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【优化探究系列】2019届高考数学(文)一轮复习-课时作业-第六章 第二节 基本不等式

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课时作业 A 组——基础对点练1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，即a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15.答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b解析：因为0<a <b ，所以a －ab ＝a (a －b )<0，故a <ab ；b －a ＋b 2＝b －a2>0，故b >a ＋b2；由基本不等式知a ＋b2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b2<b ，故选B.答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3y x ＋12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.1a ＋1b>1abC.b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析：因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 答案：C5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R)D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立． 答案：C6．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 法二：由题设易知a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，选C.答案：C7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4 b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎨⎧3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b ＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3ab ≥7＋24b a ·3ab＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，故选D.答案：D8．(2018·银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ． [－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－(|x |＋1|x |)，设f (x )＝－(|x |＋1|x |)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max＝－2，故a ≥－2.故选B. 答案：B9．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2解析：f (x )＝2x ＋1x≤22x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x ，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.答案：B10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB ．a 2＋b 2>2abC.a b ＋ba ≥2 D ．|ab ＋b a|≥2解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2ab 不成立； 对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立；对于C ，当a ，b 异号时，b a ＋ab≥2不成立；对于D ，因为b a ，a b 同号，所以|b a ＋a b |＝|b a |＋|a b|≥2 |b a |·|a b |＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即|b a ＋a b|≥2恒成立． 答案：D11．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >p D ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f (a ＋b2)，即q >p ，∴r＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B. 答案：B12．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为__________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3 ≥18(2＋2)＝12， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12. 答案：1213．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.解析：f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.答案：3614．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，则1x ＋4y的最小值为________． 解析：2x －3＝(12)y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋4y ＝13(1x ＋4y )(x ＋y )＝13(5＋y x ＋4x y )≥13(5＋2 y x ·4x y )＝3(当且仅当y x ＝4xy，即y ＝2x 时取等号)． 答案：315．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．解析：设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)． 故该容器的最低总造价是160元． 答案：160B 组——能力提升练1．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y22x －1≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16解析：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[2x －1＋1]2y －1＋[y －1＋1]22x －1≥42x －1y －1＋4y －12x －1≥4×22x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎨⎧x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C.答案：C2．若a ，b ，c ∈ (0，＋∞)，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.5－1B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：由题意，得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝6－25，所以24－85＝4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )≤4a 2＋4ab ＋b 2＋c 2＋4ac ＋2bc ＝(2a ＋b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，所以2a ＋b ＋c 的最小值为25－2，故选D. 答案：D3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( )A ．8B ．12C ．16D ．21解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·(a ＋b 2)2＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12.答案：B4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B ．2C.94D ．3解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫5＋4y ＋1x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2 4y ＋1x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23， y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.答案：C 5.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9B.92 C ．3D.322解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，3－aa ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 答案：B6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos(B －π3)＝b ＋c ，△ABC 的外接圆半径为3，则△ABC 周长的取值范围为( ) A ．(3,9] B ．(6,8] C ．(6,9]D ．(3,8]解析：由2a cos(B －π3)＝b ＋c ，得a cos B ＋3a sin B ＝b ＋c ，由正弦定理得3sin A sin B ＋sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )，即3sin A sin B ＝sin B ＋cos A sin B ，又sin B ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，∴sin(A －π6)＝12，由0<A <π得－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.又△ABC 的外接圆半径为3，∴23＝a sin A ⇒a ＝23sin A ＝3.b ＋c ＝23sin B ＋23sin C ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(32sin B ＋32cos B )＝6(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，由0<B <2π3得，π6<B ＋π6<5π6，故3<6sin(B ＋π6)≤6，∴6<a ＋b ＋c ≤9.答案：C7．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y≤14，x ＋y ≤－2，故选D. 答案：D8．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y4x＋2≥24xy ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：B9．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z＝－1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B10．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n 1＋n2，∴S n ＋8a n＝n 1＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·16n＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 答案：A11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝c sin A －sin Ca ＋b，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.334 B.34 C.332D.32解析：根据正弦定理由sin A －sin B ＝c sin A －sin C a ＋b 可得a －b ＝c a －c a ＋b，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b ＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.答案：A12．(2018·宝鸡模拟)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元． 答案：2 2013．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：114．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为a ，b ，c ，其面积S ＝pp －a p －b p －c ，这里p ＝12(a ＋b＋c )．已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则其面积取最大值时，sin A ＝________.解析：已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，所以三角形的三边长为a ＝6，c ＝2b ，p ＝12(6＋b ＋2b )＝3＋3b2，其面积 S ＝p p －ap －bp －c＝3＋3b 23b 2－33b2＋3－b 3＋3b2－2b＝3＋3b 23b 2－3b2＋33－b2＝ 9b 24－99－b 24＝34b 2－436－b2≤34×b 2－4＋36－b 22＝12，【优化探究系列】2019届高考数学（文）一轮复习【优化探究系列】2019届高考数学（文）一轮复习 当且仅当b 2－4＝36－b 2，即b ＝25时取等号，此时a ＝6，b ＝25，c ＝45，三角形存在，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，所以sin A ＝35. 答案：35。

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【优化探究系列】2019届高考数学(文)一轮复习-课时作业-第五章 第三节 等比数列及其前n项和

【优化探究系列】2019届高考数学(文)一轮复习-课时作业-第五章 第三节 等比数列及其前n项和

课时作业 A 组——基础对点练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B. 答案：B2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19D ．－19解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 1 1－q 3 1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C.答案：C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31D ．33解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D.答案：D4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( )A ．11B ． 10C ．9D ．8解析：a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝24×26＝210＝2m，所以m ＝10，故选B. 答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图像上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n ＞a nD ．T n ＜b n ＋1解析：因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图像上，所以S n ＝3·2n－3，所以a n ＝3·2n －1，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q ，则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q ＝6，解得b 1＝1，q＝2，所以b n ＝2n －1，T n ＝2n－1，所以T n ＜b n ＋1，故选D.答案：D6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________． 解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5，∴q ＝2，∴S 5＝a 1 1－251－2＝－62，a 1＝－2.答案：－27．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q ＝13.答案：138．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. 答案：3n －1＋129．(2018·昆明市检测)数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＋2a n ＝3. (1)证明{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设b n ＝a n ·sgn(a n )，求数列{b n }的前100项和．解析：(1)因为a n ＋1＝－2a n ＋3，a 1＝－1， 所以a n ＋1－1＝－2(a n －1)，a 1－1＝－2，所以数列{a n －1}是首项为－2，公比为－2的等比数列． 故a n －1＝(－2)n，即a n ＝(－2)n＋1.(2)b n ＝a n ·sgn(a n )＝⎩⎨⎧2n＋1，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2.10．(2018·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴{a n n }是以12为首项、12为公比的等比数列． (2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝(12)n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组——能力提升练1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝9，∴S 3＝3×9＝27. 当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q1－q， ∴27＝a 1－9q1－q∴a 1＝27－18q ， ∴a 3＝a 1q 2，∴(27－18q )·q 2＝9，∴(q －1)2(2q ＋1)＝0，∴q ＝－12.综上q ＝1或q ＝－12.选C.答案：C2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12D ．2解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：D3．(2018·彬州市模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－a ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2B.13(2n－1) C ．4n－1D.13(4n－1) 解析：∵S n ＝2n－a ，∴a 1＝2－a ，a 1＋a 2＝4－a ，a 1＋a 2＋a 3＝8－a ， 解得a 1＝2－a ，a 2＝2，a 3＝4，∵数列{a n }是等比数列，∴22＝4(2－a )，解得a ＝1.∴公比q ＝2，a n ＝2n －1，a 2n ＝22n －2＝4n －1.则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4n－14－1＝13(4n－1)．答案：D4．设数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q ＝( ) A.32 B ．－43C ．－32D ．－52解析：数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，且b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝b n －1， 则{a n }有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中， ∵数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，等比数列中有负数项，则q ＜0，且负数项为相隔两项∵|q |＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，－24,36，－54,81， 相邻两项相除－2418＝－43，－3624＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，∵|q |＞1，∴－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项，此时q ＝－32.答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n.解析：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①∴S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n＝11×3＋13×5＋…＋1 2n －3 2n －1 ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1. 7．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.解析：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n，a n ＝n ·22－n＝4n 2n . (2)证明：b n ＝a n4n －a n＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n－1， 因为对任意n ∈N *,2n－1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <2.。

2019届高考数学(文)一轮复习课件-第六章-共6课时课件-合编

2019届高考数学(文)一轮复习课件-第六章-共6课时课件-合编

a>0 解析： b>0 a＋b>0 ⇒ ab>0
.又当 ab>0 时， a 与 b 同号， 由 a＋b>0
知 a>0，且 b>0. 答案：C
高考·不等式、推理与证明
高考数学
1 1 4． (2018· 河南六市模拟)若a<b<0， 则下列结论不正确的是( A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
－m2－m－1 m2＋m＋1 3 解析：m＋2－ ＝ ＝ ， 1－m 1－m m－1 3 ∴当 m>1 时，m＋2> ； 1－m 3 当 m<1 时，m＋2< . 1－m
高考·不等式、推理与证明
高考数学
悟· 技法 比较大小常用的方法 (1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与 0 的大小⇒得出结 论． 注意：含根号的式子作差时一般先乘方再作差． (2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与 1 的大小⇒得出结 论． (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小.
高考·不等式、推理与证明
高考数学
考向一
比较大小[自主练透型]
1．(2018· 长春模拟)已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2， c－b＝4－4a＋a2，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b
解析：∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又 b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， 12 3 2 ∴b－a＝a －a＋1＝(a－2) ＋4>0， ∴b>a，∴c≥b>a. 答案：A
2019年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课时跟踪检测理

2019年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课时跟踪检测理

[基 础 达 标]1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94.答案：B3．(2018届昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A 4．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.答案：A5．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析：集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅， 等价于ax 2－ax ＋1<0无解．当a ＝0时，原不等式可化为1<0，满足条件； 当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1<0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4， 综上可知，0≤a ≤4. 答案：D6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则( )A ．a <2B ．a >－12C ．－22<a <0D ．－12<a <0解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f －2 >0，f 0 <0，f 1 <0，f 3 >0，即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a >0，a <0，－2＋a <0，12＋a >0.解得－12<a <0.故选D. 答案：D7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x . 因为f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.所以a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f 0 ≥0⇒a ≥0.(如图1)②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<－a 2<12，f －a2 ≥0⇒－1<a <0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f 12 ≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)综上①②③，a ≥－52.故选C.答案：C8．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只需⎩⎪⎨⎪⎧g 1 >0，g －1 >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B.答案：B9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)10．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(－2a,4a )， 又x 2－2ax －8a 2<0(a >0)解集为(x 1，x 2)， 则x 1＝－2a ，x 2＝4a ， 由x 2－x 1＝6a ＝15，得a ＝52.答案：5211．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围；(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的取值范围． 解：(1)解法一：令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． 当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥2，所以a ≤53，与a >4矛盾，所以a 不存在．当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥2， －22－2≤a ≤22－2， 所以－4≤a ≤22－2.当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥2，所以a ≥－5，所以－5≤a <－4. 综上所述－5≤a ≤22－2.解法二：在x ∈[－2,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥2恒成立⇔a (x －1)≥－x 2－1恒成立，当x ＝1时，a ∈R ；当1<x ≤2时，a ≥－x 2－1x －1；当－2≤x <1时，a ≤－x 2－1x －1.接下来通过恒成立问题的等价转化，变成最值问题即可求解．(2)原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1>0，设g (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则g (a )在[－2,2]上恒大于0，故有⎩⎪⎨⎪⎧g －2 >0，g 2 >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x >1或x <－1.所以x <－1或x >3.[能 力 提 升]1．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0成立的x 的范围．解：因为a·b ＝x 2＋x －x 2＝x ，所以m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1<0. ①当m ＝0时，不等式等价于x >1；②当m ≠0时，不等式等价于m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)<0.a ．m <0时，不等式等价于x >1或x <1m； b ．0<m <1时，不等式等价于1<x <1m；c ．m ＝1时，不等式等价于x ∈∅；d ．m >1时，不等式等价于1m<x <1.综上所述，原不等式成立的x 的范围为2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝ 2a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋1 2＋1－a ， 由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.。

2019版高中数学(文)课时作业：第六章 不等式、推理与证明 32 Word版含答案

2019版高中数学(文)课时作业：第六章 不等式、推理与证明 32 Word版含答案

证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴(a－c)2>(b－d)2>0，
∴0< < .
又∵e<0，∴ > .
[能力挑战]
11．(2018·江西七校联考)若a、b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()
A．a2>b2B．( )a<( )b
C．lg(a－b)>0 D. >1
答案：≥
7．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， － >0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．
解析：∵ － ＝ >0，
∴bc－ad与ab同号，
∴用任意两个作为条件，另一个作为结论都是正确的．
答案：3
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：当a<b时， < <0不一定成立；当 < <0时，a<b<0.综上可得，p是q的必要不充分条件，选B.
答案：B
3．(2018·厦门一模)对于0<a<1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)<loga(1＋ )；②loga(1＋a)>loga(1＋ )；③a1＋a<a ；④a1＋a>a
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
二、填空题
6．已知p＝a＋ ，q＝( ) ，其中a>2，x∈R，则p________q.
解析：p＝a＋ ＝(a－2)＋ ＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．∵x2－2≥－2，∴q＝( ) ≤( )－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．∴p≥q.