奇数，故()21mod8y ≡， 即 ()311mod8n ≡＋，于是 ()0mod8n ≡．另一方面，对任意整数a ，有()012mod5a ≡±±，，，故 ()2014mod5a ≡，或． 由条件知 ()22522mod5x y n ≡＋＝＋ 结合前面推出的结论，可知()221mod5x y ≡≡， 故 ()211mod5n ≡＋，从而 ()0mod5n ≡．利用（5，8）＝1，可知40|n ．说明 最小的使得2n ＋1与3n ＋1都是完全平方数的正整数n ＝40，请读者找到下一个符合要求的正整数n ．例6 若a 、b 是使得ab ＋1为完全平方数的正整数，则记a ～b ．证明：若a ～b ，则存在正整数c ，使得a ～c ，b ～c ．证明 由a ～b ，可设21ab x ＋＝，这里x 为正整数，下一个与a 、b 、x 有关的完全平方数是()2a x ＋或()2b x ＋，于是，我们取2c x a b ＝＋＋，则()121ac a x a b ＋＝＋＋＋221ax a ab ＝＋＋＋()2222ax a x x a ＝＋＋＝＋，()21bc x b ＋＝＋．命题获证．说明 此题对代数式变形的能力要求较高．在寻找完全平方数时，往往需要构造完全平方式，因为当一个整式中的字母都取整数时，这个整式的平方显然是完全平方数．当然，反过来并不需要这样的条件． 题中的c 还可以这样来找：设21ac y ＋＝，则()()()22a c b y x y x y x －＝－＝－＋，取y －x ＝a （此时c b y x －＝＋）可符合此式，依此知应取2c b y x x a b ＝＋＋＝＋＋．例7 求所有的正整数数对（a ，b ），使得361a ab ＋＋，361b ab ＋＋，都是完全立方数．解：不妨设a ≤b ，则()3333261612b b ab b b b ＜＋＋≤＋＋＜＋． 由361b ab ＋＋是一个完全立方数，可知 ()33611b ab b ＋＋＝＋， 即有 2633ab b b ＝＋，21b a ＝－，从而 332611261a ab a a a ＋＋＝＋－＋．注意到 ()()3332112614a a a a a ＋≤＋－＋＜＋，因此，由321261a a a ＋－＋是完全立方数，可知只能是321261a a a ＋－＋＝()31a ＋，()32a ＋，()33a ＋．分别求解，可得只能是a ＝1．所以，满足条件的数对（a ，b ）＝（1，1）．说明 先确定某个n 次方数夹在哪两个n 次方数之间，然后确定该n 次方数的取值．这是用不等式估计处理问题的常见方法．例8 求最小的正整数n ，使得存在整数12n x x x ，，…， ，满足444121599n x x x ＋＋…＋＝． 解：由性质1，对任意整数a ，可知()20mod4a ≡或()21mod8a ≡， 由此可得 40a ≡或()1mod16利用这个结论，可知，若n ＜15，设()44412mod16n x x x m ≡＋＋…＋， 则 m ≤n ＜15，而 ()159915mod16≡，矛盾，所以 n ≥15．另外，当n ＝15时，要求()444121mod16n x x x ≡≡≡≡…， 即12n x x x ，，…，都为奇数，这为我们找到合适的数指明了方向，事实上，在1x ，2x ，…，15x 中，1个数取为5，12个取为3，另外两个取为1，就有44444121551232x x x ⨯＋＋…＝＋＋＝625＋972＋2 ＝1599． 所以，n 的最小值为15．即12n x x x ，，…，都为奇数，这为我们找到合适的数指明了方向．事实上，在12x x ，，…， 15x 中，1个数取为5，12个取为3，另外两个取为1，就有4441215x x x ⋯＋＋＋。

2.7完全平方数2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。

若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数。

2.7.2性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。

此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。

因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。

77完全平方数(一)定义1 .如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如401,?0.3612125，，， 都是完全平方数，在整数集合里，完全平方数都是整数的平方. 2 .如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如:在有理数范围()222,24129,144m a b x x +--+， 都是完全平方式在实数范围(22,2,3a x +++ 也都是完全平方式.(二)整数集合里，完全平方数的性质和判定 1 .整数的平方的末位数字只能是0,1,4,5,6,9.所以凡是末位数字为2,3,7,8 的整数必不是平方数. 2 .若n 是完全平方数，且能被质数p 整除,则它也能被2p 整除..若整数m 能被q 整除，但不能被2q 整除，则m 不是完全平方数.例如: 3402 能被2 整除，但不能被4 整除，所以3402 不是完全平方数.又如: 444 能被3 整除，但不能被9 整除，所以444 不是完全平方数.(三)完全平方式的性质和判定在实数范围内如果()20ax bx c a ++≠ 是完全平方式，则240b ac -= 且0a >如果240b ac -= 且0a > ;则()20ax bx c a ++≠ 是完全平方式.在有理数范围内240b ac -= 且a 是有理数的平方时，2ax bx c ++是完全平方式(四)、完全平方式和完全平方数的关系1 .完全平方式()2ax b + 中当,a b 都是有理数时,x 取任何有理数，其值都是完全平方数: .当,a b 中有一个无理数时，则x 只有-些特殊值能使其值为完全平方数. 2 .某些代数式 虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数 例如: 29n + ,当4n = 时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.(五)完全平方数与-元二次方程的有理数根的关系 1 .在整系数方程()20ax bx c a ++≠ 中 ①若24b ac -是完全平方数，则方程有有理数根; ②若方程有有理数根，则24b ac -是完全平方数. 2 .在整系数方程20x px q ++= 中①若24p q -是整数的平方，则方程有两个整数根: ②若方程有两个整数根，则24p q -是整数的平方.。