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湛江市2010年高考一模试题(数学理)

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湛江市2010年普通高考测试（一）数 学（理 科）本试卷共4页，共21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。

在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式h S V ⋅⋅=31，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高. 圆台的侧面积公式l c c S )(21'+=，其中c 、c '分别是圆台上、下底面周长，l 是圆台的母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合}1,1{-=M ，}0|{2=+=x x x N ，则M N =A ．}1,0,1{-B ．}1,1{-C ．{1}-D ．{0}2．函数212log 2)(x x x f -=的零点所在的大致区间为 A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)8,4(D ．不能确定3．函数)34sin()(π+=x x f 的一条对称轴方程为 A . 3π-=xB .6π=x C . 2π=xD . 32π=x 4．已知R x ∈，则“4|2||1|>-++x x ”是“2-<x ”的 A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.一个空间几何体的主视图和侧视图都是上底为2，下底为4，高为22的等腰梯形，俯视图是两个半径分别为1和2的同心圆，那么这个几何体的侧面积为 A .π26B .π18C .π9D .π236. 已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率为A ．23或25 B ．23C ．5D ．23或5 7. 甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图 所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A ．63 B ．64 C ．65 D ．668．数列}{n a 中，111-=⋅++n n n a a a ，且22010=a ，则前2010项的和等于 A ．1005 B ．2010 C ．1 D ．0二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9~13题）9．i 是虚数单位，则=+i12________. 10．已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则l 的倾斜角=α . 11．在二项式52)21(xx -的展开式中，x 的系数是 .12．已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x y + 的最小值为 ；此时=x .13．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点既在直线04=--x y 左上方，又在直线29=y 下方的有________个.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）已知⊙O 的方程为122=+y x ，则⊙O 上的点到直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 531542（t 为参数）的距离的最大值为 ． 15.（几何证明选讲选做题）如图，O 是半圆的圆心， 直径62=AB ，PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，4=AC ，则=PB ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，其中2=c ，又向量m )cos ,1(C =，n )1,cos (C =，m ·n =1．1 2 3 543 4 6 3 6 8 3 8 9 1甲 5 2 5 4 9 7 6 1 9 40 乙（1）若4π=A ，求a ,b 的值；（2）若4=+b a ，求△ABC 的面积．17．（本题满分12分）甲乙两人各有四张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3、4，乙的卡片分别标有数字0、1、3、5．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，游戏规则是：若a 和b 的积为奇数，则甲赢，否则乙赢． （1）请你运用概率计算说明这个游戏是否公平？ （2）若已知甲抽出的数字是奇数，求甲赢的概率．18．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，45ABC ∠=︒，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（1）求证：//AB 平面PCD （2）求证：⊥BC 平面PAC（3）求二面角D PC A --的平面角α的正弦值19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n n S a 21=+.（1）求432,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知抛物线1C 的方程为)0(2>=a ax y ，圆2C 的方程为5)1(22=++y x ，直P线m x y l +=2:1（0<m ）是1C 、2C 的公切线．F 是1C 的焦点． （1）求m 与a 的值；（2）设A 是1C 上的一动点，以A 为切点的1C 的切线l 交y 轴于点B ，设FB FA FM +=， 证明：点M 在一定直线上．21．（本小题满分14分）设函数xxa x x f ln )(+=，其中a 为常数． （1）证明：对任意R a ∈，)(x f y =的图象恒过定点； （2时，判断函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）若对任意时，)(x f y =恒为定义域上的增函数，求m 的最大值．湛江市2010年普通高考测试（一）数 学（理 科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. C2. A3. B4. B5. C6. D7. A8. A二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）9．i -1 10． 135 11．45-12．2313．1 14.3 15.32三、解答题（本大题共6小题，共80分）16.（本小题满分12分） 解：（1）∵m ·n 1cos 2cos cos ==+=C C C∴21cos =C 0180C << ∴60C =︒ …………………………………2分 由正弦定理得，22,sin 45sin 60sin 75sin 60a b ==︒︒︒︒， ……………………4分 ∴362322==a ，3623+=b………………………………………6分 （2）∵2=c ，60C =︒，∴460cos 222=-+ ab b a ，∴422=-+ab b a ， ………………………………………………………………8分 又∵4=+b a ，∴16222=++ab b a ，∴4=ab ， …………………………10分 ∴3sin 21==∆C ab S ABC ． ……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分） 解：（1）将甲乙所得ab 的所有可能结果列表如下：………………2分由表可知，ab 的基本事件总数为16，其中“ab 为奇数”（记为事件A ）的结果有6种，“ab 为偶数”（记为事件B ）的结果有10种， ………………………3分 由此可得甲赢的概率为：83166)(==A P ；乙赢的概率为：851610)(==B P ； …………5分 ∵<)(A P )(B P ，∴该游戏不公平． ……………………………………………6分 （2）设“甲抽出的数字是奇数”为事件C ，则C 发生的概率为2142)(==C P ． ……………………………………………………………8分 又由（1）知，甲赢的概率即事件A 发生的概率，∴83)()(==A P CA P ……10分故由条件概率得此时甲赢的概率为432183)()()|(===C P CA P C A P ． ………………………………………………12分另解：由（1）中的列表可知“甲抽出的数字是奇数”的结果共有8种，…………8分 其中“ab 为奇数”的结果有6种，……………………………………………………10分故此时甲赢的概率为：4386==P ． ………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：//AB DC ，且AB ⊄平面PCD∴//AB 平面PCD . …………………………………………………………3分 （2）证明：在直角梯形ABCD 中，过C 作AB CE ⊥于点E ，则四边形ADCE 为矩形 ∴1AE DC ==，又2=AB ，∴1=BE∴1==BE CE ，2=CB ∴1==CE AD ， 则222=+=DC AD AC ，22BC AC + ∴AC BC ⊥ 又 ABCD PA 平面⊥ ∴BC PA ⊥ A AC PA =⋂∴⊥BC 平面PAC （3）解：如图，分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，z )0,0,0(A ，)1,0,0(P ，)0,1,1(C ，)0,0,1(D ………………………9分∴)1,0,0(=，)1,1,1(-=设m ),,(c b a =为平面PAC 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m m ，即⎩⎨⎧=-+=00c b a c ， 设1=a ，则1-=b ，∴m )0,1,1(-=，…………………………10分同理设n ),,(z y x =为平面PCD ∴2122100111||||cos =⨯⨯+⨯-⨯=⋅⋅=n m n m α， ………………………………13分∴23sin =α． ………………………………………………………………14分 另解： ⊥PA 平面AC AD CD ⊥ ∴⊥CD 平面PAD ∴PD CD ⊥ ， 又1==AD PA ，2=AC ……………………………………10分∴3=PC 2=PD∴点D 到PC 的距离3221=⋅='∆PC S h PCD…………………………………11分在三棱锥ACD P -中 ，2121=⋅⋅=∆AD CD S ADC ，2221=⋅⋅=∆PA AC S PAC ，PAC D ACD P V V --=； ∴点D 到平面PAC 的距离21313131=⋅⋅⋅=⋅=∆∆-PAC ADC PACACDP S PA S S V h ………13分 ∴23sin ='=h h α ． ……………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（1）∵11=a ，∴2212==a a ，6223==S a ，18234==S a ， ………………………………………3分（2）∵n n S a 21=+，∴12-=n n S a (2)n ≥，∴n n n a a a 21=-+，31=+nn a a (2)n ≥ 又212=a a ，∴数列{}n a 自第2项起是公比为3的等比数列， ……………………6分 ∴21(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨⨯⎩≥， ………………………………………………………8分（3）∵n n b na =，∴21(1)23(2)n n n b n n -=⎧=⎨⨯⎩≥， ……………………………………10分 ∴0122122323324323n n T n -=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯， ①13213234233232233-⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=n n n T ② ………12分①-②得012212222323232323n n n T n ---=-+⨯⨯+⨯+⨯++⨯-⨯⨯()232122333323n n n --=+++++-⨯=1(12)31n n --⨯-∴213)21(1+⨯-=-n n n T ． ………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）由已知，圆2C ： 5)1(22=++y x 的圆心为)1,0(2-C ，半径5=r ．……1分由题设圆心到直线m x y l +=2:1的距离22)1(2|1|-++=m d ． ……………………3分即5)1(2|1|22=-++m ，解得6-=m （4=m 舍去）． …………………………4分 设1l 与抛物线的相切点为),(000y x A ，又ax y 2/=， ……………………………5分得a x ax 12200=⇒=，a y 10=． ………………………………………………6分 代入直线方程得：621-=a a ，∴61=a所以6-=m ，61=a ． ……………………………………………………………7分（2）由（1）知抛物线1C 方程为261x y =，焦点)23,0(F ． ………………………8分设)61,(211x x A ，由（1）知以A 为切点的切线l 的方程为211161)(31x x x x y +-=． …………………………………………………………10分令0=x ，得切线l 交y 轴的B 点坐标为)61,0(21x - ……………………………11分所以)2361,(211-=x x ，)2361,0(21--=x ， ……………………………12分∴)3,(1-=+=x ……………………………………………………13分 因为F 是定点，所以点M 在定直线23-=y 上． ………………………………14分 21．（本小题满分14分）解：（1）令0ln =x ，得1=x ，且1)1(=f ，所以)(x f y =的图象过定点)1,1(； ……………………………………………2分（2）当1-=a 时，xx x x f ln )(-=，222/1ln ln 11)(x x x x x x f -+=--= ………4分 令1ln )(2-+=x x x g ，经观察得0)(=x g 有根1=x ，下证明0)(=x g 无其它根．xx x g 12)(/+=，当0>x 时，0)(/>x g ，即)(x g y =在),0(+∞上是单调递增函数． 所以0)(=x g 有唯一根1=x ；且当)1,0(∈x 时，0)()(2/<=xx g x f ，)(x f 在)1,0( 上是减函数；当),1(+∞∈x 时，0)()(2/>=x x g x f ，)(x f 在),1(+∞上是增函数； …………………………………7分所以1=x 是)(x f 的唯一极小值点．极小值是111ln 1)1(=-=f ． ………………8分 （3）222/ln ln 1)(xa x a x x x a a x f +-=-+=，令a x a x x h +-=ln )(2由题设，对任意],0(m a ∈，有()0h x ≥，),0(+∞∈x ，又xa x a x xax x h )2)(2(22)(2/+-=-=……………………………………10分 当)2,0(a x ∈时，0)(/<x h ，)(x h 是减函数；当)x ∈+∞时，0)(/>x h ，)(x h 是增函数；所以当2a x =时，)(x h 有极小值，也是最小值a aa h )2ln 23()2(-=， ………………………………………………12分又由()0h x ≥得3(02a -≥，得32a e ≤，即m 的最大值为32e ． ……14分。

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广东省湛江市2010年普通高考第一次模拟测试(语文试题)

广东省湛江市2010年普通高考第一次模拟测试(语文试题)

试卷类型：A 湛江市2010年普通高考测试（一）语文注意事项：1．全卷共12页（含答题卡4页），六大题24小题；满分150分，考试时间150分钟。

2．答选择题时，请用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答非选择题时，请用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须填入答题卡相应的位置上，否则无效。

3．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、本大题4小题，每小题3分，共12分。

1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同．．．的一项是A．彻．夜/掣．肘侥．幸/骁．勇参与．/赠与．B．枯萎．/讳．忌奇葩．/篱笆．省．察/省．亲C．炽．烈/伺．候褴褛．/缕．析落泊．/湖泊．D．坍．塌/殚．力要挟．/狭．隘显露．/露．富2．下面语段中加点的词语，使用不恰当．．．的一项是北京奥运会开幕式，着实让全世界感受了中国文化的博大精深。

不同凡响．．．．的“太古遗音”古琴独奏，精美绝伦的“山水画卷”展示，行云流水．．．．的点火仪．．．．般太极拳表演，还有独树一帜式，既运用了现代科技手段又充满“中国元素”，这一切，简直令人叹为观止．．．．。

A. 不同凡响B. 行云流水C. 独树一帜D. 叹为观止3．下列句子中，没有语病的一项是A．投资高达1.5亿元，由著名演员周润发主演的的电影《孔子》即将在大陆和港台同时上演。

尽管有人称之为“‘战争版’《孔子》”，但单是周润发如何演绎孔子已足够令人期待。

B．在新形势下，我们应该树立科学的社会发展观，推进和谐社会的建设和经济的持续稳定快速增长。

C．上月，滨海市政府发布了严禁无营运牌照摩托车非法搭客和交警上街查缴无牌摩托车的通告，得到了大多数市民的赞成和支持。

D．国际天文学会日食组主席杰·巴萨乔夫教授经实地考察后正式宣布，2009年7月22日的日全食将于10时34分出现在浙江安吉，是这次全球日全食最佳观测点。

4．把下列句子组成语意连贯的一段文字，排序最恰当的一项是①由于记录文书的竹木绢帛容易腐朽，所以难以像记录卜辞的甲骨那样完好遗存至今。

2010年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)

2010年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)

2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必修+选修II)第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) (B) 7 (C) 6(D)(5)35(1(1+-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 （7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A3 B 3 C 23D 3 （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为(A)2 (B)2(C) (D)（10）已知函数()|lg |f x x =,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)(C) (D) 第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13)1x ≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，cot cot a b a A b B +=+且BF 2FD =，则C 的离心率为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．(18)(本小题满分12分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .（21）(本小题满分12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（22）(本小题满分12分) 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-.[来源:学*科*网] （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围.答案解析一、选择题(1)A＝i.(2)B∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝＝.∴tan100°＝－tan80°＝－＝－.(3)B线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z＝x－2y得y＝－，当直线y ＝－在y轴上的截距最小时，z取得最大值，由图知，当直线通过点A时，在y轴上的截距最小，由，解得A(1，－1)．所以z max＝1－2×(－1)＝3.（4）A数列{a n}为等比数列，由a1a2a3＝5得＝5，由a7a8a9＝10得＝10，所以＝50，即(a2a8)3＝50，即＝50，所以＝5(a n＞0)．所以a4a5a6＝＝5.(5)C(1＋2)3(1－)5的展开式中x的项为(－)3＋(2)2＝2x，所以x的系数为2.(6)A分两类：①选A类选修课2门，B类选修课1门，有·＝12(种)；②选A类选修课1门，B类选修课2门，有·＝3×6＝18(种)，所以不同的选法共有12＋18＝30(种)．（7）D不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的法向量为＝(1,1,1)，又＝(0,0,1)，∴cos〈，〉＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.（8）C∵log32＝＜ln2，要比较log32＝与5－＝，只需比较log23与＝log22，只需比较3与2，∵2＞22＝4＞3，∴log32＞5－.∴c＜a＜b.(9) B在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝|F1F2|·h，解得h＝（10）C函数f(x)＝lg|x|的图象如图所示．由图知0＜a＜1，b＞1.∵f(a)＝|lga|＝－lga＝lg＝f(b)＝|lgb|＝lgb，∴b＝.∴a＋2b＝a＋.令g(a)＝a＋(0＜a＜1)，g(a)在(0,1)上为减函数，∴g(a)＝a＋＞g(1)＝1＋2＝3.（11）D如图，设∠APO＝θ，·＝||2·cos2θ＝||2·(1－2sin2θ)＝(|OP|2－1)(1－2·)＝|OP|2＋－3≥2－3，当且仅当|OP|2＝，即|OP|＝时，“＝”成立．（12）B不妨取AB⊥CD，过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P.设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCD＝×2××2×h＝h.当直径通过AB与CD的中点时，h max＝2＝2.故V max＝二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13){x|0≤x≤2}解析：∵－x≤1，∴≤x＋1.原不等式等价于，解得0≤x≤2.(14)－解析：∵α为第三象限的角，∴π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z.∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ，k∈Z.又∵cos2α＝－，∴2α为第二象限角．∴sin2α＝＝.∴tan2α＝＝－.∴tan(＋2α)＝＝＝－.(15)(1，)解析：y＝x2－|x|＋a＝.当其图象如图所示时满足题意．由图知，解得1＜a＜.(16)解析：如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即，解得，D(，－)．由D在椭圆上得：＝1，∴＝，∴e＝＝.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)解：由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，sinA－cosA＝cosB－sinB，从而sinAcos－cosAsin＝cosBsin－sinBcos，sin(A－)＝sin(－B)．又0＜A＋B＜π，故A－＝－B，A＋B＝.所以C＝.(18)解：(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋B·C，P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.(2)X～B(4,0.4)，其分布列为P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.129 6，P(X＝1)＝×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，P(X＝2)＝×0.42×(1－0.4)2＝0.345 6，P(X＝3)＝×0.43×(1－0.4)＝0.153 6，P(X＝4)＝0.44＝0.025 6.期望E(X)＝4×0.4＝1.6.（19）解法一：(1)连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD. 又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE.作BK⊥EC，K为垂足．因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB.SB＝＝，DE＝＝，EB＝＝，SE＝SB－EB＝，所以SE＝2EB.(2)由SA＝＝，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝＝1，又AD＝1，故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF＝＝.连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE.所以∠AFG是二面角A—DE—C的平面角．连结AG，AG＝，FG＝＝，cos∠AFG＝＝－.所以二面角A-DE-C的大小为120°.解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．(1) ＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)．设平面SBC的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥得n·＝0，n·＝0.故2b－2c＝0，－a＋b＝0.令a＝1，则b＝1，c＝1，n＝(1,1,1)．又设＝λ(λ＞0)，则E(，，)．＝(，，)，＝(0,2,0)．设平面CDE的法向量m＝(x，y，z)，由m⊥，m⊥，得m·＝0，m·＝0.故＋＋＝0,2y＝0.令x＝2，则m＝(2,0，－λ)．由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n，m·n＝0，2－λ＝0，λ＝2.故SE＝2EB.(2)由(1)知E(，，)，取DE中点F，则F(，，)，＝(，－，－)，故·＝0，由此得FA⊥DE.又＝(－，，－)，故·＝0，由此得EC⊥DE，向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角．于是cos〈，〉＝＝－，所以二面角A-DE-C的大小为120°(20)解：(1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′(x)＝xlnx＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，即lnx－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋x(lnx＋－1)＝lnx－x(ln－＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0.（21）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4. ①直线BD的方程为y－y2＝·(x－x2)，即y－y2＝·(x－)．令y＝0，得x＝＝1.所以点F(1,0)在直线BD上．(2)由①知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1.因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝，解得m＝±.所以l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.又由①知y2－y1＝±＝±，故直线BD的斜率＝±，因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.因为KF为∠BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(－1＜t＜1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为，.由＝得t＝或t＝9(舍去)，故圆M的半径r＝＝.所以圆M的方程为(x－)2＋y2＝.（22）解：(1)a n＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即b n＋1＝4b n＋2.b n＋1＋＝4(b n＋)，又a1＝1，故b1＝＝－1.所以{b n＋}是首项为－，公比为4的等比数列，b n＋＝(－)×4n－1，b n＝－－.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，a n＜a n＋1.(ⅰ)当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；(ⅱ)设当n＝k时，a k＜a k＋1，则当n＝k＋1时，a k＋2＝c－＞c－＝a k＋1.故由(ⅰ)(ⅱ)知当c＞2时，a n＜a n＋1.当c＞2时，令α＝，由a n＋＜a n＋1＋＝c得a n＜α；当2＜c≤时，a n＜α≤3.当c＞时，α＞3，且1≤a n＜α，于是α－a n＋1＝(α－a n)≤(α－a n)，α－a n＋1≤(α－1)．当n＞时，α－a n＋1＜α－3，a n＋1＞3. 因此c＞不符合要求．所以c的取值范围是(2，]．。

湛江市2012届高三第一次模拟考试(理数)

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湛江市2012年普通高考测试(一)数学(理科)本试卷共4页，共21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。

在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 棱锥的体积公式：,31h S V ⋅⋅=其中S 是底面面积，h 是高。

圆柱的侧面积公式：l r S ⋅⋅=π2,其中r 是圆柱的底面半径，l 是母线长。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集R I =，},|{2x x x T <=}|{T x x M ∉=，则M 等于}1|.{≥x x A }1|.{>x x B }01|.{≤≤-x x C }01|.{≤≥x x x D 或2．已知复数z 为纯虚数，且iz ++12是实数，则z 等于1.A i B . i C2. i D -.3．已知向量)3,2(=a ，)1,(k b =，若b a 2+与b a -平行，则k 的值是．6.-A 32.-B 32.C 14.D4．已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=给出下列四个命题：①若)()(21x f x f -=，则21x x -= ②)(x f 的最小正周期是2π； ③在区间]4,4[ππ-上是增函数； )(x f ④的图象关于直线43π=x 对称．其中真命题是A ．①②④B ．①③C ．②③D ．③④ 5．对两条不相交的空间直线a 和b 则 A ．必定存在平面α使得αα⊂⊂b a , B ．必定存在平面α使得αα//,b a ⊂C. 必定存在直线c ，使得c b c a //,// D ．必定存在直线c ，使得c b c a ⊥,//6．甲、乙两人从4门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A ．6种B ．12种C ．30种D ．36种7．设()1,3:23+-=>ax x x f q a p ：“”“在(0，2)上有唯一零点”，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设)(x g 是定义在R 上、以1为周期的函数，若)()(x g x x f +=在[0，1]上的值域为[-2，5]，则)(x f 在区间[0，3]上的值域为A ．[-2，7]B ．[-2，5]C ．[0，8]D ．[-3， 7] 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9-13题) 9．=⎰dx xe221 (其中e 为自然对数的底)10．抛物线2ax y =，上一点M(m ，3)到焦点的距离为5，则=a 11．一个几何体的三视图如图所示，正视图是正方形，俯视图 为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为12．已知实数y x ,满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ，则22)3(y x +-的最小值是13．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是_______________．(二)选做题(14、15题，考生只能从中选作一题)14．(几何证明选讲选做题)如图，已知圆O 内接△ABC 的∠C 的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE,已知BD=3CE=7,BC=5，则线段BE=．15．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，圆心为),2(π 且过极点的圆的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

广东省湛江市高三数学一模试卷解析版

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高三数学一模试卷一、单选题1．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2．已知，则的虚部是（）A．B．C．D．3．已知，，则（）A．B．C．D．4．下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（）A．B．C．D．5．下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（）A．B．C．D．6．为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A．18种B．12种C．72种D．36种7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（）A．B．C．D．8．已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题9．若，则下列不等式中正确的有（）A．B．C．D．10．某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的2×2列联表：PM2.5经计算，则可以推断出（）附：A．该市一天空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64B．若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化C．有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关D．在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关11．已知正方体的棱长为1，点P是线段上（不含端点）的任意一点，点E 是线段的中点，点F是平面内一点，则下面结论中正确的有（）A．平面B．以为球心､为半径的球面与该正方体侧面的交线长是C．的最小值是D．的最小值是12．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B 两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（）A．点M到直线l的距离为定值B．以为直径的圆与l相切C．的最小值为32D．当最小时，三、填空题13．已知向量，，若，则．14．已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是. 15．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是.16．已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为.四、解答题17．已知数列是等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和，并证明：.18．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若，求周长的最大值.19．如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20．中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？21．已知双曲线的离心率是，实轴长是8.（1）求双曲线C的方程；（2）过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P 的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.22．已知函数，.（1）当时，证明：当时，；（2）若对，都，使恒成立，求实数a的取值范围.答案解析部分【解析】【解答】因为集合，集合，所以.故答案为：C.【分析】用列举法表示U ,再由补集运算得答案.【解析】【解答】解：因为，所以，所以的虚部是，故答案为：B.【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解析】【解答】由，，得，所以，故答案为：B.【分析】根据同角关系进行求出sina，利用两角和差的正弦公式进行求解即可.【解析】【解答】因为，所以函数为奇函数；因为，又，所以，A符合题意；因为，故是非奇非偶函数，B不符合题意；函数满足为偶函数，C不符合题意；因为，D不符合题意，故答案为：A.【分析】分别判断函数的奇偶性和函数值是否满足条件，进行判断即可.【解析】【解答】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：，解得：，所以其内切圆半径为.由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：.故答案为：D.【分析】先求出正三棱棱的底面正三角形内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.【解析】【解答】解：4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲､乙､丙三地，共有种方案，所以共有36种选派方案.故答案为：D.【分析】先将4名教师分为3组，然后再分别派到甲、乙、丙三地，即可得解.【解析】【解答】由，得.故答案为：C.【分析】根据斐波契数列的性质进行求解即可得答案.【解析】【解答】由题设，当时，，令，则，所以当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.又，，所以当时，直线与的图象有两个交点，即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.故答案为：A.【分析】将两个函数的解析式联立，消去y，得到等式，问题转化为方程有两个不同的正式根，即可求出实数k的取值范围。