《经济博弈论》复习题及参考答案一、名词解释1、混合战略纳什均衡如果在博弈的利益表中，无法找到任何一方都可以接受（不一定利益最大化）的方案，也就是没有哪一种组合是在给定对手策略下没有动机改变自己策略的情况。
这时博弈没有纯策略均衡，需要一个“概率表”指导博弈结果。
在博弈G={S1,S2……Sn；U1,U2……Un}中第i个博弈方策略空间为Si={Si1……Sik}则博弈方以概率分布Pi=(Pi……Pik)随机在k个可选策略中选的的策略称为一个混合策略纳什均衡。
2、子博弈精炼纳什均衡对于扩展式博弈的策略组合S*=(S1*,…,Si*,…,Sn*) ,如果它是原博弈的纳什均衡;它在每一个子博弈上也都构成纳什均衡,则它是一个子博弈精炼纳什均衡。
子博弈精练纳什均衡所要求的是参与人应该是序惯理性的。
对于有限完美信息博弈，逆向归纳法是求解子博弈精炼纳什均衡的最简便的方法。
3、完全信息动态博弈完全信息动态博弈，是指博弈中信息是完全的，即双方都掌握参与者对他参与人的战略空间和战略组合下的支付函数有完全的了解，但行动是有先后顺序的，后动者可以观察到前者的行动，了解前者行动的所有信息。
4、不完全信息动态博弈指在动态博弈中，行动有先后次序，博弈的每一参与人知道其他参与人的有哪几种类型以及各种类型出现的概率，即知道“自然”参与人的不同类型与相应选择之间的关系，但是，参与人并不知道其他的参与人具体属于哪一种类型。
由于行动有先后顺序，后行动者可以通过观察先行动者的行为，获得有关先行动者的信息，从而证实或修正自己对先行动者的行动。
5、完全信息静态博弈完全信息静态博弈指的是信息对于博弈双方来说是完全公开的情况下，双方在博弈中所决定的决策是同时的或者不同时但在对方做决策前不为对方所知的。
6、囚徒困境囚徒困境是博弈论的非零和博弈中具代表性的例子，反映个人最佳选择并非团体最佳选择。
虽然困境本身只属模型性质，但现实中的价格竞争、环境保护等方面，也会频繁出现类似情况。
7、 纳什均衡假设有n 个局中人参与博弈，给定其他人策略的条件下，每个局中人选择自己的最优策略（个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略），从而使自己利益最大化。
所有局中人策略构成一个策略组合（Strategy Profile ）。
纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。
即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。
纳什均衡，从实质上说，是一种非合作博弈状态。
8、 子博弈一个扩展式表示博弈的子博弈G 是由一个单结信息集x 开始的与所有该决策结的后续结(包括终点结)组成的能自成一个博弈的原博弈的一部分。
二、 计算分析题1、在市场进入模型中，市场需求函数为p ＝13-Q ，进入者和在位者生产的边际成本都为1，固定成本为0，潜在进入者的进入成本为4。
博弈时序为：在位者首先决定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入；如果不进入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。
求解以上博弈精炼纳什均衡。
解：在市场进入模型中，设在位者选择产量1q ，潜在进入者产量为2q ，如果潜在进入者进入，则最优化为：()122max 1314q q q ---⨯-。
一阶条件下，求得*12122q q -=。
在位者选择产量1q ，在潜在者进入的情况下，其最优化为()*121max 131q q q ---⨯。
由一阶条件可得*16q =，因此，*23q =。
此时，1218,5ππ==。
如果在位者设置壁垒，使得潜在进入不进入，即()212213140q q q π=---⨯-=，代入*12122q q -=，解得*'18q =，此时，π1=16，π2=0。
因此，在位者将选择产量6，即最后的精练子博弈纳什均衡是在位者选择产量6，潜在进入者进入。
2、考虑如下扰动的性别战略博弈，其中t i 服从［0，1］的均匀分布，,t 1和t 2是独立的，t i 是参与人i 的私人信息。
求出以上博弈所有纯战略贝叶斯均衡。
S2S1足球芭蕾足球3+，1 ，，芭蕾0，0 1，3+解：构造一个贝叶斯均衡：存在一个t1*∈[0，1]和一个t2*∈[0，1]。
如果t1≥t1*，男的将选择足球赛；如果t2≥t2*，女的将选择芭蕾舞。
因此，男的选择足球的概率是（1－t1*），女的选择芭蕾的概率是（1－t2*）。
现在我们来求解t1*和t2*。
给定男的战略，女的选择足球和芭蕾的期望效用分别为：（1－t1*）×1＋t1*×0＝（1－t1*）与（1－t1*）×εt2＋t1*×（3＋εt2）＝（3t1*＋εt2）。
因此t2*满足：（1－t1*）＝（3t1*＋εt2*）。
因为博弈是对称的，在均衡的情况下，t1*＝t2*，解上述条件可得：t*＝1/（4＋ε)。
因此，贝叶斯均衡是：（1）男参与人：如果t1≥t*，男的将选择足球赛，否则选择芭蕾；如果t2≥t*，女的将选择芭蕾舞，否则选择足球。
给定不完全信息，男方认为女方选择芭蕾的概率和女方认为男方选择足球的概率为：1－1/（4＋ε)。
当ε→0时，上述概率收敛于3/4，即在完全信息下的混合战略的概率：男的以3/4的概率选择足球，女的以3/4的概率选择芭蕾。
3、求出下列信号传递模型的贝叶斯Nash均衡（讨论分离均衡和混同均衡）解：（1）自然选择发送者类型，告诉发送者，接收者不知道发送者真实类型，但类型的概率分布（0.4，0.6）是共同知识。
（2）接收者若看见R，一定会选择a2;若看见L，一定会选择a1。
发送者能够推测到接收者接收到信号后的判断，因此，发送者知道如果自己是０.4类型不管选择什么信号结果都一样，即R和L无差异；如果自己是０.6类型，R将是最优选择。
（3）发送者无论是何种类型皆可选择R策略，接收者接收到信号后选择a2，这构成混同均衡。
（4）发送者是0.4类型选择L 策略，接收者接收到信号后选择a 1，发送者是0.6类型选择R 策略，接收者接收到信号后选择a 2，这构成分离均衡。
4、解：根据划线法，可求得两个纯战略纳什均衡：（M ，L ）、（D ，R ）。
根据奇数定理，该博弈可能存在混合战略纳什均衡。
为确定混合战略均衡，先用重复剔除弱劣方法剔除掉参与人2的M 战略，再剔除参与人1的U 战略，得到如下支付表：设参与人1的混合战略为()120,,p p ，则在均衡状态下，对于参与人2有12124536p p p p +=+由于121p p +=，得到1122p p ==。
因此，参与人1的最优混合战略是()1122,。
利用对称性，参与人2的最优混合战略也是()1122,。
纳什均衡是()()()11112222,,,。
5．解：在完全信息条件下，纳什均衡是()33,a c a c --，对应的支付是()()()2299,a c a c --。
该均衡不是帕累托最优的。
帕累托最优产量当满足总产量为2a c -，对应的总支付为()24a c -。
在无限重复下，如果给定产出组合是子博弈精炼的，对任意参与人，以下条件当满足：()()()222171714891241a c a c a c δδδ⎡⎤⎡⎤-+-≤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦ 其中左边第一项是背弃协议所得最大支付。
6、（1）该博弈的战略式描述为（2）若甲选择企业1，乙将选择企业2；若乙选择企业2，甲必然选择企业1，因此，（企业1，（企业2，企业1））是一个纯战略纳什均衡。
若甲选择企业2，乙将选择企业1；若乙选择企业1，甲必然选择企业2，因此，（企业2，（企业2，企业1））也是一个纯战略纳什均衡。
（3）假定甲选择企业1的概率为α，选择企业2的概率为1α-；乙选择企业1的概率为β，选择企业2的概率为1β-，则甲选择企业1的期望收益为()1112W W ββ+-，选择企业2的期望收益为()2212W W ββ+-，由二者相等可得乙选择两个企业的概率分别为：21221W W W W β-=+，221121W W W W β--=+。
同理可得甲选择两家企业的概率：21221W W W W α-=+，221121W W W W α--=+。
因此，最后的混合均衡是两学生均以212221,2121W W W W W W W W --⎛⎫⎪++⎝⎭的概率决定向企业1与企业2提出申请。
7、解：企业i 的利润函数为()()i i i i i i j p q cq p c a p p π=-=--+，由一阶条件02=++-=∂∂c p p a p j i i π可得企业i 的反应函数为2j i a p c p ++=。
考虑到对称性，同样方法可以得到企业j 的反应函数为2cp a p i j ++=，联立此两方程可得两个寡头同时选择价格时的纳什均衡为：c a p p j i +==。
8、考虑两种情况：（1）若4x >，则单阶段博弈的纳什均衡为()()()121212,,,,,x x w w z z ，构造如下战略，若第一阶段()12,y y 出现，则第二阶段选择()12,x x ；若第一阶段2S 偏离()12,y y ，选择2x ，则第二阶段选择()12,z z ；若第一阶段1S 偏离()12,y y ，选择1x ，则第二阶段选择()12,w w 。
如此，对于1S 与2S 而言，第一阶段出现()12,y y 的条件是，其总收益4＋2＝6将不小于他们在第一阶段选择其他战略下的收益x ＋0＝x ，即6x ≤。
即，()12,y y 在第一阶段出现的条件是46x <≤。
（2）当4x ≤时，单阶段的纳什均衡为()()()()12121212,,,,,,,x x y y w w z z ，则完全有可能在第一阶段出现()12,y y ，因为1S 与2S 都没有偏离的动机。
综上，()12,y y 在第一阶段出现的条件是6x ≤。
9、在该博弈中，S1的战略是私人信息类型的函数，当自然选择a 时，S1选择T ，当自然选择b 时，S1选择B 。
S2的战略则根据期望利益最大化进行决定。
S2选择L 的期望收益是u ×1＋（1－u ）×0＝u ，选择R 的期望收益是u ×0＋（1－u ）×2＝2－2u 。
由两种战略的无差异可得u ＝2/3。
所以当u>2/3时，S2选择L ，当u<2/3时，S2选择R 。
因此该博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡是：S1在自然选择a 时，选择T ，在自然选择b 时，选择B ；S2在u>2/3时，选择L ，在u<2/3时，选择R 。
10、求解以下战略式博弈的所有纳什均衡首先考虑纯纳什均衡。
如果S1选择T 战略→S2将选择M 战略→S1选择B 战略→S2将选择L 战略→S1选择T 战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。
