线性规划中目标函数的几种类型
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乙— s in x
则原函数可看成 由函数
y=
/ 4 、 . 。，_
一i t十丁少十乙Tw
t = 2- sinx复合而成，
': sinx E 〔一1，1] ，…t= 2一sinx E [ 1,3] ，结 合图 2 可以看出当 t = 2 时，yma二二一2，当t= 1
时，y二一3，当 t = 3 时，y =
以上 4 种 目标 函数类型的处理方法对于限 制条件为非一次不等式 时 ，原则上也是可行 的 ， 只要能画出(x , y) 满足的可行域.
求值域
护 一4x + 5
例 5 求函数 y = log!' x 一 2 的值域 .
解:原函数可以变形为 y =
log,
护 一4x +
x 一2
5
(x 一2) 2+ 1
. 二， _ 、 . 1 ，
= logy, x 一 2
109 2 LCx 一 G) 十 丁一一7 j ， J— 乙
则原函 可以看成由 y = 1og2 t 与 t = u十
求 z = Ix + 2y- 4 1的最大值.
解 :先 画 出满足 条
件的可行域，如图 4 阴
，理
况分、节岭
少.洲 训么
影部 分. 将 目标 函数
,, ,
黝一倒
z= Ix + 2y- 4 1转化为
z= 万 · }x + 2y- 4 }
12+ 22
问题 化归 为求 可行 域
图4
内的点(x ,y) 到直线 x + 2y - 4 = 0 距离者倍的 最大值，观察知 c 点到直线x + 2y - 4= 0 距离
x 一2y + 4 = _，得 A ( 2 , 3 ) ，所 以
3x 一y - 3 = 0
(x2+ y2)ma. = }OA 12二13 .
(x2+ y2)mi。二原点0 到直线 2x + y - 2= 0
的距离 ，为 r 1- 21 2_ 生 L ,/ 22+ 1 」 5 ’ 评注:在线性规划中，对于形如 z = (x - a ) 2
学教学通讯，2005. 6
4 0 IlE s
上海中学数学 ·2006 年第 6 期
型的目标函数 ，可先变形为 y = 一牛x + 李. 李看做
0
0
0
直线在 y 轴上的截距 问题就化归为求纵截距范围或 极值的问题.
类型 2— 形如 二一a井b型的目标函数 c 工 州卜 “
x - y- 2< 0
设实“二，满足{ 例 2
+ (y- b) 2 型的目标函数(或可以化成此类型的 目标函数) ，均可归化为求可行域内的点( x , y) 与点(a , b) 间距离的最值问题 ，然后适当计算便
可求解.
类型 4— 形如 z = IAx + By + C l 型的 目
标 函数
x 一Y+ 2) O
例‘”实“x,y“足{x+ y一4) 0 2x 一y 一5簇0
生，、一x-
￡复合而成 上x 2一4x + 4 ，田 - 一一一一一一石- 一一‘-.:"
_ 。 、_
u ，川 为J
.艺 — 乙
x> 2，根据一次函数图像可知 u = x - 2> 0 ，结
1 J L ~ * 一 ‘_
1 ~ 、 。 人_ .
甘 t = u 十 一 四 团 保 ，叫 翔 t = u 十 一 多 乙，枯 甘 x7
,r.-.l l x , y) 7 .7l 1一c ，一万少庄玫科竿UV丁I-PRV
范 围 、最值 等 ，问题便 可迅速得解.
类 型 3— 形如 z = ( x 一a ) 2+ ( y 一b) 2 型
的 目标 函数
例 3 已知实 数 x, y 满 足
2x + y 一2) 0
x 一2y十4) 0，求
3x 一y 一3镇0
z= x2+ 少 的最大
值、最小值.
丫A
_.、/一/ !鹭
一“.y““一’.月渝J诱""}ej7\
V’‘’
\ 7.ti州. }., 。
解 : 先 画 出满
图3
足不等式组 的可行 域 ，如 图 3 阴影 部 分 ，将 目标
函 z = x- 少 化为 z= (x - 0) 2+ (y - 0) 2，问
题归结为求可行域内的点(x , 刃与原点 0 (0, 0) 距离的平方的最值. 显然，原点到 A 点的距离 最大; 原点到直线 2x 十y - 2= 。的距离最小.
八j
一夕
-( n ︺
( y } = ry- 0] 二 \ x ，max Lx 一0 J max
目
-，. 占
-n
)
甘
2’
因此
评注:在线性规划 中，对于形如
z=
ay+
cx +
b
d
(ac:A 0) 型的 目标 函数，可先变形为
z
a =二—
.
c
的形式 ，将问题化为求可行域 内的
卜， 、二 二 / d
b 、“ ，、“. 一 ，. a 二 ，。
解法探微
犷 3夕
残性规划 中 目标 A -9 的几种 类型
542700 广西富川县民族中学 曾庆宝
线性规划初步是高中教材新增 内容，这类 伺题的典型提法是: 一个 目标，若干条件; 典型 解法是代数几何并用. 下面笔者将结合一些例 题 ，谈谈 目标函数的几种类型及解法.
类型 1--一 形如 ti = ax + by 型的目标函数 例 1 已 知 点 P ( X, y ) 在 不 等 式 组
x 一y 十2 = 0
最 大 ，由
_可 得 C ( 7 , 9 ) ，所 以
2x 一y 一5 = 0
二 }7+ 2 X 9 一4 1
zmax一““’一- 一万一-一一Gl.
评注 : 在线性 规 划 中 ，对 于形 如 z = IAx +
By + Cl型的目标函数，可先化为 z = ,/ A2+ Bl
数 函 数 y = logz t 的 图 像 可 知 y = logy
x2 一4x +
x 一2
5(
log2 2=
-
1，所以原函数的值域为
( 一0 ，一1] . 当然 ，求 函数值域问题是一个综合问题 ，单
纯利用以上方法要求解所有函数的值域问题显
然是不可能的，但利用上面方法 可以解决高中
阶段大多数的函数求值域问题. 通过复合函数
观点求值域，我认为更重要的是为求值域的教 学提出了一种新思路 ，并在很大 程度上 降低 了
学生学习值域 的门槛 ，而且 由于解题 过程 中始
终渗透了化归思想，可以极好地锻炼学生 的数
学思 维.
参考 文献
‘王迪从探究，一志 型函数的值域谈起数
学教学，2005. 3 2. 陈历强. 求函数值域的“通法”和“特法”. 中学数 学教与学，2001. 3 3. 徐 敏. 求函数值域时尤应注意定义域. 中学数 学研究 . 2001. 1 4. 王洪江. 函数值域求法综述. 中学数学研究，2001. 1 5. 熊齐国. 新 旧新材在求 函 值域问题 上的对 比.
距 一2 的范 围. 由图 1
图1
观察知 一z 的范围为
[ - 2, 1] ，则 z 的范围为[ - 1, 2] .
评注:在线性规划中，对于形如 z= ax + 勿
解: 原函数可以变形为 y =
sinx
十s
i
n
4 -
一
2
尸，_ . 、
4 ，. _
一 L ( Z 一 s i n x ) 十 二- 气- - 」十 L , ? t = 2 一 s in x ,
，所以 ymin=
- 3，即y=- (t+令)+2E[- 3,- 2]，所以原
函数的值域为[ 一3，一幻. 本题求最小值通常可以采用基本不等式法
求解 ，但求最大值及利用基本 不等式求最小值 当等号取不到时，必然要用到函数图像结合单 调性进行求解 ，说明上述方法的适用范围要 比
基本不等式来得更广泛.
5. 可以化归为指数(对数) 函数的复合函数
}Ax+ By+ Cl 二、 、.，。，，。，。二* 二二。
. — 一下二二二二二二事- 一JJi = V e ' ICJ ' M M S 'K, r a / `J -U'- " J '1j i 9
,/ A z + B l'
内的点( x , y) 到直线 Ax 十By + C = o 距离 的
-,/ AZ+ B2倍的最值.
x + 2y 一4) 0 求y
2y - 3镇0
的最大值.
解 :先画出满足不等
式组的可行域，如图 2 阴
影部分，将xy化为yx- 0'
问题 化归为求可行域 内
”{/
的点 M ( x , y ) 与 原 点
图2
0 (0 ,0) 连线斜率的最大
值. 由 x + 2y 一4 = 0 得 交 点 尸
2y - 3 = 0
x - 2簇0 ， y 一1< 0 ， 表示 的平面区域上运动 ， x + 2y 一2) 0
求 z= x - y 的取值范围.
解: 先画出约束条
件限定的可行域( 如图
1 阴影部分) ，将 z = x
4-f7: ,)
- y 化为 l ’y = x - z
