2020_2021学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.1.3基本初等函数的导数课时素养评价含解析

2022-2023学年北师大版高二下数学：导数的应用一．选择题（共8小题）1．（2021秋•湖北期中）若f（x）＝e x•lnx，则f（x）的切线的倾斜角α满足（）A．一定为锐角B．一定为钝角C．可能为直角D．可能为0°2．（2021秋•运城期末）已知，则f′（x）＝（）A．cos x B．﹣cos x C．sin x D．﹣sin x 3．（2021秋•新化县期末）若函数f（x），g（x）满足f（x）+xg（x）＝x2﹣1，且f（1）＝1，则f'（1）+g'（1）＝（）A．1B．2C．3D．44．（2021秋•怀仁市校级期末）已知f（x）＝cos2x+e2x，则f'（x）＝（）A．﹣2sin2x+2e2x B．sin2x+e2xC．2sin2x+2e2x D．﹣sin2x+e2x5．（2021春•番禺区校级期中）函数y＝cos（1+x2）的导数是（）A．2x sin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．﹣2x sin（1+x2）D．2cos（1+x2）6．（2020•南充模拟）设a∈R，函数f（x）＝e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x ）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2B．﹣ln2C ．D ．7．（2019春•南开区校级期中）下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin xB．（lnx﹣2x ）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2xD．（）′＝8．（2015春•郑州期末）若函数f（x）＝，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数第1页（共12页）。

当r∈(0,2)时,f'(r)<0;当r∈(2,6)时,f'(r)>0.
因此,当半径r>2时,f'(r)>0,f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;当半径r<2
时,f'(r)<0,f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为6 cm时,利润最大.
(2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶
C )
2.[人教A版教材习题]将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形.
要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?
解 设弯成的两个小正方形的边长分别为x,y,
则


4x+4y=l(0<x<4,0<y<4).
于是两个小正方形的面积之和 S(x)=x +y =x
2
2
-4 2
2
可获得最大利润,最大利润为1 340万元.
规律方法
利润最大问题的求解方法
利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导
数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.
变式训练1某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是
0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可
w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).
解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.
当x≥15时,w'(x)≤0,所以w(x)≤w(15).
比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1 340,可知,函数

6．１．４求导法则及其应用学习目标核心素养１．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．（重点）２．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．（难点）３．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．（易混点）１．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．２．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.如何求下列函数的导数：（１）y＝x错误!；（２）y＝２x２＋sin x.问题：由此你能类比联想一下[f（x）＋g（x）]′的求导法则吗？１．导数的运算法则（１）和差的导数[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）．（２）积的导数１[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；２[C f（x）]′＝C f′（x）．（３）商的导数错误!′＝错误!，g（x）≠0．拓展：１[f１（x）±f２（x）±…±f n（x）]′＝f′１（x）±f′２（x）±…±f′n（x）．２[af（x）＋bg（x）]′＝af′（x）＋bg′（x）（a，b为常数）．２．复合函数的概念及求导法则（１）复合函数的概念一般地，已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝f（g（x））为函数f （u）与g（x）的复合函数，其中u称为中间变量．（２）一般地，如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f（g（x）），则可以证明，复合函数的导数h′（x）与f′（u），g′（x）之间的关系为h′（x）＝[f（g（x））]′＝f′（u）g′（x）＝f′（g（x））g′（x）．这一结论也可以表示为y′x＝y′u u′x.思考：函数y＝log２（x＋１）是由哪些函数复合而成的？[提示] 函数y＝log２（x＋１）是由y＝log２u及u＝x＋１两个函数复合而成．１．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（１）函数f（x）＝错误!是复合函数．（）（２）函数f（x）＝sin（—x）的导数f′（x）＝cos（—x）．（）（３）y＝e２x的导数y′＝２e２x. （）（４）[f（x）g（x）h（x）]′＝f′（x）g′（x）h′（x）．（）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）×２．函数f（x）＝x e x的导数f′（x）＝（）Ａ．e x（x＋１）Ｂ．１＋e xＣ．x（１＋e x）Ｄ．e x（x—１）A[f′（x）＝x′e x＋x（e x）′＝e x＋x e x＝e x（x＋１），选Ａ．]３．若函数f（x）＝ax２＋c，且f′（１）＝２，则a＝________.１[∵f（x）＝ax２＋c，∴f′（x）＝２ax，故f′（１）＝２a＝２，∴a＝１．]４．若y＝错误!，则y′＝________.错误![∵y＝错误!ln x，∴y′＝错误!·错误!＝错误!.]导数四则运算法则的应用（１）y＝x—２＋x２；（２）y＝３x e x—２x＋e；（３）y＝错误!；（４）y＝x２—sin 错误!cos错误!.[解] （１）y′＝２x—２x—３.（２）y′＝（ln ３＋１）·（３e）x—２x ln ２．（３）y′＝错误!.（４）∵y＝x２—sin错误!cos错误!＝x２—错误!sin x，∴y′＝２x—错误!cos x.１．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．２．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．错误!１．已知函数f（x）＝（２x＋１）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）＝________.３[因为f（x）＝（２x＋１）e x，所以f′（x）＝２e x＋（２x＋１）e x＝（２x＋３）e x，∴f′（0）＝３．]２．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝２xf′（e）＋ln x（其中e为自然对数的底数），则f′（e）＝________.—错误![因为f（x）＝２xf′（e）＋ln x，所以f′（x）＝２f′（e）＋错误!.∴f′（e）＝２f′（e）＋错误!，即f′（e）＝—错误!.]复合函数的导数（１）y＝e２x＋１；（２）y＝错误!；（３）y＝５log２（１—x）；（４）y＝sin３x＋sin ３x.[思路点拨] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解] （１）函数y＝e２x＋１可看作函数y＝e u和u＝２x＋１的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（e u）′（２x＋１）′＝２e u＝２e２x＋１.（２）函数y＝错误!可看作函数y＝u—３和u＝２x—１的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（u—３）′（２x—１）′＝—6u—４＝—6（２x—１）—４＝—错误!.（３）函数y＝５log２（１—x）可看作函数y＝５log２u和u＝１—x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（５log２u）′·（１—x）′＝错误!＝错误!.（４）函数y＝sin３x可看作函数y＝u３和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin ３x可看作函数y＝sin v和v＝３x的复合函数．∴y′x＝（u３）′·（sin x）′＋（sin v）′·（３x）′＝３u２·cos x＋３cos v＝３sin２x cos x＋３cos ３x.１．解答此类问题常犯的两个错误（１）不能正确区分所给函数是否为复合函数；（２）若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．２．复合函数求导的步骤错误!３．求下列函数的导数．（１）y＝错误!；（２）y＝log２（２x２—１）．[解] （１）y＝错误!＝错误!＝错误!＝１＋错误!.设y＝１＋错误!，u＝１—x，则y′＝y′u·u′x＝（１＋错误!）′·（１—x）′＝错误!·（—１）＝—错误!.（２）设y＝log２u，u＝２x２—１，则y′＝y′u·u′x＝错误!·４x＝错误!.导数运算法则的综合应用若点P是曲线y＝e x上的任意一点，如何求点P到直线l：y＝x的最小距离？[提示] 如图，当曲线y＝e x在点P（x 0，y0）处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线l的距离最小．设P（x0，y0），则y′|x＝x0＝e x0，由e x0＝１可知x0＝0，此时y0＝e0＝１．即P（0,１），利用点到直线的距离公式得最小距离d＝错误!.【例３】（１）设曲线y＝e ax在点（0,１）处的切线与直线x＋２y＋b＝0垂直，则a＝________.（２）曲线y＝ln（２x—１）上的点到直线２x—y＋３＝0的最短距离为________．[思路点拨] （１）错误!→错误!（２）错误!→错误!→错误!（１）２（２）错误![（１）因为y＝e ax，所以y′＝a e ax，由题意可知y′|x＝0＝a＝２可知a＝２．（２）设曲线y＝ln（２x—１）在点（x0，y0）处的切线与直线２x—y＋３＝0平行，又因为y′＝错误!，所以y′|x＝x0＝错误!＝２，解得x0＝１．∴y0＝ln（２—１）＝0，即切点坐标为（１,0），∴点（１,0）到直线２x—y＋３＝0的距离d＝错误!＝错误!，即曲线y＝ln（２x—１）到直线２x—y＋３＝0的最短距离是错误!.]正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.错误!４．已知函数f（x）＝ax２＋２ln（２—x）（a∈R），设曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线为l，若直线l与圆C：x２＋y２＝错误!相切，求实数a的值．[解] 因为f（１）＝a，f′（x）＝２ax＋错误!（x<２），所以f′（１）＝２a—２，所以切线l的方程为２（a—１）x—y＋２—a＝0．因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝错误!＝错误!，解得a＝错误!.１．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开为和式求导，商式变乘积式求导，三角恒等变换后求导等．２．求简单复合函数f（ax＋b）的导数，实质是运用整体思想，先把复合函数转化为常见函数y＝f （u），u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f（u）与u＝ax＋b进行求导，并把求导结果相乘，灵活应用整体思想把函数化为y＝f（u），u＝ax＋b的形式是求解的关键．１．函数y＝（２0２0—8x）３的导数y′＝（）Ａ．３（２0２0—8x）２Ｂ．—２４xＣ．—２４（２0２0—8x）２Ｄ．２４（２0２0—8x）２C[y′＝３（２0２0—8x）２×（２0２0—8x）′＝３（２0２0—8x）２×（—8）＝—２４（２0２0—8x）２.]２．函数y＝x２cos ２x的导数为（）Ａ．y′＝２x cos ２x—x２sin ２xＢ．y′＝２x cos ２x—２x２sin ２xＣ．y′＝x２cos ２x—２x sin ２xＤ．y′＝２x cos ２x＋２x２sin ２xB[y′＝（x２）′cos ２x＋x２（cos ２x）′＝２x cos ２x＋x２（—sin ２x）·（２x）′＝２x cos ２x—２x２sin ２x.]３．已知f（x）＝ln（３x—１），则f′（１）＝________.错误![f′（x）＝错误!·（３x—１）′＝错误!，∴f′（１）＝错误!.]４．曲线y＝３（x２＋x）e x在点（0,0）处的切线方程为________．y＝３x[y′＝３（２x＋１）e x＋３（x２＋x）e x＝e x（３x２＋9x＋３），斜率k＝e0×３＝３，∴切线方程为y＝３x.]５．求下列函数的导数．（１）y＝cos（x＋３）；（２）y＝（２x—１）３；（３）y＝e—２x＋１.[解] （１）函数y＝cos（x＋３）可以看作函数y＝cos u和u＝x＋３的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝（cos u）′·（x＋３）′＝—sin u·１＝—sin u＝—sin（x＋３）．（２）函数y＝（２x—１）３可以看作函数y＝u３和u＝２x—１的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝（u３）′·（２x—１）′＝３u２·２＝6u２＝6（２x—１）２.（３）y′＝e—２x＋１·（—２x＋１）′＝—２e—２x＋１.。

【答案】B【解析】∵ 2 a log3 7 1， b 21.1 2 ， c 0.83.1 1 ，所以 c a b ．
9．（2014 浙江）在同意直角坐标系中，函数 f (x) xa (x 0), g(x) loga x 的图像可能是
y
y
y
1
1
1
x
x
O1
O1
O
-1
-1
-1
y 1
对数与对数函数
文 10 对数与对数函数 对数函数的单调性，对数式的大小比较
理 12
指数与指数函数 对数与对数函数
指数函数与对数函数的单调性，指数式与对数式的互化， 指数式、对数式的大小比较
大数据分析*预测高考
考点
出现频率 2021 年预测
指数与指数函数 10/21 对数与对数函数 17/21 二次函数与幂函数 4/21
对数与对数函数
卷1
指数与指数函数
文8
指数式与对数式互化，幂的运算性质
对数与对数函数
2020 卷2
理 9 对数与对数函数 对数型函数的单调性、奇偶性
理 11
指数与指数函数 对数与对数函数
指数函数与对数函数的单调性
文 12
指数与指数函数 对数与对数函数
指数函数与对数函数的单调性
卷 3 理 4 文 4 指数与指数函数 指数式与对数式的互化，函数模型的应用
5．（2017 北京）已知函数 f (x) 3x (1)x ，则 f (x) 3
A．是奇函数，且在 R 上是增函数
B．是偶函数，且在 R 上是增函数
C．是奇函数，且在 R 上是减函数
D．是偶函数，且在 R 上是减函数
【答案】A【解析】 f (x) 3x (1)x (3x (1)x ) f (x) ，得 f (x) 为奇函数，