高一数学《4.2.3直线与圆的方程的应用》课件

同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，

y P2 P
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考3:取1m为长度单位，如何求圆拱所
在圆的方程？
y P2 P
x2+(y+10.5)2=14.52
x
A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的 纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如何？
y14.52410.53.86(m )
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
港口
台风
轮船
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的 示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱 高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根 支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到 0考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度吗？
思考2:如图所示建立直角坐标系，那么 求支柱A2P2的高度，化归为求一个什么问 题？
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线是否 经过台风圆域？
思考3:如图所示建立直角坐标系，取 10km为长度单位，那么轮船航线所在直 线和台风圆域边界所在圆的方程分别是 什么？
y
港 口
x
台o
轮
风
船
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋y2＝9 的位置关系如何？对问题Ⅰ应作怎样的 回答？
4.2.3《直线与圆 的方程的应用》
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的 途中，接到气象台的台风预报：台风中 心位于轮船正西70 km处， 受影响的范 围是半径长为30km的圆形区域. 已知港 口位于台风中心正北40 km处，如果这 艘轮船不改变航线，那么它是否会受到 台风的影响？

第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.
練習
1、求直線l: 2x-y-2=0被圓C: (x-3)2+y2=0所截 得的弦長.
2、某圓拱橋的水面跨度20 m，拱高4 m. 現有 一船，寬10 m，水面以上高3 m，這條船能否 從橋下通過?
P
5
MO
N
練習
4、點M在圓心為C1的方程： x2+y2+6x-2y+1=0，點N在圓心為C2的方程 x2+y2+2x+4y+1=0，求|MN|的最大值.
X
§4.2.3直線與圓的方程的應用
例4、圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖， 該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建 造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2 的長度（精確到0.01） y
x
思考:(用座標法)
1.圓心和半徑能直接求出嗎？ 2.怎樣求出圓的方程？ 3.怎樣求出支柱A2P2的長度？
例5、已知內接於圓的四邊形的對角線互相 垂直，求證圓心到一邊的距離等於這條邊所 對邊長的一半. y
B (0,b)
(c,0) C
M
Oa,0)
x
E ( a ,d ) 22
練習:
y
(3,3 3)
A
(0,0) P
Bo (2D,0)
E (5, 3)
Cx
(6,0)
第一步：建立適當的坐標系，用座標和方程表 示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為 代數問題；
把點P2的橫坐標x= -2 代入圓的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因為y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)

，
1
所以， O' E ＝ BC
2
即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
反思小结，观点提炼
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方 程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题。 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。
高中数学课件
灿若寒星整理制作
5直线与圆的方程的应用
设计问题，创设情境
某圆拱形桥一孔圆拱的示意图（如图）， 这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m， 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑， 求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）。
信息交流，揭示规律
用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系， 用坐标和方程表示问题中的几何元素， 将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
02 (4 b)2 102 b2 r 2
r2
，解得：
b 10.5 r 2 14.52
所以，圆的方程为x：2 ( y 10.5)2 14.52
把P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得
(2)2 ：y＝3.86 答：支柱A2P2的高度约为3.86米。
运用规律，解决问题
例1 某圆拱形桥一孔圆拱的示意图（如图）， 这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m， 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑， 求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）。
解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上， 设圆心的坐标是（0，b），圆的半径为r，那么圆的方程为： x2＋（y－b）2＝r2 因为点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以，有