高中数学讲义 微专题(二) 双变量“存在性或任意性”问题

双变量的“存在性或任意性”问题，是高考的热点之一，尤其在函数、导数、不等式中出现较

多．解决此类问题的关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间

的关系或两个函数最值的大小比较．

类型一形如“对任意x1∈A，都存在x

2∈B，使得f(x

1)＝g(x

2)成立”

∀x1∈A，∃x

2∈B，使得f(x

1)＝g(x

2)等价于函数f(x)在A上的值域是g(x)在B上的值域的子集．其

等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)在区间A上的任意一个函数值都等于函数y＝g(x)在区间

B上的某一个函数值，即函数y＝f(x)在区间A上的函数值都在函数y＝g(x)在区间B上的值域之中．

例1已知幂函数f(x)＝(a2－3)x1

2a2

＋a－2在(0，＋∞)上单调递减，函数h(x)＝3x＋m，对任意x1

∈[1，3]，总存在x

2∈[1，2]，使得f(x

1)＝h(x

2)，则m的取值范围为________．

答案－8

，－26

9

解析∵f(x)＝(a2－3)x1

2a2

＋a－2是幂函数，∴a2－3＝1，即a＝±2，又f(x)在(0，＋∞)上单调递

减，则1

2a2＋a－2<0，可得a＝－2，∴f(x)＝x－2＝1

x2，∴f(x)在[1，

3]上的值域为1

9，1

.又h(x)

在[1，2]上的值域为[3＋m，9＋m]，

根据题意得9＋m≥1，

3＋m≤1

9，解得－8≤m≤－26

9，∴m的取

值范围为－8，

－26

9.

理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是等

价转化为求值域，即函数f(x)在区间A上的值域是g(x)在区间B上的值域的子集，若改为∃x1

∈A，∀x

2∈B，使得f(x

1)＝g(x

2)，则函数g(x)在区间B上的值域是f(x)在区间A上的值域的子

集．

1．设函数f(x)＝4x

2x－1－2，g(x)＝x2－ax＋1，若∀x1∈[1，2]，∃x

2∈[1，2]，f(x

1)＝g(x

2)，求正

实数a的取值范围．

解f(x)＝4x

2x－1－2＝(2x)2－1＋1

2x－1－2＝2x－1＋1

2x－1，

设t＝2x－1，x∈[1，2]，则t∈[1，3]，又y＝t＋1

t在[1，3]上单调递增，

则2≤y≤10

3，

即f(x)

的值域为2，10

3.

设当x∈[1，2]时，函数g(x)的值域为A，

由题意知2，10

3⊆A.

又g(x)图象的对称轴为直线x＝a

2>0，

当a

2≤1，即0

则g(1)≤2，

g(2)≥10

3，解得0

6；

当1

2<2，即2

且g(2)＝5－2a<1，不符合题意；

当a

2≥2，即a≥4时，g(x)在[1，2]上单调递减，

则g(1)≥10

3，

g(2)≤2，满足条件的a不存在．

综上，正实数a

的取值范围为0，5

6.

类型二形如“存在x1∈A及x

2∈B，使得f(x

1)＝g(x

2)成立”

∃x1∈A，∃x

2∈B，使得f(x

1)＝g(x

2)等价于函数f(x)在区间A上的值域与g(x)在区间B上的值

域的交集不空．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)在区间A上的某一个函数值等于函数

y＝g(x)在区间B上的某一个函数值，即两个函数有相等的函数值．

例2已知函数f(x)＝2x，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)

，若存在x1∈0，1

2

及x

2∈0，1

2，使得

f(x

1)＝g(x

2)成立，求实数k的取值范围．

解由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g

(x)的值域为2－2k，2－3k

2，并且两个值域有

公共部分．

若两个值域没有公共部分，则2－2k>1或2－3

2k<0，解得k<1

2或k>4

3，所以要使两个值域有公共部分，实数k

的取值范围是1

2

，4

3.

本类问题的实质是“函数f(x)在区间A上的值域与g(x)在区间B上的值域的交集

不为空集”，本例利用补集思想可简化运算．

2．已知函数f(x)

＝3－x

ex，g(x)＝ax3－1(a>0)．若∃x1∈[2，3]，

∃x

2

∈1

2，1

，使得f(x1)＝g(x

2)，

求实数a的取值范围．

解由f(x)

＝3－x

ex在[2，3]上单调递减，

得f(x)的值域为0，1

e2，

由g(x)＝ax3－

1(a>0)

在1

2，1

上单调递增，得g

(x)的值域为1

8a－1，a－1

，

若f(x)的值域与g(x)的值域的交集为∅，

则a－1<0或1

8a－1>1

e2，即a<1或a>8

e2＋8，

所以若∃x1∈[2，3]，

∃x

2

∈1

2，1

，

使得f(x1)＝g(x

2)，

则0，1

e

2∩1

8a－1，a－1

≠∅，

故1≤a≤8

e2＋8，

即实数a的取值范围为1，8

e2＋8

.

类型三形如“对任意x1∈A，都存在x

2∈B，使得f(x

1)≤g(x

2)成立”

∀x1∈A，∃x

2∈B，使f(x

1)≤g(x

2)，即f(x)

max≤g(x)

max.其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)

在区间A上的任意一个函数值小于等于函数y＝g(x)在区间B上的某一个函数值，但并不要

求小于等于函数y＝g(x)在区间B上的所有函数值．

例3已知函数f(x)＝x＋4

x，g(x)＝2x＋a，若

∀x1

∈1

2，1

，∃x2∈[2，3]，使得f(x

1)≤g(x

2)，则

实数a的取值范围是________．

答案1

2，＋∞

解析依题意知f(x)max≤g(x)

max.∵f(x)＝x＋

4

x

在1

2，1

上是减函数，∴f(x)max＝

f12＝17

2.又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝8＋a，因此17

2≤8＋a，则a≥1

2，即实数a的

取值范围是1

2，＋∞

.

理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)max≤g(x)

max；利用函数的单调性，求f(x)

与g(x)的最大值，得关于参数的不等式，求得参数的取值范围．

3．已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，g(x)

＝1

2x

－m，若∀x1∈[0，3]，∃x

2∈[1，2]，使得f(x

1)≤g(x

2)，

则实数m的取值范围是________．

答案－∞，－1

2

解析当x∈[0，3]时，f(x)max＝f(3)＝1，当x∈[1，2]时，g(x)

max＝g(1)＝1

2－m，由f(x)max≤g(x)

max，

得1≤12－m，所以m≤－1

2

，即实数m

的取值范围是－∞，－1

2.

类型四形如“存在x1∈A，对任意x

2∈B，都有f(x

1)≤g(x

2)成立”

∃x1∈A，∀x

2∈B，使f(x

1)≤g(x

2)，即f(x)

min≤g(x)

min，其等价转化的基本思想是：f(x)在区间A上至少有一个函数值小于等于函数g(x)在区间B上的任意一个函数值．

例4已知函数f(x)＝x2－2bx＋4，g(x)＝－ex

ex＋1，若存在x1∈[1，2]，对任意x

2∈[－1，0]，

使得f(x1)≤g(x

2)，求实数b的取值范围．解由g(x)＝－ex

ex＋1＝－ex＋1－1

ex＋1＝－1＋1

ex＋1，

得g(x)min＝g(0)＝－1

2.

又f(x)＝x2－2bx＋4，

当b<1时，可求得f(x)min＝f(1)＝5－2b，

则5－2b≤－1

2，解得b≥11

4，与b<1矛盾；

当1≤b≤2时，可求得f(x)min＝f(b)＝4－b2，

则4－b2≤－1

2，解得b2≥9

2，与1≤b≤2矛盾；

当b>2时，可求得f(x)min＝f(2)＝8－4b，

由8－4b≤－1

2，得b≥17

8.

综上，实数b的取值范围是17

8，＋∞

.