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随机变量的数字特征的应用
作者：韩宝燕
来源：《科技视界》2014年第07期
【摘 要】本文的主要研究随机变量的数字特征的应用。即随机变量的数字特征在经济决策问题中的应用；在有价证券的选择方面；就业决策和博弈论等领域中的应用。
【关键词】随机变量的数字特征；数学期望；方差；期望收益；最优化决策
随机变量的数字特征是由随机变量的分布确定的，随机变量的数字特征主要包括数学期望、方差、协方差以及相关系数。其中最重要的数字特征是数学期望和方差。数学期望E（X）描述随机变量X取值的平均大小；方差DX=E[X-E（X）]2描述随机变量X与它自己的数学期望E（X）的偏离程度。数学期望和方差虽然不能像分布函数、分布律、概率密度一样完整的描述随机变量，但它们能描述随机变量的重要方面或人们最关心方面的特征，它们在应用和理论上都非常重要。
随机变量的数字特征尤其是数学期望在很多领域（如：在风险决策、就业决策、投资、证券投资、经济决策、利润效益和贝叶斯决策等）都有非常重要的应用。下面就几种情况分别讨论。
（1）随机变量的数字特征在经济决策问题中的应用
在经济生活中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化，供大于求或供小于求都不利于获得最大利润；但供应量和需求量又不是能预先知道的，理性的厂家或商家往往根据过去的数据（概率），用数学期望结合其他知识来做决策。
（2）现今大多数人都有过购买股票或有价证券的经历，但其中的大多数人都不是理性的，那么理性的决策者在购买股票时会怎样做呢？如何才能把风险降到最小也是很重要的一点。在投资环境日趋复杂的现代社会，几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的，一般地说，投资者都讨厌风险并力求回避风险。风险是某一行动的结果具有多样性。风险是客观存在的，它广泛影响着企业的财务和经营活动，因此，正视风险并将风险程度予以量化，成为企业财务管理中的一项重要工作。衡量风险大小需要使用概率和统计方法，最常用的知识就是数学期望和方差。
§2.3.1随机变量的数字特征（二）
学习目标
1．熟练掌握均值公式及性质．
2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．
学习过程
【任务一】双基自测
1．分布列为
ξ －1 0 1
P 12 13 16
的期望值为 ( )
A．0 B．－1 C．－13 D．12
2．设E(ξ)＝10，则E(3ξ＋5)等于
( )
A．35 B．40 C．30 D．15
3．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( )
A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)
4．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________
【任务二】题型与解法
题型一 二项分布的均值
例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值．
跟踪训练1 英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望．
题型二 超几何分布的均值
例2 一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：
摸5个球 中彩发放奖品
有5个白球 1顶帽子(价值20元)
恰有4个白球 1张贺卡(价值2元)
恰有3个白球 纪念品(价值0.5元)
其他 同乐一次(无任何奖品)
试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率；
（2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第四章 随机变量的数字特征（一）
一、选择题：
1．设随机变量X，且()EX存在，则()EX是 [ B ]
（A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数
2．设X的概率密度为910()900xexfxx，则1()9EX [ C ]
（A）919xxedx （B）919xxedx （C）1 （D）1
3．设是随机变量，()E存在，若23，则()E [ D ]
（A）()E （B）()3E （C）()2E （D）()233E
二、填空题：
1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则()EX
2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)81()22xfxe，则2(21)EX 9
3．设随机变量X的概率分布 ，则2(3)EXX 116/15
4．设随机变量X的密度函数为||1()()2xfxex，则()EX 0
三、计算题：
1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求()EX
解：X的可能取值为3，4，5
3511(3)10PXC， 23353(4)10CPXC 24356(5)10CPXC
1.设随机变量X的概率分布为
X 1 2 3 4
p 1/8 1/4 1/2 1/8
求E(X),E(X2),E(X+2)2. 解. 由离散型随机变量的数学期望公式可知
E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8;
E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×1/8=61/8;
E(X+2)2=E(X2+4X+4)
=E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8.
2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X的数学期望和方差. 解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为
;
;
;
.
因此 E(X)=0×7/24+1×21/40+2×7/40+3×1/120=9/10;
E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10;
∴ D(X)=E(X2)-(E(X))2=13/10-(9/10)2=49/100.
3.一批零件中有9个合格品与3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差. 解. 随机变量X表示在取得合格品之前,已经取出的废品数.
所以 X的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为
P(X=0)=9/12=3/4 ;
;
;
.
所以由数学期望公式得到
E(X)=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ;
E(X2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ;
