考研提高-2020考研数学一试卷分析

2020年考研数学（一）真题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1. +→0x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）A.()⎰-xt dt e 012B.0ln(1x dt +⎰C.⎰xdt t sin 02sin D.⎰-xdt t cos 103sin【答案】D【解析】()A 22++3200(1)(1)1lim lim33xxt t x x e dt e dt x x →→--==⎰⎰，可知0x +→，2301(1)~3x t e dt x -⎰， ()B ++500222limlim ln(155xx x xx dt→→==+⎰，可知5202ln(1~5x dt x +⎰，0x +→ ()C +++s 3in 2200020sin sin(sin )co cos 1limlim lim 333s x x x xx x t dt x x x →→→===⋅⎰，可知sin 2301sin ~3x t dt x ⎰，0x +→()D ++1co 50s 0limlim x x x →→-===⎰，可知1cos 50~x -⎰，0x +→ 通过对比，⎰-xdt t cos 103sin 的阶数最高，故选()D2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0=→x f x ，则（ ）A. 当()0lim=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.B. 当()0lim2=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.C. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim=→xx f x .D. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim2=→xx f x .【答案】C 【解析】当()f x 在0x =处可导时，由()0(0)lim 0x f f x →==，且0()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x →→-'==-，也即0()lim x f x x →存在，从而()0lim0=→xx f x ，故选C 3. 设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，()0,01,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂∂∂=y f x f n 非零向量d 与n 垂直，则（ ）A.()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在. B.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x n y x 存在.C. ()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x d y x 存在. D.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x d y x .【答案】A【解析】函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，(,)(0,0)(0,0)(0,0)0x y f x y f f x f y→→''---=，00(,)(0,0)(0,0)0x y f x y f x f y→→''--=由于()(),,,n x y f x y ⋅=(0,0)(0,0)(,)x y f x f y f x y ''+-，所以()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在4. 设R 为幂级数1nn n a r∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）A.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥. B.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≤.C.R r ≥时，1nn n a r∞=∑发散. D. R r ≤时，1nn n a r∞=∑发散.【答案】A【解析】R 为1nn n a r∞=∑的收敛半径，所以1nn n a r∞=∑在(,)R R -必收敛，所以1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥.故选A5. 若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（ ）A. 存在矩阵P ，使得B PA =.B.存在矩阵P ，使得A BP =.C.存在矩阵P ，使得A PB =.D. 方程组0=Ax 与0=Bx 同解. 【答案】B【解析】A 经过初等列变换化成B ，存在可逆矩阵1P 使得1AP B =,令11PP -=，得出A BP =,故选B6. 已知直线12121212:c c b b y a a x L -=-=-与直线23232322:c c b b y a a x L -=-=-相交于 一点，法向量i i i i a b c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3,2,1=i . 则 A. 1a 可由32,a a 线性表示. B. 2a 可由31,a a 线性表示. C.3a 可由21,a a 线性表示. D. 321,,a a a 线性无关. 【答案】C【解析】令22211112:x a y b c L t a b c ---===，即有21212121=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由2L 方程得32323223=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两条线相交，得2132++t t αααα=即2123123+(1)t t t t ααααααα-=⇔+-=，故选C 7. 设A ，B ，C 为三个随机事件，且()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ， ()()121==BC P AC P ，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 A. 43. B. 32. C. 21. D. 125. 【答案】D【解析】()()()(())P ABC P ABUC P A P A BUC ==-111()()()()004126P A P AB P AC P ABC =--+=--+=()()()(())P BAC P B AUC P B P B AUC ==-111()()()()004126P B P AB P BC P ABC =--+=--+=()()()(())P CAB P C AUB P B P C AUB ==-1111()()()()04121212P C P CB P CA P ABC =--+=--+=所以1115()()()661212P ABC P ABC P ABC ++=++= 8. 设n x x x ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，其中()()2110====X P X P ， ()x Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=100155i i X P 的近似值为A. ()11Φ-.B. ()1Φ.C.()2,01Φ-.D.()2,0Φ. 【答案】B【解析】由题意12EX =，14DX =,根据中心极限定理1001~(50,25)i i X N =∑,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑=100155i i X P=10050(1)iX P ⎛⎫- ⎪≤=Φ⎝⎭∑二、填空题：9~14小题，每小题2分，共24分.请将解答写在答题纸指定位置上. 9. ()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--→x e x x 1ln 111lim 0 . 【答案】-1【解析】()()()()2000ln 11ln 1111lim lim lim 1ln 1(1)ln 1x x x x x x x x e x e e x e x x →→→⎡⎤⎡⎤+-++-+-==⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦ =()2222001111ln 1122lim lim 1xx x x x x x x e x x→→----++-+==-10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ，则==122t dx y d .【答案】【解析】1dy dy dt dx dx dt t ===22231=dy dy d d d y dt dx dt dx dx dt dx t t t⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===--得212t d y dx==11. 若函数()x f 满足()()()()00>=+'+''a x f x f a x f ，且()m f =0，()n f ='0，则()f x dx +∞=⎰.【答案】n am +【解析】特征方程210a λλ++=，则1212,1a λλλλ+=-⋅=，所以两个特征根都是负的。

2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）（A ）()21xt e dt -⎰（B ）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D ）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(0ln 1ln 1x dt x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 3012xx x-'=⎰经比较，选（D ）（2）设函数()f x 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0,x f x →=则（ ）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（B ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（C ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=。

（D ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=【答案】（C ）【解析】当()f x 在0x =处可导，且()0lim 0x f x →=，则有()00f =，0()lim 0x f x x→=（()f x为x 的高阶无穷小量），所以00x →=，选（C ）。

（3）设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()0,00,00,,,1f f f n x y （）⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭，非零向量n与α垂直，则（ ） （A ）()(,0,0lim0x y →存在（B ）()(,0,0lim0x y →=存在（C ）()(,0,0lim0x y →存在（D ）()(,0,0lim0x y →存在【答案】（A ） 【解析】由题意可知，(,)(,)limlimx y x y →→(,)limx y →=由于函数(),f x y 在点()0,0处可微，所以(,)lim0x y →，选（A ）。

一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。

3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。

CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。

ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。

2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。

1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。

2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0X—r•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X3, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。

J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。

2020考研数学一高数真题解析首先，在2021年的考研中大家尽管放心地是考研数学的命题一定是在考研大纲的范围内出题，也就是说重点内容重点考，重点知识重点考，这是我们复习的主体，复习的主干，抓得主这个主体和主干你复习的方法就不会有偏差。

这是第一条。

给下来的2、3、4条，我们要谈谈今年的特点。

第二条，今年的命题从题型来讲是比较新颖的，也就是说新颖题目的比例比较大，给同学们带来了比较大的挑战，或者说难度。

未来的题没有见过的题出现在这张试卷上多了我们自然会相对比较困难一点。

提醒2021的考生，明年的复习不仅要把以往的常见题型，老面的题目做实做透，也要适当地去做一些新，有创新性的题目，有未来感的题目，当然这些题目就在以往的真题中没有出现过，这就会给我们带来不适应性，但是大家坚持适当地训练，这应该会比我们到了考场应对这张展现的试卷有所帮助的。

我并不希望2020的考生来看这个视频，我更多的对于考研真题的解析是希望对于未来的考研的学生有所启发，因为2020年的考生已经很辛苦了，我并不想打扰他们了。

我给2021的同学说大家适量地训练一些新颖的题目。

我一再跟考研的同学讲你做的历年的真题都和你即将面临的试卷不一样，你的感觉会完全不一样，我今天听到重要信息的同学，能够在接下来整个一年的复习中保持一个居安思危的态度，所谓的居安，就是当你认为你的真题做的很好的时候你要思危，你要知道未来的真题上会有新东西，所以我们必须要做一些有一定难度的新颖的模考题。

第三条，今年的计算量还是大一些的。

比说你要想提高计算量用什么命题呢？把研究对象搞复杂了。

比如说我们以往的题目，跟大家都讲过，像逆指函数做研究对象，多元函数做研究，他本身的研究对象的复杂性，就会带来求倒数求积分的复杂性，计算量就上去了，所以第三条提醒未来的考生们想明白有思路还得重计算，在亲自对手做计算这件事情上大家要下足功夫，不能眼高手低，我一看明白了，我就不写了，你动手做的时候你会发现你并不顶做的出来，并不一定做的完整，并不一定能够得到满分。

一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。

3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。

CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。

ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。

2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。

1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。

2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0Xr•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。

J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。

2020年数学一解析摘要：1.2020年数学一考试整体概述2.试题分类及难度分析3.考生常见问题及应对策略4.复习建议与备考技巧正文：随着2020年的落幕，数学一考试也随之结束。

本次考试整体上保持了往年试题的难度和风格，但在各个部分也有一定的变化和创新。

本文将对2020年数学一考试进行详细的解析，并提出相应的复习建议和备考技巧，以帮助广大考生更好地备战未来的数学一考试。

一、2020年数学一考试整体概述2020年数学一考试共分为两部分：选择题和非选择题。

选择题部分包含10题，每题3分，共计30分；非选择题部分包含8题，每题40分，共计320分。

总分为350分。

与往年相比，试题的结构和分值分布基本保持一致。

二、试题分类及难度分析1.选择题：这部分试题整体难度适中，题目设置较为合理。

考查的知识点涵盖了代数、几何、三角、概率与数理统计等多个领域。

其中，部分题目具有一定的迷惑性，需要考生仔细审题，运用排除法等解题策略。

2.非选择题：这部分试题难度相对较大，对考生的综合运用能力和分析解决问题的能力有较高要求。

试题涉及的知识点较为广泛，包括函数、极限、导数、积分、微分方程、线性代数、概率论等。

此外，部分题目考查了考生的数学建模能力，需要将实际问题与数学知识相结合。

三、考生常见问题及应对策略1.解题速度慢：很多考生在考试中遇到难题时，容易陷入思考，导致解题速度慢。

建议考生在平时训练中注重提高解题速度，掌握一定的解题技巧。

2.知识点掌握不牢：考试中，部分考生因对基础知识掌握不牢，导致无法顺利解题。

建议考生在复习过程中，一定要打牢基础知识。

3.心理素质差：考试中，部分考生因心理素质差，导致发挥不佳。

建议考生在备考期间，注重心理素质的培养，学会调整心态。

四、复习建议与备考技巧1.制定合理的学习计划：根据自己的实际情况，合理安排学习时间，确保各科目均衡复习。

2.扎实掌握基础知识：加强对基础知识的学习和巩固，提高自己的基本解题能力。

2020考研数学一真题及解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.x 0 时，下列无穷小阶数最高的是A. 0xe t 21d tB. 0xln 1+t 3d t C.sin 20sin d xt tD.1cos 30sin d x t t1.答案：D解析：A.232001~3xx t x e dt t dtB.35322002ln 1~5x x t dt t dt x C.sin 223001sin ~3xxt dt t dt x D.2311cos 3220sin ~xx tdt t dt25122025x t 5252152x2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x 则（）A.当0()lim 0,()0||x f x f x x x在处可导.B.当2()lim0,()0x f x f x x x在处可导.C.当()()0lim0.||x f x f x x x 在处可导时,D.当2()()0lim 0.x f x f x x x在处可导时,2.答案：B解析:0200()()()()lim 0lim 0lim 0,lim 0||x x x x f x f x f x f x x x x x00()lim 0,lim ()0x x f x f x x00()(0)()lim lim 0(0)0x x f x f f x f x x()f x 在0x 处可导 选B3.设函数(,)f x y 在点（0，0）处可微，(0,0)(0,0)0,,,1f ff x yn 且非零向量d 与n 垂直，则（）A.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n B.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n C.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在d D.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x yd 3.答案：A 解析：(,)(0,0)f x y 在处可微.(0,0)0f =22(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim 0x y x y f x y f f x f yx y即2200(,)(0,0)(0,0)lim 0x yx y f x y f x f y x y,,(,)(0,0)(0,0)(,)x y n x y f x y f x f y f x y22(,)(0,0),,(,)lim 0x y n x y f x y x y存在选A.4.设R 为幂级数1nn n a r的收敛半径，r 是实数，则（）A.1nn n a r发散时，||r R B.1nnn a r发散时，||r RC.||r R 时，1n nn a r发散D.||r R 时，1nnn a r发散4.答案：A 解析：∵R 为幂级数1nn n a x的收敛半径.∴1n nn a x在(,)R R 内必收敛.∴1nnn a r发散时，||r R .∴选A.5.若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（）A.存在矩阵P ，使得PA =BB.存在矩阵P ，使得BP =AC.存在矩阵P ，使得PB =AD.方程组Ax =0与Bx =0同解5.答案：B 解析：A 经初等列变换化成B.存在可逆矩阵1P使得1AP B 1111A BP P P 令..A BPB 选6.已知直线22211112:x a y b c L a b c 与直线33322222:x a y b c L a b c相交于一点，相交于一点，法法向量,1,2,3.i i i i a a b i c则A.1a 可由23,a a 线性表示B.2a 可由13,a a 线性表示C.3a 可由12,a a 线性表示D.123,,a a a 线性无关6.答案：C 解析：令1L的方程222111=x a y b z c t a b c即有21212121=a a x y b t b t z c c由2L 的方程得32323223=a a x yb t b t zc c由直线1L 与2L 相交得存在t 使2132t t 即312(1)t t ，3 可由12, 线性表示，故应选C.7.设A,B,C 为三个随机事件，且1()()(),()04P A P B P C P AB 1()()12P AC P BC，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为A.34B.23C.12D.5127.答案：D解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC ()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC选择D8.设12,,,nX X X…为来自总体X 的简单随机样本，其中1(0)(1),()2P X P X x 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155i i P X的近似值为A.1(1) B.(1) C.1(2) D.(2)8.答案：B解析：由题意11,24EX DX1001001110050.10025i i i i E X X EX D X DX由中心极限定理1001~(50,25)i i X N∴1001001155555055(1)55i i i i X P X P故选择B二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。