北师大版初中数学九年级下册3.4 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形1

3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠BAC的度数为( )A．90°B．60°C．45°D．30°2.如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE 相等的角有(A．2个)B．3个C．4个D．5个3.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．1204.如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C 的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5.如图，已知EF 是⊙O的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O交于点P，点B与点O 重合．将三角板x xABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝°，则的取值范围是(A．30≤≤60 B．30≤≤90 C．30≤≤120 D．60≤≤120)x x x x6.如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是C重合),则∠ADC的度数是________.上任一点(不与A、ACADOB C7.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝.8.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD 的值.yCDCA O BO9.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为B xM（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．。

圆周角和圆心角的关系【学习目标】1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；2．理解圆周角定理及推论；3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）ODCBA要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O 中，，求∠A 的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则∠BEC 等于( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．55° 【答案】A.∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴ »»»»90AB BC CD DA ====°， ∴ ∠BEC ＝45°． 类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B． 4 C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，DABCO∴∠BOC=2∠A=45°， ∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ， ∴CE=DE，△OCE 为等腰直角三角形， ∴CE=OC=2， ∴CD=2CE=4．故选：C ．类型三、圆内接四边形及应用5．圆内接四边形ABCD 的内角∠A ：∠B ：∠C=2:3:4，求∠D 的度数.【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D 的度数. 【答案与解析】解：∵圆内接四边形的对角互补，∴ ∠A ：∠B ：∠C ：∠D=2:3:4：3 设∠A=2x ，则∠B=3x ，∠C=4x ，∠D=3x ， ∴2x+3x+4x+3x=360°， ∴x=30°. ∴∠D=90°.【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.BACDO举一反三：【变式】如图，⊙O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BOD=110°，则∠BCD的度数是（）.A.110°B.70°C.55°D.125°【答案】D.【巩固练习】一、选择题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°（第1题图）（第2题图）2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 3．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第3题图）（第4题图）（第5题图）5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE 等于( )．A ．69°B ．42°C ．48°D ．38°6．（2015•酒泉）△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是（ ） A ．80° B ． 160° C ． 100° D ． 80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8.（2015•镇江一模）在圆内接四边形ABCD 中，∠A，∠B，∠C 的度数之比为3：5：6，则∠D= .9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于H ，BD∥OC，则∠B 的度数是 .10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝2，则BD ＝ .11．如图，已知⊙O 的直径MN ＝10，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 和⊙O 上， 且∠POM ＝45°，则AB ＝ .（第11题图） （第12题图）12．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．ODABC（第10题图）三、解答题13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．14．（2015•嵊州市一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D 与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=∠ABD=20°，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°，∠AEB=180°-70°=110°.2.【答案】D；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A；【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.4.【答案】B；【解析】∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.5.【答案】A；【解析】∠BAD=12∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.6.【答案】D；【解析】如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．二、填空题7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8．【答案】80°；【解析】设每一份是x．则∠A=3x，∠B=5x，∠C=6x．根据圆内接四边形的对角互补，得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，则3x+6x=180°，- 11 -解得x=20°．所以∠D=9x﹣5x=4x=80°．9．【答案】60°；10．【答案】3；11．【答案】；【解析】如图，设AB ＝x ，在Rt ⊿AOD 中: x²+（2x ）²＝5²， x ＝, 即 AB 的长＝.第11题 第12题12．【答案】90° ； 【解析】如图，连结AB 、BC ，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF ．理由：∵AE 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ABE=90°=∠ADC ，又∠AEB=∠ACB ，∴∠BAE=∠CAF ，∴»»BECF ． ∴BE=CF ．14.【答案与解析】解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，∴∠OAD=∠D=70°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠D=40°，∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，即OD⊥AC，∴=，∴∠CAD=∠AOD=20°；（2）∵AC=8，OE⊥AC，∴AE=AC=4，设OA=x，则OE=OD﹣DE=x﹣2，∵在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，∴（x﹣2）2+42=x2，解得：x=5，∴OA=5，∴AB=2OA=10．15.【答案与解析】(1)如图，作OH⊥CD于H，利用梯形中位线易证OF=OE，OA=OB，所以AF=BE，AF+EF=BE+EF，即AE=BF．- 12 -- 13 -(2)四边形CDEF 的面积是定值.连结OC，则， 11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯＝54(cm 2)．。

北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》这一节的内容，是在学生已经掌握了圆的基本性质，以及四边形的性质的基础上进行讲解的。

本节内容主要介绍了圆的内接四边形的性质，包括圆的内接四边形的对角互补，以及圆的内接四边形的不稳定性。

这部分内容在高考中经常出现，对于学生来说，既是重点，也是难点。

二. 学情分析九年级的学生，已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质和四边形的性质都有了一定的了解。

但是，由于圆的内接四边形的性质比较抽象，学生理解和接受的难度较大。

因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，逐步让学生理解和掌握。

三. 说教学目标1.让学生理解圆的内接四边形的性质，能够熟练运用圆的内接四边形的性质解决相关问题。

2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。

3.通过对圆的内接四边形的性质的学习，激发学生对数学的兴趣，提高学生的学习积极性。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆的内接四边形的性质，以及如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。

2.教学难点：圆的内接四边形的性质的理解和运用。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、问答法、小组合作探究法等多种教学方法。

同时，利用多媒体课件，直观展示圆的内接四边形的性质，帮助学生理解和掌握。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆的内接四边形的性质。

2.讲解：详细讲解圆的内接四边形的性质，引导学生进行思考和讨论。

3.练习：让学生通过练习，巩固对圆的内接四边形的性质的理解。

4.拓展：引导学生思考圆的内接四边形的性质在其他领域的应用。

七. 说板书设计板书设计简洁明了，主要包括圆的内接四边形的性质，以及如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。

八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现，练习题的完成情况，以及学生的学习反馈来进行。

对于掌握较好的学生，可以适当给予表扬和鼓励，提高学生的学习积极性。

题型全解4 五大性质定理之圆周角定理【知识梳理】1.三个知识点（1）圆周角与圆周角关系：等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；即：①∵BĈ=BC ̂，∴∠A=∠D ；②∵AD ̂=AD ̂，∴∠B=∠C ； 注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补即：弦BC 所对的圆周角有：∠E 、∠A 、∠D ，其中∠A=∠D ，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°）（2）圆周角定理与垂径定理综合运用（3）圆周角与直径关系：直径所对的圆周角是90°（或90°的圆周角所对的弦是直径）即：BC 是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC 是直径；注意：①熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角；②若没有直径的，作直径、延长半径成直径；②拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形D C BA OC B AO 两切线,全等两圆心;连半径证垂直；作垂直证半径321的关系：∠1+∠2=180°；∠2=∠3关系（4）圆内接四边形对角（圆周角）关系：①圆内接四边形的对角的度数和等于180°;②任何一个外角都等于它的内对角; 即：∠C+∠BAD=180°或∠C=∠DAE ；拓展1：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。

四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;如∠1=∠2;(2)圆内接四边形的对角互补; 如∠DAB+∠DCB=180°;(3)圆内接四边形的外角等于内对角,如∠FBC=∠ADC;(4)△DEC ∽△AEB 、△DEA ∽△CEB;(5) 以上性质逆用,即可判定四点共圆;(6)托勒密定理若ABCD 四点共圆(ABCD 按顺序都在同一个圆上)，那么AB ×DC+BC ×AD=AC ×BD即圆内接四边形中,两组对边的乘积和,会等于两条对角线的乘积.(7)相交弦定理： AE ×CE=BE ×DE;【典型例题】1．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C 的度数为______ED B A O F21ED CB A解析：∠C=∠B=24°̂=CD̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB解析：∵弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD•CDD. AD•AB=AC•BD解析：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．24．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．解析：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°，∴弦AB所对的圆周角是30°或150°．5. 已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是____解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=5√3，∴tan∠1=AD/OD=√3，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是________解析：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°7．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是_____解析：∵A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，OA ⊥BC ，∴弧AC=弧AB ，∴∠ADC=12∠AOB （等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．8．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA=30°，则弦BC=____【分析】根据垂径定理得到CH=BH ，=，根据圆周角定理求出∠AOB ，根据正弦的定义求出BH ，计算即可． 解：∵OA ⊥BC ，∴CH=BH ，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB •sin ∠AOB=√3，∴BC=2BH=2√3，9．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为___5√3【分析】连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB 即可．解：连接OC 、OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB 为弦，点C 为的中点，∴OC ⊥AB ， 在Rt △OAE 中，AE=，∴AB=5√3，10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为_______解析：连接OA 、OB 、OP ，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB ，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB ，∴OB ⊥AP ，AD=PD ，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt △PBD 中，PD=cos30°•PB=√32×5=5√32，∴AP=2PD=5√3，11．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是________解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°12．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为______解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．14．如图，⊙A 过点O （0，0），C （√3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是__________解析：连接DC ，∵C （√3，0），D （0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=√3，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，15．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______解析：连接BD ，∵∠E=90°，可知BD 是直径，作OM ⊥BC 于点M ，易知∠BOM=∠A=60°，∵OB=1，∴OM=12，BM=√32，∴BC=√3，CD=2OM=1，∴S 矩形BCDE =√316.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC=24，AH=18，⊙O 的半径OC=13，则AB=______解析：求线段长，要么针勾股定理，要么相似，由图形及题目条件判断，首先考虑相似，由于求AB ，且知AH 的长，我们选△ABH 跟某个三角形相似，由于△ABH 是直角三角形，所以需构造一个直角三角形，且含AC 为边的直角三角形与△ABH 相似，所以连OA 并延长AO 交⊙O 于点M ，连MC ，由于AM 是直径，∴∠ACM=90°，∵AĈ=AC ̂，∴∠B=∠AMC ，∴△ABH ∽△AMC ，∴AB AM =AH AC ，即AB 26=1824，∴AB=392 M A B C D E OH O A B CMA B C D E O O ED C B A H H O A B C O M C B A17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．解析：（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．18．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=72°，则∠DCE= ．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=72°19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD=______解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，20．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_______解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，21．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为________解析：∵∠BOC=40°，∴∠OBC=70°，∴∠D=180°-70°=110°22. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP//AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC=PA ·BC解析：连接BD ，∵DP//AC ，∴∠PDA=∠DAC ，∵∠DAC=∠DBC ，∴∠PDA=∠DBC ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB ，∴PA ：DC=AD ：BC ，即AD ·DC=PA ·BCD B。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆周角和圆心角的关系》的内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的度量等知识的基础上进行教授的。

这一节内容主要介绍了圆周角和圆心角的关系，即圆周角等于其所对圆心角的一半。

这是圆的重要性质之一，对于学生理解圆的性质和应用具有重要的意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的基本概念和度量知识有一定的了解。

但是，对于圆周角和圆心角的关系的理解，可能还需要进一步的引导和解释。

因此，在教学过程中，我将会注重学生的参与和实践，通过举例和练习，让学生深入理解圆周角和圆心角的关系。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.过程与方法：学生通过观察、实践和思考，培养观察能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，提高自信心，培养合作和探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.教学难点：学生能够理解和证明圆周角等于其所对圆心角的一半。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法和案例教学法。

通过提问和举例，引导学生思考和探索圆周角和圆心角的关系。

同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT 和动画，来辅助解释和展示圆周角和圆心角的关系。

六. 说教学过程1.导入：通过提问和回顾，引导学生回顾已知的圆的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.讲解：详细讲解圆周角和圆心角的关系，通过图示和实例，让学生直观地理解这一性质。

3.练习：给出一些练习题，让学生运用圆周角和圆心角的关系解决问题，巩固所学知识。

4.拓展：给出一些拓展题，让学生进一步思考和探索圆周角和圆心角的关系的应用。

5.小结：对本节课的内容进行总结，强调圆周角和圆心角的关系的重要性。

3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠BAC的度数为()A．90°B．60°C．45°D．30°2.如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有()A．2个B．3个C．4个D．5个3.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．1204.如图，在△ABC中，AB为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是()A．30≤x≤60 B．30≤x≤90 C．30≤x≤120 D．60≤x≤1206.如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC 的度数是________.DCBO7.已知如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A ＝60°，则∠DCE ＝ .8.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.D CBPO9.如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．OBA C y xM北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.240139.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为A.5B.4C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果; (2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F. (1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形;(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。