第 03 讲 映射与函数

第 3 讲 映射与函数

（第课时）

对应图像法解析法（公式法）列表法表示法值域对应法则定义域三要素近代定义（映射）传统定义（对应）定义两个数集之间的映射函数一般映射映射一对一多对一一对多)(

对应、映射与一一映射这三者之间的关系：

重点：1．映射的概念；2．函数的概念；3．函数的表示法。

难点：1．求有特殊要求的映射的个数；2．对函数概念的正确理解。

1．了解映射的概念；2．理解函数的概念。

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考纲要求 注意紧扣！ 重点难点 对应

一对多

多对一

一对一

B中有无原像的元素 B中没有无原像的元素 映射

一一映射

1．映射概念的考查多以选择题的形式出现；

2．函数的概念可能以小题的形式出现，也可能以大题的形式出现。

1．映射的概念

参看上面的映射关系图。

⑴ 对应: 若有两个集合A和B，有一种关系f，能使对A中每一个元素都确定出B中的一个或几个元素，那么就说f是一种对应关系，或者说f使对A中每一个元素，B中都有一个或几个元素与之对应。

⑵ 映射: 若有两个集合A和B，如果按照某种对应法则f，使A中每一个元素在B中都有唯一的一个元素与之对应，那么这种关系叫做从A到B的映射。记为 f:AB 。A中元素a所对应的B中元素b叫做a的像，a叫做b的原像。

理解映射概念要注意四点:

①映射含有对应法则f以及两个集合

②映射具有方向性

即映射中的两个集合是有顺序的，即f:AB 和 f:BA 不是一回事。

③剩余元素

不允许A中有剩余元素，但允许B中有剩余元素（即任何一个元素在B中都可以找到唯一的像。而B中的元素可以没有原像，也可以有一个或多个原像。）

④一对多不是映射。

⑶ 一一映射: 对于映射f:AB，若A中元素在B中有不同的像，而且B中每一个元素都有原像，那么这个映射就叫做A到B上的一一映射。

理解一一映射概念要注意三点:

①一一映射的对应关系是一对一。

②B中任一元素都必须有原像。

③一一映射与一一对应不是一回事。

例如，A是实数集，B是数轴上的点集，我们说实数与数轴上的点一一对应有两方面的含义，一是任给一个实数，在数轴上可以找到一点与之对应，即 1f:AB；二是任给数轴上一点，可以找到一个实数与之对应，即 2f:BA；故一一对应是由两个互为逆映射的一一映射构成的。

⑷ 逆映射: 设有一个映射 f:AB，如果使B中每一个元素在A中都有原像与之对应，这样得到的映射就叫做映射 f:AB的逆映射，记为 1f:BA。

例如,映射f:XY使Y中的元素12xy与X中的元素x对应。那么其逆映射为1f:YX使X中的元素21yx与Y中的元素y对应。

理解逆映射概念要注意两点:

①只有一一映射才有逆映射。

②求逆映射的对应法则时，原像集合与像集合都不得扩大或缩小。 命题预测 仅供参考！

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例．若A={1，2，3，4，5} ，B={1，3，7，15，31}，则符合f:AB的f是

(A) f:x12xx ； (B) f:x3)1(xx ；

(C) f:x121x ； (D) f:x12x 。

分析:先看(A)，当4x时，Bxx1312，故排除(A)。

次看(B)，当3x时，Bxx17)1(3 ，故排除(B)。

再看(C)，当1x时，Bx0121 ，故排除(C)。

最后看(D)，当54321、、、、x时，311573112、、、、x ，都属于B，故应选(D)。

例．在映射f:ST 中，下列判断正确的是

(A) S中的任何一个元素在T中都有像，但不一定唯一；

(B) T中的元素在S中可能有多个原像，也可能没有原像；

(C) 集合S和T一定是数集；

(D) 记号f:ST与f:TS的含义是相同的。

分析：(A)中的对应是一对多，不是映射，故排除；(B)正确；(C)是错的，故排除；(D)是错的，因为映射中的两个集合是有序的。

2．函数的概念

⑴ 函数：一个非空数集到另一个非空数集的映射叫做函数。记为 )(xfy。

理解函数概念时注意三点：

①函数的三要素为：对应法则、定义域和值域。

②f:AB中，前面一个集合是定义域，后面一个集合是值域，“f”应理解为对应法则；

③A、B是非空数集。

例．下列对应是否为从A到B的映射？能否构成函数？

① RA，RB，f:11xyx ；

② NnnaaA,2| ，NnnbbB,1| ，f:aba1 ；

③ A={平面内的矩形}，B={平面内的圆}，f:作矩形的外接圆。

解：① 一个对应要是映射，必须这个对应f的原像集合中不能有剩余元素，但这里的原像集合x中有剩余元素-1（即当1x 时，y不存在），所以这个对应不是映射。

② A、B两集合即 A={2，4，6……}，,41,31,21,11B ，由对应法则 aba1

可知，这个对应是映射；又A、B为非空数集，所以这个映射是函数。

③ 这个对应是映射，但A、B不是数集，所以这个映射不是函数。

例．设 xxf2)( ，xxg8log)(2 ，求满足 )]([)]([xfgxgf的x。

解：2)8(log8log28log)8(222)]([2222xxgfxxx ，

)3(2)2(log)3(2log)28(log)]([22322xxxfgxx ，

解)3(2)8(2xx得 643851x ，由)(xg可知0x ，∴ 643851x 。

点评：对函数 )(xfy 中的“f”应理解为对应法则，而这一法则是可以反复使用的，在使用时要注意函数符号与函数值符号的区别。 ⑵ 函数的表示法：列表法，解析式法，图像法。

⑶ 常用函数：正比例函数，反正比例函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，三角函数，常数函数（cy，c为常数）。

⑷ 判断两个函数是否同一函数

要判断两个函数是否同一函数，只要看它们的定义域和对应法则是否都相同。

例．判断函数 2xy 和 xy 是否同一函数？

解：二者定义域相同，但对应法则不同，前者的对应法则为 xy ，后者的对应法则为xy ，所以2xy 和 xy 不是同一函数。

例．判断函数 2xy 和 xy 是否同一函数？

二者定义域相同，对应法则表面不同，但实际上是一回事，所以2xy 和 xy 是同一函数。

点评：同一函数，其对应法则有时可能有不同的表现形式。

例．判断函数 )1(1xxxy 和 xy1 是否同一函数。

解：二者对应法则相同，但定义域不同，前者的定义域为 0x 且 1x ，但后者为0x，所以二者不是同一函数。

3．分段函数与复合函数

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可以各用各的对应法则，这种形式的函数叫做分段函数。

处理分段函数的问题，需要用到分类讨论的思想，同时要注意其中局部与整体的关系。

如果y是u的函数，u又是x的函数，即)(ufy ，)(xgu ，那么)]([xgfy叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是)(xg的值域。

例．已知

)0(0)0()0(1)(2xxxxxf ，求 )]}1([{fff 。

分析：)(xf是一个分段函数，)]}1([{fff表示复合函数)]}([{xfff当1x时的函数值。

解： 0)1(f ，)0()]1([fff ，1)()]}1([{2ffff 。

解题错误：写1()2xf 。

1．有下列三个对应：①A＝R＋，B＝R，对应法则是“取平方根”；②A＝{矩形},B＝R＋，对应法则是“求矩形的面积”；③A＝{非负实数}，B＝（0，1），对应法则是“平方后与1的和的倒数”，其中从A到B的对应中是映射的是 （ ）。

A. ② ； B. ②③ ； C. ①②③ ； D. ①② 。

2．已知集合A＝{整数}，B＝{非负整数}，f是从集合A到集合B的映射，且f：x y＝x2（x∈A，y∈B），那么在f的作用下象是4的原象是 （ ）

A. 16 ； B. ±16 ； C. 2 ； D. ±2 。

3．下列几图中，不可能是函数)(xfy的图像是 （ ）

A B C D

4．给出如下三个等式：①)()()(yfxfyxf；②)()()(yfxfxyf；③)()()(yfxfxyf；则不满足其中任何一个等式的函数是 （ ）

A. 2x ； B. x3 ； C. xlg ； D. xsin 。

5．给出函数

)4()1()4()21()(xxfxxfx ，则 )3(log2f （ ）

A. 823 ； B. 111 ； C. 191 ； D. 241 。

6．判断下列各对函数是否同一函数：

⑴ 3xy 和 xylg3 ； ⑵ 2xy 和 xylg2 。

7．已知定义域为R的函数满足 )()()(bfafbaf ，（a，bR），且 0)(xf ，若

21)1(f ，求)2(f。

能力测试 认真完成！

y

x y

x y

x o

o y

x o

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