2013年全国名校中考数学模拟试卷分类汇编 31 解直角三角形的应用

解直角三角形的应用一、选择题1、(2013·曲阜市实验中学中考模拟)如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）A ．6sin15°cmB ．6cos15°cmC ．6tan15° cmD ．6tan15cm 答案： C二、解答题1、（2013温州市一模）如图，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，BE ⊥AD 于点E ，AB=50米，BC =30米,∠A =60°，∠D =30°．求AD 的长度．解：画CF ⊥AD 于点F ．∵BE ⊥AD∴3sin 502532BE AB A ==⨯= ∴222250(253)25AE AB BE =-=-= ∵BC ∥AD ，CF ⊥AD∴CF=BE 253=,25375tan 33CF FD D ===， EF =BC=30∴253075130AD AE EF FD =++=++=米F2、(2013·吉林中考模拟)已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）答案：解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴．…………… 2分设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．…………… 4分（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x－14．在Rt△ABC中，，即．………6分解得，即．………… 7分答：古塔BC的高度约为19米．………… 8分3、(2013·曲阜市实验中学中考模拟)如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（参考数据：732.13≈，414.12≈）答案：解：作PD ⊥AB 于点D ………………1分PAB EF 30º 45º4、（2013·温州市中考模拟）如图，小明在楼上点A 处观察旗杆BC ，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C 的俯角为60°，已知点A 距地面的高AD 为12m ．求旗杆的高度．答案：解：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，得矩形ADCE ，∴CE=AD=12.PC=PA·cos∠APC=303…………………………………2分在Rt△PCB 中，PB PCBPC =∠cos ………………………1分63045cos 330cos =︒=∠=BPC PC PB …………………………………2分 答：当渔船位于P 南偏东45°方向时，渔船与P 的距离是306海里。

2013年全国中考数学三角形试题汇编（2013•江西）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．【答案】解：●操作发现：①②③④●数学思考：答：MD=ME，MD⊥ME，１、MD=ME；如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MF=AC．又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，∴EG⊥AC且EG=AC，∴MF=EG．同理可证DF=MG．∵MF∥AC，∴∠MFA＋∠BAC=180°．同理可得∠MGA+∠BAC=180°，∴∠MFA=∠MGA．又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．同理可得∠DFA=90°，∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴MD=ME．2、MD⊥ME；证法一：∵MG∥AB，∴∠MFA+∠FMG=180°，又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF.∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，∴∠DME=90°.即MD⊥ME；证法二：如图2，MD与AB交于点H，∵AB∥MG，∴∠DHA=∠DMG，又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,即∠DHA=∠FDM+90°,∵∠DMG=∠DME+∠GME，∴∠DME=90°即MD⊥ME；●类比探究答：等腰直角三解形【考点解剖】本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高．【解题思路】（1）由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF,△DFM中四个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90°．（3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.【解答过程】略.【方法规律】由特殊到一般，形变但本质不变（仍然全等）【关键词】课题学习全等开放探究（2013，河北）如图8-1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图8-2.则下列说法正确的是A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远（2013•上海）如图3，在△和△中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△≌△，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．（2013•上海）如图5，在△中，，，tanC=32，如果将△沿直线l翻折后，点落在边的中点处，直线l与边交于点，那么的长为__________．（2013•上海）如图8，在△中，，，点为边的中点，交于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）联结，过点作的垂线交的延长线于点，求证：．（2013•毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16B．20或16C．20D．12考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20；②当4为腰时，其它两边为4和8，∵4+4=8，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有20．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．（2013•毕节地区）如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．45°考点：平行线的性质；三角形的外角性质．分析：根据平行线的性质可得∠CFE=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠E+∠D=∠CFE．解答：解：∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE，∵∠EBA=45°，∴∠CFE=45°，∴∠E+∠D=∠CFE=45°，故选：D．点评：此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2013•昆明）如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，A=50゜，ADE=60゜，则C的度数为（）A.50゜B.60゜C.70゜D.80゜（2013•昆明）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个。

2013中考全国100份试卷分类汇编解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市2013年）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ A ）A．20米 B．103米 C．153米 D．56米［解析］GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF•tan30º=10 3 ×3 3=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。

2、（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A． B． C． D．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==．故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（2013•绥化）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长．考点：解直角三角形．分析：首先解Rt△ABD，求出AD、BD的长度，再解Rt△ADC，求出DC的长度，然后由BC=BD+DC 即可求解．解答：解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，∴AD=AB=4，BD=AD=4．在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=4+4．点评：本题考查了解直角三角形的知识，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形中利用解直角三角形的知识求出BD、DC的长度．4、（2013•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．考点：直角三角形斜边上的中线．分析：连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．解答：解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP=AB，∵AB=20cm，∴OP=10cm，故答案为：10．点评：此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5、（2013安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC 的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·2013东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为 米.15. 9.解析：过B 作B E ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan ABACB AC ∠=，所以3tan tan 6033AB x x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，33BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以331tan 33x BE DE x BDE ===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米.7、（2013•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．考点：解直角三角形．分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，然后根据BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．解答：解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴AB==3，∴BD==2，∴BC=BD+DC=2+1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=+，∴DE=CE﹣CD=﹣，∴tan∠DAE==﹣．点评：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键．8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市。

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◆增加的内容：（略） ◆选学内容（不作为考试内容）：
◆数与代数： （1）能解简单的三元一次方程组； （2）了解一元二次方程的根与系数的关系； （3）知道给定不共线三点确定一个二次函数。 ◆图形与几何： （1）了解相似三角形判定定理的证明； （2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对 的两条弧； （3）探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线 的长相等。 有一处修改值得关注：将“灵活运用不同的方式确定物体的 位置”改为“在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相 对位置”。 - 新世纪教育网版
二、探讨2014中考复习
• 中考是九年义务教育学生学习的终结性考试，目的是 考查学生在第三学段（初中阶段）所学的数学基础知识、 数学思想和方法以及应用数学知识和方法解决简单实际问 题的能力，同时考查学生的观察、探究、猜想、推理、论 证能力以及创新意识。 • 数学中考的命题以《数学课程标准》为命题的标准， 以考纲为依据，面向全体学生，关注对不同层次学生的学 业水平的考查。命题力求充分考虑学生的知识、经验和身 心发展水平，力求贴近学生生活和社会发展的实际情况， 促进学生生动活泼、主动学习。在考查学生“四基”的同 时，也注重考查学生的潜力，力求多角度、多层面地考查 学生数学的综合素养。
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• 1.领悟课标（2011版）所体现的新理念： • （1）“四基”：基础知识、基本技能、基本 思想、基本活动经验。 • （2）“十个核心概念”：数感、符号意识、 运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推 理能力、数据分析观念、应用意识、创新意识。 • （3）进一步强调了数学学习过程、活动经验 及创新意识的培养。 • 2.了解课标（2011版与实验稿）的变化： • 今年的中考命题是以课标（实验稿）为依据， 还是以课标（2011版）为依据，暂时还不清楚， 但新的理念在2013年的中考试题就有渗透，因此 加强新旧课标的对比分析和研究就十分必要。