2020年九年级数学备战中考：二次函数压轴题(含答案)

- 1 - 二次函数压轴题中考真题集合

1.在平面直角坐标系中，抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 过点 𝐴(−1,0) ， 𝐵(3,0) ，与y轴交于点C，连接AC，BC，将 △𝑂𝐵𝐶 沿BC所在的直线翻折，得到 △𝐷𝐵𝐶 ，连接OD.

（1）用含a的代数式表示点C的坐标.

（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式.

（3）设 △𝑂𝐵𝐷 的面积为S1 ， △𝑂𝐴𝐶 的面积为S2 ， 若 𝑆1𝑆2=23 ，求a的值.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.

（3）当PH＝2时，求点P的坐标.

3.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣ 34 x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线- 2 - y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E.

（1）求抛物线的函数表达式

（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.

4.如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A.点P以每秒 √2 个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当 𝑀𝑄𝑁𝑄=12 时，求t的值；

（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值.

5.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C. - 3 -

（1）求这个抛物线的函数表达式.

（2）点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值.

（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3 与 𝑥 轴交于 𝐴(−1,0) ， 𝐵(3,0) 两点，与 𝑦 轴交于点 𝐶 ，点 𝐷 是抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点 𝑁 是 𝑦 轴负半轴上的一点，且 𝑂𝑁=√2 ，点 𝑄 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接 𝑄𝑂 ，

𝑄𝑂 与抛物线的对称轴交于点 𝑀 ，连接 𝑀𝑁 ，当 𝑀𝑁 平分 ∠𝑂𝑀𝐷 时，求点 𝑄 的坐标.

（3）直线 𝐵𝐶 交对称轴于点 𝐸 ， 𝑃 是坐标平面内一点，请直接写出 𝛥𝑃𝐶𝐸 与 𝛥𝐴𝐶𝐷 全等时点

𝑃 的坐标.

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ 12 x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣ 12 x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交- 4 - 于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7.

（1）求此抛物线的解析式.

（2）求点N的坐标.

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝ 12 时，求点F的坐标.

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤

√5 ），请直接写出S与t的函数关系式.

8.如图，在平面直角坐标系中，直线 𝑦=2𝑥+6 与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线 𝑦=−2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 过A，C两点，与x轴交于另一点B.

（1）求抛物线的解析式.

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当 𝐸𝐹=12𝐵𝐹 时，求

𝑠𝑖𝑛∠𝐸𝐵𝐴 的值.

（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. - 5 -

9.在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标.

（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH.请直接写出线段BH的最小值.

10.抛物线 𝑦=−29𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 与 𝑥 轴交于 𝐴（−1,0），𝐵（5,0） 两点，顶点为 𝐶 ，对称轴交

𝑥 轴于点 𝐷 ，点 𝑃 为抛物线对称轴 𝐶𝐷 上的一动点（点 𝑃 不与 𝐶,𝐷 重合）.过点 𝐶 作直线 𝑃𝐵

的垂线交 𝑃𝐵 于点 𝐸 ，交 𝑥 轴于点 𝐹 .

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 △𝑃𝐶𝐹 的面积为 5 时，求点 𝑃 的坐标；

（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点 𝑃 的坐标.

- 6 - 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点.

（1）求直线DE和抛物线的表达式；

（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2 √2 ，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标.

12.如图，在平面直角坐标系中， 𝑅𝑡𝛥𝐴𝐵𝐶 的边 𝐵𝐶 在 𝑥 轴上， ∠𝐴𝐵𝐶=90∘ ，以 𝐴 为顶点的抛物线 𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 经过点 𝐶(3,0) ，交y轴于点 𝐸(0,3) ，动点 𝑃 在对称轴上.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点 𝑃 从 𝐴 点出发，沿 𝐴→𝐵 方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点 𝐵 停止，设运动时间为 𝑡 秒，过点 𝑃 作 𝑃𝐷⊥𝐴𝐵 交 𝐴𝐶 于点 𝐷 ，过点 𝐷 平行于 𝑦 轴的直线 𝑙 交抛物线于点

𝑄 ，连接 𝐴𝑄,𝐶𝑄 ，当 𝑡 为何值时， 𝛥𝐴𝐶𝑄 的面积最大？最大值是多少？

（3）若点 𝑀 是平面内的任意一点，在 𝑥 轴上方是否存在点 𝑃 ，使得以点 𝑃,𝑀,𝐸,𝐶 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的 𝑀 点坐标；若不存在，请说明理由. - 7 -

13.如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线 𝑦=14𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；

（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

14.在平面直角坐标系中，直线 y=12𝑥−2 与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数 y=12𝑥2+bx+𝑐 的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；

（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

15.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． - 8 -

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．