陕西省高三教学质量检测数学理试题含答案

2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =+->，{}1,0,1,2B =-，则（ ）A ．{}2AB = B ．A B =RC ．(){}1,0RA B=-ð D ．(){}31RB x x A =-<<ð2．定义：若复数z 与z '满足1zz '=，则称复数z 与z '互为倒数．已知复数12z =+，则复数z 的倒数z '=（ ）A ．12-B ．12+C ．12-D ．12 3．设()3,a m =，()4,2b =，则“1m =-”是“()a ab ⊥-”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为（ ） A ．127 B ．481 C ．527 D ．8815．短道速滑队6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，()q r ⌝∧是真命题，则选拔赛的结果为（ ）A ．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B ．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名C ．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D ．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的m 的值为（ ）A ．25B ．45C ．55D ．757．已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1n T >成立的n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．13 8．已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，()01f =．则下列说法正确的是（ ）A ．2πω=B ．()f x 的图象的对称轴方程为()23x k k ππ=-∈Z C ．()1f x ≥的解集为()44,43k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 的单调递减区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z9．在13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1，则展开式中的常数项为（ ）A ．540B ．480C ．320D ．16010．已知三棱锥P ABC -中，1AC BC ==，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，PD ⊥平面ABC ，点P ，A ，B ，C 在球心为O 的球面上，若三棱锥P ABC -的体积是16，则球O 的半径为（ ） A ．32 B ．1 C ．12 D ．3411．如图，1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF △是面积为的正三角形，则e 的值是（ ）A．1 B．1 CD．4-12．已知集合(){}0M f αα==，(){}0N g ββ==．若存在M α∈，N β∈，使n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若函数()21xf x e -=-与函数()2xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．2214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3212,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程为9.49.1y x =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________． 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0C C a b c --=．若ABC △的面积为b c +的最小值为________．15．已知函数()132,1,1x e xfx x x x -⎧<⎪⎨+≥=⎪⎩，则()()2f f x <的解集为________．16．如图，记椭圆221259x y +=，221259y x +=内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到()14,0F -，()24,0F ，()10,4E -，()20,4E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x =，y x =-均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π． 其中正确命题的序号为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 的通项公式为n c =________，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 请在①n n a b ；②()()111n n n b b b +--；③()1nn a n -+这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，PDC △是边长为2的等边三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，E 为线段PC 上一点．（1）设平面PAB平面PDC l =，证明：l ∥平面ABCD ；（2）是否存在这样的点E ，使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒？如果存在，求CE CP的值；如果不存在，请说明理由．19．（12分）如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点．若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．20．（12分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．减排器等级分布如表．（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望()E ξ． 21．（12分）已知函数()()2l 122n f x x x a b =+++，a ，b ∈R ． （1）当0a =时，设函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g b ，求(){}max g b ； （2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()12520x f x -<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，()1,0A ，求AP AQ AM+的值．23．（10分）已知a ，b ，c 为正实数且235a b c ++=． （1）求222a b c ++的最小值； （2）当5≥时，求a b c ++的值．2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学参考答案1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D （ 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．3914．15．(),1ln 2-∞- 16．②③17．（1）因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==，得37a =，设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+， 又21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项， 所以()()()2324311a a a a +=-+， 即()()64614d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去），所以132743a a d =-=-=，则数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故21n a n =+，且由题意可得，1214b a =-=，2318b a =+=，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列， 故11422n n n b -+=⋅=．（2）若选①，则()1212n n n n c a b n +==+⋅，则()()2341325272212212n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅，①在上式两边同时乘以2可得，()()341223252212212n n n S n n ++=⋅+⋅++-⋅++⋅，②①-②可得，()()234122322222(21)24122n n n n S n n +++-=⋅++++-+⋅=-+-⋅．即()22124n n S n +=-⋅+．若选②，则()()111nn n n b c b b +=--()()11222121n n n +++=-- 12112121n n ++=---，则12211111111377152121321n n n n S +++=-+-++-=----． 若选③，则()()()1121nnn n c a n n n =-+=-++，则()()31527394121nn S n n =-+++-+++++-++所以当n 为偶数时，()()()()()()()13579121121123n nn S n n n -⎡⎤=-++-+++-⋅-+-++++++⎣⎦()2132222n n nn n ++=⨯+=； 由上可得，当n 为奇数时，()()21421232122n n n n S n n ---=⨯+++++-+=综上可得，223,24,2n n nn S n n n ⎧+⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为偶数为奇数．18．（1）证明：C ABD ∥，AB ⊂/平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，AB ∴∥平面PDC ，又AB ⊂平面P AB ，且平面PAB 平面PDC l =，AB l ∴∥，又l ⊂/平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，l ∴∥平面ABCD ．（2）解：设DC 的中点为O ，连接PO ，OA ，则PO DC ⊥ 平面PDC ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PDC ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()0,1,0D -，()0,1,0C，(P ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，假设存在点E 使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒，()01CE CP λλ=≤≤，则()0,1E λ-，即()0,2DE λ=-，设平面ADEF 的法向量为(),,n x y z =， 又()1,1,0DA =，则00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()020y y z x λ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，有1,n ⎛=- ⎝， cos ,m n m n m n⋅∴=12==， 整理得2440λλ+-=， 解得)[]210,1λ=∈，故存在点E满足条件，且)21CE CP=．19．（1）由题意，得1c =，(),A a b --，(),B a b -，(),C a b ，(),D a b -，22AC b b k a a =∴=，22BD b bk a a==--， 2212AC BDa kb k =-=-∴⋅，结合222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）解法一：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222124220kxktx t +++-=，()()()222222221641222821021k t k t k t t k ∆=-+-=-+>⇒<+，则12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由12OP OQ k k =-⋅，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=， 代入化简得22212t k =+．2222121222x x y y MO MQ ++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222212121212222222x x y y x x y y x y ++++⎛⎫⎛⎫+-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点P ，Q 在椭圆上，221112x y ∴+=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=， ()222221212122242222222kt t x x x x x t t x --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭ 2212142x x +∴=， 2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭∴， 即2232MO MQ +=； 当直线PQ 的斜率不存在时，易知2232MO MQ +=． 综上， 2232MO MQ +=，为定值． 解法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 把12122x x y y =-代入上式，化简得22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， 则22222212123222x x y y MO MQ +++=+=为定值． 20．（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.0850.0450.6⨯+⨯=， 用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为100.66⨯=（件），则至少有2件一级品的概率22314646464103742C C C C C P C ++==． （2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120， 若从乙型号减排器中随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且13,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭~，所以()3003312704464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21133********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()122331924464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()033331134464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以ξ的分布列为所以数学期望()279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或()13344E ξ=⨯=． 21．（1）当0a =时，函数()()21202ln f x x b x x =++>，则()b fx x x'=+． ①当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在区间[]1,2上单调递增，所以()()()min 512f x fg b ===． ②当0b <时，令()0f x '=，解得1x =，2x =（i）当1，即[)1,0b∈-时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，由上知，此时()52g b =． （ii ）当12<<，即()4,1b ∈--时，()f x 在区间⎡⎣上单调递减，在区间⎤⎦上单调递增， 所以()()min ln 222b b f x f b ==-+-+． （iii ）当2≥，即(],4b ∈-∞-时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，此时，()()min 2ln 24f x f b ==+．综上，()()5,12ln 2,4122ln 24,4b b b g b b b b b ⎧≥-⎪⎪⎪=-+-+-<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩，易知(){}5max 2g b =．（2）证明：原式转化为求证()2152f x x >， 当1b =时，()211x ax f x x a x x++'=++=， 所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121x x =．因为12x x <且10x >，20x >，所以21x >，221a x x =--， 所以()()22222221221212212ln ln x a f x x x x x x x x +++==++ 令()()ln 1212g x x x x x x=++>， 则()23l 0n 12g x x x '=-++>， 所以()g x 在区间()1,+∞上单调递增，所以()()512g x g >=，即()2152f x x >． 所以()12520x f x -<．22．（1）由212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得1x y +=，即直线l 的普通方程为10x y +-=，由()2213sin 4ρθ+=可得2223sin 4ρρθ+=，所以22234x y y ++=，即2214x y +=． 所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．（2）直线l的参数方程也可表示为122t x t y ⎧'⎪⎪⎨⎪'+=-⎩=⎪．（t '为参数）， 将其代入2214x y +=可得2560t ''+-=， 设该方程的根为1t '，2t '，则12t t ''+=，1265t t ''=-， 所以12AP AQ t t ''+=-=5==，1225t t AM ''=+=， 所以8AP AQAM +=．23．（1）由柯西不等式得()()()22222221232325a b ca b c +++++=≥+， 所以2222514a b c ++≥，当且仅当123a b c ==，即514a =，57b =，1514c =时，等号成立． 因此当514a =，57b =，1514c =时，222a b c ++的最小值为2514．（2）由基本不等式得2a b +≥3a c +≥23b c +≥以上三个式子相加得()223a b c ++≥5≤，5≥时，当且仅当23235a b c a b c ==⎧⎨++=⎩， 即53a =，56b =，59c =时成立， 故5518a b c ++=．。

2021届陕西省高三下学期教学质量检测测评（六）数学（理）试题一、单选题1．已知复数1z i =+，设复数22zw z =，则w 的虚部是（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -【答案】A【分析】根据复数的运算法则，求得1w i =--，结合复数的基本概念，即可求解. 【详解】由题意，复数1z i =+， 根据复数的运算法则，可得2222(1)2(1)(1)1(1)2z i i i i w i z i i i i----=====--+-⋅， 所以复数w 的虚部是1-. 故选：A.2．已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}62,x x k k Z =+∈ B ．{}42,x x k k Z =+∈ C ．{}21,x x k k Z =+∈ D ．∅【答案】C【分析】通过对集合N 的化简即可判定出集合关系，得到结果. 【详解】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ， 因为x ∈N 时，x M ∈成立， 所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z . 故选：C.3．某校课题小组为了研究高一学生数学成绩和物理成绩的线性相关关系，在高一第二学期期中考试后随机抽取了5名同学（记为1，2，3，4，5）数学成绩和物理成绩（满分均为100分）如表所示：则y 关于x 的线性回归方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．1382y x =+ D ．78y =【答案】C【分析】根据表格中的数据求得数据的样本中心，结合选项和回归直线必过样本中心，即可求解.【详解】由表格中的数据，可得7476767678765x ++++==，7575767777765y ++++==，即数据的样本中心()76,76，因为()76,76满足回归直线方程，结合选项可得1ˆ382y x =+， 即y 关于x 的线性回归方程为：1ˆ382y x =+， 故选：C .4．抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，则a 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【分析】首先求出抛物线的准线方程，由题意得到方程，解得即可；【详解】解：抛物线()20y ax a =>即()201y ax a =>，可得准线方程14y a =-，抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，可得：11124a+=，解得12a =. 故选：B .5．过点()5,1P 作圆22:2410C x y x y ++-+=的割线l 交圆C 于A ，B 两点，点C 到直线l 的距离为1，则PA PB ⋅的值是（ ） A ．32 B ．33 C ．6 D ．不确定【答案】B【分析】根据题意得到向量PA 与PB 共线，得出PA PB PA PB ⋅=⋅，再结合圆的性质和切割线定理，得到2PA PB PA PB PD ⋅=⋅=，即可求解.【详解】由题意，过点()5,1P 作圆22:2410C x y x y ++-+=的割线l 交圆C 于,A B 两点， 可得向量PA 与PB 共线，所以PA PB PA PB ⋅=⋅由圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心为()1,2-，半径为2， 如图所示，其中PD 为切线，则22222261233PA PB PA PB PD PC CD ⋅=⋅==-=+-=. 故选：B .6．直线1y kx =-是曲线1ln y x =+的一条切线，则实数k 的值为（ ） A ．e B ．2e C ．1 D ．1e -【答案】A【分析】设切点为()00,1ln x x +，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据切线过定点()0,1-，即可求出0x ，从而求出切线的斜率； 【详解】解：设切点为()00,1ln x x +， 由1ln y x =+，得1y x'=，则001x x y x ='=，则曲线在切点处的切线方程为()00011ln y x x x x --=-， 由已知可得，切线过定点()0,1-，代入切线方程可得：02ln 1x --=-，解得01x e=，则01k e x ==.故选：A .7．函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，下列描述错误的是（ ）A ．定义域是R ，值域是[]0,3B ．其图象有无数条对称轴C ．712π是它的一个零点 D ．此函数不是周期函数【答案】D【分析】根据正弦型函数值域可确定32sin 2113x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭，结合绝对值的含义可知A 正确；根据正弦函数对称轴，采用整体对应的方式可知()5212k x k Z ππ=+∈是()f x 的对称轴，知B 正确；根据7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可知C 正确； 由()()f x f x π+=知π是()f x 的周期，知D 错误.【详解】对于A ，易知()f x 定义域为R ，1sin 213x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，32sin 2113x π⎛⎫∴-≤--≤ ⎪⎝⎭，02sin 2133x π⎛⎫∴≤--≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为[]0,3，A 正确；对于B ，由()sin 2sin k x x ππ+-=得：()sin 22sin 233k x x k Z ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=-∈，即()sin 2sin 22333x k x k Z πππππ⎛⎫⎛-+++-=-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭∈⎝，即()()23f x k f x k Z πππ⎛-+++=⎫⎪⎝⎭∈ ，()5212k x k Z ππ∴=+∈是函数图象的对称轴，故有无数条，B 正确，对于C ，772sin 21012123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，712π∴是()f x 的一个零点，C 正确； 对于D ，()()2sin 2212sin 2133f x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π∴是函数的周期，D 错误.故选：D.8．若()102x -展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A B C ++=（ ）A ．4095B ．4097C ．-4095D ．-4097【答案】C【分析】求得二项展开式的通项，结合通求得一次项的系数，再由二项展开式的二项式系数和的性质，求得二项式系数的和，以及1x =，求得所有项的系数和，即可求解. 【详解】由()102x -展开式的通项公式为101011010T C 2()(1)2C rrr r r rr r x x --+=⋅⋅-=-⋅⋅，所以一次项系数19110(1)2C 5120C =-⋅⋅=-，二项式系数和1021024A ==，令1x =，则所有项的系数和()10211B =-=， 所以4095A B C ++=-. 故选：C .9．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，βn//，//αβ是“//m n ”的必要条件 B ．若m αβ=，n ⊂α，“m n ⊥”是“αβ⊥”的充分条件C ．若//m α，βn//，“αβ⊥”是“m n ⊥”的充分条件D ．若m α⊥，n β⊥，“//m n ”是“//αβ”的充要条件 【答案】D【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若m α⊂，βn//，//m n ，可得//αβ或,αβ相交，所以A 错误； 对于B 中，若m αβ=，n ⊂α，m n ⊥，可得α、β不一定垂直，所以B 错误；对于C 中，若//m α，βn//，αβ⊥，可得m ，n 可能平行，都与α、β的交线平行， 所以C 错误；对于D 中，若m α⊥，//m n ，可得n α⊥，又由n β⊥，可得//αβ； 若m α⊥，//αβ，可得m β⊥，又由n β⊥，可得//m n ，所以D 正确. 故选：D .10．设α是第一象限角，满足sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A ．1B ．2CD 【答案】C【分析】用两角和与差的正弦余弦公式展开化简，可得sin cos αα-=22sin cos 1αα+=以及角的范围，求解sin α，cos α，即可计算tan α.【详解】ππsin cos 44αααααα⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()622sin cos 2αα-=-=， ∴31sin cos 2αα--=， 联立2231sin cos 2sin cos 1αααα⎧--=⎪⎨⎪+=⎩，∵设α是第一象限角，∴sin 0α>，cos 0α>，即3sin 2α=，1cos 2α=，∴3sin 2tan 31cos 2ααα===.故选：C .11．在三棱锥A BCD -中，3AB AD BC ===，5CD =，4BD =，32AC =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．63π10B ．64π5C ．128π5D ．126π5【答案】D【分析】由已知条件先判定出球心的位置，然后运用正弦定理、余弦定理和勾股定理计算出球的半径，即可计算出外接球的表面积. 【详解】如图，由3AB BC ==，32AC =222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥， 由3BC =，4BD =，5CD =，得222BC BD CD +=，∴BC BD ⊥， 又AB BD B =，∴BC ⊥平面ABD ，设ABD △的外心为G ，过G 作底面的垂线GO ，使12GO BC =，则O 为三棱锥外接球的球心， 在ABD △中，由3AB AD ==，4BD =，得2223341cos 2339BAD +-∠==⨯⨯， 45sin BAD ∠=，设ABD △的外接圆的半径为r ，则r ==，32OG =，∴2223126220OB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∴三棱锥外接球的表面积为21261264π4ππ205R =⨯=. 故选：D.12．已知函数()()211x f x a a =>+，给出下列四个命题： ①()f x 在定义域内是减函数； ②()()1g x f x =-是非奇非偶函数；③()()()1h x f x f x =+-的图象关于直线1x =对称； ④()()1F x f x =-是偶函数且有唯一一个零点. 其中真命题有（ ） A ．①③ B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D【分析】利用复合函数单调性的求法判断()()211x f x a a =>+单调性，判断()()0g x g x -+=是否成立即可判断()g x 的奇偶性，应用特殊值求出()0h 、()2h ，反证法判断图象是否关于直线1x =对称，利用()()1F x f x =-的性质即可确定零点的个数. 【详解】函数()()211x f x a a =>+可看成函数()11xu a a =+>与函数2y u =的复合函数，①函数()11xu a a =+>在R 上是增函数，函数2y u=在0,上是减函数，故()f x 在定义域内是减函数，真命题； ②()()2111xg x f x a =-=-+，且()()0g x g x -+=，故()g x 是奇函数，假命题； ③()()()200111h f f a =+=++，()()()22222111ah f f a a =+-=+++，若()()02h h =，则1a =，假命题；④()()1g x f x =-是奇函数，则()()1F x f x =-是偶函数，且当0x >时，()()2111x F x f x a =-=-+在0,上是增函数，故()()00F x F >=，函数有唯一一个零点0，真命题. 故选：D.二、填空题13．若随机变量()~0,1X N ，已知()11P X a -<<=，则()1P X >=______. 【答案】()121a - 【分析】根据正态分布的对称性即可求出答案.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()~0,1X N ，所以正态曲线关于0x =对称， 又因为()11P X a -<<=，所以()()1112P X a >=-， 故答案为：()121a -. 14．平面向量,a b 满足()3,2a =-，2b =，()5a b a -⋅=，则+=a b ______．【答案】13【分析】由数量积的运算可求得2a b ，进而求得2a b +，由此求得结果. 【详解】()3,2a =-，347a ∴=+=，()275a b a a a b a b ∴-⋅=-⋅=-⋅=，解得：2a b ，222274213a b a a b b ∴+=+⋅+=++=，13a b ∴+=.故答案为：13.15．P 是双曲线22145x y -=右支在第一象限内一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，A 为右顶点，如图圆C 是12PF F △的内切圆，设圆与1PF ，2PF 分别切于点D ，E ，当圆C 的面积为4π时，直线2PF 的斜率为______.【答案】43【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为0x a =，又根据圆的面积可求出半径2r，可知圆心()2,2C ，可求出2tan CF A ∠，因为2CF 是21PF F ∠的角平分线，借助于角相等可求直线2PF 的斜率.【详解】由题意可知PD PE =，11F D F A =，22F A F E =，所以()()12121212|2|||PF PF PD DF PE EF DF EF AF AF a -=+-+=-=-=， 设()0,0A x ，则()()0002x c c x a x a +--=⇒=， 即()(),02,0A a =，设圆C 的半径为()0r r >，因为圆C 的面积为4π，则2π4π2r r =⇒=， 因为12CA F F ⊥，所以()2,2C ， 于是222tan 232CA CF A AF ∠===-， 因为2CF 是21PF F ∠的角平分线， 所以()2212222tan 44tan tan 21tan 33CF A PF F CF A CF A ∠∠=∠===--∠-，所以()22124tan tan tan 3PF x PF F PF F π∠=-∠=-∠=，即直线2PF 的斜率为43.故答案为：43.16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为r ，若cos cos sin sin A Cr A C+=，2,b a c =+=ABC 的面积S =______.【分析】根据题设条件化简得()sin sin sin A C r A C +=，进而得到以sin sin sin B r A C =，利用正弦定理得到12b ac =，求得4ac =，再由余弦定理和三角函数的关系式，求得sin B 的值，结合面积公式，即可求解. 【详解】由cos cos sin sin A Cr A C+=，整理得cos sin sin cos sin sin A C A C r A C +=， 即()sin sin sin A C r A C +=，因为πA B C ++=，可得()()sin sin sin A C A B π+=-=， 所以sin sin sin B r A C = 由正弦定理可得，2sin sin sin a b c r A B C ===，可得12b ac =，因为2b =，所以4ac =，且a c +=又由余弦定理可得()(2222228423cos 2284a c acb ac b B ac ac--+--+-====，则sin B =所以11sin 422ABCSac B ==⨯=三、解答题17．某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次.（1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （2）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）625；（2）分布列见解析，3.1分. 【分析】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ，根据独立事件乘法原理可求得答案； （2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出随机变量取每一个值的概率，得出随机变量的分布列，从而再由数学期望公式可求得答案.【详解】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则()()3445P A P B ==，，所以()12346C 1445525P C ⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以()02023410114551004P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⋅-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()12348211C 1455100542P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()022022********C 11C 455410035P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2342463C 1455410025P X ⎛⎫==⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，()2223448124C 4510025P X ⎛⎫==⨯⨯== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：故()1819244801234 3.1100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则该同学得分的数学期望是3.1分. 18．数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，()()11121*()1n n n n a S S n N +++=++∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a -=；（2）1242n n n T -+=-. 【分析】（1）利用11n n n a S S ++=-,将()()111211n n n n a S S +++=++变形，再利用累加法即可解出n S ，则可求出{}n a 的通项公式. （2）利用错位相减，求出n T 即可.【详解】（1）数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，()()111211n n n n a S S +++=++①.当1n =时，解得22a =；①式转换为()()()()111111112n n n n n S S S S ++++-+=++，整理得：11111112n n n S S ++-=++， 利用叠加法：23121111111111111122222n nn n S S S S -⎛⎫⎛⎫-++-=+++=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 所以111111122nn S -=-++， 整理得：21n n S =-（首项符合通项），故112n n n n a S S --=-=.（2）由（1）得：n n a b n =，所以：12n n nb -=， 故21231222n n nT -=+++⋯+①，231123 22222n n nT =+++⋯+②， ①-②得：1111 12222n n n nT -=++⋯+-， 整理得：1242n n n T -+=-. 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，5PA PB ==.（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当四棱锥P ABCD -体积为127时，求二面角A PB C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5716. 【分析】（1）分别取AB ，CD 的中点E ，F ，证明CD PE ⊥，CD EF ⊥可得CD ⊥平面PEF ，可证CD PE ⊥，由等腰三角形的性质可得PC PD =，证明三角形全等即可求证； （2）在EF 上取一点O ，连接PO ，使PO EF ⊥，根据已知条件证明O 为正方形ABCD 的中心，建立空间直角坐标系求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ， ∵PA PB =，∴PE AB ⊥， ∵//AB CD ，∴CD PE ⊥，∵CD EF ⊥，PE EF E ⋂=，∴CD ⊥平面PEF ， ∵PF ⊂平面PEF ，∴CD PF ⊥，在PCD 中，∵PF 垂直平分CD ，∴PC PD =， ∵PA PB =，AD BC =，∴PAD PBC ≅， ∴PAD PBC ∠=∠.（2）由（1）知，平面PEF ⊥平面ABCD ，在EF 上取一点O ，连接PO ，使PO EF ⊥，则PO 是四棱锥P ABCD -的高，∵113633P ABCD ABCD V PO S PO -=⨯⨯=⨯⨯=PO∵4PE ，则3OE =，即O 为正方形ABCD 的中心，以O 为坐标原点，过点O 且垂直于EF 的直线为x 轴，EF 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所求的空间直角坐标系，则(P ，()3,3,0A --，()3,3,0B -，()3,3,0C ，()6,0,0AB =，()0,6,0BC =，(3,3,PB =-，设平面PAB 的法向量()111,,m x y z =，则111160330m AB x m PB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取13z =，110,x y ==∴()0,m =，设平面PBC 的一个法向量()222,,n x y z =，则222233060n PB x y n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩取2220,3y x z ==()7,0,3n =则9cos ,1616m n m n m n⋅===⋅，设二面角A PB C --的平面角为θ，则sin θ==，∴.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点163,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，离心率35e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P 引椭圆的弦PQ ，设PQ 中点M ，当直线PQ 的斜率1k 存在且不为0时，直线OM 的斜率为2k （O 为坐标原点），求12k k 的值． 【答案】（1）2212516x y +=；（2）1625-．【分析】（1）由题得到关于,,a b c 的方程组，解方程组即得解；（2）设点(),Q p q ，则22161(3,)25165p q p q +=≠≠-，求出21161655,33q q k k p p -+==+-，再计算12k k 得解.【详解】解：（1）∵椭圆C 的离心率35c e a ==，∴22925c a =，∴222925a b a -=，∴222516a b =． 又∵222569251a b +=，∴2225,16a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212516x y +=． （2）设点(),Q p q ，则22161(3,)25165p q p q +=≠≠-， 则点1635(,)22q p M -+， 所以21161655,33q q k k p p -+==+-，∴()()121616()()5533q q k k p p -+=+-22256259q p -=-22161616259q p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=-221616125259p p ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=-2291625259p p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=-1625=-， ∴12k k 为定值1625-. 【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.21．设函数()x xf x a e -=+（0a >且1a ≠）.（1）若()f x 存在极值点，求实数a 的取值范围；（2）设()f x 的极值点为0x ，问是否存在正整数a ，使得()00,1x ∈？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）(1,)+∞；（2）存在，2a =.【分析】（1）求得()ln x x f x a a e -'=-，令()ln x x g x a a e -=-，得到()0g x '>，得到函数()g x 单调递增，根据()f x 有极值点，得出ln 0x x a a e --=有解，进而求得实数a 的取值范围；（2）由（1）知，当1a >时，函数()f x 的极值点0x ，根据()00,(1)0f f '<>，得出1ln a a e ->且a e <，令()()ln 1g a a a a =>，利用导数()g a 的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()x x f x a e -=+，可得()ln x x f x a a e -'=-，令()ln x xg x a a e -=-，则()()2ln 0x x g x a a e -'=+>，所以函数()g x 单调递增，若()f x 有极值点，则()0f x '=有解，即ln 0x x a a e --=有解， 则()ln 1xae a =，即()1ln xae a=， 因为()0x ae >，所以1ln 0a>，即ln 0a >，即1a >， 此时()f x 有极小值点()0ln ln 1log ln 1ln ac a x a a ⎡⎤=-⎥⎦+⎢⎣=，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞.（2）由（1）知，当1a >时，函数()f x 的极值点0x （即函数()f x '的零点），因为()0ln 10f a '=-<，()11ln 0f a a e -'=->，则1ln a a e ->且a e <，则()()ln 1g a a a a =>，则()1ln 0g a a '=+>， 所以()g a 在(1,)+∞上单调递增，()10g =，()22ln 21g =>， 所以2,3,4,5,6,...a =都使得1ln a a e ->成立， 又a e <，所以有且只有2a =满足题意.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为121t x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的标准方程，并说明直线l 与圆C 的位置关系．（2）直线l 与圆的相交弦为AB ，()P m n ,是弦AB上动点，求m 的取值范围． 【答案】（1）()()22:112C x y ++-=；直线l 与圆C 相交且过圆心；（2）1⎤⎦．【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则可直接化简得到圆C 的直角坐标方程，整理可得所求标准方程；由l 过圆心()1,1C -可得所求位置关系；（2）由()P m n ,满足l参数方程得1m t =-t 的几何意义可得t 的范围，由此可求得所求范围.【详解】（1）由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得：22sin 2cos ρρθρθ=-，化为直角坐标方程为：22220x y x y ++-=，∴圆C 的标准方程为()()22112x y ++-=．直线l 过定点()1,1-，即直线l 过圆心C ，则直线l 与圆C 相交且过圆心．（2）121t m n ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1m t ∴=-，由（1）知：圆C 的圆心为()1,1-，半径r =则由参数t的几何意义知：tt ≤≤∴m的取值范围为1⎤⎦． 【点睛】结论点睛：若直线l 参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中θ为直线l 的倾斜角，则t 具有几何意义：当参数t t =0时，0t 表示直线l 上的点()0000cos ,sin x t y t θθ++到点()00,x y 的距离.23．已知函数()3321f x x a x =++-+． （1）当5a =时，求不等式()10f x ≤的解集；（2）若不等式()9f x ≥恒成立时，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）(][),106,-∞-⋃+∞． 【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；（2）由绝对值不等式可得()21f x a ≥++，则由219a ++≥可求解. 【详解】解：（1）当5a =时，()35321f x x x =++-+=562,3528,3326+4,3x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以当53x ≤-时，令6210x --≤，解得2x ≥-，所以523x -≤≤-；当5233x -<<时，810≤恒成立，所以5233x -<<；当23x ≥时，令6410x +≤，解得1x ≤，所以213x ≤≤． 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为{}21x x -≤≤． （2）因为()()()33213231323121f x x a x x a x x a x a =++-+=++-+≥++-+=++，当且仅当()()3230x a x +-≥时，等号成立，令219a ++≥，解得6a ≥或10a ≤-，所以实数a 的取值范围是(][),106,-∞-⋃+∞． 【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值不等式的求解，解题的关键是分类讨论去绝对值.。

陕西省2024届高三年级教学质量检测试题（一）文科数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数22(1i)1iz -=+-，则z 的虚部为（ ）A ．3i -B ．3-C ．3iD ．32．已知函数()f x =A ，函数21()log ,,42g x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域为B ，则A B I （ ） A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(,4]-∞ D ．(1,4]-3．我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650进行编号，001，002，……，649，650．从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A ．623 B ．328 C ．072 D ．4574．设x ，y 满足约束条件21,21,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则4z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．53- C ．5- D ．25．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表： 学生的编号i 1 2 3 4 5 数学成绩x 100 105 90 85 80 地理成绩y75■686462现已知其线性回归方程为045276y x =+．．，则“■”代表该生的地理成绩为（ ） A ．76 B ．74.85 C ．73 D ．72.56．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若45624,48a a S +==，则数列121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2024项和为（ ） A ．5074051 B ．5074048 C ．5064049 D ．50640517．一个四面体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A．π3 B ．4π3C ．4π D． 8．已知圆22:(1)(1)4C x y ++-=截直线:2l y ax =-所得弦的长度为，则实数a 的值是（ ） A ．2 B ．6- C ．1- D ．4- 9．已知函数π()2sin()0,||2f x x w ωϕϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的图像关于直线π3x =对称，且图像上相邻最高点的距离为π，将函数()y f x =的图像向右平移π12个单位后，得到()y g x =的图像，则()g x 的单调递减区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z B ．3π7ππ,π88k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5ππ,π1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D ．5π11ππ,π1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 10．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且()()0f x f x +-=．若(1)1f =-，则满足|(2)|1f x -≤的x 的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[2,1]-C ．[0,4]D ．[1,2]-11．已知双曲线222:33C x y m -=的一条渐近线l 与椭圆222:1(0)x y E a b a b+=>>交于A ，B 两点，若12||F F AB =，（12,F F 是椭圆的两个焦点），则E 的离心率为（ ）A 1-B ．2C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞ 12．已知函数()ln f x x x =-，对于(1,)x ∈+∞，不等式1()e x mf x m x --<-恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．(,e]-∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,0,1,2,023A B x x =-=<-<，则A B = （）A.{0,1}B.{1,0}- C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】将集合B 化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.【详解】将集合B 化简可得{}12B x x =-<<，则{}0,1A B = 故选:A2.已知()2i 1z +=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.【详解】由()2i 1z +=可得12i 21i 2i 555z -===-+，即虚部为15-.故选：A3.已知向量(2,)m λ= ，(2,4)n λ=-- ，若m与n共线且同向，则实数λ的值为（）A.2B.4C.2- D.2-或4【答案】C 【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(2,)m λ= ，(2,4)n λ=--，∵m 与n共线且同向∴(2)80λλ-+=，解得2λ=-或4λ=，当4λ=时，m与n共线且反向，舍去，故选：C ．4.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.67.5πB.πC.πD.【答案】A 【解析】【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为()21π310567.5π2V =⨯⨯⨯+=.故选：A 5.已知2tan 3α=，则sin 2cos(2)απα--=（）A.713B.1113C.73D.1713【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角的三角函数关系，构造齐次式即可求解.【详解】2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 17sin 2cos(2)sin cos tan 113αααααααπαααα+-+---==++．故选：D.6.将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.15B.310C.25D.12【答案】C 【解析】【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】从5个数中随机删去两个数有(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9)共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1,3),(1,5),(1,7),(3,5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为42105P ==，故选：C7.下列说法正确的是（）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“,4k x k π=∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件C.命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”D.“1xy=”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A 的正误，利用正切函数的性质判断B 的正误，利用命题的否定形式判断C 的正误，利用对数的定义判断D 的正误.【详解】对A ，若22am bm ≥中，0m =时a b <也成立，故A 错；对B ，当34x π=时，tan 1x =-，故tan 1x ≠，若tan 1x =，则(41)4k x π+=，故B 对；对C ，存在量词命题的否定是1,2x x x∀∈+<R ，故C 错；对D ，若1,,xy x y =均为负数，则lg ,lg x y 无意义，故D 错.8.已知双曲线221mx y +=的一条渐近线的斜率为2，则m =（）A .－4B.4C.14-D.14【答案】A 【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出m 的值.【详解】根据221mx y +=,得到2211x y m-=-,则焦点在y轴，故渐近线为y =，2=，故4m =-.故选：A9.下列函数中，既是偶函数，又在(),0∞-上是增函数的是（）A.()22x x f x -=- B.()23f x x =- C.()2ln =-f x xD.()cos3=f x x x【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可.【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在(),0∞-上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0∞-()0,+∞ ，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0∞-上是增函数，故符合题意.故选：C.【点睛】方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称；（2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()y x ωϕ=+π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上，且图象过点π,224⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（）A.ππ,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.π5π,824⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5π3π,248⎡⎤⎢⎣⎦ D.5π3π,84⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出ω，根据点的坐标，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.【详解】由已知可得，π22T =，所以πT =，2π2Tω==，()4sin 2y x ϕ=+.又图象过点π,224⎛⎫⎪⎝⎭，所以有π4sin 212ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，π1sin 122ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2ϕ<，所以5ππ7π121212ϕ-<+<，所以ππ126ϕ+=，所以π12ϕ=，π4sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,2122k x k k -+≤+≤+∈Z 可得，7π5πππ,2424k x k k -+≤≤+∈Z ，所以，函数的单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .当1k =-时，单调递增区间为31π19π,2424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，单调递增区间为7π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时，单调递增区间为17π29π,2424⎡⎤⎢⎣⎦；对于A 项，19ππ7π24324-<-<-，故A 项错误；对于B 项，因为7ππ5π24824-<<，故B 项正确；对于C 项，因为5π3π17π24824<<，故C 项错误；对于D 项，因为5π5π17π24824<<，故D 项错误.故选：B.11.如图，已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形OCMN 的面积等于8，则E 的方程为（）A.22y x =B.24y x =C.23y =D.28y x=【答案】B 【解析】【分析】根据1AB k =求出M 的坐标，然后得MC 的方程，令0y =，得C 的坐标，利用直角梯形的面积求出p ，可得抛物线方程.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形OCMN 为直角梯形，且//FC NM .设()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)M x y ，则1212221212122122AB y y y y pk y y x x y y p p--====-+-，所以122y y p +=，所以0y p =，00322p p x y =+=，∴3,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭.所以MC 直线方程为32p y p x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，∴令0y =，∴52p x =，∴5,02p C ⎛⎫⎪⎝⎭.所以四边形OCMN 的面积为1538222p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴2p =.故抛物线E 的方程为24y x =.故选：B.12.已知函数2e ()2x k f x x kx x =+-，若1x =是()f x 在区间(0,)+∞上的唯一的极值点，则实数k 的取值范围是（）A.2e ,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.3e ,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3e ,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数导数221()(e )x x f x kx x-'=+⨯，由题可知需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，因此分离参数2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，利用导数求得其最小值，则可得2e 4k -≤，即可求得答案.【详解】由题意得2222e e e 1()()(1)(e )x x x x x xf x kx k k x kx x x x--'=+-=+-=+⨯，由题意可得1x =是函数()f x '在区间(0,)+∞上唯一变号的零点，令()2e xh x kx =+，则需满足()h x 在(0,)+∞上没有变号零点；令()2e 0xh x kx =+=，得2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，则3(2)()e xx g x x'-=，当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故当2x =时()g x 取得最小值2e(2)4g =，其大致图象如图：要使()h x 没有变号零点，则需2e 4k -≤，即2e4k ≥-，即实数k 的取值范围是2e ,)4[-+∞.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间(0,)+∞上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数221()(e )xx f x kx x-'=+⨯后，需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(3)(log 3)f f -+=__________.【答案】11【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意2(3)(log 3)f f -+=()2222log 32log 3log 32222log 134log 22222311++=+=+=+=.故答案为：11【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15.已知ABC 中，=3AB ，=2AC ，60A ∠=︒，则ABC 的外接圆面积为___________.【答案】7π3【解析】【分析】利用余弦定理求解边长BC ，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得2222cos 7BC AB AC AB AC A BC =+-⨯⨯=⇒=，该ABC 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得：2221217π2πsin 333BCr r S r A===⇒=⇒==.故答案为：7π3.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以D 是ABC 的中心，所以4,OP OA AD ====，又因为23ADB π∠=，所以AB BC AC ===⨯，()2133sin 16234ABC S AB AC a π=⨯⨯⨯=-△，所以()()232116(4)41664344P ABC ABC V S PD a a a a a -=⨯⨯=⨯-⨯+=--++△，令32()41664,(04)f a a a a a =--++≤<，2()3816(34)(4)0f a a a a a =--+=--+='解得4a =-或43，当40,3a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f a '>；当4,43a ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()0f a '<，所以()f a 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭递增，在4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故当43a =时，正三棱锥的体积P ABC V -最大，此时正三棱锥的高为416433a OP +=+=，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为163.故答案为：163三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足38a =，572S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()112nn n n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）31n a n =-（2）1344n n ++-【解析】【分析】（1）由等差数列前n 项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量1,a d 即可.（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.【小问1详解】设{}n a 公差为d ，依题意得()11154526228a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩,解得123a d =⎧⎨=⎩,所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，()*Nn ∈．【小问2详解】因为()112n n n n b a +=-+，()*N n ∈，所以()()()()232122143221222n n n n T a a a a a a +-=-+-+⋯+-+++⋯+()22221212332434412n n n n n n ++-=⨯+=+⨯-=+--．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔人数y 125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,n n i i i i i i n n i i i i x y nxyx x y y b ay bx xnx xx ====---===---∑∑∑∑()2P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k2.7063.841 5.024 6.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++【答案】（1）ˆ1101325yx =-+，775（2）能有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）先求出x 与y ，代入公式后求出ˆb ，ˆa ，得到回归直线方程；（2）代入公式求出2 4.6875K =，与3.841比较，显然有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【小问1详解】1234542x +++==，12501050100090010504y +++==，1222151250210030003600410502ˆ11051491642n i i i n i i x y nxy b xnx ==-+++-⨯⨯===-⎛⎫-+++-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，5ˆˆ105011013252a y bx =-=+⨯=，回归直线方程为ˆ1101325yx =-+5x =时，ˆ5501325775=-+=y【小问2详解】2250(727313)10402030 4.6875 3.841K ⨯⨯-⨯=>⨯⨯=⨯，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为4的正三角形，侧棱1AA =1A 在平面ABC 上的射影为BC 边的中点O.（1）求证：平面1AOA ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角11C A B O --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）先证明出BC ⊥面1AOA ，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【小问1详解】因为ABC 是边长为4的正三角形，BC 边的中点O ，所以BC OA ⊥.因为顶点1A 在平面ABC 上的射影为O ，所以1OA ⊥平面ABC ,1OA BC ⊥.因为1OA Ì面1AOA ，OA ⊂面1AOA ，1OA OA O = ,所以BC ⊥面1AOA .所以BC ⊂面11BCC B ，所以平面1AOA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.因为ABC 是边长为4的正三角形，O 为BC 边的中点，所以3sin 6042OA AB =︒=⨯=.在直角三角形1OAA中，16OA ==.所以()0,0,0O ，()A ，()0,2,0B ，()0,2,0C-，()10,0,6A .所以()AB =- ,()2,0AC =-- .在三棱柱111ABC A B C -中，由11AB A B =，()10,0,6A 可求得：()12,6B -.同理求得：()12,6C --.所以()11A B =- ，()10,2,6CA = ,()10,0,6OA = .设(),,m x y z = 为平面11OA B 的一个法向量，n 为平面11CA B 的一个法向量.因为11100A B m OA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2000060y z ⎧-++=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1x =，则()m = .同理可求：33n ⎛=- ⎝⎭ .设θ为二面角11C A B O --的平面角，由图可知：θ为锐角，所以,239cos cos ,13m n m n m n θ===⨯ .即二面角11C A B O --.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2A ⎛ ⎪⎝⎭，点()1,0F 为椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0F 作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆相交1A 、1B ，直线2l 与椭圆相交2A 、2B 两点，求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）169【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出11||A B 和22||A B ，求出S 后，根据基本不等式求出最值可得解.【小问1详解】由题意可得2222212141a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】设直线1l 的方程为()10x ty t =+≠，联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222210t y ty ++-=，22244(2)8(1)0t t t ∆=++=+>,设()111,A x y ，()122,B x y ，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，所以11A B =====)2212tt+=+，同理可得)2222221111212t tA Btt⎫⎛⎫-+⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+⎪⎝⎭，则()()()()22221122222224141116||||292212212t tS A B A Bt t t t++=⋅=≥=++⎛⎫+++⎪⎝⎭，当且仅当22212t t+=+，即1t=±时取等号.所以四边形1212A AB B的面积S的最小值为169.21.已知函数()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+．（1）求函数()g x的单调区间；（2）若方程()f x m=的根为1x、2x，且21x x>，求证：211ex x m->+．【答案】（1）单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；（2）求导分析()f x的单调性，()1lnf x x'=+，推出()f x x<-，设直线y x=-与y m=的交点的横坐标为3x，则13x x m<=-，证明当1,1ex⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e1f x x<--，即可得证．【小问1详解】解：因为()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+，所以()l1n2xg x xx=-+定义域为()0,∞+，()()222221212110xx xg x xx x x---+-'=--==≤，所以()g x在()0,∞+上单调递减，即()g x的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；【小问2详解】证明：()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x ¢>所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 11e e f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0f x x x =<，所以12101x x e <<<<，且10em -<<，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()f x x <-，设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则1311ln x x m x x <=-=-，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设l e 111()ln (1)(n )11e ()e 1h x x x x x x x =--=-+---，11()ln 1e (1e )m x x x=-+--，则22e 11(1)1(e )(1))e (1x m x x x x --'=-=--，当11e e 1x <<-时，()0m x '<，当11e 1x <<-时，()0m x '>，所以()m x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上增函数，又因为10e m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10m =，所以当11ex <<时，()0m x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设直线1(1)1y x e =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则241(e 1)x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足3OP OM = ，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线3y x =与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，将曲线1C 、2C 的方程转化为极坐标方程后，求AB ．【答案】（Ⅰ）3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）设(),P x y 由于P 点满足3OP OM = ，所以,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于点M 在1C 上，所以cos 31sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2C 的参数方程3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）曲线1C 的参数方程转换为极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程转换为极坐标方程为6sin ρθ=，直线3y x =转换为极坐标方程为π6θ=．所以2sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1A ρ=，同理6sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ=，故312A B AB ρρ=-=-=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.[选修4－5：不等式选讲]23.设函数()|21|||,f x x x a a R=-++∈（1）当1a =时，解不等式()3f x ≥；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1x ≥或1x ≤-；（2）14a .【解析】【分析】（1）当1a =时，利用零点法进行分类，求出不等式()3f x ≥的解集；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，即min |1|()a f x - ，根据1,2a -之间的大小关系，进行分类，最后求出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，1()211322113x f x x x x x ⎧⎪=-++⇔⎨⎪-++⎩ ，或1121123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-⎩ 或11213x x x -⎧⎨---⎩ ，即121x x ⎧⎪⎨⎪⎩ ，或1121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩ ，或11x x -⎧⎨-⎩ ，即1x ≥或1x ≤-.（2）即min |1|()a f x - ，当12a =-时，min 1(),()|1|2f x f f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 恒成立；当12a >-时，31,1()1,2131,2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+--⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-⎪⎩，可知min 11()22f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得1142a >- ；当12a <-时，131,21()1,231,x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+--⎪⎪⎩，同理min 11()22f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，得12a <-.综上，a 的取值范围为14a .【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.21。

高三下学期理数教学质量检测测评试卷〔三〕一、单项选择题1.集合，，那么〔〕A. B. C. D.2.复数满足，那么〔〕A. 5B.C.D. 23. ，，，那么〔〕A. B. C. D.4.二项式的展开式中的系数为〔〕A. -15B. -3C. 3D. 155.函数的图象大致是〔〕A.B.C.D.6.曲线的一条切线的斜率为1，那么该切线的方程为( )A. B. C. D.7.某省今年开始实行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语文、数学、外语三门科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这6个科目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，假设他俩所选科目都有物理．其余2科均不同，那么甲不选历史，且乙不选化学的概率是〔〕A. B. C. D.8.如下列图的程序输出的结果为，那么判断框中应填〔〕A. B. C. D.9.数列的前项和满足，且，那么〔〕A. 100B. 110C. 120D. 13010.筒车是我们古代创造的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在?农政全书?中用图画描绘了筒车的工作原理，如下列图，筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车沿逆时针方向以角速度转动，规定：盛水筒对应的点从水中浮现〔即时的位置〕时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系，设盛水筒从点运动到点时经过的时间为〔单位：〕，且此时点距离水面的高度为〔单位：米〕，筒车经过第一次到达最高点，那么以下表达正确的选项是〔〕A. 当时，点与点重合B. 当时，一直在增大C. 当时，盛水筒有次经过水平面D. 当时，点在最低点11.点、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，且，那么该椭圆的离心率为〔〕A. B. C. D.12.函数是定义在上的单调递增函数，，当时，恒成立，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.二、填空题13.向量，，那么________.14.等比数列的公比，前项积为，假设，那么________．15. ，分别是双曲线：〔，〕的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于第一象限内的一点，假设为的重心，那么该双曲线的离心率为________.16.如图圆锥内的球与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为，那么圆锥侧面积的最小值为________．三、解答题17.等腰中，角，，的对边分别为，，，，是的中点．〔1〕假设，，，求的面积；〔2〕假设的面积等于，求的最小值．18.如图，在四棱锥中，，，，，，，．〔1〕证明；平面平面；〔2〕假设，点在上，且，求二面角的大小．19.抛物线〔〕的焦点为，点是抛物线内一点，假设该抛物线上存在点，使得有最小值3.〔Ⅰ〕求抛物线的方程；〔Ⅱ〕设直线，点是与轴的交点，过点作与平行的直线，过点的动直线与抛物线相交于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：.20.甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华〞竞答游戏，活动的规那么为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，那么按逆时针选择乙，如果是偶数，那么按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数到达场，游戏结束，该选手为晋级选手．〔1〕求比赛进行了3场且甲晋级的概率；〔2〕当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．21.函数，．〔1〕假设在定义域内是减函数，求的最小值；〔2〕假设有两个极值点分别是，，证明：．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程是〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.〔Ⅰ〕曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；〔Ⅱ〕点，假设和的交点为，，求.23.函数.〔Ⅰ〕当时，求函数的最小值；〔Ⅱ〕当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】由，即，得，集合，由得，即，集合，由数轴表示可得，。