2019年全国初中数学竞赛试题

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2019年全国初中数学竞赛试题

考试时间:2019年3月21日9:30~11:30满分150分

一、选择题(共5题,每小题7分,计35分)

1、 若

10,20==c b b a ,则

c b b a ++的值为( )A 、2111

B 、1121

C 、21110

D 、11

210 2、 若实数b a ,满足022

1

2=++-b ab a ,则a 的取值范围是( )

A 、2-≤a

B 、4≥a

C 、42≥-≤a a 或

D 、42≤≤-a

3、如图,在四边形ABCD 中,∠B=135°,∠C=120°AB=32,

BC=24,224=-CD ,则AD 边长是( ) A 、62 B 、64 C 、64+ D 、622+ 4、在一列数k x x x x 321,,中,已知,11=x 且当2≥k 时,

,

4241411???? ????????--?????

?--+=-k k x x k k (取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数,

如[][]02.0,26.2==),则2010x 等于( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、如图在平面直角坐标系xOy 中,等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A (1,1),

B (2,-1),

C (-2,-1),

D (-1,1)。y 轴上一点P (0,2)绕点A 旋转180°得 点1P ,点1P 绕点B 旋转180°得点2P ,点2P 绕点C 旋转180°得点3P ,点3P 绕点D 旋转 180°得点4P ,……,重复操作依次得到点1P ,2P ,……则点2010P 的坐标是( ) A 、(2019,2) B (2019,-2)、 C 、(2019,-2) D 、(0,2)

二、填空题(每小题7分,计35分)

6、已知15-=a ,则1227223--+a a a 的值等于 ;

7、一辆客车、一辆货车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶,在某一时刻, 客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间,过了10分钟,小轿车追上了货 车;又过了5分钟,小轿车追上客车;再过了 分钟货车追上客车;

8、如图在平面直角坐标系xOy 中,多边形OABCDE 的顶点坐标分别为O (0,0),A (0,6), B (4,6),C (4,4),D (6,4),E (6,0)。若直线l 经过M (2,3)点,且将多边形 分割面积相等的两部分,则直线l 的函数表达式: ;

D

A

B

C

第3题

9、如图射线AM 、BN 都垂直于线段AB ,点E 为AM 上一点,过点A 作BE 的垂线AC 分 别交BE ,BN 于F 、C ,过点C 作AM 的垂线CD ,垂足为D ,若CD=CF ,则

=AD

AE

10、对于i =2,3,…k ,正整数n 除以i 所得的余数i -1,若n 的最小值0n 满足

300020000<

三、解答题(每小题20分,计80分)

11、如图,抛物线)0(2>+=a bx ax y 与双曲线x

k

y =

相交于点A 、B ,已知点A 坐标(1,4), 点B 在第三象限内,且⊿AOB 的面积为3(O 为坐标原点)。 ⑴求实数a 、b 、k 的值;

⑵过抛物线上点A 作直线A C ∥x 轴,交抛物线于另一点C ,求所有满足⊿EOC~⊿AOB 的 点E 的坐标。

第5题

12、如图⊿ABC 为等腰三角形,AP 是底边BC 上的高,点D 是线段PC 上的一点,BE 和CF 分别是⊿ABD 和⊿ACD 的外接圆的直径,连结EF ,求证:BC

EF

PAD =∠tan

13、实数b a ,使得关于y x ,的方程组?????=+++=-0

1222a bx ax xy x xy 有实数解(y x ,)。

⑴求证:2≥y ; ⑵求22b a +的最小值。

14、将凸五边形ABCDE 的5条边和5条对角线染色,且满足任意有公共顶点的两条线段

不同色,求颜色数目的最小值。