2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题05 圆(解析版)

5. （2021・上海金山区•九年级一模）正十边形的中心角等于 度.2021年上海市16区中考数学一模汇编一、单选题L （2021・上海金山区•九年级一模）如图，己知必AA3C 中，ZC = 90 , AC = 3, 8c = 4,如果以点C 为圆心的圆与斜边43有公共点，那么回C 的半径，,的取值范围是（ ）12 B. —<r<3 5 2 . （2021 ・上海闵行区,九年级一模）己知。

A 与。

8的半径分别是6和8,圆心距A3 = 2,那么。

A 与 的位置关系是（） A.相交 B.内切 C.外切 D.内含3 .（2021 ・上海崇明区•九年级一模）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的四倍，那么这个正多 边形的边数是（） A. 3 B. 4 C. 5 D.无法确定 4.（2021 ・上海奉贤区•九年级一模）如果和内含，圆心距。

2 = 4,的半径长是6,那么。

? 的半径，•的取值范围是（）.A. 0<r<2B. 2<r<4C. r>10D. 0<r<2或厂>10二、填空题专题05圆12 C. — < r < 45 D. 3<r<412 A. 0<r< — 56.（2021・上海崇明区,九年级一模）如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为厘米.7.（2021・上海金山区•九年级一模）已知日和同。

2的半径长分别为3和4,若回01和回。

2内切，那么圆心距Op.的长等于.8.（2021・上海崇明区•九年级一模）如图，在直角坐标系中，以点尸为圆心的弧与X轴交于A、3两点，已知点。

的坐标为（l,y）,点A的坐标为（-L0）,那么点8的坐标为.9.（2021 •上海闵行区•九年级一模）正六边形的边心距与半径的比值为（结果保留根号）.10.（2021•上海金山区•九年级一模）如图，已知目。

专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形二、填空题5．（2023·上海黄浦A的对应点是点6．（2023·上海静安处，点A落在点7．（2023·上海金山·统考二模）已知线段AC上，如果点E关于直线8．（2023·上海闵行三角形为特征三角形．9．（2023·上海浦东新·于点F．如果2AD AB=10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线“月牙线”，抛物线1C和抛物线=，那么抛物线果BD CD11．（2023·上海宝山·统考二模）13．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形ABCD 中，6AB =，80A ∠=︒，如果将菱形ABCD 绕着点D 逆时针旋转后，点A 恰好落在菱形ABCD 的初始边AB 上的点E 处，那么点E 到直线BD 的距离为___________．14．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、BA 的中点，连接DE ．将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，点D 、E 的对应点分别是点1D 、1E ．如果点1E 落在线段AC 上，那么线段1CD =____．三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点()1,0A 、点()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 在线段BC 上，设点P 的横坐标为m ．(1)求直线BC 的表达式；(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．17．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()2,7A -，与x 轴交于点B 、()5,0C ．(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCE 沿直线BE 翻折，如果点C 的对应点F 恰好落在抛物线的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 是抛物线上位于第四象限内的点，当CPQ 为等边三角形时，求直线BQ 的表达式．18．（2023·上海松江·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线2y x =-+与y 轴交于点A ，抛物线()21(0)y x t t =-->的顶点为B ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；(2)将线段OB 绕点B 顺时针旋转90︒，点O 落在点C 处，如果点C 在抛物线上，求点C 的坐标；(3)设抛物线的对称轴与直线2y x =-+交于点D ，且点D 位于x 轴上方，如果45BOD ∠=︒，求t 的值．专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆【答案】D【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以画出它们的对称轴．【详解】解：等边三角形有3条对称轴，菱形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆形有无数条对称轴，圆的对称轴条数最多，故选：D．【点睛】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置，解题的关键是掌握轴对称的概念．2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】A选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B选项：等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C选项：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D选项：正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解定义，会根据定义判断轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．二、填空题在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．116OG BG BC ===⨯=在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．∴11622OG BG BC ===⨯【答案】20【分析】根据旋转可得根据AA B '∠【详解】解：∵∴180ACB ∠=∵将ABC 绕点∴30B A C BAC ∠=∠=''︒，∴(11802CAA CA A ''∠=∠=︒∴AA B CA A B A C '''''∠=∠-∠故答案为：20︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键．A 的对应点是点1A ，点B 的对应点是点1B ），如果点1A 坐标是()20-，，那么点1B 的坐标是________．【答案】()12，【分析】各对应点之间的关系是横坐标减3，纵坐标加3，那么让点B 的横坐标减3，纵坐标加3即为点1B 的坐标．【详解】解：∵()13A -，平移后对应点1A 的坐标为()20-，，∴A 点的平移方法是：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，∴B 点的平移方法与A 点的平移方法是相同的，∴()41B -，平移后的坐标是：()4313--+，即()12，．故答案为：()12，．【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．6．（2023·上海静安·统考二模）如图，在ABC 中，AB AC =，将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，如果BE BF =，那么DBC ∠的大小是______．【答案】108︒/108度【分析】设A x ∠=，由AB AC =，BE BF =得ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，再由旋转的性质得DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，从而有CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，利用三角形的内角和定理构造方程即可求解．【详解】解：设A x ∠=，∵AB AC =，BE BF =，∴ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，∵将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，∴DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，∵180BEC C CBE ABC C A ∠∠∠∠∠∠++=++=︒，∴CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．8．（2023·上海闵行·统考二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角三角形为特征三角形．问题解决：如图，在ABC 中，【答案】253【分析】由题意可分：,A B βα∠=∠=，过点∴A ADC ∠=∠，∵4tan 3A =，∴4tan 3ADC ∠=，∵ABC 是特征三角形，即∴2ABE ABC ∠=∠，∴BC 平分ABE ∠，【答案】35【分析】通过证明AEF △得出边之间的关系，即可求解．【详解】解：∵2=AD AB ∴设,2AB a AD a ==，【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，以及解直角三角形的方法和步骤．10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线则tan tan DAC ∠=∠∴t n a CD DAC AC ∠==∴165CD =∴1695BD =-=；作DE AB ⊥于E ，则∵AD AD =，∴Rt △∵，90ACB ∠=︒，设BD x =，则CD DE =【答案】3372-【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出出90DBE ∠=︒，在Rt【答案】3【分析】如图，旋转、菱形的性质可知，180ADE DEA ∠=︒-∠-∠由旋转、菱形的性质可知，∴80DEA A ∠=∠=︒，ABD ∠∴180ADE DEA ∠=︒-∠-∠【答案】355【分析】根据勾股定理求得AB ，根据旋转的性质得出根据相似三角形的性质即可求解．设旋转角为α，∴11ABE CBD ∠=∠，旋转，∴115,1BE BE BD BD ====，三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点(1)求直线BC 的表达式；(2)如果以P 为顶点的新抛物线经过原点，且与①求新抛物线的表达式（用含②过点P 向x 轴作垂线，交原抛物线于点【答案】(1)3y x =-+(2)①()2233m y x m m m-=--+，【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点式即可；（2）①先求出()3P m m -+，，设新抛物线解析式为抛物线解析式，再根据点P 在线段称时，当四边形AEDP 关于PE 【详解】（1）解：把()1,0A 、B ∴13a c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为24y x x =-+在243y x x =-+中，令0x =，则∴()0,3C ；设直线BC 的解析式为y kx b =+∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y x =-+（2）解：①∵点P 在线段BC【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，求一次函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键．16．（2023·上海松江·统考二模）如图，(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)24(3)97OF =或95OF =．【分析】（1）如图：连接,OC O C '，先根据圆的性质和对称的性质说明OAO ' 是等边三角形，明60COO BOC '∠=∠=︒即可证明结论；（2）设圆O 的半径为2a ，则2O A OA a '==，如图：作ON AD ⊥于N ；先根据对称的性质和等腰三角形的性质可得,30120ODA OAD AOD ︒︒∠=∠=∠=，然后解直角三角形可得()232O D a '=-、EF OE ==∵点O '恰好落在半圆O 上，∴OO OA '=，∵点O '与点O 关于直线AC 对称∴AO OA CO CO ==='',O AC '∠∵,30OA OD OAD =∠=︒，∴,30120ODA OAD AOD ︒∠=∠=∠=在Rt AON △中，sin 30ON OA =⋅︒∵ON AD ⊥，∴FN FM=∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ⨯==⨯ ，又∵AFD S DF S OF = ，∴FN FM =，∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ∆∆⨯==⨯，又∵AFD OFA S DF S OF ∆∆=，(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点式．【答案】(1)245y x x =--，顶点坐标为：(2)点E 的坐标为()2,3；(3)直线BQ 的函数表达式为【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）先求解抛物线与x 轴交于轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为2233FH FB BH =-=，（3）连接CF ，证明FCB 于点K ，可得点K 的坐标为【详解】（1）解：∵抛物线∵抛物线与x 轴交于(1,0B -∴6BC =，抛物线的对称轴为直线设抛物线的对称轴与x 轴交于点由翻折得6CB FB ==，由勾股定理，得FH FB =∴点F 的坐标为()2,33，∴60FBH ∠=︒，∴CP CQ =，CB CF =，∠∴FCP BCQ ∠=∠，∴BCQ FCP ≌，∴CBQ CFH ∠=∠，∵BCF △为等边三角形，∴30CFH CBQ ∠=︒=∠，设BP 与x 轴相交于点K ，∴3tan 303OK OB =︒= ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；∵旋转，∴,90OB OC OBC =∠=∴BEO OBC BDC ∠=∠=∠∴90OBE CBD ∠=︒-∠由2y x =-+，令0y =，得∴2OA OH ==，AH =∴OAH △是等腰直角三角形∵BD y ∥轴，。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题10锐角三角函数一、单选题1．（2021·上海金山区·九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=，那么锐角A 的正弦等于（ ）A ．A A 锐角的对边锐角的邻边B ．A 锐角的对边斜边C ．A 锐角的邻边斜边D ．A A 锐角的邻边锐角的对边．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．【详解】在Rt ABC ∆中，90C ∠=，那么锐角A 的正弦=A 锐角的对边斜边，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在ABC 中，如果1sin 2A =，cot 3=B ，那么这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A ＝30°，∠B ＝60°，即可判断三角形的形状．【详解】∠ 1sin 2A =，cot 3=B ，∠∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠ ∠A ＋∠B ＝90°， ∠ 这个三角形一定是直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，那么sin A 的值为（ ）．A ．35B ．34C ．45D ．43【答案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt∠ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=35BC AB =，故选：A ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．4．（2021·上海奉贤区·九年级一模）在 Rt ABC ∆中，90C =∠，如果33,4AC cosA == ，那么 AB 的长为（ ）A ．94B ．4C ．5D ．254【答案】B【分析】根据cosA 34==AC AB ，即可得出AB 的值 【详解】解：在Rt∠ABC 中，∠C=90°，AC=3，又∠,osA 34c ==AC AB ∠AB=4故选：B ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2021·上海虹口区·九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，那么tan A 的值等于（ ）A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】A【分析】在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得tan A . 【详解】解：如图90C ∠=︒，3tan 4BC A AC ∴==.故选：A. 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.6．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东30方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是（ ）A ．10海里B ．C ．5海里D 【答案】B【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可． 【详解】根据题意建立如图所示Rt∠ABC ，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，∠560AC BC tan B tan ==⨯︒=B ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．7．（2021·上海徐汇区·九年级一模）在Rt ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，那么下列结论正确的是（ ）A．4tan3C=B．4cot5C=C．3sin4C=D．4cos5C=【答案】D【分析】先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．【详解】根据勾股定理可得：8AC==，则3tan4ABCAC==；4cot3ACCAB==；3sin5ABCBC==；4cos5ACCBC==；故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键．8．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在∠ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（）A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．10cot50°【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：∠cosB＝BCAB，∠BC＝ABcosB＝10cos50°．故选：A．【点睛】此题主要考查三角函数的定义．余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝bc．9．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】A【分析】根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，即可得出答案．【详解】解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B 处小明看点A 处小丽的仰角是35°，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解是解题的关键． 10．（2021·上海黄浦区·九年级一模）对于锐角α，下列等式中成立的是（ ） A ．sin cos tan ααα=⋅ B ．cos tan cot ααα=⋅ C ．tan cot sin ααα=⋅ D ．cot sin cos ααα=⋅【答案】A【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【详解】解：A ．sin cos tan ααα=⋅，故本选项正确； B ．tan cot 1cos ααα⋅=≠，故本选项错误； C ．cot sin cos tan αααα⋅=≠ ，故本选项错误； D ．cos cot sin cos sin ααααα=≠⋅ ，故本选项错误．故选A ． 【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键．11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，一艘船从A 处向北偏东30°的方向行驶10千米到B 处，再从B 处向正西方向行驶20千米到C 处，这时这艘船与A 的距离（ ）A ．15千米B ．10千米C ．D ．千米【答案】C【分析】根据题意，利用30BAD ∠=︒，根据锐角三角函数求出AD 和BD 的长，从而得到CD 的长，再用勾股定理求出AC 的长． 【详解】解：如图，根据题意，10AB km =，30BAD ∠=︒，∠1sin 301052BD AB km =⋅︒=⨯=，cos30102AD AB =⋅︒=⨯=，∠20BC km =，∠15CD km =，∠AC ==．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．12．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，,2A BC α∠==，那么AB 的长等于（ ）A ．2sin αB ．2sin αC ．2cos αD ．2cos α【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA ＝BCAB，代入求出即可． 【详解】解：∠在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，∠sinA ＝BCAB， ∠AB ＝sin BC A =2sin α，故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．13．（2021·上海金山区·九年级一模）若α是锐角，()2sin 152α+=，那么锐角α等于（ ） A ．15 B ．30 C ．45D ．60【答案】B【分析】由sin45°=2可得()15α+=45°即可确定α．【详解】解：∠sin45°=2，()2sin 152α+=，α是锐角∠()15α+=45°，即α=30°．故选：B ．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定()15α+=45°成为解答本题的关键．14．（2021·上海九年级一模）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，那么cosA 等于（ ） A ．BCABB ．ACABC ．BCACD ．ACBC【答案】B【分析】作出草图，根据锐角的正弦=邻边斜边列式即可． 【详解】解：如图，∠∠C=90°，∠cosA=ACAB．故选：B ． ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．15．（2021·上海静安区·九年级一模）在Rt∠ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α，那么CD 的长为（ ）A ．sin tan m αα⋅⋅B ．sin cos m αα⋅⋅C ．cos tan m αα⋅⋅D ．cos cot m αα⋅⋅【答案】B【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC ，再表示出CD 即可求出结果． 【详解】解：根据题意作图如下：由题意知：AB =m ，∠A =α，∠cos AC AB α=⋅，∠sin cos sin CD AC AB ααα=⋅=⋅⋅， 即cos sin CD m αα=⋅⋅，故选：B ．【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．16．（2021·上海静安区·九年级一模）如果锐角α ） A ．30α=︒ B ．60α=︒ C ．3045α︒<<︒D ．4560α︒<<︒【答案】C【分析】利用30度角和45度角的正切值与角α的正切值比较，即可得到答案．【详解】∠tan 30tan tan 451α︒==︒=，22213,1134===， 而13134<<，∠3045α︒<<︒，故选：C ． 【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．17．（2021·上海崇明区·九年级一模）倍，那么这个正多边形的边数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．无法确定【答案】B【分析】如图，画出简图，根据切线的性质可得∠OCA=90°，根据∠AOC 的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求出多边形的边数．【详解】如图，OA 、OC 分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB 为边长，∠OC∠AB ，∠∠OCA=90°，∠倍，∠cos∠AOC=OC OA =2， ∠∠AOC=45°，∠∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，∠此多边形的边数=360°÷90°=4，故选：B ．【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．18．（2021·上海崇明区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，如果8AC =，6BC =，那么A ∠的正弦值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A【分析】利用勾股定理可求出AB 的长，根据正弦函数的定义即可得答案．【详解】∠90C ∠=︒，8AC =，6BC =，，∠sinA=BC AB =35，故选：A ． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型． 19．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，过D 作DF AB ⊥交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果1tan 3EAC ∠=，1CEFS=，那么ABCS的值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】证明∠BAC∠∠FEC ，得219EFC BAC S EC S AC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，进一步得出结论．【详解】解：∠90ACB ∠=︒，DF∠AB ，∠∠ACB=∠FCE=∠BDE=90° 又∠FEC=∠BED∠∠F=∠B∠∠ABC∠∠EFC∠()22211tan 39EFC BAC S EC EAC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫==∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠1CEFS =∠99BAC FEC S S ∆∆== 故选：C【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．20．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，在∠ABC 中，∠C ＝90°．若AB ＝3，BC ＝2，则sin A 的值为（ ）A ．23BCD 【答案】A【分析】根据在直角三角形中，正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】解：∠ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，得sin A ＝2 3BC AB ＝，故选A ． 【点睛】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键.21．（2021·上海松江区·九年级一模）已知在Rt∠ABC 中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC 的长为（ ） A ．2sinαB ．2cosαC ．2tanαD ．2cotα【答案】D 试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∠在Rt∠ABC 中，∠C=90°， ∠cotA=，∠BC=2，∠A=α，∠AC=2cotα，故选D ．考点：锐角三角函数的定义．二、填空题22．（2021·上海九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，如果cot 2A ∠=，3BC =，那么AC =________________．【答案】6 【分析】直接根据cot AC A BC∠=，将已知条件代入，便可求出AC.【详解】∠cot AC A BC∠==2，3BC =，∠cot 326AC BC A =⋅∠=⨯=，故答案为：6. 【点睛】本题考查余切的定义，正确掌握余切的公式是解题的关键.23．（2021·上海九年级专题练习）已知某斜坡的坡度1:3,当铅垂高度为3米时，水平宽度为_________________米【答案】9【分析】根据斜坡是铅垂高度与水平距离的比值，而这个斜坡的坡度为1:3，铅垂高度为3米，从而求出斜坡的水平宽度．【详解】解：∠斜坡的坡度为1:3，其铅垂高度为3米，∠这个斜坡的水平宽度为：3×3=9米，故答案为：9．【点睛】本题考查解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度是指斜坡的铅直高度与水平距离的比值．24．（2021·上海松江区·九年级一模）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，3cos 4A =，那么AB 的长为__．【答案】8【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解． 【详解】解：∠3cos 4AC A AB ==，∠AB=34AC ＝634＝8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，是所邻的直角边与斜边的比，理解定义是关键．25．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．【答案】5【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得APB C ∠=∠，根据1tan 2C =得1tan 2AB APB BP ==∠，求出4BP =，得出6PC =，利用1tan 2C =和勾股定理即可得DP 的长． 【详解】解：∠AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥，∠90B APD PDC ∠=∠=∠=︒，90C DPC ∠+∠=︒，90APB DPC ∠+∠︒=，∠APB C ∠=∠， ∠1tan 2C =，∠1tan tan 2AB APB C BP ===∠，∠2AB =，10BC =，∠4BP =，6PC =， 设DP 的长是x ，∠1tan 2DP C CD ==，∠22CD DP x ==，∠222PC DP CD =+，即()22262x x =+，解得x =（舍去负值）． 【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 26．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了______米．【答案】3256【分析】设高度上升了h ，则水平前进了2.4h ，然后根据勾股定理解答即可．【详解】解：设高度上升了h ，则水平前进了2.4h ，130= ，解得h=50．故答案为50．【点睛】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h 的方程成为解答本题的关键．27．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为________度．【答案】126°或54°【分析】根据仰角或俯角是36°分类讨论，画出图形即可分别求出结论．【详解】解：当仰角是36°时，如下图所示由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为36°＋90°=126°；当俯角是36°时，如下图所示由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为90°－36°=54°；综上：该视线与铅垂线之间的夹角为126°或54°.故答案为：126°或54°．【点睛】此题考查的是仰角和俯角的定义，根据仰角或俯角是36°分类讨论是解题关键．OP ，且OP与x轴负半轴夹角的正切28．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知点P位于第二象限内，5值为2，则点P的坐标是________．【答案】（【分析】根据题意，画出图形，过点P 作PA∠x 轴于A ，根据正切值可知2PA OA=，设OA=x ，则PA=2x ，利用勾股定理列出方程即可求出x ，从而求出OA 和PA ，即可求出结论．【详解】解：如下图所示，过点P 作PA∠x 轴于A由题意可知：tan∠POA=2∠2PA OA=设OA=x ，则PA=2x∠OA 2＋PA 2=OP 2∠x 2＋（2x ）2=52 解得：x=PA=∠点P 在第二象限∠点P的坐标为（（．【点睛】此题考查的是解直角三角形和求点的坐标，掌握利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键．29．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是133，则这个锐角的正切值为________．【答案】3【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：1tan cot 33tan cot 1αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩，解方程即可． 【详解】解：设这个锐角为α，∠1tan cot 33tan cot 1αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩①②由①，得10cot tan 3αα=-③将③代入②，得tan tan 0131αα⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭解得：1tan 3α=或tan 3α= 当1tan 3α=时，∠cot α=3＞tan α∠α的正切值比余切值大∠此时不符合题意，舍去； 当tan 3α=时，cot α=13＜tan α∠此时符合题意．故答案为：3． 【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．30．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是______度．【答案】36【分析】根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可．【详解】解：如图所示：∠甲处看乙处为俯角∠DBA=36°，//AC BD ，∠乙处看甲处为：仰角∠CAB=∠DBA=36°．故答案为：36．【点睛】此题主要考查了仰角、俯角的定义以及平行线的性质，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．31．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知一个斜坡的坡度i =______．【答案】30【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．【详解】解：∠3tan α==，∠坡角=30°．【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．32．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，一辆汽车沿着坡度为1:i =50米，则它距离地面的垂直高度下降了 米.【答案】25【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设垂直高度下降了x 米．根据勾股定理可得：x 2+）2=502．解得x=25，即它距离地面的垂直高度下降了25米．【点睛】此题考查三角函数的应用.关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．33．（2021·上海金山区·九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=，15AB =，4sin 5A =，那么BC =______． 【答案】12【分析】直接利用正弦的定义列式求解即可．【详解】解：∠90C ∠=︒，4sin 5A =，∠4sin 5CB A AB == ∠15AB =∠4155CB =，解得：BC=12．故填：12． 【点睛】本题主要考查了正弦的定义，正确理解正弦的定义是解答本题的关键．34．（2021·上海金山区·九年级一模）在ABC ∆中，::1:2AB AC BC =tan B =______．【答案】2【分析】先由勾股定理逆定理判断出ABC ∆是直角三角形，再根据正切的定义求解即可.【详解】设2AB x AC x BC ===，，，则()22222225AB AC x x x BC +=+==， ABC ∆∴是直角三角形，且90A ∠=︒，2tan 2AC x B AB x∴===，故答案为：2 【点睛】此题考查了正切的定义.再直角三角形中锐角的正切值等于对边和邻边的比是解答此题的关键. 35．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，120ABC ∠=︒，12AB =，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，4sin 5ADE ∠=，5ED =，如果ECD 的面积是6，那么BC 的长是_____．【答案】6【分析】过点F 作EF AC ⊥交AC 于F ，过点A 作BC 的垂线交CB 的延长线于点H ，通过解直角三角形、勾股定理及三角形面积公式求出CF ，再通过解直角三角形求出CH ，即可解得答案．【详解】解；过点F 作EF AC ⊥交AC 于F ，∠4sin =5EF ADE ED∠=，又∠5ED =，∠4EF =，∠3DF ==，又∠114622ECD S CD EF CD =⋅=⋅=，∠3CD =，6CF =， 过点A 作BC 的垂线交CB 的延长线于点H ，∠90AHB ∠=︒，又∠120ABC ∠=︒，∠60ABH ∠=︒，∠12AB =，∠1cos602BH AB ︒==，∠6BH =，sin 602AH AB ︒==AH =在CEF △和ACH 中，tan EF AH ACH CF CH ∠== 即46=CH =6BC CH BH =-=【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理，解题的关键是根据题意做出辅助线．36．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知ABC 是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点,D E 分别在边,AC AB 上，点,F G 在边BC 上，那么AD 的长是_____．【答案】6【分析】根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt∠CDG 中运用正弦的定义建立方程求解即可．【详解】根据题可知，∠ADE 为等边三角形，即：AD=DE ，根据正方形的性质可知DE=DG ，DG∠BC ，∠C=60°，设AD=x ，则DG=x ，DC=AC -AD=2-x ，∠在Rt∠CDG 中，DG sinC CD =，即：602DG x sinC sin CD x =︒===-解得：6=x ，经检验6=x 是上述分式方程的解，故答案为：6．【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质，以及利用锐角三角函数解直角三角形，灵活根据题意找准合适的直角三角形是解题关键．37．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45︒，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30，那么甲楼高是_____米．【答案】(30-【分析】先依据题意画出图形，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得30AB BC ==米，再根据解直角三角形可得CF 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】由题意，画出图形如下，其中AD 长表示甲楼的高度，BC 长表示乙楼的高度，AB 表示地面，且,,AD AB BC AB EC BC ⊥⊥⊥，45,30BAC ECD ∠=︒∠=︒，30AB =米，过点D 作DF BC ⊥于点F ，则四边形ABFD 是矩形，AD BF ∴=，30DF AB ==米，,45BC AB BAC ⊥∠=︒，Rt ABC ∴是等腰三角形，30AB BC ∴==米，30,ECD EC BC ∠=︒⊥，60DCF ∴∠=︒，在Rt CDF 中，30tan tan 60DF CF DCF ===∠︒（米），30BF BC CF ∴=-=-，则甲楼高30AD =-，故答案为：(30-． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，依据题意，正确画出图形，并通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．38．（2021·上海九年级一模）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么BAC ∠的正弦值为_________________．【答案】2【分析】连接BC ，根据网格求出AB,BC,AC ，得到∠ABC 是直角三角形，再进行求解.【详解】∠每个小正方形的边长均为1，∠AB =BC =AC =∠AB 2＝BC 2＋AC 2，∠∠ABC 是直角三角形，∠sin∠BAC ＝2BC AB ==，故答案为2． 【点睛】此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用.39．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC 的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠=______．【答案】23【分析】根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答．【详解】解：如图，延长CG 与AB 交于点D ，过D 作DE∠CB 于点E ，∠G是∠ABC 的重心，∠CG=2GD，∠CG=2，∠GD=1，∠CD=2+1=3，∠∠ACB=90°，∠AC∠CB，∠AC∠DE，∠D是AB中点，∠E是CB中点，∠CE=122CB=，∠cos∠GCB=23CECD=，故答案为23．【点睛】本题考查三角形的综合运用，熟练掌握重心的性质和余弦函数的定义是解题关键．40．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为______米．【答案】15【分析】过点B作BC∠AC于C，由迎水坡的坡度为1:0.75，得到tan∠BAC=43=BCAC，求出AC=9米，再利用勾股定理求出答案．【详解】过点B作BC∠AC于C，∠迎水坡的坡度为1:0.75，∠tan∠BAC=43=BCAC，∠BC=12米，∠AC=9米，=15(米)，故答案为：15．．【点睛】此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为1:0.75得到tan∠BAC=43=BC AC 是解题的关键． 41．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______． 【答案】26 【分析】作DF∠BC 于F ，AE∠BC 于E ，根据等腰梯形的性质就可以得出∠AEB∠∠DFC 就可以求出FC=BE ，然后根据底角的余弦值为35，求得BE ，AB ，从而求出周长． 【详解】解：如图示，作DF∠BC 于F ，AE∠BC 于E ，∠四边形ABCD 是等腰梯形，∠∠B=∠C ，AB=CD ，AD∠BC ，∠∠ADF=∠DFC=90°，∠∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，∠四边形AEFD 是矩形，5EF AD ，在∠AEB 和∠DFC 中 ∠∠AEB∠∠DFC （AAS ），∠BE=CF ；∠35cos E AB B B ，设3BE x =，则5AB x =， 根据勾股定理，有：2222534AEAB BE x x ，解之得：1x =（取正值）， ∠3BE =，5AB =，∠3FCBE ，5DC AB ==， ∠周长AB BE EF FC CDAD 53535526， 故答案是：26．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，三角函数，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，能熟练应用相关性质是解题的关键．42．（2021·上海闵行区·九年级一模）在直角坐标平面内有一点(12,5)A ，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cos θ=_________．【答案】1213【分析】根据锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解即可．【详解】解：∠在直角坐标平面内有一点A （12,5）=13∠cos θ=1213．故答案为：1213． 【点睛】本题主要考査了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理等知识点，掌握锐角三角函数的定义成为解答本题的关键．43．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，ABC 在边长为1个单位的方格纸中，ABC 的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC ∠的正弦值为_____．【分析】利用勾股定理可求出AC 、BC 、AB 的值，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，根据正弦的等于即可得答案．【详解】∠ABC 在边长为1个单位的方格纸中，ABC 的顶点在小正方形顶点位置，，BC=，∠（2+）2=2，∠∠ACB=90°，∠sin∠ABC=ACAB 【点睛】本题考查网格的特征、勾股定理及正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．44．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如图，正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，点A 、B 、C 在同一条直线上．连接AD 、BD ，那么cot ADB ∠的值为______．【答案】3【分析】先构造以∠ADB 为内角的直角三角形，根据余切的定义求解即可．【详解】解：如图，作正方形ABEF 关于直线AB 对称的正方形ABGH ，连接AG ，BH ，相交于点O ；∠正方形ABGH ，∠∠AOD=90°，OA=OB=12AG ， ∠正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，∠正方形ABGH 和正方形BCDE 的边长相等，∠AG=BD=2OA ，∠OD=OB+BD=3OA ，∠在Rt∠AOD 中，cot ADB ∠=3OD OA OA OA==3． 故答案为3．【点睛】本题考查了求角的余切值，掌握相关知识是解题的关键．45．（2021·上海金山区·九年级一模）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=，1BC =，2AC =，以点C 为直角顶点的Rt DCE ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若1tan 2CED ∠=，CE GE =，那么BD 的长等于______．【答案】2【分析】根据题意画图，作AH∠CE 于H ，根据1tan tan 2CED BAC ∠==∠得出E BAC ∠=∠，由等边对等角得CGE ECG ∠=∠，根据三角形的内角和可得出AKC ECG ∠=∠，得出AK=AC ，利用等腰三角形三线合一得KH=CH ，再证出AH 为KCD △的中位线，可得出AK ，AD 的长，利用勾股定理求出AB ，AB+AD 即可得BD 的长．【详解】解：如图，作AH∠CE 于H ，∠1tan tan 2CED BAC ∠==∠，∠E BAC ∠=∠，∠CE GE =，∠CGE ECG ∠=∠， ∠AKC ECG ∠=∠，∠AK=AC=2，∠AH∠CE ，90ECD ∠=，∠KH=CH ，//AH CD ，∠AH 为KCD △的中位线，∠A 为DK 的中点，DK=2AK=4，AD=AK=2，∠90ACB ∠=，1BC =，2AC =，=∠BD=AD+AB=2+．故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题13二次函数综合1．（2021·上海黄浦区·九年级一模）将二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x 在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的．【答案】246y x x =-+，12x -≤≤．【分析】由二次函数的平移规律：左加右减，可得平移后的解析式，再画出两个函数的图像，利用图像可得答案．【详解】解：把二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位可得：()()23233y x x =-+-+，246y x x ∴=-+，又()222312,y x x x =++=++∴函数图像的顶点坐标为：()1,2,-而()224622,y x x x =-+=-+∴函数图像的顶点坐标为：()2,2,函数223y x x =++与246y x x =-+的图像如图示；∴由图像可得：当12x -≤≤时，函数223y x x =++的函数图像是上升的，而函数246y x x =-+的函数图像是下降的．【点睛】本题考查的是二次函数的图像的平移，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的关键．2．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知抛物线223y x x m =++-的顶点在第二象限，求m 的取值范围．【答案】m ＞1【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，再利用第二象限点的坐标特征得到m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵y=x 2+2x+m=(x+1)2+m-1，∴抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，∵抛物线y=x 2+2x+m 顶点在第二象限，∴m-1＞0，∴m ＞1．故答案为m ＞1．【点睛】本题考查了配方法，以及二次函数y =a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k 的性质是解答本题的关键．y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，k )，对称轴是x =h ．3．（2021·上海松江区·九年级一模）用配方法把二次函数2365y x x =-+化为2()y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】化为23(1)2y x =-+，开口方向：向上；对称轴：直线1x =；顶点坐标：()1,2P 【分析】先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．【详解】解：y =3x 2-6x +5=3（x 2-2x +1）+2=3（x -1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，顶点P （1，2）．【点睛】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．4．（2021·上海金山区·九年级一模）已知抛物线22y x bx c =-++经过点()01A ,、()1,5B -．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成()22y x m k =-++的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【答案】（1）2241y x x =--+；（2）()2213y x =-++，顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【分析】（1）直接将A 、B 的坐标代入22y x bx c =-++求得b 、c 即可；（2）通过配方将（1）求得的解析式化成顶点式，然后直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：（1）由抛物线22y x bx c =-++经过点()01A ,、()1,5B -两点可得：125c b c =⎧⎨-++=-⎩，解得：41b c =-⎧⎨=⎩；∴抛物线的解析式为：2241y x x =--+；（2）2241y x x =--+()2213x =-++；∴()2213y x =-++，∴顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，将二次函数的一般式化成顶点式成为解答本题的关键．5．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为M ，对称轴是直线1x =-．（1）求此抛物线的表达式及点M 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移(0)m m >个单位，所得新抛物线经过原点O ，设新抛物线的顶点为N ，请判断MON △的形状，并说明理由．【答案】（1）222=++y x x ，(1,1)-；（2）△MON 是等腰直角三角形．【分析】（1）根据对称轴是直线1x =-，可求b ，再代入点C ，可求抛物线解析式，把1x =-，代入解析式，可求M 点坐标；（2）由原抛物线与y 轴交点可知，抛物线向下平移2个单位，可求新顶点坐标，再求出MO 、ON 、MN 的长，可判断三角形形状．【详解】解：（1）∵抛物线对称轴是直线1x =-，∴121b -=-⨯，解得b=2，把(0,2)C 代入2y x bx c =++得，2c =，∴抛物线解析式为：222=++y x x ；把1x =-代入222=++y x x 得，2(1)2(1)2y =-+⨯-+，1y =，点M 的坐标为：(1,1)-．（2）抛物线222=++y x x 与y 轴交点为(0,2)C ，向下平移(0)m m >个单位后经过原点，∴m=2，新抛物线的顶点N 的坐标为：(1,1)--，∴22112ON =+=，22112OM =+=，MN=2，∴222MN OM ON =+，∴△MON 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和函数的平移以及勾股定理逆定理，灵活运用已知条件，准确把握函数图象平移特征，根据三边长判断三角形形状是解题关键．6．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知二次函数21722y x x =--+．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为()2y a x m k =++的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况．【答案】（1）()21142y x =-++；（2）开口向下，顶点()1,4-，对称轴直线1x =-，x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【分析】（1）根据配方法，先提取12-，然后配成完全平方式，整理即可；（2）根据a 是负数以及顶点式解析式分别求解即可．【详解】解:(1)()()22171214222y x x x =-++=-++（2）①二次函数开口方向向下，②顶点坐标()1,4-，对称轴直线1x =-，③x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【点睛】本题考查化一般式为顶点式和二次函数的性质．熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．7．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知一个二次函数的图像经过点()1,0A -、()0,3B 、()2,3C ．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点()11,P x y 、()22,Q x y 在这个二次函数图像上，且120x x <<，那么1y _____2y ．（填“<”或者“>”）【答案】（1）2y x 2x 3=-++，x=1；（2）<【分析】（1）直接用待定系数法代入三点求出函数解析式，运用对称轴公式可求出对称轴；（2）通过判断二次函数增减性可得出结果．【详解】解：（1）设二次函数的表达式为2y ax bx c =++，已知二次函数经过A 、B 、C 三点，将三点坐标代入二次函数表达式中，03423a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，可得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则这个函数的解析式为2y x 2x 3=-++，其对称轴为直线12b x a=-=；（2）0a < ，∴抛物线开口向下， 对称轴为直线x=1，∴x<1时，y 随x 的增大而增大，又 本题120x x <<，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，包括求解析式，求对称轴以及二次函数增减性，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．8．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知二次函数()20y ax ax a =-≠的图像经过点()1,2-．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线2132y x x =++？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．【答案】（1）2y x x =-，顶点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）可以，先向左平移2个单位，再向下平移32个单位【分析】（1）把点()1,2-代入函数解析式，求出a 的值即可得到解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标；（2）把所给的函数解析式化为顶点式，根据函数图象的平移法则进行求解．【详解】解：（1）把点()1,2-代入函数解析式，得2a a +=，解得1a =，∴2y x x =-，写成顶点式：21124y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴顶点坐标是11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）将2132y x x =++也写成顶点式，得23724y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，31222⎛⎫--= ⎪⎝⎭，713442-=，∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移32个单位．【点睛】本题考查二次函数解析式的求解和图象的平移，解题的关键是掌握解析式的求解方法和函数图象的平移方法．9．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知二次函数的解析式为2122y x x =-．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为()2y a x m k =++的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系xOy 内描点，画出该函数的图像．x …………y …………【答案】（1）()21222y x =--；（2）见解析．【分析】（1）直接利用配方法即可把该二次函数的解析式化为顶点式；（2）列表、描点、连线，画出函数的图象即可．【详解】解：（1）2122y x x =-21(4)2x x =-21(444)2x x =-+-()21222x =--∴()21222y x =--；（2）填表如下：x……-20246……y……60-206……图像如下：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确掌握配方法以及画二次函数图象的步骤是解题关键．。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题03三角形一、单选题1．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知点G 是ABC 的重心，如果连接AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误的是（）A ．BD CD =B ．AG GD=C ．2AG GD =D ．2BC BD =2．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（）A ．53B ．73C ．83D ．103二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________．4．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6．则该三角形的重心到其直角顶点的距离是________．5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知AD 、BE 是 ABC 的中线，AD 、BE 相交于点F ，如果AD=3，那么AF=______．6．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，一辆汽车沿着坡度为i =的斜坡向下行驶50米，则它距离地面的垂直高度下降了米.7．（2021·上海金山区·九年级一模）已知：如图，ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，//DF AE 交BC 于F ，那么DF AG=______．8．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，120ABC ∠=︒，12AB =，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，4sin 5ADE ∠=，5ED =，如果ECD 的面积是6，那么BC 的长是_____．9．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知ABC 是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点,D E 分别在边,AC AB 上，点,F G 在边BC 上，那么AD 的长是_____．10．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，点G 为△ABC 的重心．如果AG ＝CG ，BG ＝2，AC ＝4，那么AB的长等于_________．11．（2021·上海九年级一模）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么BAC ∠的正弦值为_________________．12．（2021·上海九年级一模）直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为____________．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在△ABC 中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1//AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D的值为______．14．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC 的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠=______．15．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为______米．16．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______．17．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，5AB =，3BC =，点P 在边AC 上，P 的半径为1，如果P 与边BC 和边AB 都没有公共点，那么线段PC 长的取值范围是___________．18．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，ABC 在边长为1个单位的方格纸中，ABC 的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC ∠的正弦值为_____．19．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果点G 是ABC ∆的重心，6AG =，那么BC 边上的中线长为_______________________．20．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如图，飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，那么APB ∠的度数为______°．三、解答题21．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 长为4，AB AC =，连接CO 并延长，交边AB 于点D ，交AB 于点E ，且E 为弧AB 的中点，求：（1）边BC 的长；．（2）O 的半径．22．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为M ，对称轴是直线1x =-．（1）求此抛物线的表达式及点M 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移(0)m m >个单位，所得新抛物线经过原点O ，设新抛物线的顶点为N ，请判断MON △的形状，并说明理由．23．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，已知O，在O 中，OA 、OB 都是圆的半径，且OA OB ⊥．点C 在钱段AB 的延长钱上，且OC AB =．（1）求线段BC 的长；（2）求BOC ∠的正弦值．24．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，垂直于水平面的5G 信号塔AB 建在垂直于水平面的悬崖边B 点处（点A 、B 、C 在同一直线上），某测量员从悬崖底C 点出发沿水平方向前行60米到D 点，再沿斜坡DE 方向前行65米到E 点（点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内），在点E 处测得5G 信号塔顶端A 的仰角为37°，悬崖BC 的高为92米，斜坡DE 的坡度1:2.4i =．（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）（1）求斜坡DE 的高EH 的长；（2）求信号塔AB 的高度．25．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3sin 5ABC ∠=，点D 在边BC 上，4BD =，连接AD ，2tan 3DAC ∠=．（1）求边AC 的长；（2）求cot BAD ∠的值．26．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如图，在ABC 中，10AB AC ==，4sin 5B =．（1）求边BC 的长度；（2）求cos A 的值．。

上海市杨浦区2021中考数学关于圆的解答题，轴对称性质的极致运用这是上海市杨浦区2021年中考数学关于圆的解答题真题。

这道题的第二小题可以用轴对称的知识解，可能会比较简便一点。

已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G，AD=CB，M，N分别是CB和AD的中点，联结MN，OG.(1)求证：OG⊥MN；(2)连接AC,AM,CN,当CN//OG时，求证：四边形ACMN为矩形.证明：(1)∵AD=CB，∴弧BAC=弧DCA,【利用等弦对等劣弧，这个知识考生用的可能比较少】∴弧BA=弧BAC-弧AC=弧DCA-弧AC=弧DC,【弧的简单加减运算，推出两弧相等】∴∠BDG=∠DBG,【等弧对等圆周角】∴BG=DG,【等角对等边，即三角形BGD是等腰三角形】又M, N分别是CB和AD的中点，∴BM=DN，∴MG=BG-BM=DG-DN=NG，【即三角形MGN是等腰三角形】连接OM，ON，则OM=ON，【这是根据同圆或等圆内等弦对应的弦心距相等，可以注释“等弦有等弦心距”，再或者根据等腰三角形MGN关于OG轴对称，也可以得到这个结论】∴OG是∠MGN的平分线,【因为到角∠MGN的两边距离相等的点G在角的平分线上】∴OG⊥MN.【这里依据的是：等腰三角形底边“三线合一”的性质】(2)由(1)可知等腰△BDG关于OG对称，M,N是对称点.又CG=BC-BG=AD-DG=AG, 【即点A，C分别在DG和BG的延长线上，且CG=AG】∴A,C关于OG对称，即整个图形关球OG对称∴AC//MN，【轴对称图形对称点间的连线互相平行】∠AMN=∠CNM，【轴对称图形对应角相等】当CN//OG时, CN⊥MN,【平行线垂直于同一直线】∴AM⊥MN,【这是先推知∠AMN=∠CNM都是直角，由直角的定义才有这个垂直关系】∴AM//CM, 【平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，所以四边形ACMN是平行四边形】∠CNM=90⁰，∴四边形ACMN为矩形.【有一个直角的平行四边形是矩形】。

18.已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =15，CD=13，AD =8，∠B 是锐角，∠B 的正弦值为45，那么BC 的长为___________24.如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点C （0，32-）， 且与x 轴交于点A 、点B ，若tan ∠ACO =23． （1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点 （不与点B 重合），∠MPQ=45°，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当△MPQ 为等腰三角形时，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题2分）如图，在正方形ABCD 中，AB =2，点P 是边BC 上的任意一点，E 是BC 延长线上一点，联结AP 作PF ⊥AP 交∠DCE 的平分线CF 上一点F ，联结AF 交直线CD 于点G ． (1) 求证：AP=PF ；(2) 设点P 到点B 的距离为x ，线段DG 的长为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3) 当点P 是线段BC 延长线上一动点，那么(2)式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．（第24题）ABCDFGP(第25题)E18.在Rt△ABC中，∠C=90°，3cos5B=，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B' 正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B DCD'=．24．（本题满分12分，每小题各4分）已知，二次函数2y=ax+bx的图像经过点(5,0)A-和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．（1）求点B的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图像的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△P AB相似，求点P的坐标．第18题图25．（本题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，P A为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD 交射线BC于点E．（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．C B2014闵行等六区联考18．如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC 中，AB =6，BC =7，AC =5，△A 1B 1C 是△ABC 以点C 为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C 为转似中心的另一个转似三角形△A 2B 2C （点A 2、B 2分别与A 、B 对应）的边A 2B 2的长为 ▲ ． 24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A （-3,0）和点B （0,6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图像向右平移5个单位后的顶点设为C ，直线BC 与x 轴相交于点D ，求∠ABD 的正弦值；（3）在第（2）小题的条件下，联结OC ，试探究直线AB 与OC 的位置关系，并说明理由． 25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，34tan =A ，点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE ⊥CD ，交射线CB 于点E ，设AD =x ． （1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长；（2）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值； （3）如果y =DBDE，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．A (B 1)BC A 1（第18题图） A CBDE （第25题图）2014长宁18.如图，△ABC 是面积为3的等边三角形，△ADE ∽△ABC ，AB =2AD ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积是 .24．（本题满分12分）如图，在直角坐标平面上，点A 、B 在x 轴上（A 点在B 点左侧），点C 在y 轴正半轴上，若A （-1,0），OB =3OA ，且tan ∠CAO =2. （1）求点B 、C 的坐标；（2）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（3）P 是（2）中所求抛物线的顶点，设Q 是此抛物线上一点，若△ABQ 与△ABP 的面积相等，求Q 点的坐标.第18题图FEDCBA25．（本题满分14分）在△ABC 中，∠BAC =90°，AB ＜AC ，M 是BC 边的中点，MN ⊥BC 交AC 于点N .动点P 从点B 出发，沿射线BA 以每秒3个长度单位运动，联结MP ，同时Q 从点N 出发，沿射线NC 以一定的速度运动，且始终保持MQ ⊥MP ，设运动时间为x 秒（x ＞0）. （1）求证：△BMP ∽△NMQ ；（2）若∠B =60°，AB =34，设△APQ 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式； （3）判断BP 、PQ 、CQ 之间的数量关系，并说明理由.第25题 图①NQP MCBA第25题 图②NMCB A2014虹口18．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5， AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△A F 1E ，则B 1D = ▲ ．24．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知抛物线214y x bx c =++经过点B （-4，0）与点C （8，0），且交y 轴于点A .（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移m 个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为P ，联结BP ，直线BP 将△ABC 分割成面积相等的两个三角形，求m 的值．ABF 1第18题图CD EFB 1第24题图25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点，沿PE 翻折△BPE 得到△FPE ，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G ，联结EQ .（1）如图，当BP =1.5时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP=x ，DG=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H ，若△CQE ∽△FHG ，求BP 的长．A BCD G 第25题图P E FQ备用图2014徐汇18. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =9，点P 在BC 边上，CP =3，点Q 为线段AP 上的动点，射线BQ 与矩形ABCD 的一边交于点R ，且AP=BR ，则QRBQ= ．24. （本题满分12分，每小题各6分）如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．第18题P25. （本题满分14分,其中第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）如图，△ABC 中，AB =5，BC =11，cos B =35，点P 是BC 边上的一个动点，联结AP ， 取AP 的中点M ，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PN ，联结AN 、NC ．设BP=x （1）当点N 恰好落在BC 边上时，求NC 的长； （2）若点N 在△ABC 内部（不含边界），设BP=x ， CN=y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出函数的定义域；（3）若△PNC 是等腰三角形，求BP 的长．2014闸北18．如图6，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高， AD ：DC =1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合， 设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S ∆∆= ．B C图6DCBA24．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分已知：如图12，抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点C 与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足OC =4OA ． 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ： （1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）联接CM ，点Q 是射线CM 上的一个动点，当 △QMB 与△COM 相似时，求直线AQ 的解析式．25．（本题满分14分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）已知：如图13，在等腰直角△ABC 中， AC = BC ，斜边AB 的长为4，过点C 作射线CP //AB ，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与B 、C 重合），且∠DAE =45°，AC 与DE 交于点O ．（1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）设CD =x ，tan ∠BAE = y ，求y 关于x 的函数 解析式，并写出它的定义域；（3）如果△COD 与△BEA 相似，求CD 的值．图13PD OEC BABAC E DF 18、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 的坐标为（9，0）．tan ∠BOA=33，点C 的坐标为（2，0），点P 为斜边OB 上的一个动 点，则PA+PC 的最小值为_________．.25、如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知B 点的坐标为B （8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接AC 、BC ，试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；（3）M 为抛物线上BC 之间的一点，N 为 线段BC 上的一点，若MN ∥y 轴，求MN 的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．（本题满分4+3+2+3=12分）26、如图△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm ；△DEF 中，∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm ．现将△DEF 的直角边DF 与△ABC 的斜边AB 重合在一起，并将△DEF 沿AB 方向移动（如图）．在移动过程中，D 、F 两点始终在AB 边上（移动开始时点D 与点A 重合, 一直移动至点F 与点B 重合为止）．(1)在△DEF 沿AB 方向移动的过程中，有人发现：E 、B 两点间的距离随AD 的变化而变化, 现设AD=x ，BE=y ，请你写出y 与x 之间的函数关系式及其定义域． (2) 请你进一步研究如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，E 、B 的连线与AC 平行? 问题②：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD=22.5°?如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．问题③：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、EB 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?（本题满分6+8=14分）18．如图，在AOB ∆中，已知90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =，将AOB ∆绕顶点O 逆时针旋转到A OB ''∆处，此时线段A B ''与BO 的交点E 为BO 的中点，那么线段B E '的长度为 ．24、（本题满分12分，其中每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）联结AC ，BC ，求ACB ∠的正切值；（3）点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD ∆与CAB ∆相似时，求点P 的坐标．（第18题图）AA ′B O B ′E25、（本题满分14分，其中第(1)、(2)小题各5分，第(3)小题4分）如图，在ABC ∆中，8AB =,10BC =,3cos 4C =,2ABC C ∠=∠, BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），F 是AC 边上一点，且AEF ABC ∠=∠，AE与BD 相交于点G ．（1）求证：AB BGCE CF=； （2）设BE x =,CF y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当AEF ∆是以AE 为腰的等腰三角形时，求BE 的长．（第25题图）BCEFDGA（备用图1）BCDA（备用图2）BCDA2014黄浦18.如图7，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，cot 34A =，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，且∠EDC=∠A ，将△ABC 沿DE 对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为 .24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题满分各4分）如图11，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B（1）求点M 、A 、B 坐标；（2）联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值；（3）点P 是顶点为M α，当ABM α=∠时，求P 点坐标．EB图7图1125.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 如图12，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，sin 45B =，D 为边AC 中点，P 为边AB 上一点 (点P 不与点A 、B 重合) ，直线PD 交BC 延长线于点E ，设线段BP 长为x ，线段CE 长为y .（1）求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（2）过点D 作BC 平行线交AB 于点F ，在DF 延长线上取一点 Q ，使得QF =DF ， 联结PQ 、QE ，QE 交边AC 于点G ， ①当△EDQ 与△EGD 相似时，求x 的值；②求证：PD DEPQQE=.2014嘉定18. 如图4，在矩形ABCD 中，已知12AB =，8AD =，如果将矩形沿直线l 翻折后，点A 落在边CD 的中点E 处，直线l 与分别边AB 、AD 交于点M 、N ，那么MN 的长为 ▲ .24．（本题满分12分，每小题满分4分）在平面直角坐标系xOy （如图9）中，已知A （1-，3）、B （2，n ）两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上. （1）求b 与n 的值；（2）联结OA 、OB 、AB ，求△AOB 的面积；（3）若点P （不与点A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上，且︒=∠45POB ，求点P 的坐标.B图12图425．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：⊙O 的半径长为5，点A 、B 、C 在⊙O 上，6==BC AB ，点E 在射线BO 上.（1）如图10，联结AE 、CE ，求证：CE AE =；（2）如图11，以点C 为圆心，CO 为半径画弧交半径OB 于D ，求BD 的长； （3）当511=OE 时，求线段AE 的长.图10图11备用图2014奉贤18．我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂三角形。

专题05分式及其运算（37题）一、单选题1．（2024·甘肃·中考真题）计算：4222a ba b a b-=--（）A ．2B ．2a b -C ．22a b-D ．2a b a b-【答案】A【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：()42422222222a b a b a b a b a a b a bb --===-----，故选：A ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（）A ．()2139--=B ．()222a b a b +=+C 93=±D ．()3263x y x y -=【答案】A【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解．【详解】解：A.()2139--=，故该选项正确，符合题意；B.()2222a b a ab b +=++，故该选项不正确，不符合题意；C.93=，故该选项不正确，不符合题意；D.()3263x y x y -=-，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（）A ．32622a a a ⋅=B ．331(2)8a b a b-÷⨯=-C ．()322a a a a a a++÷=+D ．2233aa -=【答案】D【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答．4．（2024·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（）A ．5510x x x +=B ．21m m n n n÷⋅=C ．624a a a ÷=D ．()325a a -=-5．（2024·广东广州·中考真题）若0a ≠，则下列运算正确的是（）A ．235a a a +=B ．325a a a ⋅=C ．235a a a⋅=D ．321a a ÷=故选：B ．6．（2024·天津·中考真题）计算3311x x x ---的结果等于（）A ．3B ．xC ．1x x -D ．231x -【答案】A【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可．【详解】解：原式()3133311x x x x --===--故选：A7．（2024·河北·中考真题）已知A 为整式，若计算22A y xy y x xy-++的结果为xy -，则A =（）A ．xB ．yC ．x y+D ．x y-【答案】A【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．由题意得22y x y A x xy xy xy y -+=++，对2y x yx xy xy-++进行通分化简即可．【详解】解：∵22A y xy y x xy-++的结果为x yxy -，∴22y x y Ax xy xy xy y -+=++，∴()()()()()2222x y x y y x x Axy x y xy x y xy x y xy y xy y -++===+++++，∴A x =，故选：A ．二、填空题8．（2024·四川南充·中考真题）计算-a b a b a b的结果为．【答案】1【分析】本题主要考查了同分母分式减法运算，按照同分母减法运算法则计算即可．【详解】解：1a b a ba b a b a b--==---，故答案为：1．9．（2024·湖北·中考真题）计算：111m m m +=．10．（2024·广东·中考真题）计算：333a a -=．11．（2024·吉林·中考真题）当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为．12．（2024·山东威海·中考真题）计算：422x x x+=．13．（2024·四川内江·中考真题）在函数1y x=中，自变量x 的取值范围是；【答案】0x ≠【分析】本题考查函数的概念，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关键．【详解】解：由题意可得，0x ≠，故答案为：0x ≠．14．（2024·四川眉山·中考真题）已知11a x =+（0x ≠且1x ≠-），23121111,,,111-==⋯=---n n a a a a a a ，则2024a 的值为．【答案】1x-【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为1x +，1x-，1xx +，进一步即可求出2024a ．【详解】解：11a x =+ ，()21111111a a x x∴===---+，32111111xa a x x ===-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，43111111111a x xa x x ∴====+--++，51a x∴=-，61x a x =+，……，由上可得，每三个为一个循环，2024367432÷=⨯+ ，20241a x∴=-．故答案为：1x-．三、解答题16．（2024·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：2391a a a---÷，其中4a =．17．（2024·四川泸州·中考真题）化简：2222y x y x y x x ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭．22222y x xy x x x y +-=⋅-()()()2x y xx x y x y -=⋅+-x y x y-=+18．（2024·四川广安·中考真题）先化简111a a a ++⎛⎫+-÷--⎝⎭，再从2-，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．【答案】22a a -+，0a =时，原式1=-，2a =时，原式0=.【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可.【详解】解：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭2213(2)111a a a a a ⎛⎫-+=-÷⎪---⎝⎭2(2)(2)11(2)a a a a a +--=⋅-+22a a -=+1a ≠ 且2a ≠-∴当0a =时，原式1=-；当2a =时，原式0=.19．（2024·山东·中考真题）（111422-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：212139a a a +⎛⎫-÷ ⎪，其中1a =．【答案】（1）3（2）3a -2-【分析】本题主要考查实数的运算、分式的运算：（1）根据求算术平方根和负整数指数幂、有理数的减法的运算法则计算即可；（2）先通分，然后求解即可．【详解】（1）原式112+322=+=（2）原式()()3123333a a a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪+++-⎝⎭()()332·32a a a a a +-+=++3a =-将1a =代入，得原式132=-=-21．（2024·江苏连云港·中考真题）计算0|2|(π1)-+-【答案】1-【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行去绝对值，零指数幂和开方运算，再进行加减运算即可．【详解】解：原式2141=+-=-22．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算21211m m ---的解题过程：解：2121211(1)(1)(1)(1)m m m m m m m +-=---+-+-①(1)2m =+-②1m =-③上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．23．（2024·江西·中考真题）（1）计算：0π5+-；（2）化简：888x x x -．【答案】（1）6；（2）1【分析】题目主要考查零次幂、绝对值的化简，分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先计算零次幂及绝对值化简，然后计算加减法即可；（2）直接进行分式的减法运算即可．【详解】解：（1）0π5+-=1+5=6；（2）888x x x ---88x x -=-1=．24．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：()0429-+-．【答案】2【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．【详解】解：原式413=+-2=．25．（2024·福建·中考真题）计算：0(1)54-+-【答案】4【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；【详解】解：原式152=+-4=．26．（2024·陕西·()()025723-+-⨯．【答案】2-【分析】本题考查了实数的运算．根据算术平方根、零次幂、有理数的乘法运算法则计算即可求解．【详解】解：()()025723--+-⨯516=--2=-．27．（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：22432x x x x x-⋅+，其中3x =．28．（2024·北京·中考真题）已知10a b --=，求代数式222a ab b-+的值.29．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：10120253-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．【答案】0【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可．【详解】解：原式2310=-+=．30．（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：21111a a a a a +⎛⎫++÷ ⎪．【答案】1a a +【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】解：21111a a a a a +⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭，()()()1111111a a a a a a a ⎡⎤-+=⎢+÷⎣-⎥+--⎦()211111a a a a a -+=⨯--+()2111a a a a a =-⨯-+1a a =+．31．（2024·浙江·中考真题）计算：131854-⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】7【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算加减．【详解】131854-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭425=-+7=．32．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：22222a a b a b a b a ab b a b--÷-，其中a ，b 满足20b a -=．【答案】b a b +，23【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到b a b+，最后将20b a -=化为2b a =，代入b a b +即得答案．33．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：2669x x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并从1-，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．34．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m 是其显示结果的平方根，先化简：27442393m m m m m m --⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，再求值．【答案】262m m --，25-．【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出m 的值，把m 的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出m 的值是解题的关键．【详解】解：27442393m m m m m m --⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭()22274393m m m m m m --⎛⎫=-÷ ⎪--+⎝⎭，()()()()()()3743333322m m m m m m m m m ⎡⎤+-+=-⨯⎢⎥+-+--⎢⎥⎣⎦，()()()()()23743333322m m m m m m m m m ⎡⎤+-+=-⨯⎢⎥+-+--⎢⎥⎣⎦，()()()24433322m m m m m m -++=⨯+--，()()()()2233322m m m m m -+=⨯+---，()223m m -=--，262m m -=-，∵2354-=，∴235-的平方根为2±，∵420m -≠，∴2m ≠，又∵m 为235-的平方根，∴2m =-，∴原式()2226225--==--⨯-．35．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：212124x x +-⎛⎫+÷ ⎪．其中3x =-．【答案】2x x+，13【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即36．（2024·贵州·中考真题）（1）在①22，②2-，③()01-，④122⨯中任选3个代数式求和；（2）先化简，再求值：()21122x x -⋅，其中3x =．4=；（2）解：()21122x x -⋅+()()11(1)21x x x =-+⋅+12x -=；当3x =时，原式3112-==．37．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：242x x ---，其中3x =．小乐同学的计算过程如下：解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--…①()()()()222222x x x x x x +=-+-+-…②()()2222x x x x -+=+-…③()()222x x x +=+-…④12x =-…⑤当3x =时，原式1=．(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．【答案】(1)③(2)见解析【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，应为：()()()()()()2222222222x x x x x x x x x x -----=+++-+；（2）解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--()()()()222222x x x x x x +=-+-+-。

专题05 一元二次方程的解法（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·重庆涪陵·九年级期末）方程29x =的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =-D ．13x =，23x =- 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用开方法求解即可． 【详解】©知识点一：直接开平方法技巧：把方程ax 2+c ＝0(a ≠这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

解：29x =，解得：13x =，23x =-， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握直接开方法求解．练习1．（2022·北京丰台·九年级期末）若关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个解为0x =，那么m 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．1或-1【答案】A 【解析】 【分析】将0x =代入方程，得到关于m 的一元二次方程，解方程求解即可，注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个解为0x =，∵210,10m m -=-≠1m ∴=- 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义，解一元二次方程，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．练习2．（2021·四川南充·一模）方程（9x ﹣1）2＝1的解是（ ）A ．1213x x == B ．1229x x == C ．1220,9x x == D ．1220,9x x ==-【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：2(91)1x-=，911x∴-=或911x-=-，解得10x=，22 9x=，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．练习3．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（）A．17B．11C．15D．11或15【答案】C【解析】【分析】先求出方程的解，然后根据三角形三边关系利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．【详解】解：（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，解得x1＝5，x2＝1．若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；若x＝1时，6﹣4＝2＞1，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长，掌握一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长是解题关键．练习4．（2022·广东白云·九年级期末）解方程：()23250x+-=【答案】x 1=2，x 2=-8 【解析】 【分析】先把方程变形为解（x +3）2=25，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】 解：（x +3）2=25， ∵x +3=±5，解得：x 1=2，x 2=-8． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．例．（2022·甘肃麦积·九年级期末）将一元二次方程2850x x +-=化成()2x a b+=（,a b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．－4，21 B ．－4，11C ．4，21D ．－8，6【答案】C 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．©知识点二 配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax 2+bx ＝-c ；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如X ²＋解：∵x 2+8x -5=0， ∵x 2+8x =5，则x 2+8x +16=5+16，即（x +4）2=21， ∵a =4，b =21， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．练习1．（2022·海南海口·九年级期末）用配方法解方程2430x x --=，下列配方正确的是（ ） A ．()227x -= B ．()227x +=C ．()223x -=D ．()221x -=【答案】A 【解析】 【分析】方程移项后，两边同时加上4，变形即可得到结果． 【详解】方程移项得 243x x -=方程两边同时加上4，得 24434x x -+=+ 即2(2)7x -= 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．练习2．（2022·山西山阴·九年级期末）用配方法解方程2650x x --=时，配方后的方程是（ ） A ．2(3)4x -= B ．2(3)14x -= C ．2(3)31-=x D ．2(3)14x +=【答案】B 【解析】 【分析】直接利用配方法进行配方即可．解：2650--=x x移项得：265-=，x x配方得：26914-+=，x xx-=合并得：()2314故选：B．【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．练习3．（2022·广东禅城·九年级期末）一元二次方程x2﹣8x＋5＝0配方后可化为（）A．（x﹣4）＝19B．（x＋4）＝﹣19C．（x﹣4）2＝11D．（x＋4）2＝16【答案】C【解析】【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：∵2850-+=x x∵281611-+=x x∵()2411x-=故选C．【点睛】本题考查了配方法．解题的关键在于熟练使用配方法．练习4．（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）选择合适的方法解方程：(1)x2﹣4x＝2；(2)3(x﹣5)＝x2﹣25．【答案】(1)x1＝6，x2＝26(2)x1＝5，x2＝﹣2【解析】（1）利用配方法直接求解即可； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． (1) ∵x 2﹣4x ＝2∵x 2﹣4x +4＝2+4，即(x ﹣2)2＝6 ∵x ﹣2＝6∵x 1＝6x 2＝26 (2)∵3(x ﹣5)＝x 2﹣25， ∵3(x ﹣5)﹣(x +5)(x ﹣5)＝0， ∵(x ﹣5)(3﹣x ﹣5)＝0， ∵x ﹣5＝0或﹣x ﹣2＝0， ∵x 1＝5，x 2＝﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法主要有开平方法、配方法、公式法、因式分解法．例．（2021·河北·金华中学九年级阶段练习）将一元二次方程2850x x --=化成()2x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ）A ．4-，21B ．4-，69C ．4，21D ．8-，11【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】©知识点三：配方法的应用解：∵2850x x --=， ∵285x x -=， 则2816516x x +=+-， 即2()421x -=， ∵4a =-，21b =， 故选A ． 【点睛】本题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的求解过程． 练习1．（2021·贵州六盘水·九年级阶段练习）代数式x 2﹣4x +5的值（ ） A ．恒为正 B ．恒为负 C ．可能为0 D ．不能确定【答案】A 【解析】 【分析】直接利用配方法将原式变形，进而得出答案． 【详解】解：2245(2)1x x x -+=-+，2(2)0x -， 2(2)10x ∴-+>，∴代数式245x x -+的值恒为正．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是正确配方．练习2．（2021·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）已知m 是有理数，则m 2﹣2m +4的最小值是（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法对式子进行配方，利用非负性求解最小值即可．【详解】解：2224(1)3m m m -+=-+∵2(1)0m -≥，当1m =时，2(1)0m -= ∵2(1)33m -+≥，当1m =时，2(1)33m -+= 1m =，为有理数，224m m -+的最小值为3故选A 【点睛】本题考查了配方法的应用，然后根据非负性求出最小值，解题的关键是掌握配方法．练习3．（2021·湖北省水果湖第一中学九年级阶段练习）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先把多项式配方，从而得244m +=5，进而即可得到结论． 【详解】解：∵24x mx -++=22424m m x ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭，又∵关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5， ∵244m +=5，解得：m =±2， ∵m 的值可能为2． 故选B ． 【点睛】本题主要考查多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键．练习4．（2021·甘肃会宁·九年级期中） “a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝（x ＋2）2＋1，∵（x ＋2）2≥0，∵（x ＋2）2＋1≥1，∵x 2＋4x ＋5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x 2－4x ＋6＝（x _____）2＋______，所以当x ＝_____时，代数式x 2－4x ＋6有最_____（填“大”或“小”）值，这个最值为_______； （2）比较代数式x 2－1与2x －3的大小．【答案】（1）-2；2；2；小；2；（2）2123x x ->- 【解析】 【分析】（1）根据题干的例子配方即可；（2）通过作差法比较大小，根据偶次方的非负性即可． 【详解】解：（1）246x x -+ 2442x x =-++ 2(2)2x =-+，当2x =时，代数式246x x -+有最小值， 这个最值为2．故答案为：2-；2；2；小； （2）2(1)(23)x x --- 2123x x =--+2211x x =-++ 2(1)1x =-+，2(1)0x -，2(1)10x ∴-+>，2123x x ->-∴．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小．例．（2022·上海市建平实验中学八年级期末）下列方程中，有实数解的是（ ） A ．430x += B ．333x x x --= C 130x -= D ．222310x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】判断方程有无实数解，就是看方程的解是否是能满足方程的左右两边相等的实数． 【详解】A 、∵430x +>，故A 错误，不符合题意；B 、333x x x --=， ()2333x x x -=-，2333x x x -=-， 2630x x -+=，627x ±=，1633x +=2633x -=，经检验，1633x +=，2633x -=均是原方程的解，故B 正确，符合题意； C 130x ->，故无实数解，故C 错误，不符合题意； D 、222310x y ++>，故无实数解，故D 错误，不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程的解法，二次根式的性质，解题的关键是掌握方程的解的概念，是能满足方程的左右两边相等的实数．练习1．（2021·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）用公式法解方程4y 2﹣12y ﹣3＝0，得到（ ）©知识点四：公式法技巧：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，用配方法所求出的两个根x =−b±√b 2−4ac2a(b ²-4ac ≥0)只要是有实数根的一元二次方程，均可将a ，b ，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法称为公式法，而把x =−b±√b 2−4ac2a(b ²-4ac ≥0)叫做一元二次方程ax ²＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式。