矩形的性质和判定同步练习及答案

矩形的性质和判断同步练习及答案

矩形的性质和判断

一．填空题

1．如图，矩形 ABCD中，∠ABC的均分线交 AD边于点 E，点 F 是 CD的中点，连接 EF．若 AB=8，

且 EF 均分∠ BED，则 AD的长为 ．

题1 题3 题4

2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40°，则两条对角线订交所成的锐角是

3．如图，在矩形 ABCD中， AB=， E 是 BC的中点， AE⊥ BD于点 F，则 CF的长是

．

．

4．如图，在矩形 ABCD中，M为 BC边上一点，连接 AM，过点 D 作 DE⊥ AM，垂足为

E．若

DE=DC=1，

AE=2EM，则

BM的长为

．

5．如图，在矩形

ABCD中，∠ ABC的均分线交

AD于点

E，连接

CE．若 BC=7，AE=4，则 CE=

．

题

5

题

6

题

7

6．如图，在矩形

ABCD中，对角线

AC、 BD订交于点

O，点

E、 F 分别是

AO、 AD的中点，若

AB=6cm， BC=8cm，则

EF=

cm．

7．如图，连接四边形

ABCD各边中点，获得四边形

EFGH，还要增添

条件，才能保证

四边形

EFGH是矩形．

8．如图， 在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD订交于点 O，且 AO=CO，BO=DO，要使四边形 ABCD

为矩形，则需增添的条件为 （填一个即可） ．

题8 题11 题12

9．已知四边形 ABCD为平行四边形，要使得四边形 ABCD为矩形，则可以增添一个条件

为 ．

10．木工做一个矩形木框， 长为 80cm，宽为 60cm，对角线的长为 100cm，则这个木框 （填

“合格”或“不合格” ）

11．如图，在四边形 ABCD中，已知 AB∥ DC， AB=DC，在不增添任何辅助线的状况下，请补

充一个条件，使四边形 ABCD成为矩形，这个条件是 ．

12．如图，在平行四边形 ABCD中，延长 AD到点 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB请你增添一

个条件 ，使四边形 DBCE是矩形． 矩形的性质和判断同步练习及答案

二．解答题

13．如图，在 ? ABCD中，∠ BAD的均分线交 CD于点 E，交 BC的延长线于点 F，连接 BE，∠

F=45°．

（ 1）求证：四边形 ABCD是矩形；

（ 2）若 AB=14， DE=8，求 sin ∠ AEB的值．

14．如图， AD是等腰△ ABC底边 BC上的高．点 O是 AC中点，延长 DO到 E，使 OE=OD，连接

AE， CE．

（ 1）求证：四边形 ADCE的是矩形；

（ 2）若 AB=17， BC=16，求四边形 ADCE的面积．

15．如图，四边形 ABCD中， AB∥ DC，∠ B=90°， F 为 DC上一点，且 FC=AB，E 为 AD上一点，

EC交 AF 于点 G．

（ 1）求证：四边形 ABCF是矩形；

（ 2）若 EA=EG，求证： ED=EC．

16．如图，在 ? ABCD中， AE⊥BC于点 E 点，延长 BC至 F 点使 CF=BE，连接 AF， DE，DF．

（ 1）求证：四边形 AEFD是矩形；

（ 2）若 AB=6， DE=8， BF=10，求 AE的长． 矩形的性质和判断同步练习及答案

17．平行四边形 ABCD中，过点 D 作 DE⊥ AB于点 E，点 F 在 CD上， CF=AE，连接 BF，AF．

（ 1）求证：四边形 BFDE是矩形；

（ 2）若 AF均分∠ BAD，且 AE=3， DE=4，求矩形 BFDE的面积． 矩形的性质和判断同步练习及答案

矩形的性质和判断解析

一．填空题（共 12 小题）

1．如图，矩形 ABCD中，∠ABC的均分线交 AD边于点 E，点 F 是 CD的中点，连接 EF．若 AB=8，

且 EF 均分∠ BED，则 AD的长为 12 ．

【解析】 依照两直线平行，内错角相等求出∠ AEB=∠ EBC，再求出∠ ABE=∠EBC，依照等角对

等边可得 AE=AB，此后依照 AD=AE+ED代入数据计算即可得解．

【解答】 解：∵矩形 ABCD中，

∴AD∥ BC，

∴∠ AEB=∠EBC，

∵∠ ABC的均分线交 AD边于点 E，

∴∠ ABE=∠EBC，

∴∠ ABE=∠AEB，

∴ AB=AE=8，

同理得出 ED=DF=DC=4，

∴ AD=AE+ED=8+4=12，

故答案为： 12．

2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是

40°，则两条对角线订交所成的锐角是

80°

．

【解析】由于两条对角线订交所成的锐角只有一个， 直接应用三角形的内角和定理求解即可．

【解答】 解：由矩形的对角线相等且相互均分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对

等角，所以另一底角为 40°，

两条对角线订交所成的钝角为： 180°﹣ 40°× 2=100°

故它们所成锐角为： 180°﹣ 100° =80°．

故答案为 80．

3．如图，在矩形 ABCD中， AB=， E 是 BC的中点， AE⊥ BD于点 F，则 CF的长是 ．

【解析】 依照四边形 ABCD是矩形，获得∠ ABE=∠ BAD=90°，依照余角的性质获得∠ BAE=∠

ADB，依照相似三角形的性质获得 BE=1，求得 BC=2，依照勾股定理获得 AE==， BD==，依照三角形的面积公式获得 BF==，过 F 作 FG⊥ BC于 G，依照相似三角形的性质获得 CG=，依照 矩形的性质和判断同步练习及答案

勾股定理即可获得结论．

【解答】 解：∵四边形 ABCD是矩形，

∴∠ ABE=∠BAD=90°，

∵AE⊥ BD，

∴∠ AFB=90°，

∴∠ BAF+∠ABD=∠ ABD+∠ ADB=90°，

∴∠ BAE=∠ADB，

∴△ ABE∽△ ADB，

∴，

∵E 是 BC的中点，

∴ AD=2BE，

∴ 2BE2=AB2=2，

∴ BE=1，

∴ BC=2，

∴ AE==， BD==，

∴ BF==，

过 F 作 FG⊥BC于 G，

∴FG∥ CD，

∴△ BFG∽△ BDC，

∴==，

∴FG=， BG=，∴CG=，

∴CF==．

故答案为：．

4．如图，在矩形 ABCD中，M为 BC边上一点，连接 AM，过点 D 作 DE⊥ AM，垂足为 E．若 DE=DC=1，

AE=2EM，则 BM的长为 ．

【解析】 由 AAS证明△ ABM≌△ DEA，得出 AM=AD，证出 BC=AD=3EM，连接 DM，由 HL证明 Rt

△DEM≌ Rt△ DCM，得出 EM=CM，所以 BC=3CM，设 EM=CM=x，则 BM=2x，AM=BC=3x，在 Rt△ ABM 矩形的性质和判断同步练习及答案

中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

【解答】 解：∵四边形 ABCD是矩形，

∴ AB=DC=1，∠ B=∠ C=90°， AD∥ BC，AD=BC， ∴∠ AMB=∠DAE，

∵DE=DC，

∴ AB=DE，

∵DE⊥ AM，

∴∠ DEA=∠DEM=90°，

在△ ABM和△ DEA中，，

∴△ ABM≌△ DEA（ AAS），

∴AM=AD，

∵ AE=2EM，

∴BC=AD=3EM，

连接 DM，以以下列图：

在 Rt △ DEM和 Rt △ DCM中，， ∴Rt △ DEM≌ Rt △

DCM（ HL），∴EM=CM，

∴BC=3CM，

设 EM=CM=x，则 BM=2x， AM=BC=3x，

在 Rt △ ABM中，由勾股定理得： 2 2 2

1 +（ 2x ） =（ 3x） ，

解得： x=，

∴BM=；

故答案为：．

5．如图，在矩形 ABCD中，∠ ABC的均分线交 AD于点 E，连接 CE．若 BC=7，AE=4，则 CE=

5 ．

【解析】 第一证明 AB=AE=CD=4，在 Rt△ CED中，依照 CE=计算即可．

【解答】 解：∵四边形 ABCD是矩形，

∴AD∥ BC，AB=CD， BC=AD=7，∠ D=90°，