3、高三数学一轮复习精品讲义----映射与函数
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映射与函数
一、知识回顾：
1．映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果 ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有 和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作:fAB。集合A中的元素a叫 ，在集合B中与a对应的元素叫 。
2．对象、原象的理解：(1) A中每一个元素 ；(2)B中每一个元素 都有原象，不一定 ；(3)A中每一个元素的象 。
3．函数的定义：函数是一个 A到另一个 B的映射。记作(),yfxxA，，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做 ；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做 。
4．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即
、
和 。
5．分段函数：在定义域内不同的区间上有不同的 。注：分段函数是 个函数，而不是多个函数。
6．复合函数：若(),(),(,)yfuugxxmn，那么()yfgx称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是()gx的值域。
一、函数的三要素
例1、判断下列函数是否为同一函数，为什么？
（1）22()21,()21fxxxgttt： 。
（2）21(),()11xfxgxxx： 。
（3）2()1,()fxxxgxxx： 。
（4）11,(11)(),()()1,(01)xxfxgxfxxx： 。
例2、下列各对函数中，相同的是
A、122(),()()fxxgxx B、2()1,()1,1,1fxxgxxx C、(),()(1)yfxgxfx D、1()lg(),()lg22xfxgxx
例3、给出下列四组函数
（1）21()lg,()lg2fxxgxx （2）2(),()fxxgxx
（3）()21,()31fxxgxx （4）221()1,()(1)1xfxxgxxx
其中表示同一函数的是 。
二、判断是否是映射
例1、下列对应是否为从A到B的映射
（1）1,,:1ARBRfxyx
（2）111|,|,,:2AaaNBbbnNfabna
（3）2|0,,:,AxxBRfxyyx
（4）A平面内的矩形，B平面内的圆，:f作矩形的外接圆。
例2、设集合,ARB正实数集，则从集合A到集合B的映射只可能是
A、:fxyx B、:fxyx C、:3xfxy D、2:log(1)fxyx
例3、设|22,|02MxxNyy，函数()fx的定义域为M，值域为N，则()fx的图象可以是
A、 B、 C、 D、
三、求象与原象
例1、在给定映射:(,)(2,)fxyxyxy下，点11(,)66的原象是 。
例2、定义2:(,)(,2)fxyyyx下，若(,)(1,2)fmn，则(,)mn 。
例3、已知映射:fAB，其中ABR，对应法则2:2fxyxx，对于实数kB，在集合中A不存在原象，则k的取值范围是 。
四、分段函数复合函数
例1、已知函数21sin(),(10))()(0)xxxfxex，若(1)()2ffa，则a的所有可能值为
A、1 B、21,2 C、22 D、21,2
例2、设212,(1)()1(1)1xxfxxx，则1()2ff
A、12 B、413 C、95 D、2541
例3、定义N在上的函数()fx满足13,(2000)()(18),(2000)nnfnffnn，则(2008)f的值为 。
练习：
1、设BAf:是集合A到B的映射，下列说法正确的是
（ ）
A、A中每一个元素在B中必有象 B、B中每一个元素在A中必有原象
C、B中每一个元素在A中的原象是唯一的 D、B是A中所在元素的象的集合
2、}30|{},20|{yyNxxM给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有
（ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
3、从集合A到B的映射中，下列说法正确的是
（ ）
A．B中某一元素b的原象可能不只一个 B．A中某一元素a的象可能不只一个 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y
3
O O O O C．A中两个不同元素的象必不相同 D．B中两个不同元素的原象可能相同
4、已知集合A=40xx， B=20yy,下列从A到B的对应f不是映射的是
（ ）
(A)xyxf21: (B)xyxf31: (C)xyxf32:
(D)
281:xyxf
5、设函数1 141 )1()(2xxxxxf，则使得1)(xf的自变量x的取值范围为
（ ）
（A）]10,0[]2,( (B) ]1,0[]2,( （C）]10,1[]2,( （D）]10,1[)0,2[
6、设A，B都是自然数集N，映射:fAB把A中元素映射到B中的元素2xx，则B中的元素20的原象是
7、已知函数22()1xfxx，那么111(1)(2)()(3)()(234fffffff＝ 。
8、设函数()fx的定义域为N，且满足()()()fxyfxfyxy，(1)1f，则(5)f＿＿＿。
9、已知1(0)()1(0)xfxx ，则不等式(2)(2)5xxfx的解集是＿＿
10、点),(ba在映射f的作用下的象是),(baba，则f的作用下点)1,3(的原象为点__
__
11、若集合}1,0,1{A，}2,1,0,1,2{B，f：A→B表示A到B的一个映射，且满足对任意Ax都有x + f（x）为偶数，则这样的映射有_______ 个。
12、设BAf:是从集合A到B的映射，RyRxyxBA,),(，),(),(:bykxyxf，若B中元素（6，2）在映射f下的原象是(3,1)，则bk,的值分别为________.
13、已知)0.(1)0.()(,12)(2xxxxgxxf，求)(,)(xfgxgf。
答案：
1、A 2、C 3、A 4、C 5、A 6、4
7、72
8、15
9、3,2
10、13,0,144 (2,-1)
11、12
12、2,1
13、221(0)(())3(0)xxfgxx, 21(21)()2(())11()2xxgfxx
