2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，230(1)x t e dt −⎰是7x 的（ ）A.低阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.同阶但非等价无穷小【答案】C【解析】当0x →时，23670(1)2(1)~2x t x e dt x e x '⎡⎤−=−⎢⎥⎣⎦⎰，即230(1)x t e dt −⎰是7x 的高阶无穷小. 故选C.（2）函数10()1,0x e x f x x x ⎧−≠⎪=⎨⎪=⎩，，在0x =处（ ）A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数为0D.可导且导数不为0【答案】D.【解析】因为001lim ()lim 1(0)x x x e f x f x →→−===，即()f x 在0x =连续；因为200011()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x→→→−−−−−===−−，即1(0)2f '=. 故选D.（3）设函数()ln (0)f x ax b x a =−>有2个零点，则ba的取值范围是（ ） A.(,)e +∞ B.(0,)eC.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A.【解析】令()0b f x a x '=−=得，b x a=. ln 0b b f b b a a ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，则ln 1b a >，即b e a >，故选A.（4）设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =（ ） A.dx dy + B.dx dy − C.dy D.dy −【答案】C.【解析】等式2(1,)(1)x f x e x x +=+两端同时对x 求导可得212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++①等式22(,)2ln f x x x x =两端同时对x 求导可得2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+②分别将0,1,0,1x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩代入①②可得1212(1,1)(1,1)1,(1,1)2(1,1)2f f f f ''''+=+=. 联立可得1212(1,1)0,(1,1)1,(1,1)(1,1)(1,1)f f df f dx f dy dy ''''===+=. 故选C.（5）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++−−的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ） A.2,0B.1,1C.2,1D.1,2【答案】B.【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−−=+++， 即011121110⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，故令特征多项式11121(1)(3)011λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−−=+−= ⎪ ⎪−−⎝⎭|E A |，可得特征值为0,1,3−，即二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1. 故选B.（6）设1234(,,,)αααα为4阶正交矩阵，若矩阵123T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ααα，111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，k 表示任意常数，则线性方程组=Bx β的通解=X （ ） A.2341k +++αααα B.1342k +++αααα C.1243k +++ααααD.1234k +++αααα【答案】D.【解析】因为1234(,,,)=A αααα为4阶正交矩阵，所以向量组1234,,,αααα是一组标准正交向量组，则()3r =B . 又14243T T T ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭0B ααααα，所以齐次线性方程组=0Bx 的通解为4k α.而1123212331()()11T T T ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ααααααααβα，故线性方程组=Bx β的通解为1234k =+++x αααα，其中k 为任意常数. 故选D.（7）已知矩阵101211125−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角矩阵，则,P Q 可以分别为（ ） A.100101010,013001001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.100100210,010321001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ C.100101210,013321001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭D.100123010,012131001−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C.【解析】101100101100(,)211010013210125001026101−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A E101100013210(,)000321−⎛⎫ ⎪→−−= ⎪ ⎪−⎝⎭F P ，则100210321⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭P . 101100013010000000100101010013001001−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F E Q Λ，即101013001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q . 故选C.（8）设,A B 为随机事件，且0()1P B <<，下列命题中为假命题的是（ ） A.若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A = B.若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A > C.若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A > D.若(|)(|)P A A B P A A B >，则()()P A P B > 【答案】D.【解析】(())()(|)()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB ==+−，(())()()()(|)()()()()()P A A B P AB P B P AB P A A B P A B P A B P A P B P AB −===+−.因为(|)(|)P A A B P A A B >，所以()()()P A P B P AB >−，故选D. （9）设1122(,),(,),,(,)n n X Y X Y X Y 为来自总体221212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令12θμμ=−，11n i i X X n ==∑，11ni i Y Y n ==∑，ˆX Y θ=−，则（ ） A.2212ˆˆ(),()E D n σσθθθ+==B.2212122ˆˆ(),()E D n σσρσσθθθ+−==C.2212ˆˆ(),()E D nσσθθθ+≠=D.2212122ˆˆ(),()E D nσσρσσθθθ+−≠=【答案】B.【解析】因为(,)X Y 服从二维正态分布，所以,X Y 均服从二维正态分布，则 X Y −也服从二维正态分布，即12221212ˆ()()()(),2ˆ()()()()cov(,).E E X Y E X E Y D D X Y D X D Y X Y nθμμθσσρσσθ=−=−=−=+−=−=+−= 故选B.（10）设总体X 的概率分布为11{1},{2}{3}24P X P X P X θθ−+======，利用来自总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得θ的最大似然估计值为（ ） A.14B.38C.12D.52【答案】A.【解析】似然函数3511()24L θθθ−+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,取对数得11ln ()3ln 5ln 24L θθθ−+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 求导得ln ()315011d L d θθθθ=+=−+，即14θ=.故选A.二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上. （11）若cose y =1=.x dy dx=【答案】1sin 2e e【解析】11sinsin 2x dydy e e e dxdx e −⎛=−= ⎝.（12）5.=【答案】6.【解析】2235353311622−+==⎰⎰. （13）设平面区域D由(01)y x x π=≤≤与x 轴围成，则D 绕x 轴旋转所围成的旋转体体积为 . 【答案】4π.【解析】112220001)sin sin 24xx t V x dx x xdx tdt ππππππ======⎰⎰⎰.（14）t y t ∆=的通解为t y = .【答案】*21122y y y t t C =+=−+，C 为任意常数.【解析】*1,(),(1)((1))(1),2y C y at b t a t b t at t ==++++−+=112,,,22at a b t a b ++===−*21122y y y t t C =+=−+，C 为任意常数.（15）多项式12121()211211x x x xf x x x−=−中3x 项的系数为 . 【答案】5−. 【解析】12211211112121()1121211211211112131211211x x xx x x xf x x x x x x x x x x x x−−−−==−−−−−−−. 所以展开式中含3x 项的有33,4x x −−，即3x 项的系数为5−.（16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令,X Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 和Y 的相关系数为 .【答案】15.【解析】联合分布律：(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0101(,)~,~~311311111055102222X Y X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1111cov(,),,, 20445x X Y DX DY γρ====即. 三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）已知101lim[arctan (1||)]x x x xα→++存在，求α的值.【答案】11()e eαπ=−. 【解析】要想极限存在，则左右极限相等，又因为101lim arctan (1||)2x x x e x παα+→⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦. 1011lim arctan (1||)2x x x x e παα−→⎡⎤++=−+⎢⎥⎣⎦，从而122e e ππαα+=−+，11e e απ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. （18）（本题满分12分）求函数222(1)(,)2ln ||2x y f x y x x −+=+的极值.【答案】(1,0)−处取极小值2；1(,0)2处取极小值12ln 22−.【解析】2232210,0,x y x x y f x y f x ⎧+−−'==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎩即22210,0.x x y y ⎧+−−=⎨=⎩得驻点(1,0)−，1(,0)2.22432(41)3(21),2,1.xx xyyy x x x x y f x y f x f x ⎧+−+−−''=⎪⎪−⎪''=⎨⎪⎪''=⎪⎩驻点(1,0)−处23,?0,1,30,0A B C AC B A ===−=>>， 故(, )f x y 在(1,0)−处取极小值2.驻点1(,0)2处224,0,4,30,0A B C AC B A ===−=>>， 故(, )f x y 在1(,0)2处取极小值12ln 22−. （19）（本题满分12分）设有界区域D 是圆221x y +=和直线y x =以及x 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分2()22()x y De x y dxdy +−⎰⎰. 【答案】2111848e e −+.【解析】2221()22(cos sin )224001()cos22x y r Dex y d d e r dr πθθσθθ++−=⎰⎰⎰⎰221(cos sin )224001cos22r d e r dr πθθθθ+=⎰⎰21(cos sin )40cos2u d e udu πθθθθ+=⎰⎰.2211(cos sin )2(cos sin )2401(cos sin )(cos sin )(cos sin )u u ue du ue du θθθθθθθθθθ++=+++⎰⎰2(cos sin )41(cos sin )t te dt θθθθ+=+⎰22(cos sin )(cos sin )24111(cos sin )(cos sin )e e θθθθθθθθ++⎡⎤=−−⎣⎦++.。
