北师大版九年级下册数学《垂径定理》圆精品PPT教学课件

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
CE=DE，
AC=AD,BC=BD
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着
直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
例题3 C A 例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M
D B
.O
证明：作直径MN⊥AB。
N
∵BMA，B∥CMCD＝，D∴MM（⌒N垂⊥直C平⌒D分。弦则的A⌒M直＝径⌒平
分弦所对的弦）
A⌒M－C⌒M＝BM⌒ －D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
C
O
A
A
E

O
C AEB D
变式2:求如证图:,AA⌒CB=、B⌒CDD. 是⊙O的弦,且AB∥CD.
O
F
A
E
B
C
D
G
自学指点2:(4+2分钟)
(一)如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分 AB的直径CD,交AB于点M. 1.你能发现图中有哪些相等的量?并说明理由.
AB⊥CD
⌒⌒
AC=BC
C
A
M
B
⌒⌒
垂直于弦的 直径 平分这条 弦 ,并且平分 弦所对的 弧 .
几何语言:
∵∵在在⊙⊙OO中中,,C直D径是C直D径⊥,弦CDA⊥B 弦AB
C
∴ A⌒M=B⌒M
AC=BC
A
M
B
⌒⌒
O
AD=BD
D
应用: 方法:环绕已知弦构造直角三角形.
1.(202X•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点
C,AB=4,OC=1,则OB的长是
.
C
A
M
B
O
D
2.如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,
已知CD=20,CM=4,则AB的长为
.
解:连接OA ∵ CD=20 ∴ AO=CO=10
∴ OM=OC–CM =10–4=6
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
∴ AB=2AM
在Rt△OMA中,AO=10,OM=6
根据勾股定理，
AM AO2 OM 2 102 62 8
E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径
是
.
4.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的
弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长

则DC的长为（ D）
A．5cm B．2.5cm C．2cm D．1cm
O
D
A
B
C
3.9 弧长及扇形的面积
复习旧知
1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
C=2πR
S=π
2.什么叫圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角
情境导入
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. （1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
20πcm
A
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
cm
新知讲解
（3）转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米? A
归纳总结
O n°
2πR
πR
1°的圆心角所对的弧长是_3_6__0___,即_1_8__0__．
弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l=
nπR 180
新知讲解
注意：(1)用弧长公式l= 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆 心角的倍数，它是不带单位的. (2)区分弧、弧的度数、弧长三个概念．度数相等的弧，弧长不一定相等， 弧长相等的弧也不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
①CD是直径 ②CD⊥AB
可推得
③AM=BM, ④AC=BC, ⑤AD=BD,
新知探究
理 由： 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
新知探究
2 . 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过 点M.并且AM=BM.

弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.

又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
又∵∠ADC=86°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠CBE=86°.
∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
∠ = ∠
在△ ADC 和△ EBC 中{ ∠ = ∠
=
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
20.用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均
∴∠BOD=∠OCB+∠B=100°
23.在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
1
解：∵∠BOD=160°∴∠BAD= 2 ∠ = 80∘
∵A、B、C、D 四点共圆，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=100°．
24.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB
值等于（ ）
3.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的弦且AB=8，则使△ABE的面积为8 的点E共有（ C ）个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.下列命题正确的个数是（ B ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆
心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
上时，∠AB′C＝180°－
∠ABC＝180°－80°＝100°.
所以∠ABC的度数是80°或100°.
答案：D
)
随堂练习：
1.AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作
EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（C ）

九年级数学(下)第三章 圆
3.3 垂径定理
知识回顾
1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
3.顶点在圆心的角叫做圆心角.
4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等。
5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相 等。
（2） （3）
（1） （4） （1） （5） （4）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于
C
弦，并且平分弦所对的两条弧
A M└
B
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
●O
分弦所对的两条弧
（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所
对的弦，并且平分弦所对的另一条弧
可推得
②④CA⌒DC=⊥B⌒ACB, , ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ∴CD⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.3121.8.31Tuesday, August 31, 2021
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:56:2209:56:2209:568/31/2021 9:56:22 AM
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.3109:56:2209:56Aug-2131-Aug-21

R
OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+(R-7.2)2．
O
解得R≈27.9(m)．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m．
课堂练习
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，
∠AOB=120°，则弦AB的长是（ B ）．
A．2 2 B．2 3 C． 5 D．3 2
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂
探究新知
（2）发现：AM=BM，AC BC ，AD BD ．
理由：如图，连接OA，OB，则OA=OB． 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM． ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC．
∴ AC BC ．
探究新知
∵∠AOD=180°-∠AOC， ∠BOD=180°-∠BOC，
A
为垂足，OC与 AB 相交于点C，连接
C
D
B
R
OA．根据垂径定理，D是AB的中点，
C是AB 的中点，CD就是拱高
O
典例精析
由题设可知AB=37.4 m，CD=7.2 m．
所以 AD 1 AB 1 37.4 18.7(m)，
2
2

A
OD=OC-CD=R-7.2．
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
650
2
2
3002
125(mm)，
所以CD=OD-OC=325-125=200(mm)．
答：油的最大深度为200 mm．
课堂小结
1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧．
2．垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧．

你能文字语言叙述问题5和问题6中的结论吗？ 问题5的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的
两条弧． 问题6的结论（垂径定理的推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
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【形成结论】
追问：如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？ 类似还有如下结论： （1）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦； （2）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧．
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R2 18.52 R 7232，解得 R 27.3 （m）．
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【巩固提高】
学生练习1 课本76页随堂练习第2题． 学生练习2 如图，已知 弦AB ，请你利用尺规作图的方法作出弦AB的中点，
说出你的作法．
A
B
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【巩固提高】
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由．
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【探究问题】
问题5 已知：如图 ，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且 CD⊥AB，垂足M．
求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
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【创设情境】
问题2 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所 对的弦长)为37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）

OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2HN2, 即 O H3.921.523.6. DH=OH-OD
D 3 .6 H 1 .5 2 .1 2 .∴此货船能顺利通过这座拱桥.
想一想
垂径定理三角形
组卷网
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
a
h
2
⑴d + h = r
d O
⑵ r2 d2 (a)2
2
垂径定理的逆应用
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
B
D
600
垂径定理的逆应用
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油 后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm， 求油的最大深度.
2
2
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
R2 3002 R 902.
解这个方程, 得R 545.
这段弯路的半径约为545m.
赵州石拱桥
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如
图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的
长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？
C
O
E
A
B
D
方法总结
n 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量

解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
CF 1 CD 1 600 300
2
2
根据勾股定理，得
OC²=CF² +OF²
即 R²=300²+(R-90)².
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545m.
C E
F
O
D
课堂练习
2.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已 知CD = 20，CM = 4，求AB.
C
M
└
B
O
D
∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.
课堂练习
方法归纳：
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
·O
AC
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距
C
离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦
a 2
h
A
心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
r
D d
O
B B
拓展提高
板书设计
1.垂径定理： 几何语言
3.3垂径定理
2.垂径定理的逆
定理：
展示区
关系
谢谢观看！
⌒AC= ⌒BC ⌒AD= ⌒BD
C
M
B
└
●O
D
新知讲解
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)
(1) (3)
(4) (5)
题设
结论
｝｛ （1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
新知讲解

1.判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )
圆上任意两点间的部分叫圆叫做直径.
2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？是中心对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相 等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相 等吗？如果弦相等呢？
1.垂直于弦的直径与这条弦及这条弦所对的两条
.O
E
B
D
叠
合 法
3.结论提炼：
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧。
推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径
∴AM=BM，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C.
4.弧如(右即图图所中示⌒C，D ，一点条O公是路C⌒的D 的转圆弯处心是) ，一其段圆中 CD=600m，E为C⌒D上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3 垂径定理
学习目标: 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其 逆定理，并能合理利用垂径定理及其逆 定理解决实际问题. 学习重点：利用圆的轴对称性研究垂径 定理及其逆定理. 学习难点：垂径定理及其逆定理的证明， 以及应用时如何添加辅助线.
1.什么是弦？什么是弧？什么是直径？
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）

C（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
A
●
B
●MO
D
由 ① CD过圆心 可推得 ② AM=BM
③CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦,并且平分弦所对的两条 弧.(知二推三）
已知⊙O的半径为5cm，弦AB=8 cm,点C是AB的中点，求OC的长。
D
证明结论
已知：在⊙O中，CD是 直径，AB是弦，且 CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，A⌒C＝
B⌒C，A⌒D＝B⌒D。
A
C
.O
E
B
D
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM.
C A M└ B
有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上； 3、圆心在平行弦内。
M
C
D
A
B
A
.
B
.O
O
N
1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其 逆定理.
2、在利用垂径定理解题时，常通过作弦心 距或连半径来构造Rt△，再利用勾股定理求 圆的半径或弦的长度。
作业布置：
随堂练习 2 知识技能 1、2、3
E
B
.
O
解：连结OA,过O作OE⊥AB， ∵ OE过圆心， OE⊥AB
∴ OE平分AB， ∴ AE＝BE ＝4cm
在Rt△AOE中， ∵OE=3cm,AE=4cm
∴ OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5cm。
1、在⊙O中，直径为10cm，圆心O到弦AB
的距离为3cm， 求弦AB的长。

A⌒D= B⌒D
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
归纳总结：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，
C
A
B
M└
●O
∴ AM=BM， A⌒C =B⌒C, ⌒AD =⌒BD. D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化， 形成整体，才能运用自如.
2
∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，
∴AO=r，OF=r-2，
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r= 13 m．
4
∴AB所在圆O的半径为 13 m．
4
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
垂弦定理
垂直于弦 的直径
垂弦定理 的推论
C （1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
·O
∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得A⌒C =⌒BC， ⌒AD =B⌒D.
E A
B
D
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
归纳总结：
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
解：连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C
A
M
B
└
●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.