最新人教版高中数学选修4-2《二阶矩阵与平面向量的乘法》自我小测

【关键字】高考【高考讲坛】高考数学一轮复习第1节二阶矩阵、平面变换与矩阵的乘法课后限时自测理苏教版选修4-2[A级根底达标练]1．求向量α＝在矩阵作用下变换得到的向量．[解] ＝＝.2．求直线y＝－3x在矩阵M＝作用下变换得到的图形解析式．[解] 由＝知即所以x′＝－3y′即y＝－x.3．已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，将点(1,1)、(－1,2)分别变换成(1,1)、(－2,4)，求矩阵M.[解] 设M＝，则＝，即因为矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)，所以＝，即联立两个方程组，解得即矩阵M＝.4．在线性变换＝下，直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点．求此点坐标．[解] ＝，即所以直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点(k,2k)．5．若△ABC在矩阵M对应的旋转变换作用下得到△A′B′C′，其中A(0,0)，B(1，)，C(0,2)，A′(0,0)，C′(－，1)，求点B′的坐标．[解] 由题意旋转中心为原点，设逆时针旋转角为α(0≤α≤2π)，则旋转变换矩形为M＝，∴＝∴∴α＝，∴M＝.设B′(x，y)，则＝＝，∴B′(－1，)．6．(2014·苏、锡、常、镇四市模拟)已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)在矩阵M ＝对应变换的作用下，得到的对应点分别为A ′(0,0)，B ′(，1)，C ′(0,2)，求矩阵M.[解] 由条件得＝.所以解得a ＝且c ＝.又＝，所以解得b ＝－且d ＝.所以矩阵M ＝.7．(2014·南京模拟)已知M ＝，N ＝，求二阶矩阵X ，使MX ＝N.[解] 设X ＝，按题意有 ＝.根据矩阵乘法法则有解之得∴X ＝.8．(2014·镇江模拟)直角坐标系xOy 中，点(2，－2)在矩阵M ＝对应变换作用下得到点(－2,4)，曲线C ：x2＋y2＝1在矩阵M 对应变换作用下得到曲线C ′，求曲线C ′的方程．[解] 由＝得2a ＝4，a ＝2.设点(x ，y)是曲线C 上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(x ′，y ′)，则＝， 即∴∴C ′：y ′2＋x ′2＝1，∴曲线C ′的方程为x2＋y2＝1.9．求使等式＝M 成立的矩阵M.[解] 设M ＝，＝，∴＝，∴＝，∴∴∴M ＝.10．已知变换T 把平面上的点(1,0)，(0，)分别变换成点(1,1)，(－，)．(1)试求变换T 对应的矩阵M ；(2)求曲线x 2－y 2＝1在变换T 的作用下所得到的曲线的方程．[解] (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，由(1,0)变换为(1,1)得a ＝1，c ＝1；由(0，2)变换为(－2，2)得b ＝－1，d ＝1.所以矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1. (2)变换T 所对应关系⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋y ′2，y ＝y ′－x ′2.代入x 2－y 2＝1得x ′y ′＝1.故x 2－y 2＝1在变换T 的作用下所得到的曲线方程为xy ＝1.[B 级 能力提升练]1．(2013·盐城二模)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1.[解] MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 2， 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )． 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y 2. 代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1，∴曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．[解] 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2.所以k 的值为－2或2.3．(2013·泰州调研)已知变换T 把平面上的点(1,0)，(0，2)分别变换成点(1,1)，(－2，2)．(1)试求变换T 对应的矩阵M ；(2)求曲线x 2－y 2＝1在变换T 的作用下所得到的曲线方程． [解] (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，由(1,0)变换为(1,1)得a ＝1，c ＝1，由(0，2)，变换为(－2，2)得b ＝－1，d ＝1.所求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1. (2)变换T 所对应关系⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋y ′2，y ＝y ′－x ′2.代入x 2－y 2＝1得x ′y ′＝1，故x 2－y 2＝1在变换T 的作用下所得到的曲线方程为xy ＝1.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．已知点)0,0(A ，)0,4(B ，)2,3(C ，ABC ∆在矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=2001A 对应的变换作用下变成'
''C B A ∆，
则'''C B A ∆的面积为 8 ．
2．已知以,x y 为变量的二元一次方程组的增广矩阵为211120-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则这个二元一次方程组的解为____________. 评卷人
得分 二、解答题
3．已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-，
（1）求实数a 的值；
（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.。

高中数学A 选修4选修42第一章平面向量与二阶方阵3二阶方阵与平面向量的乘法 试题 2019.091,lg2＋lg5＝（ ）A. 0B. 1C. 10D. 322,下列大小关系正确的是（ ）A .3.0log 34.044.03<< B. 4.04333.0log 4.0<< C. 4.03434.03.0log << D. 34.044.033.0log <<3,设a ＝（x ，4），b ＝（3，2），且a ∥b ，则x 等于（ ）A. 6-B. 78-C. 38D. 64,若函数()ax x x f 22+-=与函数()1+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则实数a 的取值范围是 ( )A.()()1,00,1 -B.()(]1,00,1 -C.()1,0D.(]1,05,下列函数中，在区间（0，∞+）上是增函数的是（ ） A.2y x =B. 1()4x y = C.322+-=x x y D. x y 3log =6,在50和350之间，所有末位是1的整数之和是（ ）A. 5880B. 5539C. 5208D. 48777,设集合A={}{},0,0>=≥x x B x x 则下列关系正确的是（ ）A. A ＝BB. B A ⊆C. A B ⊆D. A ∪B=R8,已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则(2)f -=( ) A. 4 B. 1- C. 1 D. 2-9,设集合M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）10,若函数y=sin(x+ϕ)为偶函数，则ϕ的一个取值是( )A. 4π-B. 2πC. πD. 2π11,函数y=322-+x x 的单调递减区间是 （ ） A.（-∞，-3） B. (-1，+∞) C.（-∞，-1 ） D. [-1，+∞)12,若数列{}n a 的通项公式(1)n n a n =-,则5a =( )A. -25B. 25C. -5D. 513,已知点A(2,-1)和向量a =(1,2),若,AB a =则点B 的坐标是( )A. (1,2)B. (1,-3)C. (-1,3)D. (3,1)14,函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程（ ） A.2π-=x B.4π-=xC.8π=x D. =x π4515,已知a,b +∈R ,则下列不等式中不成立的是( ) A .a+b ab 2≥B. 2≥+a b b a C.2222b a b a +≥+ D.ab b a ab≥+216,已知函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，-2），B （3，2）是其图象上的两点,那么|f （x+1）|＜2的解集是 （ ） A. （1，4） B. （-1，2C.（-∞，1）∪［4，+∞)D.（-∞，-1）∪［2，+∞)17,已知cos θ=31，则cos2θ=18,在等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，a 5=3a 7，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n=19,在ABC ∆中，已知A=︒45，C=︒75，4=a ，则b 等于20,不等式3112x x -≥-的解集是试题答案1, B 2, C 3, D4, D 5, D 6, A 7, B 8, A 9, B 10, B 11, A 12, C 13, D 14, A 15, D 16, B17, 97-18, 7或8 19, 6220, ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,43。

选修42第一章平面向量与二阶矩阵3二阶方阵与平面向量的乘法 测试题 2019.91,已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．2,若向量的夹角为，,则向量的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．123,在ABC ∆中，有命题 ①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则A B C ∆为等 腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）A ．①② Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②③④4,若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是o 180，且53||=，则=( )Ａ．)6,3(- Ｂ．)6,3(- Ｃ．)3,6(- Ｄ． )3,6(-6π3π32π65πa 与b 60||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-a5,点（2，－1）按向量a 平移后得（－2，1），它把点（－2，1）平移到 （ ）A ．(2,－1) B. (－2,1) C. (6,－3)D. (－6,3))6,已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于 （ ）A ．21 B. 21- C. 2 D.－27,下列各组向量中，可以作为基底的是 （ ）A ．)1,2(),0,0(21-==e e B. )9,6(),6,4(21==e eC ．)4,6(),5,2(21-=-=e e D.)43,21(),3,2(21-=-=e e8,已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=（ ）A ．3B ．9C ．12D ．139,已知点O 为三角形ABC 所在平面内一点，若=++，则点O 是三角形ABC 的 ( )A ．重心B ． 内心C ． 垂心D ． 外心10,设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于 （ ）A ．－3B ． 3C ． 31D ． 31测试题答案 1, B2, C3, C4, A5, D6, A7, C8, D9, A10, C。

2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.[基础·初探]1.行矩阵[]a 11 a 12与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则[]a 11 a 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21.2.二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 3.平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为：T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.4.由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的矩阵形式，反之亦然(a ，b ，c ，d ∈R ). 由矩阵M 确定的变换T ，通常记作T M .根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射.当α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示某个平面图形F 上的任意一点时，这些点就组成了图形F ，它在T M 的作用下，将得到一个新的图形F ′——原象集F 的象集F ′.[思考·探究]1.二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？【提示】 由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与平面列向量乘法的作用是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成了另一个向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y 2.二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？ 【提示】 由本节的知识点知，一个二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可以看作一个特定的平面上的几何变换，它将变换前的列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示平面上的点P (x ，y )，变成另一个列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy 表示的新的点P ′(ax ＋by ，cx ＋dy ).反过来，现有平面上的一个变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，如果⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，即变换后的点的横坐标及纵坐标均可由原向量(点)的坐标表示出来，这时变换T 应为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd . 3.矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？【提示】 由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别.函数是建立在数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到其自身的一个映射.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：计算(1)⎣⎢⎦⎥0 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤7； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤86； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 【精彩点拨】 根据矩阵与向量的乘法规则运算. 【自主解答】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×5＋0×70×5＋（－1）×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7. (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×3＋0×10×3＋1×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤86＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×8＋2×63×8＋4×6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2048. (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋2×y 3×x ＋4×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y .二阶矩阵与平面列向量的乘法运算，按照其乘法规则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y 进行.本例中(1)(2)(3)运算结果所表示的几何意义是什么？【解】 (1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1作用下，列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤57变成⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－7，此时点P (5，7)变成了关于x 轴对称的点P ′(5，－7).(2)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1作用下，列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤31保持不变.(3)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234作用下，列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤86变成了向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2048.(1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ，试将它写成矩阵的乘法形式.【导学号：30650005】【精彩点拨】 (1)根据矩阵与列向量乘法规则运算即得； (2)关键找到将2x －3y 及y 用x ，y 表示出来的系数a ，b ，c ，d . 【自主解答】 (1)根据矩阵与列向量的乘法规则，得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y x ＋5y . (2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×x ＋（－3）×y 0×x ＋1×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .1.将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可.2.将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，使⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x －3y 2x ＋2y ，试将它写成矩阵的乘法形式.【解】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x －3y 2x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×x ＋（－3）×y 2×x ＋2×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －32 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －32 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .1，－6)，Q 1(2，0)，求变换矩阵A .【精彩点拨】 由题意可知，变换矩阵A 为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法可列出方程组，解方程组可求出二阶矩阵中的各元素.【自主解答】 设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ， 依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－6， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， 所以⎩⎨⎧2a －b ＝5，2c －d ＝－6，－a ＋2b ＝2，－c ＋2d ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3，c ＝－4，d ＝－2.故所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－4 －2.1.设出所求的变换矩阵，将坐标变换写成矩阵的乘法的形式.2.根据矩阵的乘法列出方程组求出各元素，即得所求矩阵.如果矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002把点A 变成点A ′(3，2)，求点A 的坐标. 【解】 设变换T ： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧3＝3×x ＋0×y ，2＝0×x ＋2×y ， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.所以点A 的坐标为(1，1).[真题链接赏析](教材第11页习题第7题)设点P (a ，b )(a ，b ∈R )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换作用下得到点P ′，求点P ′的坐标.(福建高考)已知直线：l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标.【命题意图】 考查矩阵与矩阵变换.矩阵变换时，考查运算求解能力及化归与转化思想.【解】 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′).由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎨⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1， 即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎨⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1，0).1.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，则Aα＝________. 【解析】 Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×（－1）＋2×13×（－1）＋4×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤112.已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则将它写成坐标变换的形式为：________. 【导学号：30650006】【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋1×y 0×x ＋2×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y . 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y 3.线性变换⎩⎨⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y 写成矩阵与列向量的乘积的形式为________.【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 4.若矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0把点A 变成点A ′(3，1)，则点A 的坐标为________. 【解析】 设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎨⎧3＝0×x ＋（－1）×y ，1＝1×x ＋0×y ， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.所以点A 的坐标为(1，－3).【答案】 (1，－3)我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(二)[学业达标]1.给定列向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5，利用矩阵与列向量的乘法，试说明下列矩阵把列向量a 分别变成了什么列向量：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000. 【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0. 2.求点A (4，3)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 131416对应的变换作用下得到的点. 【解】因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 131416⎣⎢⎡⎦⎥⎤43＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤332，点A 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1314 16对应的变换作用下为点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32.3.(1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤253 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x 2y ，试将它写成矩阵的乘法形式.【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋5y 3x ＋y . (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x 2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×x ＋0×y 0×x ＋2×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4.给定列向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01，D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0，计算Aα，Bα，Cα，Dα，并说明它们所表示的几何意义.【导学号：30650007】【解】 根据矩阵与列向量的乘法，得 Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32， Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， Cα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2， Dα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23. 在矩阵A 作用下，列向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32保持不变；在矩阵B 作用下，列向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32变成零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；在矩阵C 作用下，列向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32的横坐标变成相反数，纵坐标保持不变，此时点P (3，2)变成了关于y 轴对称的点P ′(－3，2)，如图(1)；在矩阵D 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32变成了列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，此时点P (3，2)变成了关于第一、三象限平分线对称的点P ′(2，3)，如图(2).5.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 对应的变换下得到点P ′(－4，0)，求实数a 的值.【解】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4，即a ＝3.6.设矩阵A 对应的变换把点A (1，2)变成点A ′(2，3)，把点B (－1，3)变成点B ′(2，1)，那么把点C (－2，3)变成了什么？【解】 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，点A (1，2)，A ′(2，3)，B (－1，3)，B ′(2，1)对应的列向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，β1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，β2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.根据题意得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3， ∴⎩⎨⎧a ＋2b ＝2，c ＋2d ＝3，－a ＋3b ＝2，－c ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝45，c ＝75，d ＝45.∴A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45. 设点C (－2，3)对应的列向量为γ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3，在矩阵A 对应的变换下为C ′(x ′，y ′)，且C ′对应的列向量为γ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 85－25. 7.(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数.若Aα＝Bα，求x ＋y 的值.【解】 由已知，得Aa ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ， Ba ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aa ＝Ba ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y . 故⎩⎨⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72. [能力提升]8.直线2x ＋y －1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 2作用下变换得到的直线方程.【导学号：30650008】【解】 法一 任意选取直线2x ＋y －1＝0上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 2作用下变换得到的点为P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎩⎨⎧x ＝x 0＋2y 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝12y .又因为点P 在直线2x ＋y －1＝0上，所以2x 0＋y 0－1＝0， 即2(x －y )＋12y －1＝0，化简得所求直线方程为4x －3y －2＝0.法二 在直线2x ＋y －1＝0上取两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，(0，1). 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， 所以变换后对应的点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，(2，2). 所以所求直线过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，(2，2)，方程为4x －3y －2＝0.。

高一数学二二阶矩阵与平面向量的乘法试题1.设=，n∈N*，则n的最小值为（）A．3B．6C．9D．12【答案】D【解析】由题意，==，可得cos=1，sin=0，即可求出n的最小值．解：由题意，==，∴cos=1，sin=0，∴n的最小值为12．故选：D．点评：本题考查二阶矩阵，考查特殊角的三角函数，考查学生的计算能力，比较基础．2.定义行列式运算，将函数的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据行列式运算的定义变形，进而先把所给的函数进行整理，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，根据函数是奇函数要满足的条件，看出函数向右平移的大小．解：根据行列式运算的定义，可得=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）∵图象向右平移φ（φ＞0）个单位所得图象对应的函数为奇函数，∴所得的函数是一个y=2sinx的形式，∴函数需要向右平移个单位，故选B．点评：本题以行列式为载体，考查三角函数图象的变换，本题解题的关键是理解正弦函数对应的图形平移以后的解析式是一个奇函数时要满足的条件．3.定义运算，如，已知α+β=π，，则=（）A．B．C．D．【解析】根据新定义化简所求的式子，然后分别利用两角和的正弦函数公式及两角差的余弦函数公式化简后，把已知的α+β=π，代入即可求出值．解：由α+β=π，，根据新定义得：====故选A点评：此题考查学生理解掌握新定义的能力，灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题、4.（2014•松江区二模）函数的最小正周期T= ．【答案】π【解析】先利用二阶矩阵化简函数式f（x），再把函数y=f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．解：函数=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）﹣2sinxcos（π﹣x）=cos2x+sin2x=sin（2x+），它的最小正周期是：T==π．故答案为：π点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．5.（2014•浦东新区二模）函数f（x）=的最大值为．【答案】5【解析】先计算行列式，再利用辅助角公式，即可得出结论．解：f（x）==3sinx﹣4cosx=5sin（x﹣α），∴函数f（x）=的最大值为5故答案为：5．点评：本题考查行列式，辅助角公式，正确化简函数是关键．6.（2014•宝山区二模）二阶行列式的值是．（其中i为虚数单位）【答案】2【解析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，据此求解即可．解：=（1﹣i）（1+i）﹣（1+i）×0=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2．故答案为：2．点评：本题考查了二阶行列式的求法，属于基础题，解答此题的关键是根据二阶行列式的意义得出所求代数式．7.（2014•闵行区二模）关于方程=1的解为．【解析】由题意，2x（2x﹣3）﹣3=1，可求x的值．解：由题意，2x（2x﹣3）﹣3=1，∴（2x﹣4）（2x+1）=0，∴2x=4，∴x=2．故答案为：2．点评：本题考查二阶行列式，考查学生的计算能力，比较基础．8.（2014•普陀区二模）若复数z=（i是虚数单位），则= ．【答案】﹣1+i．【解析】直接展开二阶矩阵求得复数z，则可求．解：∵z==i2﹣i=﹣1﹣i，∴．故答案为：﹣1+i．点评：本题考查二阶矩阵的展开式，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．9.（2014•松江区三模）函数f（x）=的最小正周期为．【答案】π【解析】利用行列式的运算法则、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=cos2x+，从而求得函数的周期．解：∵函数f（x）==2cos2x﹣sin2x=cos2x+cos2x=+cos2x=cos2x+，故函数的周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查行列式的运算，二倍角公式、三角函数的周期性以及求法，属于中档题．10.（2014•上海三模）若增广矩阵为的二元线性方程组的解为，则mn= ．【答案】﹣4【解析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组即可．解：∵增广矩阵为的二元线性方程组的解为，∴，解得m=2，n=﹣2，∴mn=2×（﹣2）=﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．。