九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 什么是比例线段？素材 北师大版(2021年整理

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结

一．比例线段：

1两条线段的比是 的比。将“形”的问题转化为“数”的问题。

2.成比例线段：四条线段a,b,c,d中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段。比例线段是有顺序的，即a,b,c,d是成比例线段，则是a:b=c:d

3.如果cbba，那么b叫做a和c的比例中项；

4.比例的性质：

（1）基本性质：如果 ，那么 。

（）等比性质：如果 ，那么

5.平行线分线段成比例定理：

如图，321////lll，则可得比例式：

DE//AB,则所得比例式：

6．黄金分割： 黄金比

二．相似三角形：

1.相似三角形的判定方法：

（1）两角对应 的两个三角形相似。

（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。 （3）三边 的两个三角形相似

2.相似三角形的性质：

3.位似图形：

4.位似图形有同向和 两种。在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.

第四章 图形的相似

1 成比例线段

第1课时 线段的比

课题 第1课时 线段的比 授课人

教

学

目

标 知识技能

结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，了解线段的比和成比例线段．

数学思考

借助几何图形，了解比例的基本性质及其简单应用.

问题解决

会求两条线段的比．

情感态度

通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系．

教学重点

理解成比例线段的概念及其求解．

教学难点

了解比例的基本性质及其简单应用．

授课类型 新授课 课时

教具 多媒体

（续表）

教学活动

教学步骤 师生活动 设计意图

回顾 同学们，全等图形的概念是什么？在下面的图形中有全等图形吗？在下图中还有什么样的图形？

图4－1－5

学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.

活动

一：

创设

情境

导入

新课 【课堂引入】

请在下面图形中找出形状相同的图形，你发现这些形状相同的图形有什么不同？

图4－1－6

通过发现这些形状相同的图形的不同点，引出线段的比的概念，引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣.

活动

二： 【探究1】 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比(ratio)

实践

探究

交流新知 就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成ABCD＝mn.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把mn表示成比值k，那么ABCD＝k，或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．

如图4－1－7，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB＝5 cm，A′B′＝3 cm，AB∶A′B′＝5∶3，53就是线段AB与线段A′B′的比，这个比值刻画了这两个五边形的大小关系．

1

第01讲_比例线段

知识图谱

比例与比例线段

知识精讲

一．比例的性质

1.比例的基本性质：acadbcbd；

2.反比定理：acbdbdac；

3.更比定理：acabbdcd(或dcba)；

4.合比定理：acabcdbdbd；

5.分比定理：acabcdbdbd；

6.合分比定理：acabcdbdabcd；

7.等比定理：(0)acmacmabdnbdnbdnb．

二．成比例线段

1.比例线段：对于四条线段abcd，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如acbd（即::abcd），那么这四条线段abcd，，，叫做成比例线段，简称比例线段．

2.比例的项：在比例式acbd（::abcd）中，ad，称为比例外项，bc，称为比例内项，d叫做abc，，的第四比例项．三条线段abbc（2bac）中，b叫做a和c的比例中项．

3.黄金分割：如图，若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即2ACABBC）则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中510.6182ACABAB，350.3822BCABAB，AC与AB的比叫做黄金比． 2

第四章 图形的相似

1 成比例线段

第2课时 比例的性质

课题 第2课时 成比例线段 授课人

教

学

目

标 知识技能

掌握等比性质，并会灵活运用；通过做题了解合比性质并能进行简单应用；巩固设“k”法解答比例问题的广泛性．

数学思考

能够灵活运用等比性质解决问题；在利用比例的相关知识解决问题时，体会代数与几何的联系．

问题解决

能够灵活运用等比性质解决问题．

情感态度

通过现实情境，进一步培养学生从数学的角度提出、分析和解决问题的能力，培养学生的应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系．

教学重点

让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用．

教学难点

运用比例的基本性质解决有关问题．

授课类型 新授课 课时

教具 多媒体

教学活动

教学步骤 师生活动 设计意图

回顾 上节课我们学习了成比例线段，仔细回忆，回答下面三个问题：

(1)成比例线段的定义.

(2)比例的基本性质.

(3)若3m＝2n，你可以得到mn的值吗？nm呢？

学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动

一：

创设

情境

导入

新课 【课堂引入】

1.课件依次出示图4－1－18①和②.(正六边形和正八边形)

问题：如图①，这两个正六边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？如图②，这两个正八边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？

图4－1－18

2.问题：如图4－1－19所示的两个矩形，它们周长的比是多少？你是怎么知道的？

图4－1－19

课件出示：

如图4－1－20，已知ABHE＝BCEF＝CDFG＝ADHG＝2，你能求出AB＋BC＋CD＋ADHE＋EF＋FG＋HG的值吗？由此你能得出什么结论？

图4－1－20

让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流，教师采用巡视的方式参与到学生的交流活动中．教师巡视时可关注：①学生的研究方法，发现好的方法时，可在适当时间让其和同学们一起交流分享．②还有哪些小组的同学研究时有困难，此时教师可抓住分分秒秒对其进行讲解，争取不让任何一个学生掉队.