高中数学解题思想方法技巧：西瓜开门 滚到成功

高考风向标文科数学一轮课时知能训练：第2讲 古典概型1．已知集合A ＝{－1,0,1}，点P 的坐标为(x ，y )，其中x ∈A ，y ∈A .记点P 落在第一象限为事件M ，则P (M )等于( )A.13B.16C.19D.292．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为P 点的坐标，则点P 在圆x 2＋y 2＝25内的概率为( )A.12B.512C.722D.13363．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学．如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是( )A.12B.13C.14D.154．(2011年安徽)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.155．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.566．(2011年全国新课标)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.347．(2010年江苏)盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是________．8．从含有2件正品和1件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后再放回，连续取两次，则两次取出的产品中恰好有一件次品的概率是________．9．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，则所取得的子集是含有2个元素的集合的概率是________．10．(2011年山东)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．11．(2011年广东揭阳模拟)已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{－1,1}，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，x ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点位于区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥－1内(含边界)的概率．12．(2011年广东六校联考)某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：(1)(2)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果(2次、7次、8次、3次)中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m 次、n 次，每个基本事件为(m ，n )．求“m ＋n ≥10”的概率．第2讲 古典概型1．C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.A 7.12 8.49 9.3810．解：(1)甲校两男教师分别用A ，B 表示，女教师用C 表示．乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E ，F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )共9种． 从中选出两名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P ＝49. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25. 11．解：(1)集合M 的所有元素有(－2，－1)，(－2,1)，(0，－1)，(0,1)，(2，－1)，(2,1)共6个，则基本事件总数为6.记“以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上”为事件A .因落在圆x 2＋y 2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)共2个，即A 包含的基本事件数为2，所以P (A )＝26＝13. (2)记“以(x ，y )为坐标的点位于区域D 内”为事件B .则事件B 包含的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)共4个．故P (B )＝46＝23. 12．解：(1)此运动员射击的总环数为2×7＋7×8＋8×9＋3×10＝172(环)，所以此运动员射击的平均环数为17220＝8.6(环)． (2)依题意，设满足条件“m ＋n ≥10”的事件为A .用(m ，n )的形式列出所有基本事件为(2,7)，(2,8)，(2,3)，(7,2)，(7,8)，(7,3)，(8,2)，(8,7)，(8,3)，(3,2)，(3,7)，(3,8)．所以基本事件总数为12.而事件A 包含的基本事件为(2,8)，(7,8)，(7,3)，(8,2)，(8,7)，(8,3)，(3,7)，(3,8)．总数为8.所以P (A )＝812＝23. 故满足条件“m ＋n ≥10”的概率为23.。

第1计 芝麻开门 点到成功●计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.●典例示范［例题］ （2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数rnC n )1(1+，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出rn x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++，其中=x . 令221)1(1160130112131n n n C n nC a +++++++=- ，则=∞→n n a li m .［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点11的主意.［解Ⅰ］ 将等式rn x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++与右边的顶点三角形对应（图右），自然有21)1(1=+rnC n 21)1(1=+x n C n 1111=-r n nC 对此，心算可以得到：n =1，r =0，x =1对一般情况讲，就是x = r +1 这就是本题第1空的答案.［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r +1.第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项31.［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项31，并将和数列++++=60130112131n a 中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是a n . 这个a n ，就等于首项31左上角的那个21. 因为21在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.因此得到=∞→n n a lim 21这就是本题第2空的答案.［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数31，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数21就是问题的答案. 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从201这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是201这个数的左上角的那个数121. 用等式表示就是1211401601201=⋯+++［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.［法1］ 由rn r n r n nC C n C n 111)1(1)1(1-+=+++知，可用合项的办法，将n a 的和式逐步合项. 221)1(1130112131nn n C n nC a ++++++=- 11221242322)1(1)1(1)1(11514131n n n n C n C n C n nC C C C +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++=- 11121242322)1(111514131n n n C n nC nC C C C +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=-- 11222)1(13131n C n C C +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=111)1(121n C n C +-=nn )1(121+-=→21［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即231241302)1(11514131---++++++=n nn n n C n nC C C C a 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项1)1(1-+n n C n ，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为21，故1)1(121---=n n n C n a ，从而21)1(121lim lim 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=-∞→∞→n n n n n C n a［法3］ （2）将1+=r x 代入条件式，并变形得rnr n r n C n nC C n )1(11)1(111+-=+-+ 取,1=r 令 ,,,3,2n n =得1211223121)12(131C C C -=+= 1312234131)13(1121C C C -=+=， 1413245141)14(1301C C C -=+= … … … 1111211)1(11-----=n n n nC C n nC 1112)1(11)1(1nn n C n nC C n +-=+- 以上诸式两边分别相加，得 )1(121+-=n n a n 21［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.●对应训练1．如图把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |+|P 2F |+……+|P 7F |=_______.2．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，P ，Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且A 1P =CQ ，则四棱锥B 1—A 1PQC 1的体积与多面体ABC —PB 1Q 的体积比值为 .●参考解答1．找“点”——椭圆的另一个焦点F 2.连接P 1F 2 、P 2F 2 、…、P 7F 2，由椭圆的定义FP 5+P 5 F 2 = 2a =10 如此类推FP 1+P 1F 2 = FP 2 + P 2F 2 = … =FP 7 + P 7F 2 = 7×10 = 70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35. 2．找“点”——动点P 、Q 的极限点.如图所示，令A 1P = CQ = 0. 即动点P 与A 1重合，动点Q 与C 重合. 则多面体蜕变为四棱锥C —AA 1B 1B ，四棱锥蜕化为三棱锥C —A 1B 1C 1 .显然311 1 1 —=C B A C V V 棱柱. ∴1 1 1 —C B A C V ∶B B AA C V 1 1 —=21 于是奇兵天降——答案为21. ［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，→在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.第2计 西瓜开门 滚到成功●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范［题1］ （2006年赣卷第5题）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f '（x ）≥0，则必有 A. f （0）＋f （2）< 2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2 f （1） C. f （0）＋f （2）≥ 2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件（x -1）f ＇(x )≥0中暗示得极为显目.其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.［解一］ （i ）若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件.（ii ）若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f （x ）在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f （x ）在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件.综合（i ），（ii ），本题的正确答案为C.［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0.［再析］ 本题f （x ）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f （0），f （1），f （2）. 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.［解二］ （i ）若f ＇(x )=0，可设f （x ）=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. （ii ）f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =（x-1）2 又 f ＇(x )=2（x-1）.满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f （0）= f （2）=1，f （1）=0 选项C ，D 符合条件. 综合（i ），（ii ）答案为C.［插语］ 在这类f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4，(x-1)34，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f '（x ）= 0找最值点x =0，由f '（x ）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.［解三］ （i ）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合条件. （右图水平直线）（ii ）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x -1) f '（x ）≥0若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C ，D （右图下拱曲线）. 则满足条件(x -1) f '（x ）≥0.［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x )，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x -1) f '（x ）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.［变题］ 以下函数f (x )，具有性质(x -1) f '（x ）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是 A. f （x ）= (x-1)3B. f （x ）= (x-1)21C. f （x ）= (x-1)35D. f （x ）= (x-1)20052006［解析］ 对A ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B ，f (0)无意义； 对C ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求； 答案只能是D. 对D ， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f '（x ）=20052006(x-1)20051 使得 (x-1) f ＇(x ) =(x-1)20052006(x-1)20051≥0.［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f '（x ）=(x-1)122-m n，其中m ，n 都是正整数，且n ≥m .［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.［题2］ 已知实数x ，y 满足等式 369422=+y x ，试求分式5-x y的最值。

第3 诸葛开门 扇到成功●计名释义诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用.●典例示范［题1］ 已知f (x )=221+x 试求 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值. ［分析］ 若分别求f (x )在x = -5，-4，…，0，…，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x )+f (1-x )的结果.［解析］ 因为 f (x )+ f (1-x ) = 2212211+++-x x =)22(212212222221+++=∙+++x x xx x =22)22(222=++x x所以 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )=21［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+…+（f (6 )+ f (-5 )）］ =21［f (1-x )+ f (x )］×6 =23122221=⨯⨯［点评］ 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.●对应训练1.已知sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1(α、β、γ均为锐角)，那么cos αcos βcos γ的最大值等于 .2.求已知离心率e=52,过点(1,0)且与直线l :2x-y+3=0相切于点P(-3532，),长轴平行于y 轴的椭圆方程.3.若椭圆2222a y x =+ (a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a 的取值范围.●参考答案 1.692 命sin 2α=sin 2β=sin 2γ=31,则cos 2α=cos 2β=cos 2γ=32.α、β、γ为锐角时，cos α=cos β=cos γ=32. ∴ cos αcos βcos γ=692278=. (注：根据解题常识，最大值应在cos α=cos β=cos γ时取得).2.解析 按常规,设椭圆中心为(x 0,y 0),并列出过已知点P 的切线方程,联立消参可求得椭圆方程. 若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.已知e=52,则a 2=5b 2.设长轴平行于y 轴且离心率e=52的椭圆系为 (x+k y =-+22)35(51)32，把点P(-)35,32看做当k →0时的极限情形(点椭圆),则与直线l :2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l 与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程: (x+0)32()35(51)3222=+-λ+-+y x y 又所求的椭圆过（1，0）点,代入求得λ=-32. 因此所求椭圆方程为x 2+52y =1. 点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:①A,B 两点都在椭圆外;②A,B 两点都在椭圆内.若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.设a 的允许值的集合为全集I={a|a ∈R ,a>0},先求椭圆和线段AB 有公共点时的取值范围. 易得线段AB 的方程为y=x+1,x ∈［1,3］, 由方程组1223122222++=⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x a x y a y x 得,x ∈［1,3］, a 2的值在［1,3］内递增,且x=1和x=3时分别得a 2=29或a 2=241,故29≤a 2≤241. ∵a>0,∴223≤a ≤282.故当椭圆与线段AB 无公共点时,a 的取值范围为0<a<223或a>282.。

第8 小姐开门 何等轻松●计名释义有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗.后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉！”大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？”小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！”数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.●典例示范【例1】 求证：抛物线没有渐近线.【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？【证明】 不妨设抛物线方程为y 2=2px . 假定此抛物线有渐近线y =kx+b , ∵x =p y 22, 代入直线方程，化简得：ky 2-2py +2pb =0. ①可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程①有实根y 0, 那么，y 0→∞,或y y •y '=→1,010令, 方程①化为：2pby ′2-2p y ′+k =0. ②方程②应有唯一的零根, y ′=0代入②得：k =0.于是抛物线的渐近线应为y=b . 这是不可能的，因为任意一条与x 轴平行的直线y=b , 都和抛物线有唯一公共点(•b pb ,22), 因而y=b 不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.【例2】 设A 、B 、C 是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：△ABC 不是正三角形.【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！【解答】 假定△ABC 为正三角形，且A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3)均为整点，不妨设x 2≠x 1, ∵k AB =1212x x y y --, ∴直线AB 的方程为：).(112121x x x x y y y y ---=- 即x (y 2-y 1)-y (x 2-x 1)+x 2y 1-x 1y 2=0. 点C (x 3, y 3)到AB 的距离..)()()()(2122122112123123y y x x y x y x x x y y y x d -+--+---=但是|AB |=212212)()(y y x x -+-∴S △ABC =d AB ∙||21= (x 3y 2-x 2y 3)+(x 2y 1-x 1y 2)+(x 1y 3-x 3y 1). 即S △ABC 为有理数. 另一方面，S △ABC =].)()[(43||432122122y y x x AB -+-= ① ∵|AB |≠0, ∴S △ABC 为无理数. ②①与②矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.【例3】 设f (x )=x 2+a 1x +a 2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于.21【分析】 三数中至少有一个不小于21的情况有七种，而三数中“都小于21”的情况只有一种，可见“正面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路.【解答】 假定同时有：| f (1)|<21、| f (2)|<21、 | f (3)|<21, 那么： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<--<+<--<+<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-•③217a a 3219•②27a a 229•①21a a 2321a a 392121a a 242121a a 121212********* ①+③: -11<4a 1+2a 2<-9 ④②×2: -9<4a 1+2a 2<-7 ⑤④与⑤矛盾，从而结论成立.【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手.遇到以上这两种情况，考生即应懂得“迷途知返”，走“正难反收”的道路.一般地说，与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立.●对应训练1.k 为何值时，直线y -1=k (x -1)不能垂直平分抛物线y 2=x 的某弦.2.已知α、β∈(0, 2π), 且sin(α+β)=2sin α.求证：α<β.3.设a>b>c >0, 且a 、b 、c 成等差数列，试证明：c •b •a 1,1,1不能组成等差数列. 4.求证：抛物线y =1212-x 上不存在关于直线y =x 对称的两点. ●参考答案1．正难反收，先解决k 为何值时，直线可以垂直平分该抛物线的某弦，再求它的补集，设弦两端点为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 那么:.1212121212221222121y y x x y y k x x y y x y x y AB +=--=⇒-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧== 设直线l :y -1=k (x -1)垂直且平分AB , 则k AB =k 1-, 设AB 之中点为M (x 0, y 0), ∴y 1+y 2=2y 0, y 0=2k -, 又由y 0-1= k (x 0-1),得x 0=kk y 121110-=+-, 而M 在抛物线内部. ∴y 20<x 0, 即k k 12142-<, 得,0)22)(2(2<+-+kk k k ∵k 2-2k +2>0, ∴-2<x <0, 即k ∈(-2, 0)时,直线l 垂直平分抛物线y 2=x 的某弦，从而k ∈(-∞,-2］∪［0, +∞)时, 直线l 不能垂直平分抛物线y 2=x 的某弦.2.假定α≮β,必（1）α=β, 此时有sin2α=2sin α.α、β∈(0,2π)时，sin α≠0, 必有cos α=1, 这与α∈(0, 2π)矛盾; (2)α>β,在(0, 2π)内y =sin x 为增函数，必sin α>sin β>0, 由条件： sin α(cos β-2) +cos αsin β=0. ∴.1sin sin cos 2cos >=-βαβα ∴ cos α+cos β>2，这是不可能的. 故α≥β不能成立，必有α<β.3.假定c •b •a 1,1,1成等差数列, 必b c a 211=+, 即.2bac c a =+ 已知a ，b ，c 成等差数列，∴b =2c a +. 故有：.0)(,42=-+=+c a ca ac c a ∴a=c , 从而a=b=c , 这与已知a>b>c >0矛盾. ∴c•b •a 1,1,1不能组成等差数列. 4.假定抛物线y =1212-x 上存在关于直线y=x 对称的两点A (a , b )与B (b , a ).∵k AB = -1, 知a ≠b . 有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=②121①12122••b a ••a b ①-②：b-a =21(a+b ) (a-b ). ∵a ≠b , ∴a+b =-2 ③ ③代入①：-2-a =1212-a . 即 a 2+2a +3=0. 此方程无实根，故所设符合题设条件的点A （a, b ），B (b, a )不存在.也就是抛物线y =21x 2-1上不存在关于直线y=x 对称的两点.。

如何提高数学成绩？数学成绩差？别慌！教你用“吃瓜”思维搞定它！哎，说真的，一看到“如何提高数学成绩”这个题目，我就想起我儿子小明。

那孩子，从小就对数学有抵触，一看到数字就头疼，简直是“数字过敏症”。

每次考试，数学成绩都像过山车一样跌宕起伏，搞得我都快怀疑人生了。

有一次，小明又考砸了，一脸沮丧地问我：“老妈，你说数学到底有什么用啊？我感觉我学了半天，还是一团乱麻，而且我好像也不需要用到它...”我当时就反问他：“你说，你喜欢吃西瓜吗？”小明愣了一下，然后眼睛一亮：“喜欢啊！尤其是冰镇西瓜，特别爽！”“那你说，西瓜好吃是西瓜本身好吃，还是切成小块才好吃？”“当然是被切成小块啊！那样才方便吃嘛~”他毫不犹豫地回答道。

我接着说：“你看，数学就像切西瓜的刀，它可以把复杂的问题分成一个个简单的小问题，然后你就能一个个解决，最后就像吃了美味的西瓜一样，轻松搞定难题。

你看，数学是不是很有用？”小明一下子就明白了。

他告诉我，他一直被那些复杂的公式和抽象的概念给吓到，觉得数学很难，根本没有去真正理解它，就像啃西瓜一样，上来就啃大块的，当然会觉得难吃。

于是，我开始改变策略，每次教他数学的时候，都会尽量把复杂的问题拆解成一个个小问题，就像切西瓜一样，细细地分析，一步一步地引导他思考，让他逐渐掌握解题方法。

从那以后，小明的数学成绩开始慢慢进步了，而且他也不像以前那么抗拒数学了，偶尔还会主动问我一些问题，甚至开始对数学产生了一些兴趣。

当然，这只是我儿子学习数学的一个小例子。

提高数学成绩，并非一蹴而就，需要循序渐进，找到适合自己的学习方法。

但就像切西瓜一样，方法对了，再复杂的问题也能化解，关键是你要找到合适的“刀”，也就是找到正确的学习方法，才能让你在数学的“西瓜”里品尝到学习的乐趣。

最后，我想说，要提高数学成绩，最重要的还是要有兴趣，就像吃西瓜一样，当你真正喜欢上它，你就会主动去寻找方法，去学习，去探索，最后你就会发现，数学并不像想象中那么可怕，它也可以变得有趣，甚至充满挑战。

第19计 模式开门 请君入瓮●计名释义数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力.数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式. 典例示范【例1】 实数x ，y 满足x2+(y-1)2=1，则使不等式x+y+c ≥0恒成立的实数c 的取值范围是 （ ） A .［-12-，2-1］ B .［2-1，+∞) C.( 2-+1，2-1) D .(-∞，2--1)【分析】 容易看出：x2+(y-1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c ≥0表示直线y=-x-c 即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x ，y ）既在直线y=-x-c 上方，又在圆x2+(y-1)2=1上运动时，实数c 应满足什么条件？ 【解答】 如图，斜率为-1的直线 y=-x-c 切圆x2+(y-1)2=1于A ，B ， 交y 轴于M ，N.连AB ， 则AB 过圆心C （1，0）.等腰直角三角形MCB 中，∣CB ∣=1， ∴∣CM ∣=2，设M （0，-c ）， 必-c=1-2，得M （0，1-2）.当且仅当-c ≤1-2时，圆x2+(y-1)2=1 例1题解图上的点在直线y=-x-c 上或其上方.于是c ≥2-1，选B.【例2】 正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++2222222224331531x zx z z y y xy x ，则xy+2yz+3xz 的值是 .【分析】 从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.【解答】 将原方程组改写如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=︒•-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒••-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222222224120cos 23315150cos 31231xz z x z y y x y x ，构造如图的直角三角形ABC ，使AB=5， AC=4，BC=3.又在△ABC 内取一点P ， 使∠APB=150°，∠APC=120°， ∠BPC=90°.显然符合题设条件.∵S △APB+S △BPC+S △CPA=S △ABC ，而S △APB=21x ·31y ·sin150=341xy ，S △APC=21xz ·sin120°=43xz ， 例2题解图S △BPC =21z ·31y=321yz ，S △ABC=6.∴341xy+43xz+321yz=6，∴xy+2yz+3xz=24.3.【例3】 某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a 个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x 个标段的新路和n 个道路交叉口，n 与x 满足关系n=ax+b ，其中b 为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k 万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n 越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=)1(21β+.(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x 的函数关系式；（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的 25％，求新建的x 个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p 的取值范围.(Ⅲ)当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p 最高时，问原有道路标段为多少个？ 【解答】 （Ⅰ）新建x 个标段，则应建n=ax+b 个道口，建x 个标段需kx 万元，建（ax+b ）个道口需y=k β(ax+b)(万元). (Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］,∴0.05≤)1(21β+≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,又p=y kx =)4()41(41)(2b a a b a a a b ax x +=+•=+βββ.∵p>0,β>0，∴b a a 42+>0，当β∈［4,9］时，β1∈［91，41］，所求p 的范围是： )4(4)4(922b a ap b a a +≤≤+.(Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大， 故β=9，又b=4.∴p=721162911691)16(92=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a a a a ，当且仅当a=a 16. a>0，即a=4时，造价比p=721为最高.∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.【点评】 本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n 、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.【例4】 你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小? 【思考】 此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来. 【解答】 设扇形OAB 的半径为R ，中心角为2α. (1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，则S □CDEF ＝DE ·EF=Rsin θ·ααθα2sin 22sin )2sin(2R R =-·［cos2(α-θ)-cos2α］当2(α-θ)=0，即θ=α时，S □CDEF 有最大值22R tan α.（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF ＝OE ＝Rcos θ，则S □CDEO=DE · EF=Rsin θ·Rcos θ=22R sin2θ，当2θ=2π即θ=4π=α，S □CDEO 有最大值22R .(3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF 为扇形的内接矩形，取B A 的中点M ，连结OM ，则∠BOM=α,∠DEO=π-α，令∠DOM=θ，则矩形面积S=CD ·DE=2R ·sin θααθαθαθαsin sin )sin(sin 2sin )sin(22R R R =-=-［cos (2θ-α)-cos α］，当cos(2θ-α)=1. 即θ=2α时，Smax=2tansin )cos 1(22αθαR R =-.此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF ，再沿其周界切开即可.例4题解图 ●对应训练1.已知a<b<c ，求证：a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.2.已知a ，b ，c ，d 为实数，求证：.)()(222222d b c a d c b a ++±≥+++3.设n 是大于1的自然数，求证：.2121211511311+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 4.若a ，b ≠0，且a2+b2=1，求证：.91122≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a5.α,β,γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=2，求证：tan αtan βtan γ≤.426.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-221x(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（百台）.(1)把利润l 表示为产量x 的函数L (x); (2)年产量为多少时，企业所得利润得大？ （3）年产量为多少时，企业才不会亏本？7.在边长为5cm ，6cm ，7cm 的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论 ●参考答案1．原题即证：a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2<0或a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c)<0. 设f (a)=a2(b-c)+a (c2-b2)+bc (b-c) (a<b<c),这里b-c<0，且Δ=(b+c)2(b-c)2-4bc(b-c)2=(b-c)4>0.∴f (a)的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x=2c b +，而2cb +>b>a ，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-2,c b ••上递增，∴ f (a)<f (b)，但f (b)=0,∴f (a)<0，故a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.2如图所示，在直角坐标系中,设有A(a,b)，B(c,d)两点， 连接AO ，OB ，显然|OA|+|OB|≥|AB|(当A 、O 、B 共线时等式成立).∴222222)()(d b c a d c b a -+-≥+++ 第2题解图若将点B 的坐标改为 (-c,-d)，则有：222222)()(d b c a d c b a +++≥+++.3设⎪⎭⎫ ⎝⎛-+••⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1211511311111n A , 即122563412-••=n n A , 则n n A 212674523+••••> .两式相乘：A2>2n+1，∴A=121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+••⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 2.即2121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+••⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n . 4.在坐标平面内设有两点A(a ，b),B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--b ••a1,1， 则|AB|=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a设过A 的直线l ：ax+by-1=0. ∵a ·a+b ·b-1=a2+b2-1=0,∴点A(a ，b)符合条件a2+b2=1. 作BC ⊥l 于C ，则|AB|≥|BC| （当直线l ⊥AB 时等式成立）.∵|BC|=,3|111|22=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b b a a 第4题解图∴2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥3. 即2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥9. 5如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，连接BD1，设∠BD1B1=α, ∠BD1A=β，∠BD1C=γ.∵BD1=222c b a ++，B1D1=22b a +,AD1=22c b +,CD1=22a c +，∴满足cos2α+cos2β+cos2γ=2，且α,β,γ均为锐角. 第5题解图于是tan α·tan β·tan γ=222222c a b c b a b a c+•+•+≤221222=••acbc ab abc故tan α·tan β·tan γ≤.426.（1）年产量在500台以内（即0≤x ≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x>5）.只能售出500台，x(百台)的生产成本为C(x)=0.25x+0.5(万元). 故利润函数L(x)=R(x)-C(x).当0≤x ≤5时，L(x)=(5x-21x2)-(0.25x+0.5)= -21x2+4.75x-0.5.当x>5时，由于只能售出500台，∴L(x)=(5×5-21×52)-(0.5+0.25x)=12-0.25x.于是⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-≤≤⋅-⋅+=)5(25012)50(50754211)(2x x••••••••x x x x L .(2)为使利润最大，须求L(x)的最大值，显然x>5时不可取（会造成积压）.当0≤x ≤5时，∵L ′(x)=-x+4.75，命L ′(x)=0，得x=4.75，L(x)的图像为开口向下的抛物线，∴当x=4.75时，［L(x)］max=3234521419212=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大.(3)为使企业不亏本，必须L(x)≥0.显然，0≤x ≤5时，应使-21x2+4.75x-0.5≥0.即2x2-19x+2≤0，解得0.11≤x ≤14，综合得：0.11≤x ≤5. x>5时，应使12-0.25x ≥0，得5<x ≤48.于是，为使企业不亏本，产量应在11台至4800台之间. 7.可以办到.如图所示，证明如下： 设△ABC 内切圆半径为r ，则S △ABC=21(5+6+7)r=9r ① ∵cosB=51652493625=••-+ 第7题解图∴sinB=6522511=-∴S △ABC=21·5·6·652=66（cm2） ② 比较①，②：9r=66得r=632（cm ），于是S ⊙O=338383622⨯>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=8（cm ）2.。

第23计探索开门智勇双锋●计名释义所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.过河人还需要两大素质：大智大勇！面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证.●典例示范【例1】如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足条件时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.【思考】显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.【解答】连FH，当点M在HF 上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1例1题图例1题解图证明如下：连NH，HF，BD ，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1.【例2】知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x ∈R，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时，才能使-2<x<0成立.【思考】根据已知条件很容易得到f (x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.【解答】由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.故函数f (x)在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.∵1-2x2≤1<2，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2∴1-2x2∈(-∞,2］，1+2x-x2∈(-∞,2］当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时，1-2x2<1+2x-x2即x2+2x>0，解得x<-2或x>0，不能使-2<x<0成立当f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时，1-2x2>1+2x-x2,即x2+2x<0，解得-2<x<0，符合题意，数学破题36计当f (1-2x 2)=f (1+2x-x 2)时， 可得x = -2或0，不能使-2<x <0成立.∴当f (1-2x 2)>f (1+2x-x 2)时，才能使-2<x <0成立.【例3】 能否构造一个等比数列{a n }，使其同时满足三个条件:①a 1+a 6=11；②a 3a 4=932;③至少存在一个自然数m ，使32a m -1，a 2m ，a m +1+94依次成等差数列.若能，请写出这个数列的通项公式.【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{a n }的公比为q .∵a 3a 4=a 1a 6, ∴由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=•=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+.2133223193211)1(1932111152156161q a ••q a q a q a a a a a 或 即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为a n =31·2n -1或a n =232·⎪⎭⎫ ⎝⎛21n -1.（1）如a n =31·2n -1，设存在题设要求的m ∈N ，则2×21231⎪⎭⎫ ⎝⎛•-m =.94231231322+•+••-m m 化简得：22m -7·2m -8=0⇒2m =8，∴m =3. （2）如a n =232·⎪⎭⎫ ⎝⎛21n -1，设存在m ∈N ,使2·9421232213323221332221+⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛••=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛•--m m m化简得：4(26-m )2－11·26-m -8=0，这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m 不存在.综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m =3，数列的通项公式为： a n =31·2n -1.【例4】 将二次函数f (x )=ax 2+bx+c 对应于一次函数g (x )=2ax+b .(1)求f (x )=x 2+2x +1对应的一次函数g (x ). （2）观察后请写出这个对应法则.（3）可以用g (x )的某些性质来研究f (x )的性质：当g (x )>0时，对应的f (x )的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？（5）设g (x )=x ，写出与g (x )对应的f (x )的三个不同的解析式.【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x )与g (x )是什么关系？我们容易由f ′(x )=2ax+b ，知f ′(x )=g (x )，可见，只有当 g (x )= f ′(x )时，才有可能用g (x )的性质来研究f (x )的某些性质.【解答】 (1)∵a =1，b =2，∴g (x )=2x +2.（2）①g (x )的一次项系数是f (x )的二次项系数与其次数的积；②g (x )的常数项等于f (x )的一次项系数.(3)g (x )>0，即2ax+b >0，当a >0时，x >a b 2-，而x =a b 2-是f (x )的对称轴，故这时f (x )是单调增函数；a <0时，x <a b 2-，f (x )仍为单调增函数(前者单调区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-••a b ,2.后者单调区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b ••2,). (4)当g (x )<0时，f (x )是单调减函数(请仿照（3）证明之).(5)g (x )=x 时，2ax+b=x ，知a =21，b =0. 只须在f (x )=ax 2+bx+c 中，命a =21，b =0，c 取任意值即可，如f (x )=21x 2+1，f (x )=21x 2+23，f (x )=21x 2+5. 【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若A ⇒B ，则称A 为B 的充分条件，B 为A 的必要条件.●对应训练1.已知圆O ′过定点A （0，P ）(P >0)，圆心O ′在抛物线x 2=2py 上运动，MN 为圆O ′在x 轴上截得的弦，令|AM |=d 1，|AN |=d 2，∠MAN=θ.(1)当O ′运动时，|MN |是否有变化，并证明你的结论；（2）求1221d d d d +的最大值,并求取得最大值的θ的值. 2.如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC=a (a >0)，P A ⊥平面AC ，且P A =1.(1)问BC 边上是否存在Q ，便得PQ ⊥QD ，并说明理由；（2）若BC 边上有且只有一点Q ，使得PQ ⊥QD ，求这时二面角Q —PD —A 的大小. 第2题图3.已知椭圆12222=+by a x (a>b >0)的离心率e =36，过点A （0,-b ）和B （a ,0）的直线与原点距离为23. (Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)已知定点E （-1,0）,若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点，试判断：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由.4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件：①原点O 与直线x =1是它的焦点和准线；②被直线x+y =0垂直平分的弦的长等于22，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由. ●参考答案 1.(1)如图所示，设抛物线上一点O ′(x 0，px 220)， 连结O ′A ，O ′M . 作O ′C ⊥MN 于C ，则|MN |=2|MC |，∵|O ′M |=|O ′A |=2240220204)2(p px p p x x +=-+ ∴|MC |=p p x p p x C O M O =-+='-'220224022)2(4|||| 第1题解图∴|MN |=2p 为定值.即当O ′运动时，|MN |不会有变化，总有|MN |=2p .(2)如图所示，有M （x 0-p ，0），N (x 0+p ，0)∴d 1=20222)(p x P OMOA -+=+ d 2=202)(p x p ++ ∴d 21+d 22=4p 2+2x 20，d 1d 2=4042022024)2()2(x p px x p +=-+ ∴2112d d d d +=2404024042022122214)2(2424x p x p x p x p d d d d ++=++=+ =.22224124412202202404202=⨯⨯+≤++x p x p x p x p 4 当且仅当x 20=2p 2，即x 0=±2p ，y 0=p 时等式成立，此时|O ′M ′|=|O ′N ′|=2p .∴∠MO ′N =90°， ∴△MO ′N 为等腰直角三角形. ∴θ= 45°.2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ ⊥QD ，∵P A ⊥面ABCD ，只需满足AQ ⊥QD 即可，再转化到在平面ABCD 上寻求AQ ⊥QD 的条件，从而使问题得到解决.【解答】 （1）连结AQ ，∵P A ⊥面ABCD .∴要使PQ ⊥QD ，只要AQ ⊥QD ，即以AD 为直径的圆与BC 有公共点.这就是说，当AD ≥2AB ，即a ≥2，在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD .(2)∵当a >2时，以AD 为直径的圆与BC 有两个交点.当a =2时，只有BC 的中点满足条件.∴AD =2，Q 为BC 的中点，取AD 的中点M ，连结QM .∵面P AD ⊥面ABCD ，QM ⊥AD ，∴QM ⊥面P AD .过M 作MN ⊥PD 于N ，连结NQ .根据三垂线定理有，QN ⊥PD . ∴∠MNQ 就是二面角Q —PD —A 的平面角.在Rt △QMN 中，QM =1，MN=MD ·sin ∠MDN =1×5555=. ∴tan ∠MNQ =5. ∴二面角Q —PD —A 为arctan 5.3.【思考】 第一问从离心率的定义入手，很容易求得a 、b 的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k 值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k 值则存在，反之，则不存在.【解答】 （Ⅰ）e =3622=-=a b a a c ，∴32222=-ab a ，∴a 2=3b 2，即a =3b . 过A （0,-b ），B (a ,0)的直线为.1=-by a x . 把a =3b 代入，即x -3y -3b =0,又由已知23)3(1|3|2=+-b ，解得b =1，∴a =3. (Ⅱ)设C (x 1，y 1)，D （x 2，y 2）.由⎪⎩⎪⎨⎧+==+21322kx y y x 消去y ， 得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0.必须 1+3k 2≠0且Δ=（12k ）2-36(1+3k 2)>0∴k <-1或k >1 ① 要存在k 满足①且使1112211-=+•+x y x y , 即x 1x 2+x 1+x 2+1+y 1y 2=0. ② ∵y 1=kx 1+2，y 2=kx 2+2∴②式即为(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0 ③∵x 1+x 2=2212319,3112kx x k k +=•+-，代入③得9k 2+9-24k 2-12k +5+15k 2=0. ∴k =67满足①式.∴存在k 的值使以CD 为直径的圆过E 点，这个值是67. 4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得：e x y x =-+|1|22. 化简为：(e 2-1)x 2-y 2-2e 2x +e 2=0将弦所在直线y=x+b 代入得：(e 2-2)x 2-2(b +e 2)x +e 2-b 2=0设弦AB 的两端点A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)，AB 中点M （x 0，y 0）则x 1+x 2=2)(222-+e e b ，x 1x 2=2222--e b e ，x 0=222221-+=+e e b x x即y 0=x 0+b =222-+e e b +b ，代入x+y =0，得b =-2.从而x 1+x 2=2，x 1·x 2=2422--e e 弦长|AB |=.2222224)(2221221=-=•-+e x x x x解得e =2符合题意,所以存在双曲线方程：3x 2-y 2-8x +4=0，经检验它是满足题意的双曲线.。

【高中数学】高中数学破题技法之-西瓜开门滚到成功-作者：佚名●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球.因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”.球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的.一是知识内容，二是思想方法.基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想.数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范［题1］（2021年赣卷第5题）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（x）0，则必有A.f（0）＋f（2）<2f（1）B.f（0）＋f（2）≤2f（1）C.f（0）＋f（2）≥2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）［分析］用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.［解一］（i）若f＇(x)≡0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.（ii）若f＇(x)不恒为0时.则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在上为增函数；f＇(x)≤0时x≤1.即f（x）在上为减函数.此时，选项C、D符合条件.综合（i），（ii），本题的正确答案为C.［插语］考场上多见的错误是选D.忽略了f＇(x)≡0的可能.以为（x-1）f＇(x)≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x)≡0.［再析］本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合.而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）.因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.［解二］（i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１.选项Ｂ、Ｃ符合条件.（ii）f＇(x)≠0.可设f(x)=（x-1）2又f＇(x)=2（x-1）.满足(x-1)f＇(x)=2(x-1)2≥0，而对f(x)=(x-1)2.有f（0）=f（2）=1，f（1）=0选项C，D符合条件.综合（i），（ii）答案为C.［插语］在这类f(x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2.如果在同类中找到了(x-1)4，(x-1)，自然要麻烦些.由此看到，特殊化就是简单化.［再析］本题以函数（及导数）为载体.数学思想①??“函数方程（不等式）思想”.贯穿始终，如由f（x）=0找最值点x=0，由f（x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.［解三］（i）若f(0)=f(1)=f(2)，即选B，C，则常数f(x)=1符合条件.（下图水平直线）（ii）若f(0)=f(2)<f(1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1)f（x）≥0若f(0)=f(2)>f(1)对应选项C，D（右图下拱曲线）.则满足条件(x-1)f（x）≥0.［探索］本题涉及的抽象函数f(x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1)f（x）≥0，并由此可以判定f(0)+f(2)≥f(1).自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.［变题］以下函数f(x)，具有性质(x-1)f（x）≥0从而有f(0)+f(2)≥2f(1)的函数是A.f（x）=(x-1)3B.f（x）=(x-1)1/2C.f（x）=(x-1)5/3D.f（x）=(x-1)2021/2021［解析］对A，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；对B，f(0)无意义；对C，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；答案只能是D.对D，f(0)=1，f(1)=0，f(2)=1.［说明］以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数.如f（x）=(x-1)，其中m，n都是正整数，且n≥m.［点评］解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.［插语］这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了.因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.［点评］“西瓜开门”把运动学带进了考场解题.滚动能克服解题的思维定势.解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”.总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.●对应训练1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的()?3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是()??A.b2≤acB.b2>ac?C.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0?●参考答案1.【思考】利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像，选项D中无x>0的图像，均应否定；当x=y∈R+时，lg无意义，否定A,选C．?【点评】上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x≠0且y>x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x 或y=2x(x≠0,y>0).?2.【思考】分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.?原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.?∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A．?3.解析一分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假.?取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.?解析二由选择支,联想到二次函数的判别式.?令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,?f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.?【点评】在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:?4b<4a+c,①?2b<-a-c,②?①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.?用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.??感谢您的阅读，祝您生活愉快。