江苏省东台中学2013届高三12月月考数学试题

BC C 1 B 1A 1FD E（第16题）O M2013届高三数学12月份月考试卷数 学一、填空题（本题共14题，每题5分，计70分，请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．） 1.已知R 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则=)(N C M R ▲. 2.命题:“(0,)x ∀∈+∞,210x x ++>”的否定是 ▲ .3.已知()()i 1i z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a = ▲ ．4.设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是____ ▲ ____.5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值 等于__▲ ____.6.椭圆()222210x y a b a b=>>+的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过点1F 且垂直于x 轴的弦的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ．7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为__ ▲ ____.8.设,,a b R ∈且2,a ≠若定义在区间(),b b -内的函数()1lg 12axf x x+=+是奇函数，则a b +的取值范围是 ▲ .9.巳知函数))2,0((cos )(π∈=x x x f 有两个不同的零点21,x x ，且方程m x f =)(有两个不同的实根43,x x .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为____ ▲ ______.10.关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，则实数a 的取值范围是__▲ .11.已知正数x ，y 满足(1＋x )(1＋2y )＝2，则4xy ＋1xy的最小值是____▲ .12.已知函数()4322f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处有极值，则a 的取值范围是 ▲ ．13.已知)(,,c b a c b a <<成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，则222b c a +的值为 ▲ ．14.如图，用一块形状为半椭圆1422=+y x )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ，则S 的最大值是 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，共计90分．请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分14分）在△ABC 中，,,A B C 为三个内角,,a b c 为三条边，23ππ<<C ，且.2sin sin 2sin CA Cb a b -=- （I ）判断△ABC 的形状；（II ）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（I ）求证：1//C E 平面ADF ；（II ）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF？x17．（本小题满分15分）已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，32).（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M .问点M 满足什么条件时，圆M 与y 轴有两个交点?(Ⅲ)设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求点D 、E 距离的最大值.18. （本小题满分15分）如图，AB 是沿太湖南北方向道路,P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车场， 5.2PQ =km ．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q ,已知游船以13km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶，135sin =θ．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M 处，然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h ． (Ⅰ)设54sin =α，问小船的速度为多少km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点Q ； (Ⅱ)设小船速度为10km/h ，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ．19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项，（I ）若k=7，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值；（II ）若存在m>k,*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数.20.(本小题满分16分)已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=．（I ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（II ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（O 为坐标原点），且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．江苏省东台中学2013届高三数学12月份月考试卷数 学（附加题）本大题共4小题，每小题满分10分，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分10分)已知矩阵2112,.0112-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B (Ⅰ)计算AB ；(Ⅱ) 若矩阵B 把直线l ：x y ++2=0变为直线l '，求直线l '的方程．2． (本小题满分10分)已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左，右焦点，直线l的参数方程为2,(),x t t y ⎧=⎪⎪∈⎨⎪⎪⎩R 为参数,．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)求点1F ，2F 到直线l 的距离之和.3． (本小题满分10分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．(Ⅰ)求X 的分布列； (Ⅱ)求X 的数学期望E (X )．4．(本小题满分10分) 已知1(1)2nx +展开式的各项按x 的次数从低到高依次记为 1231(),(),(),(),()n n a x a x a x a x a x +．设1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++．(Ⅰ)若123(),(),()a x a x a x 的系数依次成等差数列，求n 的值；(Ⅱ)求证：对任意12,[0,2]x x ∈，恒有112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-.江苏省东台中学2013届高三数学12月份月考试卷 （附加题）参考答案 1. 解:(Ⅰ)AB = 2314-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； ………………………………3分 (Ⅱ) 任取直线l 上一点P （x ，y ）经矩阵B 变换后为点(),P x y '''，则12201x x x y y y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………6分 2,,x x y y y '=-⎧∴⎨'=⎩∴2,.x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩………………………………8分代入x y ++2=0得：220,x y y '''+++= ∴320,x y ''++=∴直线l '的方程为320x y ++=． ………………………………10分 2.解: (Ⅰ) 直线l 普通方程为2y x =-； ………………………………2分曲线C 的普通方程为22143x y +=． ………………………………4分(Ⅱ) ∵1(1,0)F -,2(1,0)F ， ∴点1F 到直线l的距离1,2d ==………………………………6分 点2F 到直线l的距离2d ==………………………………8分∴12d d += ………………………………10分 3.(Ⅰ) X 的可能取值有：3，4，5，6．35395(3)42C P X C ===； 21543920(4)42C C P X C ===；12543915(5)42C C P X C ===； 34392(6)42C P X C ===． 故，所求X 的分布列为(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为：E (X )＝31321161455211044253=⨯+⨯+⨯+⨯．………………………10分 4．解：(Ⅰ)依题意111()()2k k k n a x C x --=，1,2,3,,1k n =+，123(),(),()a x a x a x 的系数依次为01n C =，1122nn C ⋅=，221(1)()28n n n C -⋅=， 所以(1)2128n n n -⨯=+，解得8n =； ………4分(Ⅱ) 1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++01221111112()3()()(1)()2222n n n n n n n n n C C x C x nC x n C x --=+++++0121(2)23(1)n nn n n n nF C C C nC n C -=+++++ 设012123(1)n nn n n nn n S C C C nC n C -=+++++， 则1210(1)32n n n n nn n nS n C nC C C C -=+++++ 考虑到k n kn n C C -=，将以上两式相加得： 01212(2)()n nn n n nn n S n C C C C C -=+++++所以1(2)2n n S n -=+又当[0,2]x ∈时，'()0F x ≥恒成立，从而()F x 是[0,2]上的单调递增函数， 所以对任意12,[0,2]x x ∈，112|()()|(2)(0)(2)21n F x F x F F n --≤-=+-．………10分2013届高三数学12月份月考试卷 参考答案 一、填空题1. {|01}x x <<2.01),,0(2≤+++∞∈∃x x x 3.14. 44π-5. 3-6. 217. 1 8.]23,2(--10.]10,(-∞ 11. 12 12.88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13．20 14.233二、解答题15. (Ⅰ)解：由CA Cb a b 2sin sin 2sin -=-及正弦定理有：C B 2sin sin = ∴2B C =或π=+C B 2若2B C =，且32C ππ<<，∴23B ππ<<，)(舍π>+C B ；∴2B C π+=，则A C =，∴ABC ∆为等腰三角形．………………7分(Ⅱ)∵ ||2BA BC +=，∴222cos 4a c ac B ++⋅=，∴222cos ()a B a c a-==，而C B 2c o s c o s -=，∴1cos 12B <<，∴2413a <<，∴2(,1)3BA BC ⋅∈．………………14分16.解：(Ⅰ)连接CE 交AD 于O ，连接OF ． 因为CE ，AD 为△ABC 中线，所以O 为△ABC 的重心，123CF CO CC CE ==． 从而OF//C 1E ．……………………………………………3分OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF ．……………………………6分 (Ⅱ)当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．在直三棱柱111ABC A B C -中，由于1B B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC ．由于AB =AC ，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．又平面B 1BCC 1∩平面ABC =BC ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1．而CM ⊂平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM ．………………9分因为BM =CD =1，BC = CF =2，所以Rt CBM ∆≌Rt FCD ∆，所以CM ⊥DF ．…11分DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ．CM ⊂平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF ．…………………13分当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．……………14分17.解：(Ⅰ)∵椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2 a =121 a2 +94b2=1，即 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 2-4b 2=01 a 2 +9 4b 2 =1，解得 ⎩⎨⎧a 2=4b 2=3，∴椭圆C 的方程为x 2 4 +y 23=1。

2012-2013学年江苏省盐城市东台市高二（上）12月月考数学试卷2012-2013学年江苏省盐城市东台市高二（上）12月月考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是_________．2．（5分）在等差数列{a n}中，已知该数列前10项的和为S10=120，那么a5+a6=_________．3．（5分）已知=（1，2m），=（2，﹣m），则“m=1”是“⊥”的_________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）4．（5分）已知x＞1，则x+的最小值为_________．5．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为_________．6．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是_________．7．（5分）从集合{1，2，3，5，7，﹣4，﹣6，﹣8}中任取两个不同的元素，分别作为方程Ax2+By2=1中的A、B 的值，则此方程可表示_________种不同的双曲线．8．（5分）（文）动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=的取值范围是_________．9．（5分）有下列命题：①命题“∃x∈R使得log a（x2+1）＞3”的否定是“∀x∈R都有x2+1＜3”；②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④若函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=﹣1；其中所有正确的说法序号是_________．10．（5分）（2012•四川）椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_________．11．（5分）设命题P：关于x的不等式mx2+1＞0的解为R，命题q，函数是减函数，如果“p且q”与“p或q”有且只有一个是真命题，则实数m的取值范围是_________．12．（5分）（2011•江苏模拟）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a n}：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S n，则S19的值为_________．13．（5分）设椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，点M为此椭圆上一点，若存在丨MF1丨=3丨MF2丨，则椭圆C离心率的取值范围为_________．14．（5分）（2011•江苏模拟）过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知双曲线C：，P为C上的任意点．（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．16．（14分）给出以下两个命题（其中，a∈R）：命题p：﹣2＜x+1＜2；命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣6）＜0，（Ⅰ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若非p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（14分）（2013•宿迁一模）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．（16分）（2010•苏州一模）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）若{a n}是等比数列，求{b n}的前项和S n．19．（16分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．20．（16分）已知椭圆C：的离心率e=，短轴长为2（1）求椭圆C的方程；（2）设G，H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．2012-2013学年江苏省盐城市东台市高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是∃x∈（1，2），x2≤1．考点：全称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是：∃x∈（1，2），x2≤1．故答案为：∃x∈（1，2），x2≤1．点评：本题考查命题的否定的应用．全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．2．（5分）在等差数列{a n}中，已知该数列前10项的和为S10=120，那么a5+a6=24．考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和公式结合S10=120可得a1+a10=24，然后由等差数列的性质可得a5+a6=a1+a10，可得答案．解答：解：由题意可得：S10==5（a1+a10）=120，故a1+a10=24，而由等差数列的性质可得a5+a6=a1+a10，故a5+a6=24．故答案为：24点评：本题考查等差数列的性质以及求和公式，正确运用性质和公式是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）已知=（1，2m），=（2，﹣m），则“m=1”是“⊥”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：若“⊥”可得“•=0”可以求出m的值，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：已知=（1，2m），=（2，﹣m），∵“⊥”，∴•=0，∴2﹣2m2=0解得m=±1，∴“m=1”⇒“⊥”，∴“m=1”是“⊥”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；点评：此题主要考查向量垂直的性质以及内积的运算法则，是一道基础题；4．（5分）已知x＞1，则x+的最小值为2+1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将y=x+化为：y=（x﹣1）++1，然后利用基本不等式解之即可．解答：解：∵x＞1，∴y=x+=（x﹣1）++1≥2+1（当且仅当x﹣1=，即x=+1时取得“=”），∴y min=2+1．故答案为：2+1．点评：本题考查基本不等式的应用，y=x+化为：y=（x﹣1）++1是关键，属于基础题．5．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为2．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．6．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是若a≤b，则a﹣1≤b﹣1．考点：四种命题间的逆否关系．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是四种命题，根据若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．我们易得答案．解答：解：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．∵原命题为“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”∴否命题为：若a≤b，则a﹣1≤b﹣1故答案为若a≤b，则a﹣1≤b﹣1点评：此题是基础题．若原命题为：若p，则q．逆命题为：若q，则p．否命题为：若┐p，则┐q．逆否命题为：若┐q，则┐p．7．（5分）从集合{1，2，3，5，7，﹣4，﹣6，﹣8}中任取两个不同的元素，分别作为方程Ax2+By2=1中的A、B 的值，则此方程可表示30种不同的双曲线．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：若A正B负，则有5×3=15个；若A负B正，则有3×5=15个，由此求得不同的双曲线的数量．解答：解：方程表示双曲线，等价于A，B异号，若A正B负，则有5×3=15个．若A负B正，则有3×5=15个，故不同的双曲线的数量为15+15=30，故答案为30．点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．8．（5分）（文）动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=的取值范围是[﹣7，3]．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据已知的约束条件，画出可行域，分别求出各角点的坐标，代入目标函数w=中，比较后，得到目标函数的最值，进而可得取值范围．解答：解：不等式组表示的平面区域如下图所示：∵动点P（a，b）在可行域运动故当P与A重合时，w=，当P与B重合时，w=3，当P与C重合时，w=﹣7故w=的取值范围是[﹣7，3]故答案为：[﹣7，3]点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中角点法是解答此类问题最常用的办法，一定要熟练掌握．9．（5分）有下列命题：①命题“∃x∈R使得log a（x2+1）＞3”的否定是“∀x∈R都有x2+1＜3”；②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④若函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=﹣1；其中所有正确的说法序号是②④．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的性质．专题：阅读型．分析：利用含量词的命题的否定判断出①错；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出②对；利用充要条件的定义判断出③错；利用偶函数的定义判断出④对，进而可得答案．解答：解：对于①“∃x∈R使得log a（x2+1）＞3”的否定是“∀x∈R使得log a（x2+1）≤3”，故①错对于②，若“p∨q”为假命题，⇒命题p，q都是假命题⇒￢p，￢q都是真命题⇒“¬p∧¬q为真命题，故②对对于③“a＞2”成立不一定有“a＞5”但“a＞5”成立一定有“a＞2”，所以“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件；故③错对于④，若f（x）是偶函数则f（﹣x）=f（x）即（﹣x+1）（﹣x+a）=（x+1）（x+a），所以（a+1）x=﹣（a+1）x恒成立所以a=﹣1故④对故答案为②④点评：本题考查含量词的命题的否定形式、考查复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系、考查充要条件的判断、考查函数奇偶性的判断．10．（5分）（2012•四川）椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．11．（5分）设命题P：关于x的不等式mx2+1＞0的解为R，命题q，函数是减函数，如果“p且q”与“p或q”有且只有一个是真命题，则实数m的取值范围是{0}∪[1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：分别解出命题p和q中的m的范围，根据“p且q”与“p或q”有且只有一个是真命题，可知p和q有一个为真有一个为假，从而求解；解答：解：∵命题P：关于x的不等式mx2+1＞0的解为R，∴m≥0，∵命题q，函数是减函数，∴0＜m＜1，∵“p且q”与“p或q”有且只有一个是真命题，∴p和q有一个为真一个为假，若p为真，m≥0 q为假，m≥1或m≤0，可得m≥1，或{0}；若p为假，m＜0，q为真，0＜m＜1，可得m=∅，∴m的取值范围为：{0}∪[1，+∞）故答案为：{0}∪[1，+∞）．点评：此题主要考查复合命题的真假，还考查对数函数的性质，此题是一道基础题．12．（5分）（2011•江苏模拟）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a n}：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S n，则S19的值为283．考点：数列的求和．专题：压轴题；创新题型．分析：从杨辉三角的生成过程，C n m﹣1+C n m=C n m，对该数列分奇偶讨论，求出数列的通项公式，解决S19的值解答：解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到这个数列的通项公式a n；当n为偶数时，a n+2=a n+1，∴a n是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，n为奇数时，a n+2=a n+a n﹣1（n≥3），即∴a5﹣a3=3a7﹣a5=4…∴而a1=1满足上式故n为奇数是，∴S19=（a1+a3+…a19）+（a2+a4+…+a18）==220+63=283故答案为：283．点评：从杨辉三角形成的过程，得出数列的通项公式是难点和关键，题目比较新，属中档题．13．（5分）设椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，点M为此椭圆上一点，若存在丨MF1丨=3丨MF2丨，则椭圆C离心率的取值范围为[，1）．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a，又椭圆上存在点M使得丨MF1丨=3丨MF2丨，联立解得|MF2|，由椭圆的性质可得|MF2|≥a﹣c，及0＜e＜1，即可解出．解答：解：由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a，又椭圆上存在点M使得丨MF1丨=3丨MF2丨，联立解得|MF2|=，由椭圆的性质可得|MF2|≥a﹣c，∴，解得，又0＜e＜1，∴．∴椭圆C离心率的取值范围为．故答案为．点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质是解题的关键．14．（5分）（2011•江苏模拟）过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先由双曲线线方程可得A的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得B和C的横坐标，进而根据|AB|=|BC|求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．解答：解：由题可知A（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得B的横坐标为x B=﹣同理得C的横坐标为y C=∵|AB|=|BC|，∴B为AC中点，有2x B=x A+x C，即有﹣•2=﹣1+解得b=3或0（舍去0）所以e==故答案为点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题的能力．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知双曲线C：，P为C上的任意点．（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．考点：双曲线的简单性质；两点间的距离公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先根据双曲线的标准方程，利用其几何性质，即可求出双曲线的渐近线方程；（2）先设A的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式表示出PA|2并根据双曲线的方程，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．解答：解：（1）双曲线C：的渐近线方程，即x﹣2y=0和x+2y=0．（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+﹣1=（x﹣）2+∵|x|≥2，∴当x=时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为．点评：本题主要考查双曲线的基本性质﹣﹣渐近线方程，考查两点间的距离公式．16．（14分）给出以下两个命题（其中，a∈R）：命题p：﹣2＜x+1＜2；命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣6）＜0，（Ⅰ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若非p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：（I）先化简命题p，q，先判断两个集合是否能相同，再利用题目中的条件关系，判断出p的范围小，列出不等式组，求出a的范围．（II）先求出￢p，利用题目中的条件关系，判断出q的范围比￢p的范围小，列出不等式组，求出a的范围．解答：解：对于命题p：﹣2＜x+1＜2⇔﹣3＜x＜1⇔x∈（﹣3，1）；（2分）命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣6）＜0⇔a＜x＜a+6⇔x∈（a，a+6）（4分）（Ⅰ）因为a=﹣3和a+6=1不能同时成立，所以，不存在a∈R，使得（﹣3，1）≠（a，a+6）（5分）又因为p是q的充分不必要条件，所以，（﹣3，1）是（a，a+6）的真子集，即a≤﹣3且a+6≥1，所以，﹣5≤a≤﹣3，故，实数a的取值范围是[﹣5，﹣3]（8分）（Ⅱ）命题¬p：x∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）（9分）因为¬p是q的必要不充分条件，所以a+6≤﹣3或a≥1，即a≤﹣9或a≥1（11分）故，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣9]∪[1，+∞）（12分）点评：解决命题间的关系问题时，首先化简各个命题；常把命题间的条件关系转化为命题含的范围的大小来处理．17．（14分）（2013•宿迁一模）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（16分）（2010•苏州一模）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）若{a n}是等比数列，求{b n}的前项和S n．考点：等比关系的确定；等差关系的确定．专题：计算题．分析：（1）先根据{a n}是等差数列表示出通项公式，再根据b3=12求得a3a4的值从而可确定a的值，求得{a n}的通项公式．（2）先根据{a n}是等比数列表示出通项公式，进而可表示出b n的表达式，根据=a2可确定数列{b n}是首项为a，公比为a2的等比数列，再对公比a等于1和不等于1进行讨论，即可得到最后答案．解答：解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=1，a2=a（a＞0），∴a n=1+（n﹣1）（a﹣1）．又b3=12，∴a3a4=12，即（2a﹣1）（3a﹣2）=12，解得a=2或a=﹣，∵a＞0，∴a=2从而a n=n．（2）∵{a n}是等比数列，a1=1，a2=a（a＞0），∴a n=a n﹣1，则b n=a n a n+1=a2n﹣1．=a2∴数列{b n}是首项为a，公比为a2的等比数列，当a=1时，S n=n；当a≠1时，Sn==．点评：本题主要考查数列的通项公式的求法和数列求和．高考对数列的考查无外乎通项公式的求法和前n项和的求法，对经常用到的常用方法要熟练掌握．19．（16分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．考点：一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax2﹣bx+1=0的解是x1=，x2=，由根系关系即可求得实数a，b的值；（1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为﹣1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案．解答：解：（1）不等式ax2﹣bx+1＞0的解集是（，），故方程ax2﹣bx+1=0的两根是x1=，x2=，所以=x1x2=，=x1+x2=，所以a=12，b=7．（2）∵b=a+2，∴f（x）=ax2﹣（a+2）x+1=a（x﹣）2﹣+1，对称轴x==+，当a≥2时，x==+∈（，1]，∴f（x）min=f（）=1﹣=﹣1，∴a=2；当a=1时，x==+=，∴f（x）min=f（1）=﹣1成立．综上可得：a=1或a=2．点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．20．（16分）已知椭圆C：的离心率e=，短轴长为2（1）求椭圆C的方程；（2）设G，H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题目给出的椭圆的短轴长及离心率的值，结合a2=b2+c2，可求椭圆的长半轴长，从而椭圆的方程可求；（2）假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，根据三角形的面积相等得到OG•OH=R•GH，即，分OG与OH的斜率都存在和OG与OH的斜率有一个不存在两种情况分析成立，有一个斜率不存在时由特殊点易证，斜率都存在时设直线OG方程，和椭圆方程联立后求出OG2和OH2，整理后即可得到证明．解答：解：（1）因为，2b=2，a2=b2+c2，解得a=3，b=，所以椭圆方程为．（2）假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH因为OG2+OH2=GH2，故，当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，由，得，所以，同理可得（将OG2中的K换成可得），R=，当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得，故满足条件的定圆方程为：．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法和分类讨论的思想方法，是有一定难度题目．参与本试卷答题和审题的老师有：zhwsd；caoqz；qiss；孙佑中；wdnah；minqi5；庞会丽；lincy；俞文刚；小张老师；翔宇老师；394782；刘长柏；lily2011；sxs123（排名不分先后）菁优网2013年10月1日。

2013年高三上册理科数学12月月考试题（附答案）甘肃省金昌市二中2013---2014学年度12月月考高三数学（理科）试题第I卷（共60分）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项填在答题卡上）1.设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（）A.8B.6C.4D.22.已知，若，则的取值范围是A.B.C.D.3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()4.设均为正数，且则()A.B.C.D.5．已知数列为等比数列，且.,则=（）．.．．6．由直线x=1，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．ln2D．7.已知，则的取值范围是（）A.B.C.D.8．已知等差数列中，，记，S13=()A．78B．68C．56D．529.如果是二次函数,且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）,那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．10.设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是()A.B.C.D.311．在△ABC中，若，则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形12．已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上。

）13.若，则的值为__________________．14．在△ABC中，∠B=300，AC=1，，则BC的长度为__________________.15.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。

若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为____________.16．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是___________________．三．解答题：（本题共6小题，总70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）17．（本小题满分12分）已知向量。

江苏省东台中学2013届高三阶段性考试数 学 试 题2012-12-01时间∶120分钟，满分∶160分。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上。

1. 已知集合{}{}3,2,0,3,2,1==B A ，则=B A ________. 2. 已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则=a ___________. 3．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差2s =________.4. 设等差数列}{n a 的前n 项和为=+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若________.5. 已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，直线12:210,:10,l x y l ax by --=+-=则直线12l l ⊥的概率为 . 6．已知直线,m l ，平面,αβ，且,m l αβ⊥⊂.下列命题中，其中正确命题的序号是 __. ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则//αβ； ④若//m l ，则αβ⊥. 7. 已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .8. 已知222:450,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为 .9．已知结论：“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AGGD=”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM= ”． 10. 若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则ba 32+的最小值是________．11. 设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则132+++x y x 的取值范围是______________.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，－1），B （－3，－4）两点，若点C 在AOB ∠的平分线上，且10OC =C 的坐标是_________． 13. 数列{}n a 中,()()111,()211n n n na a a n N n na *+==∈++，则数列{}n a 的前2012项的和为_________.14. 已知函数201221122012)(+++++++-+-++-=x x x x x x x f()x ∈R ，且)()22(2a f a a f >++，则满足条件的实数a 的取值范围是_________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知(2cos )m A A =，(cos ,2cos )n A A =-，1m n ⋅=-．（1）若a =2c =，求ABC ∆的面积；（2）求2cos(60)b ca C -+的值．16．(本小题满分14分)在三棱柱111ABC A BC -中，AA ,1BC ⊥︒=∠601AC A ，11AA AC BC ===， 21=B A ． （1）求证：平面1A BC ⊥平面11ACC A ；（2）如果D 为AB 的中点，求证：1BC ∥平面1ACD．17. (本小题满分14分)如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，F E ,分别落在线段AD BC ,上.已知20=AB 米，310=AD 米，记θ=∠BHE .（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定 义域；（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时 管道的长度.18. (本小题满分16分)如图，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N是椭圆右准线上的两个动点，且021=⋅N F M F ． （1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19. (本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋2＝(1＋2|cos n π2|)a n ＋|sinn π2|，n ∈N *.(1) 证明：数列{a 2n }(k ∈N *}为等比数列； (2) 求数列{a n }的通项公式； (3) 设b k ＝a 2k ＋(－1)k －1λ·221k a -(λ为非零整数)，试确定λ的值，使得对任意k ∈N *都有b k＋1＞b k 成立.20. (本小题满分16分)已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>.(1)试判断函数()f x 在(0,)+∞上单调性并证明你的结论； (2)若()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； (3)求证：23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++>江苏省东台中学2013届高三阶段性考试数学(附加题部分)试题时间∶30分钟，满分∶40分。