(详细解析)1997年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共15小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（15）题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}02M x x =≤<|，集合{}2230N x x x =--<|，集合MN =A ．{}10<≤x xB ．{}20<≤x xC ．{}10≤≤x xD ．{}20≤≤x x 【答案】B【解析】方法一：∵{}13N x x =<<|，则M N ⊂，∴MN M =． 方法二：∵{}13N x x =<<|，∴{}{}{}021302M N x x x x x x =≤<<<=≤<||．2．如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，那么系数a = A ．3- B ．6- C ．23- D ．32【答案】B【解析】由平行关系条件得231a =-，解得6a =．3．函数11tan()23y x π=-在一个周期内的图像是【答案】A 【解析】由于112232x πππ-<-<，所以533x ππ-<<，又正切函数在定义域内为增函数，A 正确．4．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且2AB AC BC ===，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是A ．4π B ．3π C ．2π D ．32π【答案】C【解析】由题设可知AB AC BD DC ====，2BC AD ==．取BC 中点M ．连结,AM DM ．则,AM BC DM BC ⊥⊥．所以AMD ∠就是所求的二面角．在AMD ∆中，222AM DM AM DM AD =+=．易知这个三角形是一个等腰直角三角形，即2AMD π∠=，所以这个二面角是2π．5．函数sin(2)cos 23y x x π=-+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】2(2)32sin(2)cos 2sin(2)sin(2)2sin 3322x x y x x x x πππππ-+-=-+=-+-= 2(2)5532cos 2sin(2)cos()2sin(2)cos 212121212x x x x ππππππ---⋅=-⋅-=--⋅，所以函数的最小正周期是π．6．满足tan cot αα>的角α的一个取值区间是A ．04π⎛⎤ ⎥⎝⎦,B ．04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡24ππ， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，【答案】C【解析】备选答案均在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内．由tan cot αα>得2tan 1α>，则tan 1α>且cos 0α≠，所以42ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．7．设函数()y f x =定义在实数集上，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像关于 A ．直线0y =对称 B ．直线0x =对称 C ．直线1y =对称 D ．直线1x =对称 【答案】D【解析】令1u x =-，则函数()y f u =与()y f u =-的图象关于0u =对称，即1x =对称，故函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称．8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是A ．B ．C ．50πD ．200π 【答案】C【解析】由题设可得球的半径为22R ==，则表面积是2450R ππ=．9．如果直线l 将圆：22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值 范围是A ．[0,2]B ．[0,1]C ．1[0,]2D ．1[0)2, 【答案】A【解析】圆的标准方程为22(1)(2)5x y -+-=，由题意直线过点圆心(1,2)，画图可知l 的斜率的取值范围是[0,2]．10．函数2cos 3cos 2y x x =-+的最小值为 A ．2 B ．0 C ．41- D ．6 【答案】B【解析】2231cos 3cos 2(cos )24y x x x =-+=--，由1c o s 1x -≤≤，所以当1cos 2x =时，函数取得最小值为231(1)024--=．11．椭圆C 与椭圆()()1429322=-+-y x 关于直线0x y +=对称，椭圆C 的方程是A ．()()1934222=+++y x B ．()()1439222=-+-y xC ．()()1439222=+++y x D ．()()1934222=-+-y x【答案】A【解析】设椭圆C 上一点(,)x y ，其关于直线0x y +=对称的对称点为(,)y x --，代入方程()()1429322=-+-y x 并整理得()()1934222=+++y x ．12．圆台上、下底面积分别为,4ππ，侧面积为π6，这个圆台的体积是A ．332π B ．π32 C ．637π D ．337π【答案】D【解析】圆台上、下底半径分别为1,2，由侧面积公式(12)6S l ππ=+=得母线长2l =，所以高h =1(24)33V πππ=++=．13．定义在区间()+∞∞-,的奇函数()f x 为增函数；偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图像与()f x 的图像重合，设0a b >>，给出下列不等式：①()()()()f b f a g a g b -->-- ②()()()()f b f a g a g b --<-- ③()()()()f a f b g b g a -->-- ④()()()()f a f b g b g a --<-- 其中成立的是A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④ 【答案】C【解析】本小题考查函数的奇偶性与不等式，由条件知数()g x 在区间(),0-∞上是减函数，()f x 在区间(),0-∞上为增函数，作图并结合对称性可知①与③正确．14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330 的解集是A ．{}02x x << B ．{}5.20<<x x C ．{}60<<x x D ．{}30<<x x【答案】C【解析】当02x <≤时得3232x x x x -->++，解得02x <≤；当2x >时得3232x xx x-->-++，解得2x <<C ．15．四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一 平面上，不同的取法有A ．30种B ．33种C ．36种D ．39种【答案】B【解析】只能在点A 所在的三个平面上取点，而每个平面上有5个不同于A 的点，故不同的取法有35330C =种；从A 所在的三条棱与其对棱的中点取3点共3种，所以有33种不同取法．第Ⅱ卷（非选择题 共85分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为 ． 【答案】4【解析】通项为3999221991()((1)()2r rrr r r r r r a T C C a x x ---+==-，由3932r -=得8r =，则884919(1)()24C a -=，所以4a =．17．已知直线2x y -=与抛物线24y x =交于,A B 两点，那么线段的中点坐标是 ． 【答案】(4,2)【解析】解法一：联立方程组224x y y x -=⎧⎨=⎩解得42x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩42x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩标是(4,2)．解法二：设1122(,),(,)A x y B x y ，由224x y y x-=⎧⎨=⎩消去x 得2480y y --=，由韦达定理得1212124,(2)(2)8y y x x y y +=+=+++=，从而中点坐标是(4,2)．18．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为 ．【答案】32- 【解析】sin 7cos15sin8sin(158)cos15sin8sin15cos8sin15cos7sin15sin8cos(158)sin15sin8cos15cos8cos15︒+︒︒︒-︒+︒︒︒︒︒===︒-︒︒︒-︒-︒︒︒︒︒tan 60tan 45tan15tan(6045)21tan 60tan 45︒-︒=︒=︒-︒===+︒︒19．已知,m l 是直线，,αβ是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l α⊥； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若,m l αβ⊂⊂，且l m ⊥，则βα⊥； ④若β⊂l ，且α⊥l ，则βα⊥； ⑤若,m l αβ⊂⊂，且//αβ，则//m l ．其中正确的命题是序号是 ．（注：把你认为正确的序号都．填上） 【答案】①④．注：第（19）题多填、漏填和错填均给0分．【解析】略．三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）已知复数1,2z ω=+=．求复数3ωωz z +的模及辐角主值． 【解】本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力．满分10分． 解法一：将已知复数化为复数三角形式：3sin 3cos 2321ππi i z +=+=，cos sin 2244i i ππω=+=+． 依题意有3771313(cossin )(cos sin )12121212z z i i ππππωω+=+++ 713713(cos cos )(sin sin )12121212i ππππ=+++55552cos (cossin )sin )46666πππππ=+=+．故复数3ωωz z +的模为2，辐角主值为65π． 解法二：321(1)()(1)2z z z i ωωωω+=+=+155)sin )2266i ππ=-+=+．21．（本小题满分11分）设n S 是等差数列{}n a 前n 项的和．已知331S 与441S 的等比中项为551S ，331S 与441S 的等差中项为1．求等差数列{}n a 的通项n a ．【解】本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．满分11分．设等差数列{}n a 的首项1a a =，公差为d ，则通项为(1)n a a n d =+-，前n 项和为(1)2n n n S na d -=+，依题意有234534111(),34511 2.34S S S S S ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩其中50S ≠． 由此可得2132143154(3)(4)(5)3242252132143(3)(4)23242a d a d a d a d a d ⨯⨯⨯⎧+⨯+=+⎪⎪⎨⨯⨯⎪+++=⎪⎩整理得2350,52 2.2ad d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解方程组得⎩⎨⎧==10a d ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=4512a d由此得1n a =；或1232124(1)555n a n n =--=-． 经验证知时51,5n a S ==，或n a n 512532-=时，54S =-，均适合题意． 故所求等差数列的通项为1n a =，或n a n 512532-=．22．（本小题满分12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比、比例系数为b ；固定部分为a 元．（I ）把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（II ）为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？ 【解】本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分． （Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为 )(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅= 故所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=（Ⅱ）依题意知,,,S a b v 都为正数，故有ab S bv vaS 2)(≥+当且仅当,bv v a =．即ba v =时上式中等号成立 若c b a ≤，则当b av =时，全程运输成本y 最小， 若c ba>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c a S bv v a S +-+)]()[(bc bv c a v a S -+-==))((bcv a v c vcS-- 因为0c v -≥，且2a bc >，故有20a bcv a bc >≥->，所以)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当v c =时等号成立， 也即当v c =时，全程运输成本y 最小．综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为bab v =； 当c bab>时行驶速度应为v c =．23．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点．（Ⅰ）证明1AD D F ⊥； （Ⅱ）求AE 与1D F 所成的角； （Ⅲ）证明面AED ⊥面11A FD ；（Ⅳ）设12AA =，求三棱锥1E AA F -的体积F AA E V 1-．【解】本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力．满分12分．（Ⅰ）∵1AC 是正方体，∴AD ⊥面1DC ．又1D F ⊂面1DC ，∴1AD D F ⊥．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结1,AG FG ．因为F 是CD 的中点，所以,GF AD 平行且相等，又11,A D AD 平行且相等，所以11,GF A D 平行且相等， 故11GFD A 是平行四边形，11//AG D F ． 设1AG 与AE 相交于点H ，则1A H A ∠是AE 与1D F 所成的角， 因为E 是1BB 的中点，所以11,Rt A AG Rt ABE GA A GAH ∆≅∆∠=∠，从而190AHA ∠=︒，即直线AE 与1D F 所成角为直角． （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知1AD D F ⊥，由（Ⅱ）知1AE D F ⊥，又ADAE A =，所以1D F ⊥面AED ．又因为1D F ⊂面11A FD ，所以面AED ⊥面11A FD ． （Ⅳ）∵体积11E AA F F AA E V V --=，又FG ⊥面11ABB A ，三棱锥1F AA E -的高12FG AA==，面积1112112222AA E ABB A S S ∆==⨯=． ∴1111422333E AA FAA E V S FG -∆=⨯=⨯⨯=．24．（本小题满分12分）已知过原点O 的一条直线与函数8log y x =的图像交于,A B 两点，分别过点,A B 作y 轴的平行线与函数的2log y x =的图像交于,C D 两点．（Ⅰ）证明点,C D 和原点O 在同一条直线上；（Ⅱ）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．【解】本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力，满分12分．（Ⅰ）设点,A B 的横坐标分别为12,x x 由题设知，121,1x x >>．则点,A B 纵坐标分别为8182log ,log x x ．因为,A B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =， 点,C D 坐标分别为121222(,log ),(,log )x x x x ． 由于8221818log log 3log log 2x x x ==，8222828log log 3log log 2x x x == OC 的斜率1181121log 3log x x x x k ==， OD 的斜率2282222log 3log x x x x k ==． 由此可知，12k k =，即,,O C D 在同一条直线上．（Ⅱ）由于BC 平行于x 轴知2182log log x x =， 即得21221log log 3x x =，∴321x x =． 代入281182log log x x x x =得3181181log 3log x x x x =．由于11x >知log 8x 1≠0，∴3113x x =．考虑11x >解得1x于是点A 的坐标为8．25．（本小题满分12分）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为55．求该圆的方程． 【解】本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．设圆的圆心为(,)P a b ，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为,b a ，由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2， 故222r b =，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有221r a =+．从而得2221b a -=．又因为(,)P a b 到直线20x y -=的距离为55，所以d ==， 即有21a b -=±， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是2222r b ==， 所求圆的方程是22(1)(1)2x y +++=，或22(1)(1)2x y -+-=．。