最优二叉查找树(动态规划)

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define max 9999void OptimalBST(int,float*,float**,int**);void OptimalBSTPrint(int,int,int**);void main(){int i,num;FILE *point;//所有数据均从2.txt中获取，2.txt中第一个数据表示节点个数；从第二个数据开始表示各个节点的概率point=fopen("2.txt","r");if(point==NULL){printf("cannot open 2.txt.\n");exit(-1);}fscanf(point,"%d",&num);printf("%d\n",num);float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));for(i=1;i<num+1;i++)fscanf(point,"%f",&p[i]);//创建主表；float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2));for(i=0;i<num+2;i++)c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));//创建根表；int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2));for(i=0;i<num+2;i++)r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));//动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。

OptimalBST(num,p,c,r);printf("该最优二叉查找树的期望代价为：%f \n",c[1][num]);//给出最优二叉查找树的中序遍历结果；printf("构造成的最优二叉查找树的中序遍历结果为：");OptimalBSTPrint(1,4,r);}void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r){int d,i,j,k,s,kmin;float temp,sum;for(i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化{c[i][i-1]=0;c[i][i]=p[i];r[i][i]=i;}c[num+1][num]=0;for(d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列{for(i=1;i<=num-d;i++){j=i+d;temp=max;for(k=i;k<=j;k++)//找最优根{if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp){temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];kmin=k;}}r[i][j]=kmin;//记录最优根sum=p[i];for(s=i+1;s<=j;s++)sum+=p[s];c[i][j]=temp+sum;}}}//采用递归方式实现最优根的输出，最优根都是保存在r[i][j]中的。

二叉查找树（BST，Binary Search Tree），又名二叉搜索树或二叉检索树，是一颗满足如下条件的树：1、每个节点包含一个键值2、每个节点有最多两个孩子3、对于任意两个节点x和y，它们满足下述搜索性质:a、如果y在x的左子树里，则key[y] <= key[x]b、如果y在x的右子树里，则key[y] >= key[x]最优二叉查找树（Optimal BST，Optimal Binary Search Tree）最优二叉查找树是使查找各节点平均代价最低的二叉查找树。

具体来说就是：给定键值序列K = <k1, k2, . . . , kn>，k1 < k2 <.. <kn，其中键值ki,被查找的概率为pi，要求以这些键值构建一颗二叉查找树T，使得查找的期望代价最低（查找代价为检查的节点数）。

下面是对于查找期望代价的解释：对于键值ki, 如果其在构造的二叉查找树里的深度（离开树根的分支数）为depthT(ki)，则搜索该键值的代价= depthT(ki) +1（需要加上深度为0的树根节点）。

由于每个键值被查找的概率分别为pi，i=1,2,3…,n。

所以查找期望代价为：E[T的查找代价] = ∑i=1~n(depthT(ki) +1)*pi时间复杂度1、穷举穷举构造最优二叉查找树，其实就是这样的一个问题：给一个拥有n个数的已排序的节点，可以将其构造成多少种不同的BST（用来找到一个最优的二叉查找树）？设可以构造成T(n)个，那么枚举每一个元素作为根节点的情况，当第一个元素作为根节点时，其余n-1个构成右子树，无左子树，是n-1情况时的子问题，共T(n-1)种；当第二个元素作为根节点时，左子树有1个元素，右子树有n-2个元素，根据乘法原理共有T(1)T(n-2)种情况……依此类推得到：T(n)= (0)T(n-1)+T(1)T(n-2)+T(2)T(n-3)+ ......+T(n-2)T(1)+T(n-1)T(0)；此外，有T(0)=T(1)=1。

动态规划-最优⼆叉搜索树摘要： 本章介绍了⼆叉查找树的概念及操作。

主要内容包括⼆叉查找树的性质，如何在⼆叉查找树中查找最⼤值、最⼩值和给定的值，如何找出某⼀个元素的前驱和后继，如何在⼆叉查找树中进⾏插⼊和删除操作。

在⼆叉查找树上执⾏这些基本操作的时间与树的⾼度成正⽐，⼀棵随机构造的⼆叉查找树的期望⾼度为O(lgn)，从⽽基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、⼆叉查找树 ⼆叉查找树是按照⼆叉树结构来组织的，因此可以⽤⼆叉链表结构表⽰。

⼆叉查找树中的关键字的存储⽅式满⾜的特征是：设x为⼆叉查找树中的⼀个结点。

如果y是x的左⼦树中的⼀个结点，则key[y]≤key[x]。

如果y是x的右⼦树中的⼀个结点，则key[x]≤key[y]。

根据⼆叉查找树的特征可知，采⽤中根遍历⼀棵⼆叉查找树，可以得到树中关键字有⼩到⼤的序列。

介绍了⼆叉树概念及其遍历。

⼀棵⼆叉树查找及其中根遍历结果如下图所⽰：书中给出了⼀个定理：如果x是⼀棵包含n个结点的⼦树的根，则其中根遍历运⾏时间为θ(n)。

问题：⼆叉查找树性质与最⼩堆之间有什么区别？能否利⽤最⼩堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？2、查询⼆叉查找树 ⼆叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还⽀持最⼤值、最⼩值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进⾏了详细的讲解。

（1）查找SEARCH 在⼆叉查找树中查找⼀个给定的关键字k的过程与⼆分查找很类似，根据⼆叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：⾸先是关键字k与树根的关键字进⾏⽐较，如果k⼤⽐根的关键字⼤，则在根的右⼦树中查找，否则在根的左⼦树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为⽌。

例如下图所⽰的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右⼦树中做出选择，减少⼀半的⼯作量）书中给出了查找过程的递归和⾮递归形式的伪代码：1 TREE_SEARCH(x,k)2 if x=NULL or k=key[x]3 then return x4 if(k<key[x])5 then return TREE_SEARCH(left[x],k)6 else7 then return TREE_SEARCH(right[x],k)1 ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)2 while x!=NULL and k!=key[x]3 do if k<key[x]4 then x=left[x]5 else6 then x=right[x]7 return x（2）查找最⼤关键字和最⼩关键字 根据⼆叉查找树的特征，很容易查找出最⼤和最⼩关键字。

最优二叉搜索树问题经典练习题分类汇编
问题概述
最优二叉搜索树问题是一种经典的算法问题，涉及确定一个有序数列中的某些元素构成的二叉搜索树，使得其查找效率最高。

本文档旨在为您提供一些经典的练题分类汇编，帮助您更好地理解和解决最优二叉搜索树问题。

分类汇编
基础题目
1.问题描述：给定一组有序数列和每个元素的查找成功概率，求构建一棵二叉搜索树的最均查找时间。

2.相关算法：动态规划算法、递归算法。

进阶题目
1.问题描述：给定一组连续有序的数列和每个元素的权重，求构建一棵二叉搜索树的最均查找时间。

2.相关算法：动态规划算法、递归算法。

其他应用题目
1.问题描述：给定一组非有序的元素和其出现的频率，求构建一棵二叉搜索树的最均查找时间。

2.相关算法：动态规划算法、递归算法。

结论
最优二叉搜索树问题是一个重要且常见的算法问题，通过运用动态规划和递归算法，我们可以求解最优二叉搜索树的构建。

本文档提供了一些经典的练题分类汇编，希望能帮助您更好地掌握这个问题，并应用于实际场景中。

『算法设计_伪代码』动态规划问题这⼀部分伪代码太长，所以只讲解解题⼿段
核⼼思想是将复杂问题化解为两个简单⼀点的问题，递归处理。

零、⼏个概念
最优⼦结构
⼀个问题的最优解包含其⼦问题的最优解
证明：反证法，a=b+c中a的最优解如果不是b和c的最优解，则b和c的最优解和将优于a的最优解，⽭盾，的证。

重叠⼦问题
解决问题的递归算法中会重复求解相同的⼦问题
解法：对每个⼦问题的第⼀次求解存⼊表中，再次求解时直接查询即可。

⼀、割绳⼦问题
r：表⽰最⼤价值
s：表⽰此时分割位置，如i=8时的2表⽰绳⼦分为2、6两段，2、6对应i=2和i=6的r
⼆、矩阵链乘问题
右表记录k值
pi表⽰Ai的第⼆维，pi-1表⽰Ai的第⼀维
三、最长公共⼦序列 (LCS)
问题描述
并不是通常意义上的公共⼦序列（和常见的算法题中的不⼀样），定义如下，
解法⽰意
1. xi=yi时直接将当前的左上格⼦数+1作为本格，箭头指向左上；
2. xi!=yi时⽐较上⽅格⼦和左⾯格⼦：
1. 上⽅不⼩于右侧，箭头指上，copy上⽅格⼦
2. 否则箭头指右，copy右侧格⼦
格⼦图⽣成先补0，然后由上到⼩⼀⾏⼀⾏的填充，⽽结果读取是从右下到左上的⽅向：
四、最优⼆叉查找树问题描述
解法⽰意
W为概率矩阵，e为消耗期望矩阵
先填W，后填e，注意表格⾏1:6,列0:5，root记录对应e位置的r的值。

重建时看root，[1,5]位置为2，表⽰2为根，分解为k1，{k3，k4，k5}，再看[3,5]为5，右⼦树5为根……。

分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。

9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略）27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。

34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。

实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。

17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。

29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。

不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。

动态规划下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解）下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。

下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法）备忘录方法是那种算法的变形。

（动态规划法）最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。

矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。

实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。

贪心算法能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题，不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。

回溯法回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。

剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）分支限界法最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。

分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。

分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆）优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级）在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法)之外都是最常见的方式.（1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。

（2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。

《计算机算法设计与分析》课程设计用分治法解决快速排序问题及用动态规划法解决最优二叉搜索树问题及用回溯法解决图的着色问题一、课程设计目的：《计算机算法设计与分析》这门课程是一门实践性非常强的课程，要求我们能够将所学的算法应用到实际中，灵活解决实际问题。

通过这次课程设计，能够培养我们独立思考、综合分析与动手的能力，并能加深对课堂所学理论和概念的理解，可以训练我们算法设计的思维和培养算法的分析能力。

二、课程设计内容：1、分治法：（2）快速排序；2、动态规划：（4）最优二叉搜索树；3、回溯法：（2）图的着色。

三、概要设计：分治法—快速排序：分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。

递归地解这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。

分治法的条件：（1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；（2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；（3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；（4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

抽象的讲，分治法有两个重要步骤：（1）将问题拆开；（2）将答案合并；动态规划—最优二叉搜索树：动态规划的基本思想是将问题分解为若干个小问题，解子问题，然后从子问题得到原问题的解。

设计动态规划法的步骤：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；（2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；（3）以自底向上的方式计算出最优值；（4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

●回溯法—图的着色回溯法的基本思想是确定了解空间的组织结构后，回溯法就是从开始节点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。

这个开始节点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。

在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。

这个新结点就成为一个新的或节点，并成为当前扩展结点。

分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。

9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略）27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。

34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。

实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。

17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。

29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。

不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。

动态规划下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解）下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。

下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法）备忘录方法是那种算法的变形。

（动态规划法）最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。

矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。

实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。

贪心算法能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题，不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。

回溯法回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。

剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）分支限界法最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。

分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。

分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆）优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级）在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法)之外都是最常见的方式.（1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。

（2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。

1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:_________,________,________,__________,__________。

2.算法的复杂性有_____________和___________之分，衡量一个算法好坏的标准是______________________。

3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是____________________________________。

4.若序列X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列X 和Y的一个最长公共子序列_____________________________。

5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含___________。

6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________，先求解___________，然后从这些____________的解得到原问题的解。

7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________。

8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________。

9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________。

10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法。

二、综合题（50分）1.写出设计动态规划算法的主要步骤。

2.流水作业调度问题的johnson算法的思想。

3.若n=4，在机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为a i和b i，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求4个作业的最优调度方案，并计算最优值。

4.使用回溯法解0/1背包问题：n=3，C=9，V={6,10,3}，W={3,4,4},其解空间有长度为3的0-1向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间（从根出发，左1右0），并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。