圆周角定理及圆的内接四边形-练习题 含答案解析

圆周角定理与圆内接图形圆心角和圆周角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．6. 圆的基本性质有：⑴ 直径所对的圆周角是直角． ⑵ 同弧所对的圆周角相等．⑶ 经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦． 7. 不在同一直线上的三个点确定一个圆 8. 圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角模块一 圆周角定理【例1】 若O e 的一条弧所对的圆周60︒，则这条弧所对的圆心角是（ ）A ．30︒B ．60︒ Ｃ．120︒Ｄ．以上答案都不对【答案】Ｃ【例2】 如图，BC 是圆O 的弦，圆周角50ABC ∠=︒,则OCA ∠的度数是_______BCAO【答案】40︒【例3】 如图，O e 正方形ABCD 的外接圆，点P 在O e 上，则APB ∠等于（ ）自检自查必考点中考必做题OP DCBAA ．30︒B ．45︒C ．55︒D ．60︒ 【答案】45︒【例4】 如图，点C 在O e 上，将圆心角AOB ∠绕点O 按逆时针方向旋转到''A OB ∠,旋转角为α，（0α︒<<180︒）．若30AOB ∠=︒,'40BCA ∠=︒,则α∠=_______OA'BA【答案】110︒【例5】 如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦。

33.圆周角与圆内接四边形➢知识过关1.圆心角：(1)顶点在________的角叫做圆心角.(2)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条______、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.2.圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，并且两边都是弦的角叫做圆周角.(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的_____角的一半.(3)推论：半圆(或直径)所对的圆周角是_____;90°的圆周角所对的弦是_________推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，则它们所对的_______一定相等.3.圆内接四边形(1)一个多边形所有的顶点都在圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆；(2)圆内接四边形的对角__________,外角等于___________.➢考点分类考点1圆周角定理及其推论的应用例1如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AC，过A，B，C三点的⊙O与DC的延长线交于点E，连接AE交BC于F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）求证：△DAC∽△DEA．1．如图，在⊙O 中，弧AB 所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为弧AB 上一点，∠AOP ＝53°，则∠POB 的度数为（ ）A ．25°B ．47°C ．53°D ．37°2．如图，在半径为3的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且∠D ＝30°，则BC 的长度是（ ）A ．3B ．3√32C ．3√3D ．2√33．如图，在半径为5的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC ̂的中点，AC 与BD 交于点E ．若BE DE =12，则AC 的长为（ ）A ．4√2B ．4√3C ．4√5D ．4√64．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，连结AC ．DF ＝5，BC AB =35．当点P 为下面半圆弧的中点时，连接CP 交BD 于H ，则AH 的长为（ ）A ．4√10B ．8√2C ．5√5D ．125．如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA ⊥BC ，点D 在劣弧AC 上（不与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于点E ，设∠AED ＝α，∠AOD ＝β，则以下关系式成立的是（ ）A．2α+β＝180°B．2α﹣β＝90°C．3α+β＝180°D．3α﹣β＝90°6．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是（）A．80B．85C．90D．957．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝120°，则∠ABC的度数是（）A．100°B．80°C．110°D．120°8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝5，则AB的长度为．9．如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB ＝60°，则△ABC面积的最大值为．10．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝3，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点．且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E，F．若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，则PC+PD 的最小值是．12．如图，在⊙O中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是α，弦CD所对的圆心角度数是β．若α+β＝180°，则：①∠A+∠C＝90°；②若β＝2α，则CD=√3AB；③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；④AB2+CD2＝4OC2．上述选项中正确的是．（填写所有正确选项的序号）13．如图，以AB为直径的半圆O经过点C，点D在直径AB上．若BC＝BD，CD＝OA，则∠A的度数是．14．已知⊙O的两条弦为AB、AC，连接半径OA、OB、OC，若AC=√2AB=√2OA，则∠BOC的度数为．15.如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC ＝CD ，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．（1）求证∠A ＝∠D ；（2）若AÊ的度数为108°，求∠E 的度数．16．如图，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，在AB 上截取AD ＝AC ，OE ⊥CD 于E ，连接BC ．（1）求证：∠DOE ＝∠BCD ．（2）若∠A ＝30°，AB ＝6，求CE 的长．17．如图，圆O 中延长弦AB ，CD 交于点E ，连接AC ，AD ，BC ，BD ．（1）若∠ADB ＝60°，∠BAD ＝10°，求∠ACD 的度数；（2）若∠ADB ＝α°，∠BAD ＝β°，∠EBC ＝γ°，判断α，β，γ满足什么数量关系时，AD ＝CD ？请说明理由．➢ 课后作业1．已知，如图，点A ，B ，C 三点都在⊙O 上，∠B =12∠A ，∠A ＝45°，若△ABC 的面积为2，则⊙O 的半径为（ ）A ．±2B ．2C ．1+√334D ．√33−142．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB＝2．下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若点P为AC的中点，则CE＝2OE．③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2+BD2＝4；其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④̂，取BD̂上一点F使得DF＝DC，3．如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作BD̂上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（）点E是BDA．120°B．135°C．145°D．150°4．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（）A．40°B．41°C．42°D．43°5．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（）A．42°B．45°C．48°D．52°6．如图，B 、C 是圆A 上的两点，AB 的垂直平分线与圆A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，若∠DBC ＝30°，AB ＝2，则弧BC ＝（ ）A ．19πB ．29πC ．13πD ．49π 7．如图，在四边形ACBD 中，AB ＝BD ＝BC ，AD ∥BC ，若CD ＝4，AC ＝2，则AB 的长为 ．8．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB̂的中点，点D 是直径AB 所在直线下方一点，连接CD ，且满足∠ADB ＝60°，BD ＝2，AD ＝3√3，则△ABD 的面积为 ；CD 的长为 ．9．如图，已知半圆O 的直径AB ＝9，C 是半圆上一点，沿AC 折叠半圆得到AĈ，交直径AB 于点D ，若D 在半径OA 上，且为直径的三等分点，则AC 的长是 ．10．如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，BD=3√2，求CD长．11．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD̂上点E，满足AÊ=CD̂，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连结CE，EF＝DG．（1）求证：CE＝BG；（2）如图2，连结CG，AD＝2．若sin∠ADB=√217，求△FGD的周长．➢冲击A+4.已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DB平分∠ADC；(1)求证：AB=BC；(2)如图2，若∠ADB=60°，试判断∠ABC的形状，并说明理由；(3)如图3，在(2)的条件下，在AB上取一点E，BC上取一点F，连接CE、AF交于点M，连接EF，若∠CMF=60°，AD=EF=7，CD=8(CF>BF)，求AE的长.。

例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADE︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可.证明 （1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥.∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BC BO AO EAABCD 内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB 为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A ．30°B ．60°C ．90° C ．120°2．四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数依次可以是（ ）A ．1：2：3：4B ．6：7：8：9C ．4：1：3：2D ．14：3：1：12 3.四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数比依次可以是（） A ．4:3:2:1 B ．1:3:2:4 C ．2:1:3:4 D ．2:3:1:44.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，︒=∠110BOD ，那么BCD ∠的度数为（）A ．︒125B ．︒110C ．︒55D ．︒705. 如图，⊙1O 与⊙2O 交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心1O ，若︒=∠40M ，则N ∠等于（）A ．︒40B ．︒80C ．︒100D ．︒70 6. 圆内接平行四边形一定是（ ）（A ）矩形 （B ）正方形 （C ）菱形 （D ）梯形 7．已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ADBC 一定是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形8、四边形ABCD 内接于圆，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比可以是 ( ) （A ）1﹕2﹕3﹕4 （B ）7﹕5﹕10﹕8 （C ）13﹕1﹕5﹕17 （D ）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD 为圆内接四边形，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=130°，则∠DAE 为（ ） （A ）50° （B ）40° （C ）30° （D ）20° 10、如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线相交于P ，对角线AC 和BD 相交于点Q ，则图中共有相似的三角形 ( )（A ）4对 （B ）3对 （C ）2对 （D ）1对11．如图，在ABC ∆，AD 是高，ABC ∆的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：（1）CD BD AD ⋅=2；（2）AE EG BE ⋅=2；（3）AC AB AD AE ⋅=⋅；（4）CG BG EG AG ⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知：如图，劣弧，那么D B ∠+∠的度数是（ ）A ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是 度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则_____=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则_____=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=AC BAD AD AB ,30,，则四边形ABCD 的面积为________.11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在的中点A '，若5=BC ，则折痕在ABC ∆内的部分DE 长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒1265. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120° 10．243a 11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（） 答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD 为圆内接四边形，（1）若DB ∥CE ，求证：AD ﹕BC=CD ﹕BE ；（2）若AD ﹕BC=CD ﹕BE ，求证：DB ∥CE ．2、已知：⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于H ，E 是CD 延长线上一点，AE 交⊙O 于F ．求证：∠AFC=∠DFE ． 3．如图，已知四边形ABCD 内接于圆，DC 、AB 的延长线相交于E ，且D B A C B E ∠=∠，求证：BD EC BE AD ⋅=⋅4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。

圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理【学习目标】:1.圆周角定理；2.圆内接四边形的性质定理与判定定理。

【学习过程】：1．圆周角定理(1)圆周角定理: 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的___ ___。

(2)圆心角定理: 圆心角的度数等于_________________。

推论1.同弧或等弧所对的圆周角___ __；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也___ ___。

推论2.半圆(或直径)所对的圆周角是__ __；90°的圆周角所对的弦是_____ _。

2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1.圆的内接四边形的对角__ ____．定理2.圆内接四边形的外角等于它的内角的__ ____．(2)判定判定定理:如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点___ ___．推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点__ ___．【学习评价】：1.下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的个数有（ ）A.1个 B .2个 C.3个 D.4个2．(2011·天津)如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB＝1，PD ＝3，则BC AD 的值为________．3．(2011·广州调研)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.4．(2011·深圳调研)如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，E 为BD 的中点，⊙O 的弦AD 与BE 的延长线相交于点C ，若AB ＝18，BC ＝12，则AD ＝________.5．(2011·广州模拟)如图，过点D 作圆的切线切于B 点，作割线交圆于A ，C 两点，其中BD ＝3，AD ＝4，AB ＝2，则BC ＝________.6．如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．7.(2011·广东实验中学质检)如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为________．8. (2011·广东)如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD＝2a 3，∠OAP ＝30°，则CP ＝________.9.如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AD ·AE 的值．10. 如图，⊙O 与⊙O ′外切于P ，两圆公切线AC ，分别切⊙O 、⊙O ′于A 、C 两点，AB 是⊙O 的直径，BE 是⊙O ′的切线，E 为切点，连AP 、PC 、BC .求证：AP ·BC ＝BE ·AC .答案:1.B2.13.解析 ∵ABCD 为圆内接四边形，∴∠PBC ＝∠ADP ，又∠P ＝∠P ，∴△BCP ∽△DAP ，∴BC AD ＝PB PD ＝13. 3. 125°.解析 连接BD ，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.4.14.解析 如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BE ，又E 是 BD 的中点，∴∠BAE ＝∠EAC ，从而E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ＝6，AB ＝AC ＝18，由CD ·CA ＝CE ·CB ，得(18－AD )×18＝6×12，故AD ＝14.5. 32 .解析 ∵∠A ＝∠DBC ，∠D ＝∠D ，∴△ABD ∽△BCD ，AD BD ＝AB BC ，解得BC ＝32. 6. 5.解析 由相交弦定理知，EA ·EB ＝EC ·ED .(*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3， ∴(*)式可化为22＝EC (CE ＋3)＝CE 2＋3CE ，∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5. 7. 355.解析 延长DO 交圆O 于另一点F ，易知OD ＝1，则AD ＝AO 2＋OD 2＝ 5.由相交弦定理得，AD ·DE ＝BD ·DF ，即5·DE ＝1×3，DE ＝355. 8. 98a.解析 依题AP ＝PB ＝32a ，由PD ·CP ＝AP ·PB ，得CP ＝AP 2PD ＝98a . 9.解:如图所示，连接CE ，∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线，∴PA 2＝PB ·PC .又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15.∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP .又∠P 为公共角，∴△PAB ∽△PCA .∴AB CA ＝PA PC ＝1020＝12.∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°.∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.∴AC ＝65，AB ＝3 5.又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB ，∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD AC .∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.10.证明 由题意可知∠APC ＝90°，连BP ，则∠APB ＝90°，∴B 、P 、C 在同一直线上，即P 点在BC 上，由于AB ⊥AC ，易证Rt △APB ∽Rt △CAB .∴AB CB ＝PB AB ，即AB 2＝BP ·BC ，又由切割线定理，得BE 2＝BP ·BC ，∴AB ＝BE ，又Rt △APB ∽Rt △CAB ，∴AB CB ＝AP CA ，即AP ·BC ＝AB ·AC ，∴AP ·BC ＝BE ·AC.。

2019备战中考数学基础必练（浙教版）-园内接四边形（含解析）一、单选题1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=100°，则∠ADC=（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°2.如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（）A. 4B. 5C. 6D. 23.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=∠F=35°，则∠A 的度数是（）A. 35°B. 55°C. 60°D. 65°4.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BAD ＝105°，则∠BCD的度数是（）A. 105°B. 95°C. 75°D. 60°5.蜂巢的构造非常复杂，科学，如图是由7个全等的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A. 10个B. 8个C. 6个D. 4个6.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A. 120°B. 100°C. 80°D. 60°7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=64°，则∠BCD的度数是（）A. 64°B. 90°C. 136°D. 116°8.圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∠D的度数为（）A. 45°B. 67.5°C. 135°D. 112.5°9.如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，则∠A等于（）A. α+βB.C. 180°﹣α﹣βD.二、填空题10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为________11.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在AB的延长线上，BF是∠CBE的平分线，∠ADC=100°，则∠FBE=________°．12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=137°，则∠AOC的度数为________．13.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有________ ．14.如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，D是AC上任一点(不与A、C重合)，则∠ADC 的度数是________.15.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AC= ________16.如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则= ________17.已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为 ________cm18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．19.如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C 的另一点，则∠ADC的度数是________．三、解答题20.如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．（1）在图①中，求∠AFB的度数（2）在图②中，∠AFB的度数为________ 度，图③中，∠AFB的度数为________度（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．21.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．22.阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2= AB•h，∴r1+r2=h（1）理解与应用如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：r1+r2+r3=．（2）类比与推理边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于________（3）拓展与延伸若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…r n，请问r1+r2+…r n是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．23.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．（1）求∠E的度数；（2）连接OD、OE，当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°﹣100°=80°．故选B．【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．2.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：∵∠AOB=90°，∴AB为⊙C的直径，∵∠BMO=120°，∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，∵AC=OC，∠BAO=60°，∴△AOC是等边三角形，∴⊙C的半径=OA=4．故选：A．【分析】连接OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO 的度数，证明△AOC是等边三角形，即可得出结果．3.【答案】B【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠E+∠ECD，∠ABC=∠F+∠BCF，且∠E=∠F=35°，∠DCF=∠BCF，∴∠ADC=∠ABC，∵四边形ABCD内接⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠E=55°．故选B．【分析】由∠E=∠F=35°，利用三角形外角的性质，易证得∠ADC=∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，证得∠ADC+∠ABC=180°，继而求得∠ABC的度数，然后由三角形内角和定理，求得答案．4.【答案】C【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD ＝105°，∴∠BCD=180°-∠BAD =180°-105°=75°.故选C.【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求解.5.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即，有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．故选：A．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．6.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣60°=120°，故选：A．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠A=60°，再根据圆内接四边形的性质可得∠BCD的度数．7.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠BCD=180°，又∠DAB=64°，∴∠BCD=116°，故选：D．【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出算式，根据已知求出答案．8.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=6x，∵∠A+∠C=180°，即2x+6x=180°，解得x=22.5°，∴∠B=3x=3×22.5°=67.5°，∴∠D=180°﹣67.5°=112.5°．故选D．【分析】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=4x，再根据圆内接四边形的对角互补求出x的值，进而得出∠B的度数，从而得出∠D的度数．9.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=．故选D．【分析】连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．二、填空题10.【答案】50°【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=∠BOD=50°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE=∠A=50°，故答案为：50°．【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得出∠DCE=∠A，代入求出即可．11.【答案】50【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=100°，∴∠CBE=∠ADC=100°，【解析】∵BF是∠CBE的平分线，∴∠FBE= ∠CBE=50°，故答案为：50．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠CBE=∠ADC=100°，根据角平分线定义求出即可．12.【答案】86°【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=137°，∴∠D=180°﹣137°=43°，【解析】∴∠AOC=2∠D=86°．故答案为：86°．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论．13.【答案】10【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．故答案为：10．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．14.【答案】120°【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°-60°=120°.故答案为：120°.【分析】根据等边三角形的性质可得∠B的度数，再由圆的内接四边形性质可得∠ADC度数.15.【答案】2【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．∵AB=BC，∴AG=CG，∵∠ABC=120°，∴∠BAC=30°，∴AG=AB•cos30°=2×=，∴AC=×2=2．故答案为2．【分析】作BG⊥AC，垂足为G．构造等腰三角形ABC，在直角三角形ABG中，求出AG的长，再乘二即可．16.【答案】5【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，∴设S空白=x，则S阴影=6x﹣x=5x，∴=5．故答案为：5．【分析】根据边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍即可得出结论．17.【答案】【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，∵OA=2cm，∠AOG=30°，∴OG=OA•cos 30°=2×=（cm）．故答案为：．【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．18.【答案】105【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAB=105°．【分析】利用圆内接四边形对角互补，外角等于其内对角，可求出∠DCE=∠DAB=105°．19.【答案】60°或120°【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接OB．∵四边形OABC是菱形，∴AB=OA=OB=BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC=60°，∠A D′C=120°．故答案为：60°或120°．【分析】抓住已知点D是圆上异于A、B、C的另一点，可得出点D可能是优弧AC上的一点，也可能是劣弧AC上的一点，再利用圆内接四边形的对角互补，即可求解。

圆内接四边形的性质精选题36道一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°8．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°12．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°二．填空题（共14小题）13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝°．15．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝°．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC＝．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝度．19．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝．20．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝°．22．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝．23．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝°．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝°．25．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝．三．解答题（共10小题）27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．28．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．30．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．（1）求证：AB＝AC；（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．34．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，连接BD交AC于点P．（1）求∠EDC的度数；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．36．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．圆内接四边形的性质精选题36道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故选：C．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．【解答】解：∵∠CBE＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝＝65°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．【解答】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．2【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC＝40°，利用圆周角定理，得∠AOC＝2∠B＝80°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°．∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．8．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°【分析】首先根据∠BOD＝88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD＝88°，∴∠BAD＝88°÷2＝44°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°，即∠BCD的度数是136°．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，如图所示，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝70°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．12．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．二．填空题（共14小题）13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝215°．【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD，然后求解即可．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故答案为：215．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．15．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝155°．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC＝70°．【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠DAB＝20°，∠ACB＝90°，计算即可．【解答】解：连接AC，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝38度．【分析】由已知我们可以将点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，从而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得即可．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；∵∠CAD＝76°，∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．【点评】本题利用了同弧对的圆周角是圆心角的一半的性质求解．19．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝60°．【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故答案为：60°．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．20．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为8．【分析】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE ＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．故答案为8．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝130°．【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．22．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝140°．【分析】根据已知条件利用圆周角定理求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠BCD的度数．【解答】解：∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD＝80°，∴∠BAD＝＝＝40°，又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°．【点评】本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理与圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．23．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝80°．【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝140°．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∴∠BOD＝2∠C＝140°．故答案为：140．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．25．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD＝AB可得出△ABD是等边三角形，则DE＝AD，∠ODE＝∠ADB＝30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°．∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形．∴DE＝AD＝1，∠ODE＝∠ADB＝30°，∴OD＝＝．故答案为【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝80°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，∴∠EDC+∠FBC＝180°，∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．三．解答题（共10小题）27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠DCE，证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点D作DM⊥BE于M，根据等腰三角形的性质求出BM，进而求出CM，根据正切的定义求出DM，根据正切的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：过点D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补、锐角三角函数的定义是解题的关键．28．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB＝∠DBC求出答案；（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；（2）解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圆周角定理，得，的度数为：60°，故＝＝＝π，答：的长为π．【点评】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出∠DCB的度数是解题关键．29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．30．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．（1）求证：AB＝AC；（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC＝∠2；由于∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故∠ABC＝∠4，由此得证．（2）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应成比例线段，求出AE及DE的值．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4，∴AB＝AC；（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴，∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，∴AE＝＝，∴DE＝＝（cm）．【点评】本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，是中学阶段的常规题目．31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．【分析】根据圆周角定理得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ADB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，∴AC＝，∴⊙O半径的长为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．【分析】（1）先利用圆周角定理得∠BAD＝∠BCD＝90°，则根据勾股定理可计算出BD ＝13cm，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到AB的长；（2）把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，根据旋转的性质得到∠CAE ＝∠BAD＝90°，CA＝CE，∠ABC＝∠ADE，再证明E点在CD的延长线上，于是可判断△ACE为等腰直角三角形，所以CE＝AC，从而得到结论．【解答】（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和旋转的性质．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【分析】（1）连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2＝8，AC2＝8，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH＝AC＝，即点O到AC的距离为；（2）由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．【点评】本题考查度数圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．34．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．【分析】根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CAB，进而利用勾股定理得出AF的值以及三角函数解答即可．【解答】解：作DE⊥AC，BF⊥AC，∵BC＝CD，∴，∴∠CAB＝∠DAC，∵∠DAB＝120°，∴∠DAC＝∠CAB＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝∠DEC＝90°，∴sin60°＝，cos60°＝，∴DE＝2，AE＝2，∵AC＝7，∴CE＝5，∴DC＝，∴BC＝，∵BF⊥AC，∴∠BF A＝∠BFC＝90°，∴tan60°＝，BF2+CF2＝BC2，∴BF＝AF，∴，∴AF＝2或AF＝，∵cos60°＝，∴AB＝2AF，当AF＝2时，AB＝2AF＝4，∴AB＝AD，∵DC＝BC，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠ADC＝∠ABC，∵ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，但AC2＝49，，AC2≠AD2+DC2，∴AB＝4（不合题意，舍去），当AF＝时，AB＝2AF＝3，∴AB＝3．【点评】此题考查圆内接四边形的性质，关键是根据圆周角定理和勾股定理以及三角函数解答．35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，连接BD交AC于点P．（1）求∠EDC的度数；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADC＝90°，结合平角的定义可求解；（2）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值；（3）过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理可得BG＝DG，利用PD2+PB2＝8，可求半径为2，即可求解．【解答】解：（1）∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝90°；（2）∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，∴∠E＝∠ACD，又∠ACE＝∠ADC＝90°，∴△ACE∽△ADC，∴，即AC2＝AD•AE．设DE＝x，则AC＝x，即（x）2＝AD（AD+x）．整理，得AD2+AD•x﹣20x2＝0．解得AD＝4x或AD＝﹣5x（舍去）．∴DC＝＝2x．∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；（3）如图，过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理，得BG＝DG，设BG＝DG＝m，则PD＝m+PG，PB＝m﹣PG，∵PD2+PB2＝8，∴（m+PG）2+（m﹣PG）2＝8，整理，得2m2+2PG2＝8，即m2+PG2＝4．∵∠DPC＝45°，∴OG＝PG．∴OD2＝DG2+OG2＝m2+PG2＝4，∴⊙O的半径为2．∴AC＝4．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．36．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．【分析】（1）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB；（2）如图2，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD＝，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中计算出CH＝，从而得到AC 的长．【解答】解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质．。

例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADABCD EAB C DEO︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可. 证明 （1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠Θ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BCBOAO EA ΘABCD Θ内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB Θ为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A．30°B．60°C．90°C．120°2．四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数依次可以是（）A．1：2：3：4 B．6：7：8：9 C．4：1：3：2 D．14：3：1：123.四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数比依次可以是（）A．4:3:2:1B．1:3:2:4C．2:1:3:4D．2:3:1:44.如图，四边形ABCD内接于⊙O，︒=∠110BOD，那么BCD∠的度数为（）A．︒125B．︒110C．︒55D．︒705. 如图，⊙1O与⊙2O交于A、B两点，且⊙2O过⊙1O的圆心1O，若︒=∠40M，则N∠等于（）A．︒40B．︒80C．︒100D．︒706. 圆内接平行四边形一定是（）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是( )（A）1﹕2﹕3﹕4 （B）7﹕5﹕10﹕8（C）13﹕1﹕5﹕17 （D）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130°，则∠DAE为（）（A）50°（B）40°（C）30°（D）20°10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似的三角形( )（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对11．如图，在ABC∆，AD是高，ABC∆的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：（1）CDBDAD⋅=2；（2）AEEGBE⋅=2；（3）ACABADAE⋅=⋅；（4）CGBGEGAG⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知：如图，劣弧，那么DB∠+∠的度数是（）ACDPQA ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是 度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则______=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=ACBADADAB,30,，则四边形ABCD的面积为________.11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A'，若5=BC，则折痕在ABC∆内的部分DE长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒126 5. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120°10．243a11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB∥CE，求证：AD﹕BC=CD﹕BE；（2）若AD﹕BC=CD﹕BE，求证：DB∥CE ．2、已知：⊙O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交⊙O于F．求证：∠AFC=∠DFE．3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于E，且DBACBE∠=∠，求证：BDECBEAD⋅=⋅BCDO4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题24.5 圆内接四边形【六大题型】【人教版】【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 (1)【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 (5)【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 (9)【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 (13)【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 (16)【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 (20)【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠ABD ＝20°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD 的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD 的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD 的度数．方法二：根据AB 是⊙O 的直径，可以得到∠ADB ＝90°，再根据∠ABD ＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．方法二：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（ ）A．65°B．60°C．55°D．50°【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，求出∠OBA+∠ODA ＝∠BAD，根据菱形的性质得出∠BCD＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD，求出∠BCD＝2∠BAD，根号圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD，再求出答案即可．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAO+∠DAO＝∠BAD，∵四边形OBCD是菱形，∴∠BCD＝∠BOD，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，∴∠BCD＝2∠BAD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴3∠BAD＝180°，∴∠BAD＝60°，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAD＝60°，故选：B．【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是　60°　．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，根据∠BCD＝2∠BAD求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理求出∠BAE＝90°，求出∠DAE的度数，再根据圆周角定理得出∠DOE＝2∠DAE 即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，故答案为：60°．【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝　64　°．【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC为等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，故答案为64．【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝BD的长为（ ）A．B．C D．【分析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．解直角三角形求出CE，ED，再利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD=故选：D．【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ）A B．C．D．不能确定【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°，∴∠A＝180°﹣145°＝45°，∵BH⊥AD，AB＝4，∴BH=故选：B．【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）A．1)B．1)C．(−1D．(−2，【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA=A（0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB=12AB＝2，∴OA=∴A（0），B（0，2），∴D点坐标为（1）．故选：B．【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是　2x+1　．（用含有x的代数式表示）【分析】延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM＝∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD＝∠EPD＝90°，然后由ASA定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B＝∠E，PB＝EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA＝∠B，进而可得：∠E＝∠ECA，然后根据等角对等边可得AE＝AC，进而可得PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，然后将AC＝x，AP＝x+1，代入即可得到PB的长．【解答】解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，∵M是弧CAB的中点，∴∠BDM＝∠CDM，∵MP垂直于弦AB于P，∴∠BPD＝∠EPD＝90°，在△DPE和△DPB中，∵∠BPD=∠EPD PD=PD∠BDP=∠EDP，∴△DPE≌△DPB（ASA），∴∠B＝∠E，PB＝EP，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ECA＝∠B，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC，∴PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，∵AC＝x，AP＝x+1，∴PB＝2x+1．故答案为：2x+1．【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为BD 的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（ ）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，进而得出△ADE为等边三角形，证明AB＝BE，进而求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC：∠ADC＝2：1，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵∠E＝60°，∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，∵点C为BD的中点，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC⊥DE，∴AD为⊙O的直径，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC，∴AB＝BE，∴⊙O的半径为2，∴⊙O的面积＝4π，故选：D．【变式3-1】（2022秋•青山区期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（ ）A．3B．6C．9D．12【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，由∠AOD+∠BOC ＝180°，∠AOD＝∠COE，推出AD＝CE＝2，根据三角形的面积公式可求得△BEC的面积为6，由OB＝OE，可得△BOC的面积=12△BEC的面积．【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴AD=CE，∴AD＝CE＝2，∵BC ＝6，∴△BEC 的面积为12BC •CE =12×6×2＝6，∵OB ＝OE ，∴△BOC 的面积=12△BEC 的面积=12×6＝3，故选：A ．【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AB ＝AD ，点E 在CD 的延长线上，且DE ＝BC ，连接AE ，若AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为　8　．【分析】如图，连接AC ，BD ．由△ABC ≌△ADE （SAS ），推出∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，推出S 四边形ABCD ＝S △ACE ，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC ，BD ．∵∠BCD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵∠ADE +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE ，∵AB ＝AD ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，∴∠CAE ＝∠BAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE =12×4×4＝8．故答案为8．【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC ＝AC 为弦的⊙O 上有B 、D 两点，且∠BAC ＝∠DAC ，则四边形ABCD 的面积最大值为　4　．【分析】如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．S 四边形ABCD ＝S △ACT ，因为AC ＝CT ＝以当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大．【解答】解：如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠B ＝∠CDT ，∴∠ADC +∠CDT ＝180°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACT ，∵AC ＝CT ＝∴当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大，最大值=12××=4．故答案为：4．【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）A ．∠1＝∠4B ．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C ．∠4＝∠7D ．∠ADC ＝∠2+∠5【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD ，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC ，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB ．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC ＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC ＝∠2+∠5，故A ，B ，D 都正确，∵BC 和DC 不一定相等，∴BC 与DC 不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C 错误，故选：C ．【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，故选：C．【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC【分析】只要证明∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．【解答】解：连接EC．∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，∴∠BAE＝∠ABE，∴EA＝EB．故选：C．【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP 交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是AB的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）①∵P是AB的中点，∴PB=PA，∴PA＝PB，∵CA＝CB，∴PC垂直平分线段AB，∴PC是直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵∠PCA＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PA＝2PB，∴PA+PB＝PC．②PC＝PA+PB成立；证明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，∠APE=∠ACH∠APB=∠AHC=120°，AP=AH∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）．（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；（2）若∠A＝90°，AD=AB，求证：PB﹣PD=．【分析】（1）连接AC，得到AC是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC＝CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．【解答】解：（1）连接AC，∵∠D＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵∠BAC＝∠P＝30°，∴AC＝2BC＝6，所以圆O的半径为3；（2）∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∵AC为圆O直径，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形ABCD为矩形．∵AD=AB，∴AB＝AD，∴矩形ABCD为正方形，在BP上截取BE＝DP，∴△BCE≌△DPC，∴PC＝CE，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=，∴PB＝PD．【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．【解答】证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD=BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；（2）证明△ADC≌△EBC即可．【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，∠ADC=∠EBC∠DAC=∠E，AC=EC∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G 为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．求证：∠EAF+∠G＝180°．【分析】连接AB，根据圆内接四边形的性质可知∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，再由∠ABC+∠ABD＝180°，可得出∠GEA+∠GFA＝180°，由四边形AEGF的内角和为360°即可得出结论．【解答】证明：连接AB∵四边形ABCE与四边形ABDE均为圆内接四边形，∴∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠GEA+∠GFA＝180°．∵四边形AEGF的内角和为360°，∴∠EAF+∠G＝180°．【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE＝DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到∠DEC＝∠B，然后利用等角对等边得到结论．（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠B+∠AED＝180°∵∠DEC+∠AED＝180°∴∠DEC＝∠B∵AB＝AC∴∠C＝∠B∴∠DEC＝∠C∴DE＝DC．（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠A+∠BDE＝180°∵∠EDC+∠BDE＝180°∴∠A＝∠EDC，∵OA＝OE∴∠A＝∠OEA，∵∠OEA＝∠CEF∴∠A＝∠CEF∴∠EDC＝∠CEF，∵∠EDC+∠DEC+∠DCE＝180°∴∠CEF+∠DEC+∠DCE＝180°即∠DEF+∠DCE＝180°，又∵∠DCG+∠DCE＝180°∴∠DEF＝∠DCG，∵∠EDC旋转得到∠FDG∴∠EDC＝∠FDG∴∠EDC﹣∠FDC＝∠FDG﹣∠FDC即∠EDF＝∠CDG，∵DE＝DC∴△EDF≌△CDG（ASA），∴DF＝DG．【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC和∠DAC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ACB＝∠ABC＝70°，再根据圆内接四边形的性质可求解；（2）由可得直角三角形的性质∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，结合圆周角定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝110°；（2）∠BAC＝2∠DAC．证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，∵∠ABC＝∠ACB，∠ABE+∠CBE＝∠ABC，∴90°﹣∠BAC+∠CBE＝90°﹣∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE，∴∠BAC＝2∠DAC．【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】先过点A、B、C作⊙O，分类讨论：当点P在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得∠BPC+∠A ＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，根据三角形外角性质易得∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则根据四边形的内角和得到∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【解答】解：过点A、B、C作⊙O，如图，当点P在⊙O上，则∠BPC+∠A＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，则∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义证明结论；（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理证明∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得到答案．【解答】解：（1）∠DCE＝∠A，∵∠A+∠DCB＝180°，∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A；（2）∵已知ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＝∠2，∠ADB＝∠ACB，∠ADB＝∠1，∠ACB＝∠1，∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．。

初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁． 例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ． △ABC 是等边三角形．∴AB=AC ． ∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ．ABCD BCD EO∵∠ADE=∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB＝60°，∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE．∵BE=DC，∴DB+DC=DA．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例如图，ABCD是⊙O的内接四边形，CDAH⊥，如果︒HAD，那么=∠30=∠B（）A．90° B．120° C．135° D．150°解：,=∠AHD︒HAD,∠9030︒=D，∠∴60=︒由圆内接四边形的对角和是180°，得︒B，故选B.∠120=说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，PA 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠. ∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可.证明 （1）连结DC. ∵AD 平分EAC ∠， ∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠.DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCM CN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠.∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD ∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BC BO AO EAABCD 内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠ 又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB 为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆ ∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决. 解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠ （2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A ．30°B ．60°C ．90° C ．120°2．四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数依次可以是（ ）A ．1：2：3：4B ．6：7：8：9C ．4：1：3：2D ．14：3：1：12 3.四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数比依次可以是（） A ．4:3:2:1 B ．1:3:2:4 C ．2:1:3:4 D ．2:3:1:44.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，︒=∠110BOD ，那么BCD ∠的度数为（）A ．︒125B ．︒110C ．︒55D ．︒705. 如图，⊙1O 与⊙2O 交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心1O ，若︒=∠40M ，则N ∠等于（）A ．︒40B ．︒80C ．︒100D ．︒706. 圆内接平行四边形一定是（ ）（A ）矩形 （B ）正方形 （C ）菱形 （D ）梯形 7．已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ADBC 一定是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形8、四边形ABCD 内接于圆，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比可以是 ( ) （A ）1﹕2﹕3﹕4 （B ）7﹕5﹕10﹕8 （C ）13﹕1﹕5﹕17 （D ）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD 为圆内接四边形，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=130°，则∠DAE 为（ ）（A ）50° （B ）40° （C ）30° （D ）20°10、如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线相交于P ，对角线AC 和BD 相交于点Q ，则图中共有相似的三角形 ( ) （A ）4对 （B ）3对 （C ）2对 （D ）1对11．如图，在ABC ∆，AD 是高，ABC ∆的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：（1）CD BD AD ⋅=2；（2）AE EG BE ⋅=2；（3）AC AB AD AE ⋅=⋅；（4）CG BG EG AG ⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知：如图，劣弧，那么D B ∠+∠的度数是（ ）A ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分AB CD PQC ．相等D ．相等且平分每组对角15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对 答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则______=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度.9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=AC BAD AD AB ,30,，则四边形ABCD 的面积为________.11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在的中点A '，若5=BC ，则折痕在ABC ∆内的部分DE 长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒1265. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120° 10．243a 11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD 为圆内接四边形，（1）若DB ∥CE ，求证：AD ﹕BC=CD ﹕BE ；（2）若AD ﹕BC=CD ﹕BE ，求证：DB ∥CE ．2、已知：⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于H ，E 是CD 延长线上一点，AE 交⊙O 于F ．求证：∠AFC=∠DFE ．3．如图，已知四边形ABCD 内接于圆，DC 、AB 的延长线相交于E ，且DBA CBE ∠=∠，求证：BD EC BE AD ⋅=⋅4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=2BC D O5．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。