随机过程的数字特征
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第三节 随机过程的数字特征
定义6.3.1 设随机过程}),({Ttt∈ξ的一维分布函数为，我们称 );(xtF
());()]([xtdFxtEt∫+∞
∞−==ξµ
ξ
()()∫+∞
∞−−==);(][)]([22xtdFtxtDtξξµξσ
分别为随机过程}),({Ttt∈ξ的均值函数和方差函数。
对离散型的随机过程，其均值函数和方差函数分别为：
()()∑
===n
iiitpxtEt
1)]([ξµ
ξ
()()()()tptxttEtDt
in
ii2
122][])([)]([ξξξµµξξσ∑
=−=−==
其中：()nixtPtp
ii,,1},)({"===ξ
对连续型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：
()dxxtxftEt∫+∞
∞−==);()]([ξµ
ξ
()()()∫+∞
∞−−=−==dxxtftxttEtDt);(][])([)]([222
ξξξµµξξσ
均值函数和方差函数刻画了随机过程在不同时刻的统计特性，均值函数表示{)(tξ}在各个不同
时刻取值的摆动中心。方差函数表示{)(tξ}在各个不同时刻取值的关于()tξµ的平均偏离程度。但
不能描述在不同时刻之间的相互关系，因此我们必须引入自相关函数和自协方差函数概念。
定义6.3.2 设随机过程}Tt),t({∈ξ的二维分布函数为，我们称其自相关函数
和自协方差函数分别为： ),;,(
2121xxttF)x,x;t,t(dFxx)]t()t([E)t,t(R
2121212121∫∫+∞
∞−+∞
∞−==ξξ
ξ Ttt∈
21,
()[][])t()t(t)t(E)t,t(C
221121ξξξµξµξ−−=
且：)t()t()t,t(R)t,t(C
212121ξξξξµµ−=
若令，则ttt==
21()tttRttC2),(),(ξξξµ−==Dξ(t)= 2
ξσ
由此可以看出：均值函数()tξµ和相关函数是最基本的数字特征，协方差函数
和方差函数可以由它们确定。在随机过程理论中，仅研究均值函数)t,t(R
21ξ
)t,t(C
21ξ()t2
ξσ()tξµ和相关函
数的理论称为相关理论。 )t,t(R
21ξ
一般地，相关函数和协方差函数均与时间有关。若令)t,t(R
21ξ)t,t(C
21ξ21,ttτ+=
12tt，则：
)t,t(R)t,t(Rτ
ξξ+=
1121 )t,t(C)t,t(Cτ
ξξ+=
1121
以上两式说明和不仅与时间间隔)t,t(R
21ξ)t,t(C
21ξτ有关，且与起点有关。当和
仅与1t)t,t(R
21ξ
)t,t(C
21ξτ有关而与无关时，且1t,)(consttm
X=称这类随机过程为宽平稳过程，简称为平稳
过程。
例6.3.1 设是周期为的矩形波，随机变量)(tgLY服从两点分布
21
2111
ipY−
令()()XtYgt=，),0(∞=∈Tt，则：是具有随机振幅，周期为的矩形波过程，求的
数字特征。 )(tXL)(tX
解：0]
21
1
21
1)[(][)()]([)]([)(=×+×−====tgYEtgtYgEtXEt
Xµ
][)()()]()([)]()([),(2
21212121YEtgtgtYgYtgEtXtXEttR
X=⋅==
)()(]
21
1
21
)1)[(()(
2122
21
tgtgtgtg
=×+×−=
),(),(
2121ttRttC
XX=
()())(,)]([22tgttCtXDt
XX===σ
例6.3.2 已知随机相位正弦波)cos()(Θ+=tatXω，其中consta=>ω,0，Θ为在)2,0(π上
服从均匀分布的随机变量。求随机过程)},0(),({∞∈ttX的)(t
Xµ、和一维分布密度函数
。 ),(
21ttR
X
);(xtf
解： 由在Θ)2,0(π上服从均匀分布得：
fθππθ⎧∈⎪=⎨
⎪⎩其它1(0,2)2()
0
则：()0
21
)cos()]cos([2
0=⋅+=Θ+=∫θ
πθωωµπ
dtataEt
X
)]cos()cos([)]()([),(
212121
Θ+⋅Θ+==
tataEtXtXEttR
X
ωω
= θ
πθωθωπ
dtta
21
)cos()cos(
22
012⋅+⋅+∫
)(cos
2122
tta
−=ω
利用随机过程的分布密度公式
xxtF
xxtF
xtf
∂∂
∂∂
=
∂∂
=θ
θ);();(
);(
ffθθ
θθ∂∂
=+
∂∂12
12()()
xx
()θππθπ≤
12,2 则：
221
);(
xaxtf
−=
π ax<
则：axax
xtfxa
≥<
⎩⎨⎧
=−
0);(221
π
例6.3.3 设随机过程定义为：若随机点在区间内出现偶数次，则；若出现
奇数次，则。又设(内随机点出现次的概率与无关，且有： )(tX],0(t1)(=tX
1)(−=tX],
00ttt+k
0t
!)(
)(
kte
tpkt
kλλ−
= ),2,1,0,0("=>kλ
求)(t
Xµ和。 ),(
21ttR
X
解：由内随机点出现次，],0{(tk",2,1,0=k}互不相容，故：
{P在内出现偶数次，即],0(t1)(=tX}
"+++=)()()(
420tptptp
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
+++=−"
!4)(
!2)(
!0)(420ttt
etλλλλ
)(tchetλλ−= 注： 2/)()(xxeexch−+=
同理："+++=−=)()()(}1)({
531tptptptXP
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
+++=−"
!5)(
!3)(53tt
etλλ
λλ
)(tshetλλ−= 注： 2/)()(xxeexsh−−=
即： ==}1)({tXP)(tchetλλ−
=−=}1)({tXP )(tshetλλ−则：()t
XµttttteeetshetchetXEλλλλλλλ2)(1)(1)]([−−−−−=⋅=⋅−⋅==
为求的相关函数，先求，的联合分布。 )(tX),(
21ttR
X)(
1tX)(
2tX
})()({})({})(,)({
1122112211xtXxtXPxtXPxtXxtXP==⋅====
其中 ，。 1
1±=x1
2±=x
设：，12tt>
12tt−=τ，
()
12{()1()1}{()1(0)1}PXtXtPXXechλττλτ−======
则： )()(}1)(,1)({
1211λτλλτλchetchetXtXPt−−===
同理： 1121{()1,()1}()(tPXtXtechtechλλτ)λλτ−−=−=−=
1121{()1,()1}()()tPXtXtechteshλλτλλτ−−==−=
1121{()1,()1}()()tPXtXteshteshλλτλλτ−−=−==
则： ),(
21ttR
X)]()()[(1)]()([
11211tshtchcheetXtXEtλλλτλτλ+⋅⋅⋅==−−
)]()()[()1(
111tshtchsheetλλλτλτλ+⋅⋅⋅−+−−
)]()([
11)(1tshtchet−−−=+−τλτλτλ
其中λττλτλ2)()(11−−−+−=⋅=eeett
12tt−=τ
当，同理可得： 12tt≤),(
21ttR
X)(221tte−=λ
则对，有：21,tt∀),(
21ttR
Xτλ2−=e。
在实际问题中，除考虑一个随机过程在不同时刻的性质外，还须考虑两个不同的随机过程之间
的关系。例如，通信系统中信号过程与干扰过程之间的关系，此时，我们必须引入互协方差函数和
互相关函数来描述它们之间的关系。
定义6.3.3 设随机过程，{(}),({TttX∈),}YttT∈是两个随机过程，则称其互相关函数和互协
