机械振动

第一部分机械振动知识点一——简谐运动1．定义物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F=－kx，是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

（2）回复力是一种效果力，是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态。

）特别提醒：简谐运动的位移大小和方向都是相对平衡位置来说的，是从平衡位置指向所在位置的矢量。

2．几个重要的物理量间的关系要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。

（1）由定义知：F x，方向与位移方向相反。

（2）由牛顿第二定律知：a F，方向与F方向相同。

（3）由以上两条可知：a x，方向与位移方向相反。

（4）v和x、F、a之间的关系最复杂：当v、a同向（即 v、 F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（即 v、 F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。

3．从总体上描述简谐运动的物理量振动的最大特点是往复性或者说是周期性。

因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所需的时间。

（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。

（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）（2）周期T是描述振动快慢的物理量。

周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。

任何简谐运动都有共同的周期公式：（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判定式F=－kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。

（3）频率也是描述振动快慢的物理量。

周期与频率的关系是。

4．表达式，其中A是振幅，是t=0时的相位，即初相位或初相。

5．简谐运动的能量特征振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，振动物体总的机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。

简谐运动的振幅不变，总的机械能守恒。

1、简谐运动中路程和时间的关系（1）若质点运动时间t与周期T的关系满足t=nT（n＝1，2，3……），则成立特别提醒：不论计时起点对应质点在哪个位置向哪个方向运动，经历一个周期就完成一次全振动，完成任何一次全振动质点通过的路程都等于4A。

（2）若质点运动时间t与周期T的关系满足（n＝1，2，3…），则成立（3）若质点运动时间t与周期T的关系满足，此种情况最复杂，分三种情形①计时起点对应质点在三个特殊位置（两个最大位移处，一个平衡位置），由简谐运动的周期性和对称性知，成立。

②计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间，向平衡位置运动，则s＞A。

③计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间，向最大位移处运动，则s＜A。

（4）质点运动时间t为非特殊值，则需要利用简谐运动的振动图象进行计算。

2、简谐运动的位移、速度、加速度及对称性（1）位移：方向为从平衡位置指向振子位置，大小为平衡位置到该位置的距离。

位移的表示方法：以平衡位置为原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子（偏离平衡位置）的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示。

振子通过平衡位置时，位移改变方向。

（2）速度：描述振子在振动过程中经过某一位置或在某一时刻运动的快慢。

在所建立的坐标轴上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。

振子在最大位移处速度为零，在平衡位置时速度最大，振子在最大位移处速度方向发生改变。

（3）加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动物体的加速度。

由此可知，加速度的大小跟位移大小成正比，其方向与位移方向总是相反。

振子在位移最大处加速度最大，通过平衡位置时加速度为零，此时加速度改变方向。

（4）简谐运动的对称性①瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系。

另外速度、动量的大小具有对称性，方向可能相同或相反。

②过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如，如图所示：特别提醒：①利用简谐运动的对称性，可以解决物体的受力问题，如放在竖直弹簧上做简谐运动的物体，若已知物体在最高点的合力或加速度，可求物体在最低点的合力或加速度。

但要注意最高点和最低点合力或加速度的方向相反。

②由于简谐运动有周期性，因此涉及简谐运动时，往往出现多解，分析时应特别注意：物体在某一位置时，位移是确定的，而速度不确定；时间也存在周期性关系。

例：一个弹簧振子的振动周期是0.025s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过0.17s时，振子的运动情况是（） A．正在向右做减速运动 B．正在向右做加速运动C．正在向左做减速运动 D．正在向左做加速运动答案：B解析：。

经6T振子回到平衡位置；再经振子到达左侧最大位移处；再经，振子正向右做加速运动。

知识点二——简谐运动的图象1．简谐运动的图象以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线。

2．简谐运动的图象（1）从平衡位置开始计时，函数表达式为，图象如图1。

（2）从最大位移处开始计时，函数表达式，图象如图2。

3．振动图象的物理意义表示振动物体的位移随时间变化的规律。

4．从图象中可以知道（1）任一个时刻质点的位移（2）振幅A（3）周期T（4）速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出（5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反。

只要从振动图象中认清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了。

1．关于振动图象的讨论（1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹。

做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如单摆）。

这种往复运动的位移图象，就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移，以t 轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x—t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象。

（2）简谐运动的周期性体现在振动图象上是曲线的重复性。

简谐运动是一种复杂的非匀变速运动，但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性。

所以用图象研究要比用方程要直观、简便。

简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小，正负表示速度的方向，斜率为正时表示速度沿x正向，斜率为负时表示速度沿x负向。

2．根据简谐运动图象分析简谐运动情况的基本方法简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体的运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种方法。

（1）从简谐运动图象上可以直接读出不同时刻t的位移值，从而知道位移x随时间t的变化情况。

（2）在简谐运动图象中，用作曲线上某点切线的方法可确定各时刻质点的速度大小和方向。

切线与x轴正方向夹角小于时，速度方向与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时速度越大；当切线与x轴正方向的夹角大于时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大表明此时速度越小。

也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点速度越大，而最大位移处，质点速度为零。

根据位移变化趋势判定速度方向，若正位移增大，速度为正方向，若正位移减小，速度为负方向；反之，若负位移增大，速度为负方向，若负位移减小，速度为正方向。

（3）由于，故可以根据图象上各个时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况。

同样只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况。

例：一质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由可知（）A．质点振动频率是4Hz B．t＝2s时，质点的加速度最大C．质点的振幅为2cm D．t＝3s时，质点所受合外力最大答案：BC解析：由图可知，振动周期为T＝4s，因而振动倾率f=0.25Hz，所以选项A错误。

图中t＝0点是振动平衡位置，质点在平衡位置时所受合外力为零，速度最大，加速度为零；质点在最大位移处所受合外力最大，加速度最大，速度为零，因而选项B正确，选项D错误。

振幅是质点偏离平衡位置的最大位移，由图可见，质点偏离平衡位置的最大位移为2cm，振幅为2cm，因而选项C正确。

知识点三——典型的简谐运动1．弹簧振子（1）周期，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度系数决定。

（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。

这个结论可以直接使用。

在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

2．单摆（1）在一条不可伸长的、质量可以忽略的细线下拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆；当单摆的最大偏角小于时，单摆的振动近似为简谐运动。

（2）单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度()越大，由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力。

（3）单摆的周期：。

在小振幅摆动时，单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没有关系。

1．简谐运动的两种模型的比较弹簧振子单摆模型示意图特点（1）忽略摩擦力，弹簧对小球的弹力提供回复力（2）弹簧的质量可忽略（1）细线的质量，球的直径均可忽略（2）摆角很小公式回复力（1）回复力（2）周期2．类单摆的等效摆长和等效重力加速度在有些振动系统中不一定是绳长，g也不一定为9.8，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

（1）等效摆长：如图所示，三根等长的绳共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d。

与天花板的夹角。

若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在处，故等效摆长，周期；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为，周期。

（2）等效重力加速度：公式中的g由单摆所在的空间位置决定。

由知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值代入公式，即g不一定等于9.8。

g还由单摆系统的运动状态决定。

如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值。

再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了。