高中数学一题多解《函数》(1)

函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.方法 解函数应用题的一般步骤万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤.⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 当010x <≤时，第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。

高中函数大题专练１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。

⑴试求不等式的解集A ；⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。

试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。

２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。

① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。

已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。

（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。

3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。

（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。

高考数学一题多解测试题目：求函数)()(01 x x x x f +=的值域方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01 x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2 方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xx x x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4 综上10≤≤a。

1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。

解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。

解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。

2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。

于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。

专题05 函数的周期性和对称性形影不离【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。

在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。

类型一 函数的周期性的判定及应用万能模板 内 容使用场景 几类特殊函数类型解题模板第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性；（1）若函数)(x f 满足)()(a x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2； （2）若函数)(x f 满足)()(x f a x f -=+或)(1)(x f a x f =+或)(1)(x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题.例 1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（ ）A.B. C.D.【变式演练1】（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()f x ，任意x y R ∈，，满足()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，且()()1220f f ==，，则()()()1290f f f +++的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式演练2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【变式演练3】（多选）（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为1221R,,R,2x x x x ∀∈-=，都有()()120f x f x +=，且()11f =，则下列结论正确的是（ ）A ．()231f =B ．()231f -=C ．()()()()()123451f f f f f ++++=D ．()()()()1230f x f x f x f x ++++++=类型二 函数的对称性问题万能模板 内 容使用场景 几类特殊函数类型 解题模板记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称； 第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称. 例2 ．（多选）（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知函数()()sin sin 1f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =图象是轴对称图形B ．()()0f x f x π++=C ．()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()[]1,0,1f x x <∀∈例3 （2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -＋＝，且()f x 在[]10-，上是增函数，给出下列几个命题：①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于直线1x =对称； ③()f x 在[]1,2上是减函数； ④(2)(0)f f =．其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)例4 （2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知直线3y x =-+分别与函数e x y =和ln y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +=_________．【变式演练4】（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知函数()()sin cos f x x x x ππ=+∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数 B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的图象关于点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称 【变式演练5】（2022·四川省德阳市第三中学高三开学考试）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【高考再现】1.（2022·全国乙（理）T12） 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D. 24-2.（2022·新高考Ⅰ卷T12） 已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. (1)(4)f f -=D. (1)(2)g g -=3.（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 14．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．525．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++6. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m7. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）】已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数,满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=（ ） A ． −50 B ． 0 C ． 2 D ． 508. 【2018年全国文科数学】已知函数f(x)=lnx +ln(2−x)，则 A ． f(x)在（0，2）单调递增B ． f(x)在（0，2）单调递减C ． y =f(x)的图像关于直线x=1对称D ． y =f(x)的图像关于点（1，0）对称9.【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+=.10. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学】函数f(x)满足f(x +4)=f(x)(x ∈R)，且在区间(−2,2]上，f(x)={cosπx2,0<x ≤2,|x +12|,−2<x ≤0,则f(f(15))的值为____，11. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩ 其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是. 【反馈练习】1．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．12．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x -+=，()2()f x f x -=，当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()2log 2023f =（ ）A ．252048-B ．9991024-C ．10242023-D ．512999-3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．47-B ．48-C ．23-D ．24-4．（2022·甘肃·武威十八中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 满足()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，有()()22f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()21log 1f x x =++，则()2023f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．（2022·北京四中高三开学考试）已知函数()sin cos sin cos x xf x x x+=，在下列结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；③()f x 的图象关于直线π4x =对称； ④()f x 的图象关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()2()ln11f x x x =++，定义域为R 的函数满足()()20g x g x +--=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，……，()66,x y ，则()61i i i x y =-=∑（ ）A ．6B ．12C ．6-D ．12-8．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 图象关于(10)-，对称 B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()11f x f x -=+9．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）（多选）已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是以2为周期的周期函数B ．函数()f x 是以4为周期的周期函数C ．函数(3)f x -为偶函数D ．函数(1)f x -为奇函数10．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）（多选）已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]0.20=，[]1.22-=-，则（ ） A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()2f x 的值域为[)0,1D ．()2f x 是偶函数11．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）（多选）已知函数()f x 对x ∀∈R ，都有()()()(),2f x f x f x f x -=--=，且()11f =，则（ ）A ．()f x 的图像关于直线1x =对称B ．()f x 的图像关于点()2,0-中心对称C ．()60f =D ．()51f =-12．（2022·广西·桂电中学高三阶段练习）已知函数()f x 满足对R x ∀∈，有()()11f x f x -=+，()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()2f x x mx =+，若35122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =________13．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()11f -=-，则()()20222023f f +=______．14．（2021·辽宁·沈阳二中高三开学考试）已知定义域为R 的函数()f x 对任意的实数x ，y 满足()()()πcos 222f x f y x y x y f +-+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，且()()010f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >， ①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增③函数()f x 是以2为周期的周期函数；④502f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭其中的真命题有______．（写出所有真命题的序号）15．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()g x 的图象与函数()[)()20,f x x x =∈+∞的图象关于直线y x =对称，将函数()g x 图象右移2个单位，下移2个单位得到函数()h x 的图象，若P ，Q 分别为函数()f x ，()h x 图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为______.16．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，则函数1()()1g x f x x =+-在[]-24，上的零点之和为____________. 【来源】山东省济南市济南市莱芜第一中学2020-2021学年高三下学期2月月考数学试题 17．定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[2,2)x ∈-时，3()sin 2f x x x π=-，则函数()f x 在区间[0,669)上的零点个数是______．【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）数学（理）试题18．已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.19．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，则(4)f =___________；(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++=__________．20．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称.(1)求证：()f x 是周期为4的周期函数；(2)若())01f x x x =≤≤，求[]5,4x ∈--时，函数()f x 的解析式.。

- 1 - 高一函数经典难题讲解1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a -1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a 为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a 土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。

a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a 土√(a^2+4a)]/2；x<a 时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m 的值（2）当x ∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。

一题多解：三角函数平面向量28题89种解法本文档一共给出了28道三角函数和平面向量题目，每道题目至少2种解法，最多的有12种解法，题目有层次，有教材基础题，有高考题和模拟题，自主招生题和竞赛题，适合不同程度的学生使用。

第1题一道求分式型三角式值域的3种解法第2题一道由边的关系求角的范围题的2种解法第3题三角函数图像变换问题的2种解法第4题一道三角形角平分线自主招生题的2种解法第5题一道自主招生题的2种解法第6题三角形内角平分线定理的2种证法第7题三角形重心定理的2种证法第8题垂心定理的2种证法第9题勾股定理的2种证法第10题梯形中位线定理的2种证法第11题正弦定理的5种证明方法第12题余弦定理的3种证明方法第13题求数量积的2种方法例1第14题求数量积的2种方法例2第15题一个向量题的4种解法第16-19题三角中的特殊变换与一般变换（4个例题各有2种解法）第20题二倍角问题的4种证法第21题一道三角综合题的2种解法第22题一道三角函数不等式恒成立问题的5种解法第23题2012年高考数学山东卷第16题的2种解法第24题一个向量题的7种解法第25题一个向量题的3种解法第26题形如恒成立问题的2种解法第27题一道三角基||||BA tBC AC -≥ 础题的12种解法第28题一道三角函数竞赛题的7种解法第1题一道求分式型三角式值域的3种解法例题1：求函数cos2sinyθθ=+（Rθ∈）的值域第2题一道由边的关系求角的范围题的2种解法例题2：△ABC 的三边,,a b c 满足2a b c +≥，求证：60C ≤第3题三角函数图像变换问题的2种解法例题3：怎样由sin y x =的图象得到12sin()36y x π=-的图象?第4题一道三角形角平分线自主招生题的2种解法例题4：在△ABC 中，2AB AC =，AD 是角平分线，且AD kAC =，求k 的取值范围第5题一道自主招生题的2种解法例题5：对任意,cos cos 21x R a x b x ∈+≥-恒成立，求a b +的最大值第6题三角形内角平分线定理的2种证法例题6：三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 平分BAC ∠交边BC 于D ，则AB DB AC DC=第7题三角形重心定理的2种证法例题7：三角形重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点到每个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍．如图，AD BE CF 、、是△ABC 的三条中线，则它们交于一点G ，且2AG BG CG GD GE GF===第8题垂心定理的2种证法例题8：若AD、BE、CF是△ABC的三条高，则AD、BE、CF相交于一点H．H叫做△ABC的垂心．第9题勾股定理的2种证法例题9：直角三角形ABC 中，90ACB ∠= ，则222BC AC AB +=.例题10：若E 、F 分别是梯形ABCD 的腰AD 、BC 的中点，则EF ∥AB ∥CD 且1()2EF AB CD =+.例题11：在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，则sin sin sin a b c A B C ==【分析】在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单,钝角三角形的情形与锐角三角形类似．例题14：在正三角形ABC 中，D 是BC 边上的点，AB =3，BD =1，则AB AD =________.第15题一个向量题的4种解法例题15：在ABC ∆中，若对于任意t R ∈，||||BA tBC AC -≥ ，求角.C第20题二倍角问题的4种证法例题20：已知ABC ∆，2()a b b c =+，求证：2A B =。

高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学 姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。

这一节我们继续学习函数的另一个性质。

请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？ 把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。

图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。

大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。

教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念教师提问：请大家观察函数y=x 2与函数y=|x|－2的图像有什么特征？大家能否用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y 轴。

即若点（x ，f （x ））是函数y=x 2图像上的任意一点，则它关于y 轴的对称点（－x ，f （－x ））也在函数y=x 2的图像上，这样的函数称之为偶函数。

（2）反映在数上：对于函数y=x 2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=x 2…94 1 0 149…对于函数y=|x|－2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=|x|－2… －112 1 0 －1 …f （－21）=（－21）2=（21）2=f （21）；……（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x 代替。

高中数学函数解题思路多元化的方法举例分析高中数学中的函数是一个重要的概念，它在各种数学问题中都有着重要的作用。

解决函数题需要很多的数学知识和技巧，而多元化的思路和方法则可以帮助学生更容易地理解和解决函数题。

本文将通过举例分析，探讨高中数学函数解题思路多元化的方法。

1. 用图像解题函数的图像是理解函数性质的重要途径之一。

通过观察函数的图像，我们可以得到函数的增减性、最值、零点等重要信息。

对于求函数的最大值或最小值的问题，可以通过观察函数图像来确定。

下面我们以一个具体的例子来说明。

例题：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数在定义域内的最小值。

解析：我们可以计算出f'(x)=2x-4，然后令f'(x)=0解得x=2。

然后我们可以根据x=2处的函数图像来判断。

通过观察函数图像我们可以发现，在x=2处函数取得最小值。

我们可以直接得出结论：函数在定义域内的最小值为1，当x=2时取得。

解析：首先我们知道，函数的定义域是指函数能够取到的x的取值范围。

对于给定的函数f(x)=\frac{1}{x-2}，我们可以发现x不能取2，因为分母不能为零。

我们可以得出结论：函数的定义域为x\in R且x\neq 2。

例题：已知函数f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}，求函数的极限和奇偶性。

解析：首先我们可以计算函数的极限，由于\lim\limits_{x \to 1} f(x) =\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2。

函数在x=1处的极限为2。

然后我们可以通过分析函数的奇偶性。

我们令f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)-1}=\frac{x^2-1}{-x-1}，然后对比f(x)，我们可以发现f(-x)=-\frac{x^2-1}{x+1}=-f(x)。