三阶逆矩阵简便算法

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

下三角矩阵逆矩阵的简便记法三角矩阵是指在主对角线以下（或以上）的元素都为零的矩阵。

逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。

在数学中，求解三角矩阵的逆矩阵是一个常见而重要的问题。

本文将介绍一种简便的记法，帮助我们更快速地求解三角矩阵的逆矩阵。

我们先回顾一下求解一般矩阵的逆矩阵的方法。

对于一个n阶矩阵A，要求解其逆矩阵A-1，我们可以使用高斯-约当消元法或者伴随矩阵法。

但对于三角矩阵来说，存在一种更加简便的方法。

我们先来看一个3阶上三角矩阵的例子：A = [a11 a12 a13][ 0 a22 a23][ 0 0 a33]要求解该矩阵的逆矩阵，我们可以使用以下记法：A-1 = [1/a11 -a12/a11^2 (a12*a23-a13*a22)/a11^3][ 0 1/a22 -a23/a22^2][ 0 0 1/a33]我们可以观察到，三角矩阵的逆矩阵也是一个三角矩阵，并且每个元素的求解都很简单。

下面我们来解释一下这个记法的原理。

对于上三角矩阵，我们可以通过倒序的方式进行计算。

首先，我们考虑矩阵的最后一行，即第3行。

根据逆矩阵的定义，矩阵的最后一行的第一个元素等于1除以最后一行的最后一个元素。

所以，A-1的最后一行可以表示为[0 0 1/a33]。

接下来，我们来求解倒数第二行。

根据逆矩阵的定义，倒数第二行的第二个元素等于1除以倒数第二行的倒数第二个元素。

所以，A-1的倒数第二行可以表示为[0 1/a22]。

我们来求解第一行。

根据逆矩阵的定义，第一行的第一个元素等于1除以第一行的第一个元素。

所以，A-1的第一行的第一个元素可以表示为1/a11。

第一行的第二个元素等于负的第一行的第二个元素再除以第一行的第一个元素的平方，即-a12/a11^2。

第一行的第三个元素等于第一行的第二个元素乘以第二行的第三个元素再减去第一行的第三个元素乘以第二行的第二个元素，再除以第一行的第一个元素的立方，即(a12*a23-a13*a22)/a11^3。

3阶行列式逆矩阵简介在线性代数中，矩阵是一种常见的数学工具，用于表示线性方程组和线性变换。

矩阵的逆是一个重要的概念，它解决了如何求解线性方程组和线性变换的问题。

在本文中，我们将讨论3阶行列式逆矩阵的计算方法和应用。

二级标题一：行列式和逆矩阵的基本概念三级标题一：行列式行列式是矩阵的一个标量值，用于描述线性变换的性质。

对于一个3阶矩阵，其行列式可以表示为：D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32其中，a ij表示矩阵的元素，a ij表示矩阵第i行第j列的元素。

三级标题二：逆矩阵逆矩阵是指矩阵的乘法逆元，对于一个可逆的3阶矩阵A，其逆矩阵可以表示为A−1。

逆矩阵满足以下条件：AA−1=A−1A=I其中，I表示单位矩阵。

逆矩阵的存在条件是行列式不为零，即D≠0。

二级标题二：3阶行列式逆矩阵的计算方法三级标题一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种常用的计算3阶行列式逆矩阵的方法。

通过矩阵的伴随矩阵和行列式的倒数，可以得到逆矩阵。

具体步骤如下：1.计算行列式的值D。

2.计算矩阵的伴随矩阵A∗。

伴随矩阵的第i行第j列的元素可以表示为A ij∗=(−1)i+j M ji，其中M ji表示矩阵A的余子式。

A ij∗。

3.计算逆矩阵A−1。

逆矩阵的元素可以表示为A ij−1=1D三级标题二：初等变换法初等变换法是另一种计算3阶行列式逆矩阵的方法。

通过对矩阵进行一系列的初等行变换，可以将矩阵变换为单位矩阵，同时将单位矩阵的变换应用到原矩阵上，得到逆矩阵。

具体步骤如下：1.将原矩阵和单位矩阵合并为增广矩阵[A|I]。

2.通过初等行变换，将增广矩阵变换为[I|B]，其中B=A−1。

3.得到逆矩阵A−1=B。

二级标题三：3阶行列式逆矩阵的应用三级标题一：求解线性方程组逆矩阵的一个重要应用是求解线性方程组。

对于一个形如Ax=b的线性方程组，其中A为系数矩阵，x为未知变量向量，b为常数向量。

三阶矩阵逆矩阵的记忆 口 诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本 身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时 间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些 研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三 阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快 速求解。

2、知识储备 1.1对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2n 阶行列式 A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵, 1.3方阵A 可逆的充分必要条件是A 0，当A 可逆时，A 1 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀* 所以呢，": 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变,2313121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列 如下:记忆口诀：主对调， 次换号，除以行列式推导：假设A，a,b,c,d R ，且A 可逆，那么根据知识储备 * 1.2 A3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照 231312规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号 a bc 对于三阶矩 巨阵 Ad ef ,A R 3 3，且A 可逆gh iei hf (bi hc) bf ce A 1 囚 f gid(cg ia) cd af ( 1) 冏dh ge (ah gb) ae hd先分析公式（ 1） 的第一 列，研 究如 1下表格表1公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312 规律）Step1:表格1第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得 到 ei,fg,dhStep2：表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列 得到 hf,id,geStep3:由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1） 的第一列。

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格表1公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1: 表格 1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf, id , geStep3：由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。

三阶逆矩阵简便算法
三阶逆矩阵简便算法是一种用于求解三阶矩阵的逆矩阵的算法。

这个算法的基本思路是使用初等矩阵的行变换来将原矩阵变成单位
矩阵，同时对应的行变换也可以应用到单位矩阵上，从而得到逆矩阵。

具体步骤如下：
1. 对原矩阵和单位矩阵进行合并，得到一个6列的矩阵。

2. 对这个6列矩阵进行初等行变换，使得前3列变成单位矩阵。

3. 对应的行变换也可以应用到后3列的单位矩阵上，得到逆矩阵。

这个算法的优点在于简单易行，只需要进行一次初等矩阵的行变换即可求解逆矩阵。

但是缺点也很明显，只适用于三阶矩阵，对于更高维度的矩阵就无法使用了。

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二阶三阶矩阵逆矩阵的口诀SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下： 1.3方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导：假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2*d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦==4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，2313121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231312规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1:表格1第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei,fg,dhStep2：表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf,id,geStep3：由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦==4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , geStep3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A-= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , geStep3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。

三阶矩阵的转置逆矩阵行列式1.引言1.1 概述概述部分将介绍本篇文章的主题和主要内容。

本篇文章将探讨关于三阶矩阵的转置，逆矩阵和行列式的相关知识。

在线性代数中，矩阵是一个重要的概念，被广泛应用于各个领域。

其中，三阶矩阵是最简单且常见的一种矩阵类型。

转置、逆矩阵和行列式是三阶矩阵的重要性质和计算方法，对于矩阵的运算和分析起着关键作用。

在本文的第一部分，我们将探讨三阶矩阵的转置。

转置是矩阵运算中常见的一种操作，可以通过交换矩阵的行和列来得到新的矩阵。

我们将介绍转置的定义和性质，并提供三阶矩阵转置的具体计算方法。

在第二部分，我们将研究三阶矩阵的逆矩阵。

逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵。

我们将介绍逆矩阵的定义和性质，并提供三阶矩阵逆矩阵的计算方法。

最后，在第三部分，我们将研究三阶矩阵的行列式。

行列式是一个与矩阵相关的重要概念，用于计算矩阵的特征值和特征向量。

我们将介绍行列式的定义和性质，并提供三阶矩阵行列式的具体计算方法。

通过全面了解三阶矩阵的转置、逆矩阵和行列式，我们可以更好地理解和应用矩阵运算。

本文旨在为读者提供一个清晰的概念和计算方法，并帮助读者在实际问题中运用到这些知识。

希望读者通过阅读本文能够对三阶矩阵的转置、逆矩阵和行列式有更深入的理解。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：在文章结构部分，我们将介绍本文的组织结构，以帮助读者更好地理解和阅读本文。

本文主要分为两个部分：正文和结论。

正文部分将围绕三阶矩阵的转置、逆矩阵和行列式展开讨论。

首先，我们将介绍三阶矩阵的转置，包括其定义和性质。

然后，我们将详细介绍三阶矩阵转置的计算方法。

接下来，我们将转向三阶矩阵的逆矩阵，在这一部分中，我们将讨论逆矩阵的定义和性质，并探讨三阶矩阵逆矩阵的计算方法。

最后，我们将进入三阶矩阵的行列式部分，包括行列式的定义和性质，以及三阶矩阵行列式的计算方法。

在结论部分，我们将简要总结本文的内容，并提出一些结论和观点。

求二、三阶矩阵逆矩阵的经历口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身尽管简单，可是若是依照教材给出的方式计算的话，要费一些时刻，更恐怖的是计算进程不免有误，容易造成结果犯错。

通过一些研究，咱们发觉，大部份求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的经历口诀，帮忙学生快速求解。

2、知识储蓄1.1 关于n 阶方阵，若是同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式组成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的经历口诀经历口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么依照知识储蓄1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦因此呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的经历口诀经历口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，取得矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是依照231 312 规律取得数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号关于三阶矩阵33,a b c A d e f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆1()1()()ei hf bi hc bf ceA fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1）先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律） Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列取得ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列取得hf , id , geStep3： 由step1取得的数据减去step2取得的数据，取得公式（1）的第一列。

1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E 则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -1n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格表1公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1: 表格 1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , geStep3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大局部求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储藏1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E 那么称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储藏1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦〔1〕 先分析公式〔1〕的第一列，研究如下表格公式〔1〕矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为〔231312规律〕Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , geStep3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式〔1〕的第一列。

求三阶行列式的逆矩阵例题
为了求解三阶行列式的逆矩阵，我们首先需要构造一个三阶方阵。

让我们假设有以下的三阶方阵 A：
A = | a11 a12 a13 |。

| a21 a22 a23 |。

| a31 a32 a33 |。

其中，a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 是矩阵 A 的元素。

接下来，我们需要计算矩阵 A 的行列式的值。

行列式的计算公式如下：
det(A) = a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) +
a13(a21a32 a22a31)。

如果行列式的值 det(A) 不等于零，那么矩阵 A 是可逆的，我
们可以继续计算矩阵的逆。

接下来，我们需要计算矩阵 A 的伴随矩阵 adj(A)。

伴随矩阵的计算公式如下：
adj(A) = | A11 A12 A13 |。

| A21 A22 A23 |。

| A31 A32 A33 |。

其中，Aij 是矩阵 A 的代数余子式，计算公式如下：
Aij = (-1)^(i+j) det(Mij)。

Mij 是矩阵 A 去除第 i 行和第 j 列后的子矩阵。

最后，我们可以计算矩阵 A 的逆矩阵 A^(-1)。

逆矩阵的计算公式如下：
A^(-1) = (1/det(A)) adj(A)。

通过以上的步骤，我们可以得到三阶行列式的逆矩阵的例题的解答。

请提供具体的例题，我将根据提供的例题进行计算并给出结果。

三阶行列式的逆矩阵在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，而行列式则是矩阵中的一个重要工具。

在矩阵中，行列式可以用来衡量矩阵的特征和性质。

而在行列式中，三阶行列式是一种特殊的形式，它包含三行三列的元素。

那么，三阶行列式的逆矩阵是什么呢？接下来，我们将深入探讨这个问题。

三阶行列式的逆矩阵是指一个矩阵，使得该矩阵与原始矩阵相乘后能够得到单位矩阵。

单位矩阵是指对角线上的元素为1，其他元素均为0的矩阵。

因此，如果一个矩阵与它的逆矩阵相乘后得到单位矩阵，那么这个矩阵就是可逆的。

要求一个矩阵的逆矩阵，我们需要先求出这个矩阵的行列式值。

对于一个三阶行列式，计算行列式的值可以通过交叉相乘再求和的方式进行。

具体地说，我们首先取第一行的元素，然后与剩余元素形成的子行列式相乘，并根据奇偶性决定符号。

然后，将每个元素与其对应的代数余子式相乘，并将它们相加得到行列式的值。

得到行列式的值后，我们接下来需要求出矩阵的伴随矩阵。

伴随矩阵是指将原矩阵的每个元素替换为其对应的代数余子式，并交换行列得到的新矩阵。

换句话说，伴随矩阵的第i行第j列的元素是原矩阵的第j列第i行元素的代数余子式。

然后，我们将伴随矩阵的每个元素除以行列式的值，得到原矩阵的逆矩阵。

这是因为矩阵的逆矩阵与原矩阵相乘后得到的是单位矩阵，所以我们通过除以行列式的值将伴随矩阵的每个元素缩小为单位矩阵的元素。

通过以上步骤，我们就可以得到三阶行列式的逆矩阵。

这个逆矩阵在很多实际应用中非常有用。

例如，在线性方程组求解中，我们可以通过求解系数矩阵的逆矩阵来得到方程的解。

此外，在图像处理和物理学等领域中，逆矩阵也经常用于分析和建模。

最后，我们还需要强调一点，不是所有矩阵都有逆矩阵。

如果一个矩阵的行列式为0，那么它就没有逆矩阵。

这样的矩阵被称为奇异矩阵。

因此，在实际应用中，我们需要根据矩阵的行列式值来判断它是否可逆，以避免计算错误。

综上所述，三阶行列式的逆矩阵是一个非常重要且有实际应用价值的概念。

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得AB=BA=E-1 则称A 阵可逆，并把方阵 B 成为方阵 A 的逆矩阵，记作 A1.2 n 阶行列式 A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做 A 的伴随矩阵，如下：A A ... A11 21 n1A* A A ... A12 22 n 2 . . . .A A ... A 1n 2n nn1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是 A 0 ，当 A 可逆时， A* 1 AA3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导：假设A a bc d ，a,b,c, d R，且A 可逆，那么根据知识储备 1.2 *d bAc ad b所以呢， A 1*Ac a A A4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121）整体要除以行列式，不能忘记2）去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3）所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号a b c对于三阶矩阵 3 3，且 A 可逆A d e f , A Rg h i（1）ei hf (bi hc) bf ce11A fg id (cg ia) cd afAdh ge (ah gb) ae hd先分析公式（1）的第一列，研究如下表格表11 2 31 d e f2 g h i公式（1）矩阵的第一列是表 1 所有元素的组合，组合规律称为（231312 规律）Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2：表格1 中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , geStep3：由step1 得到的数据减去step2 得到的数据，得到公式（1）的第一列。

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A-= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , geStep3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得AB=BA=E 则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：1.3方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导：假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2*d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，2313121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231312规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1:表格1第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei,fg,dhStep2：表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf,id,geStep3：由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。