3.3.1两条直线的交点坐标求两直线的交点例①求下列两条直线的交点坐标：|1 ： 3x+ 4y — 2= 0, 12： 2x+y+ 2= 0.1.求下列各对直线的交点坐标，并画出图形: (1)11： 2x+ 3y= 12, I 2： x — 2y= 4; ⑵|1： x= 2, I 2： 3x+ 2y —12= 0.判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.X — y= 0, l 2： 3x+ 3y — 10= 0; 3x — y+ 4 = 0, I 2 : 6x — 2y — 1 = 0; 3x + 4y — 5= 0, I 2： 6x+ 8y — 10= 0.两条直线的位置关系的判断例②2•判断下列各对直线的位置关系•如果相交，求出交点的坐标:(1)2x— y+ 7 = 0, x + y= 1 ;x+ 5(2)x— 3y— 10 = 0, y=〒； (3)3x— 5y+ 10= 0, 9x— 15y+ 30= 0.求两点间的距离例③ 已知点A(— 1 , 2), B(2, Q7)，在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.3•求下列两点间的距离：(1)A(6, 0), B( — 2, 0); (2)C(0，— 4), D(0, — 1);(3)P(6, 0), Q(0，— 2); (4)M(2, 1), N(5 , — 1).坐标法证明几何问题例④ 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.4.证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.例⑤ 若三条直线l 1 ： ax+y+ 1 = 0, l 2： x+ay+ 1 = 0, I 3： x+y+ a = 0能构成三角形，则a应满足的条件是( )A . a= 1 或 a = — 2 C. a Ml 且 a 丰—25.直线y= 2x+ 10, y= x+ 1, y= ax — 2交于一点，则 a 的值为（ ）1 A. 2例⑥某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为程为I: X+ 2y — 10= 0,若在河边I 上建一座供水站 P 使之到A, B 两镇的管道最省，问供水 站P 应建在什么地方？此时|PA|+ |PB|为多少？B. a 工±1 D . a 工±且 al 2A(1 , 2), B(4, 0)，一条河所在直线方A组训练1.已知点 A( — 3, 4)和 B(0, b)，且 |AB|= 5，则 b 等于( )A . 0 或 8B . 0 或—8C. 0 或 6 D . 0 或—62.经过直线2x— y+ 4 = 0与x— y+ 5= 0的交点，且垂直于直线x— 2y = 0的直线方程是( )A . 2x+ y — 8 = 0B . 2x— y— 8 = 0C. 2x+y+ 8 = 0 D . 2x— y+ 8 = 03.若过点A(4, a)和点B(5, b)的直线与直线y = x+ m平行，则AB|的值为( )A . 6B .C. 2 D . 不能确定4.已知 A(2, 1), B(3, 2), C( — 1, 4)，则△ABC 是(A .直角三角形B .C.钝角三角形 D . )锐角三角形等腰直角三角形5.点P(2, 5)关于直线X+ y= 0的对称点的坐标是(A . (5, 2)B .C. (— 5,— 2) D . )(2, 5)(—2, 5)6.直线 y= ax+ 1 与 y= x+ b 交于点(1, 1)，贝U a=7.直角坐标平面上连接点(一2, 5)和点M的线段的中点是(1, 0)，那么点M到原点的距离为________ .& 经过两条直线 2x— 3y+ 10= 0和3x+ 4y — 2= 0的交点，且垂直于直线3x— 2y+ 4= 0的直线的方程为_________ .9. (1)求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的点的坐标；⑵已知点P的横坐标是7,点P与点N( — 1, 5)间的距离等于10,求点P的纵坐标.10.求经过两直线 2x + y— 8= 0与x— 2y+ 1 = 0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的 2倍的直线I的方程.B组训练1.已知A(— 3,8) ,B(2,2)，在x轴上有一点 M，使得|MA| +MB|最短，则点M的坐标是( )A . (— 1, 0)B . (1 , 0)22 C' f 小22C. (丁, 0) D . (0，石)2.若三条直线 x+y+ 1 = 0, 2x— y + 8= 0和ax+ 3y— 5 = 0共有三个不同的交点，则实数 a应满足的条件是_________3.已知 AO是△ABC边BC的中线，求证:AB|2 + |AC|2 = 2(|AO|2 + |0C|2).4.已知两点 A(— 2, 4), B(4, 2)和直线 I : y= kx-2.(1)求直线 l 恒过的定点 P 的坐标；(2)若直线I与线段AB相交，试求k的取值范围.•••交点坐标为谭, 44)• 如图(1) •|x= 2, ⑵由jl 3x + 2y — 12=[x= 2, 解得fl y= 3,•••交点坐标为(2, 3),如图⑵• 两条直线的位置关系的判断例② (i)i i ：⑵i i ：⑶11：判定下列各对直线的位置关系，如果相交, X — y= 0, l 2： 3x+ 3y — 10= 0; 3x — y+ 4 = 0, I 2 : 6x — 2y — 1 = 0; 3x + 4y — 5= 0, I 2: 6x+ 8y — 10= 0.f x — y= 0(1)解方程组f,求出交点的坐标.3.3.1两条直线的交点坐标参考答案求两直线的交点例①求下列两条直线的交点坐标：|1: 3x+ 4y — 2= 0, l 2: 2x+y+ 2= 0.(3x+ 4y — 2= 0,[解]解方程组1[2x+ y + 2 = 0,x=— 2, 得彳7= 2.所以，l i 与12的交点坐标是 M(— 2, 2) • 1 •求下列各对直线的交点坐标，并画出图形: (1) 11： 2x+ 3y= 12, I 2： x — 2y= 4; (2) l 1: x= 2, l 2: 3x+ 2y —12= 0. [2x+ 3y= 12,解：(1)由$|x — 2y= 4,12=[3x — y+ 4= 0,(2)解方程组1[6x — 2y — 1 = 0,①X2—②得9= 0,矛盾，方程组无解， 所以两直线无公共点，l l // l2.(3x + 4y — 5 = 0,(3)解方程组5[6x+ 8y — 10= 0,① X2 得 6x+ 8y — 10= 0.因此，①和②可以化成同一个方程 即①和②表示同一条直线,l l 与12重合. 2•判断下列各对直线的位置关系•如果相交，求出交点的坐标: (1) 2x — y+ 7 = 0, x + y= 1 ; x+ 5(2) x — 3y — 10 = 0, y=〒； (3)3x — 5y+ 10= 0, 9x — 15y+ 30= 0.(2x — y+ 7= 0, [x=— 2,解：(1)由丫 得\[x+ y= 1, L y= 3. 所以两直线相交，交点坐标为(一2, 3). 1 10⑵两直线方程分别化为 y =孑-13"1 5y=3X+3.由斜率相等，纵截距不等知两直线平行.⑶将3x — 5y+ 10 = 0的两边同乘以 3得, 9x — 15y + 30= 0,与第二个方程完全相同 故两直线重合. 求两点间的距离「X = I得;y=I所以，l l 与12相交，交点坐标是5 M(3, 53).例③ 已知点A(— 1 , 2), B(2, W )，在x 轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. ［解］设所求点为P(X, 0), •••|PA|=|PB|,•••# (x+ 1) 2+( 0-2) 2 = yj •-X 2 + 2x + 5= X 2- 4x+ 11,解得 •••所求点为P(1 , 0), |PA|=7 (1 + 1)2+( 0-2) 2= 3•求下列两点间的距离：(1)A(6, 0), B(- 2, 0); (2)C(0，- 4), D(0, - 1); (3)P(6, 0), Q(0，- 2); (4)M(2, 1), N(5 , - 1).解：(1)|AB|=7 [6 —(— 2) ]2+( 0 - 0) 2= 8. ⑵ |CD|=7 ( 0-0) 2+ [ - 4-(- 1) ]2= 3. (3)| PQ|=p (6 - 0) 2+ [0 -(- 2) ]2= 2 硕⑷|MN|=# (2 — 5) 2+ ［1 -(- 1) ］2=届 坐标法证明几何问题例④ 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. ［证明］如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在直线为X 轴，建立直角坐标系，有A(0，0) •设 c),由平行四边形的性质得点 C 的坐标为(a + b, c). |CD|2= a 2, AD |2= b 2+ c 2,所以 AB 2 + |CD|2+ |AD|2 + |BC|2= 2(a 2 + b 2 + c 2),2 2 2 2 2AC| + |BD| = 2(a + b + c).(x-2) 2 +( 0-{7) 2x= 1. B(a ，0)，D(b, 因为 |AB f = a 2, 2 2 2|BC| = b +|AC|2=(a+ b)2 + c 2,2 2|BD | = (b - + c 2.（2）若 11 // 12 , 则由a 冷一1X1 = 0, 得a= ±1②, 当a= 1时，h 与12重合; （3）若 12 / 13, 则由 1X1- a X1 = 0, 得a= 1,当 a= 1时，l 2与13重合;所以 AB 2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2= |AC|2 + |BD|2因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.4. 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 证明：以两直角边OA, OB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，C 为AB 的中点，设A （a, a b0）, B （o, b ）,贝y c （2,2）./ a 、2 , / b 、2 1 / 2 , 2 （2）+（2） = 2 A/a + b ，AB|= 7 a 2+ b 2.1•- |OC|= 2|AB |,即直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.例⑤ 若三条直线11 ： ax+y+ 1 = 0, 12： x+ay+ 1 = 0, 13: x+y+ a = 0能构成三角形，则a应满足的条件是（ ）A . a= 1 或 a = — 2C. a 工1且a 丰—2 ［解析］为使三条直线能构成三角形 ，需三条直线两两相交且不共点. （1）若三条直线交于一点将12, 13的交点（一a- 1,1）代入11的方程解得①a= 1 或 a= — 2 ;B. a 工±1 D . a 工±且 al 2由'x+ay+ 1 = 0,解得* .x+ y+ a = 0,x=- a — 1, L y= 1，⑷若 l i // I 3,则由 a xi — 1X1 = 0, 得a= 1,当a= 1时，l i 与l 3重合. 综上，当a= 1时，三条直线重合;所以要使三条直线能构成三角形如图所示,过A 作直线I 的对称点A',连接AB 交I 于P,因为若P'异于P)在直线I 上，则 AP '出 |B Pl= |AP '出 |B P ‘ |>|B|. 因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值. 设A'a, b),贝U AA 的中点在I 上，且AA'丄I,当 a=— 1 时，11 // 12；当 a=— 2时，三条直线交于一点，［答案］D 直线 y= 2x+ 10, y= x+ 1,12 5. y= ax — 2交于一点，则 a 的值为()—1 —2C.y= 2x+ 10 x=— 9解析：选C .由$,得$i y= x+ 1 |y=— 8把点(—9, —8）代入 y= ax —2,得—8=— 9a — 2, 23.6 解得a= 9= 例⑥某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为 A(1, 2), B(4, 0)，一条河所在直线方 程为I: X+ 2y — 10= 0,若在河边I 上建一座供水站 P 使之到A, B 两镇的管道最省，问供水 站P 应建在什么地方？此时|PA|+ |PB|为多少？r a +1 b + 2-^+ 2 — 10= 0, 即｛ b — 2 1I — •(— 2)=— 1, L a — 12[a = 3, 解得Y 即A B ,(36),b = 6, 所以直线AB 的方程为6x+ y — 24= 0, fe x+ y-24= 0, 「x=解方程组Y 得｛|x + 2y — 10= 0, |y = 36- l y=11.所以P 点的坐标为(莘8，11) 故供水站应建在点 P(11, 誓)处, 此时 |FA|+ |PB|= |AB|=^ (3 — 4)2+( 6 — 0) 2=^37.A 组训练1.已知点 A( — 3, 4)和 B(0, b)，且 AB|= 5，则 b 等于( )A . 0 或 8B . 0 或—8C. 0 或 6D . 0 或—6 解析：选 A .由 AB|= 5 得寸(-3-0) 2+( 4- b) 2 = 5, 所以(4 — b)2= 16, 4 — b = ±4, b = 0 或 b= 8.2.经过直线2x — y+ 4 = 0与x — y+ 5= 0的交点，且垂直于直线x — 2y = 0的直线方程是( )A . 2x+ y — 8 = 0 C. 2x+y+ 8 = 0〔2x — y+ 4= 0 f x= 1,解析：选A .由( ，得1 [x — y+ 5 = 0 y= 6, 2(x — 1),即 2x+ y — 8 = 0.3.若过点A(4, a)和点B(5, b)的直线与直线y = x+ m 平行，则AB|的值为( )A . 6B . 72 C. 2D .不能确定B . 2x — y — 8 =0 D . 2x — y+ 8 =故过点(1, 6)与X — 2y = 0垂直的直线为 y — 6=—b — a解析：选B .因为直线 AB与y = x+ m平行，则-------- =1,即b- a= 1,5 - 4AB|=A/( 4-5) 2+( a-b) 2 =^2.4.已知 A(2 , 1), B(3, 2), C( - 1, 4)，则△ABC 是( A .直角三角形 B .C.钝角三角形 D .)锐角三角形等腰直角三角形解析：选A . •••AB=>/( 2-3) 2+( 1-2) 2 = 72, |BC|= J ( 3+ 1) 2+( 2-4) 2=何AC|=y (2+ 1) 2+( 1-4)所以 AB 2 + |AC|2=|BC|2 ,所以△ABC为直角三角形.5.点P(2, 5)关于直线X+ y= 0的对称点的坐标是(A . (5, 2)C. (- 5,- 2)) (2, 5) (-2, 5)解析：选C.设对称点P'x( y),「y - 5---- =1x - 2则｛I x + 2 y+ 5+ = 0••• x=— 5, y=- 2.6.直线 y= ax+ 1 与 y= x+ b 交于点(1, 1)，贝U a=解析：因为直线y= ax+ 1 与 y= x+ b 的交点为(1, 1),|1 = a +1所以0 ?|1 = 1 + b答案：0 07.直角坐标平面为___________ .上连接点(一2, 5)和点M的线段的中点是(1, 0)，那么点M到原点的距离解析：设M的坐标为(x, y),"—2+ x~~r~ =1[x= 4 ■，解得\L y=— 5所以 |OM|=742+(- 5) 2=回. 答案：回& 经过两条直线 2x — 3y+ 10= 0和3x+ 4y — 2= 0的交点，且垂直于直线 3x — 2y+ 4= 0的 直线的方程为 _____________ .2x - 3y+ 10= 0 f x=— 2 解析：由丫 ，得$|x + 4y — 2= 0 [y= 2 垂直于直线3x — 2y+ 4= 0的直线的斜率为―故所求的直线方程为 y — 2= — |(x + 2), 即 2x+ 3y — 2= 0. 答案：2x+ 3y — 2 = 09. (1)求在x 轴上与点A(5, 12)的距离为13的点的坐标；⑵已知点P 的横坐标是7,点P 与点N( — 1, 5)间的距离等于10,求点P 的纵坐标. 解：⑴设x 轴上的点为 B(x, 0), 由 |AB|= 13, 得7 (X — 5) 2+( 0- 12) 2= 13,• -x — 5= 5 或 x — 5=— 5.••• x= 10 或 x= 0, 即点B 的坐标为(10，0)或(0，0). (2)设点P 的纵坐标为y,即P(7, y).由于 |PN|= 10, • y/[7 —(— 1) ]2+( y — 5) 2= 10, • (y— 5)2=36,23'•-y — 5= 6 或 y — 5=— 6,从而 y= 11 或 y=— 1, ••• p 点的纵坐标为11或一1.10.求经过两直线 2x + y — 8= 0与x — 2y+ 1 = 0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的 2倍的直线I 的方程.解：(1)2x + y — 8= 0在x 轴、y 轴上的截距分别是 4和8,符合题意.⑵当I 的方程不是2x + y — 8= 0时， 设 I: (x — 2y+ 1) + X2X + y — 8) = 0, 即(1 + 2 ?)x+ (入一2)y + (1 — 8 为=0. 据题意，1+ 2X^0入—2丰0.1 — 8入令 x= 0,得 y=—; X — 2 1 — 8入令 y =0，得 x =—1 — 8入1 —8入所以—二=2(—石)，解得 此时直线I 的方程为2x — 3y = 0.综合(1)(2),所求直线方程为2x+ y — 8= 0或2x — 3y= 0.B 组训练1.已知A(— 3,8) ,B(2,2)，在x 轴上有一点 M ，使得|MA| +|MB|最短，则点M 的坐标是( )A . (— 1, 0) C.(食 0)A(— 3, 8)关于x 轴对称的点 A'—3, — 8), A'B 与x 轴的交点，就是使|MA |+ |MB|最短的M1 X= 8,)直线AB的方程为 y+ 8 x+3 2+ 8 = 2+ 3^ 当y= 0时，得x= 1, 即此时M的坐标为(1, 0).2.若三条直线 x+y+ 1 = 0, 2x— y + 8= 0和ax+ 3y— 5 = 0共有三个不同的交点，则实数 a应满足的条件是_________ .2x— y+8= 0x=— 3得^ ,即两直线的交点坐标为[y= 2a • (— 3)+ 3疋一5M0依题意知，实数a满足的条件为｛a一 3工2『11叭解得4aM3即实数a满足的条件为a€ R,且a #且a工3且a^— 6.答案：ag且 a工3且 al63.已知AO是△ABC边BC的中线, AB|2+ |AC|2 = 2(|AO|2+ 0C|2).证明：0为原点，建立平面直角坐标系，设B( — a, 0),C(a,0), A(b, c).解析：解方程组X+y+1 = 0(-3, 2).求证:以BC所在直线为X轴，BC的中点2 2 2 则 |AB| + |AC| = [b — (— a)] +2 2 2 2 2 2(C — 0) + (b — a) +(C — 0) = 2 (a + b + c ),2 2 2 2 2A0| + OC| = b + c + a .故|AB|2+ |AC|2= 2(|AO|2+ |0C|2).4. 已知两点 A(— 2, 4), B(4 , 2)和直线 I : y= kx — 2. (1) 求直线I 恒过的定点P 的坐标；(2) 若直线I 与线段AB 相交，试求k 的取值范围. 解：(1)令x= 0,则y =— 2,所以不论k 取什么值，I: y= kx — 2 都过定点 P(0, — 2).— 2 — 2 k PB = = 1.0 — 4 如图所示,所以直线I 的斜率k 的取值范围是(一卩 —3] U[1 , +8).直线 直线 I: y= kx — 2 过定点 P(0 ,=—3,。
3.3 直线的交点坐标与距离公式3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离[学习目标]1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 3．掌握两点间距离公式并会应用． [知识链接]直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式，它们的表现形式分别为y －y 0＝k (x －x 0)、y ＝kx ＋b 、y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1、x a ＋yb＝1及Ax ＋By ＋C ＝0. [预习导引] 1．两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．2．过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2.3．两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.要点一 两直线的交点问题例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解 法一 由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)法一是常规方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0,0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上．否则，会出现λ的取值不确定的情形．(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线；②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.跟踪演练1 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解 法一 由⎩⎨⎧ x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c＝－1，故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.法二设过直线l1、l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x＋43y－43＝0，即2x＋y－1＝0.要点二两点间距离公式的应用例2已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC 的形状．解法一∵|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二∵k AC＝7－11－(－3)＝32，k AB＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪演练2已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)．(1)求BC边上的中线AM的长；(2)证明△ABC为等腰直角三角形．(1)解设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝3＋12＝2，y＝－3＋72＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝(－3－2)2＋(1－2)2＝26，所以BC边上的中线AM的长为26.(2)证明根据题意可得，|AB|＝(－3－3)2＋(1＋3)2＝213，|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，|AC|＝(－3－1)2＋(1－7)2＝213，所以|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．要点三坐标法的应用例3证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．跟踪演练3已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是()A ．(4,1)B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 答案 C解析 由方程组⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于( ) A ．5 B.37 C.13 D ．4 答案 A解析 |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0 答案 A解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．答案 a ≠2解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.5．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________．答案 25解析 设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5.1．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.一、基础达标1．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( ) A.13 B.12 C ．3 D ．2答案 D解析 由两点间的距离公式， 得|AC |＝[3－(－1)2]＋(4－0)2＝42，|CB |＝(3－5)2＋(4－6)2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24答案 C解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形．故选B.4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4 答案 B解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎨⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎨⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n ＋p ＝20.5．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为________． 答案 1或－5解析 由题意得(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， 解得a ＝1或a ＝－5.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.7．在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2,0)的距离相等．解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组 ⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，(x －1)2＋(y ＋1)2＝(x －2)2＋y 2， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0,1)．法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2,0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.①又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧ 3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0,1)． 二、能力提升8．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( )A.895B.175C.135D.115 答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 9．直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2答案 B解析 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)代入直线x ＋ky ＝0得k ＝－12.10．若动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________． 答案 22解析 由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，∴最小值为12＝22.11．(1)求过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程．(2)求经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解 (1)法一 由⎩⎨⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝4，即交点为(－1,4)． ∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直， ∴所求直线的斜率为13. ∴由点斜式得y －4＝13(x ＋1)， 即x －3y ＋13＝0.法二 设所求的方程为3x ＋y －1＋λ(x ＋2y －7)＝0， 即(3＋λ)x ＋(1＋2λ)y －(1＋7λ)＝0， 由题意得3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0，∴λ＝－2，代入所设方程得x －3y ＋13＝0.(2)设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.令x＝0，得y＝7λ－6 2＋5λ；令y＝0，得x＝7λ－6 3＋2λ.由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67.直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.三、探究与创新12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．解原式可化为y＝(x－4)2＋(0－2)2＋(x－0)2＋(0－1)2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|P A|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|P A|＋|PB|＝|P A′|＋|PB|≥|A′B|，故|P A|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝(4－0)2＋(－2－1)2＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.13．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|P A|＋|PB|为多少？解如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值．设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝6，即A ′(3,6)．所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎨⎧ 6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611. 所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处，此时|P A |＋|PB |＝|A ′B |＝(3－4)2＋(6－0)2 ＝37.。
