2021年浙江省高考数学试卷(含答案)

2021年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试(浙江卷)(数学)参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k kn k n n P k p p k n -=-=L台体的体积公式121()3V S S h=其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =p 球的体积公式343V R =p 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}1A x x =³，{}12B x x =-<<，则A B =I （）A.{}1x x >- B.{}1x x ³ C.{}11x x -<< D.{}12x x £<2. 已知a R Î，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（）A.1- B.1C.3- D.33. 已知非零向量,,a b c r r r ，则“a c b c ×=×r r r r ”是“a b =r r”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.32 B.3C.2D.5.若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +³ìï-£íï+-£î，则12z x y =-的最小值是（）A.2- B.32-C.12-D.1106. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ^平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ^平面11BDD B 7.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+-B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =8.已知,,a b g 是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.39.已知,R,0a b ab Î>，函数()2R ()f x ax b x =+Î.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（）A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线10.已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==Î.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.100321S << B.10034S << C.100942S << D.100952S <<非选择题部分（共110分）二､填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2021年浙江高考数学真题及答案本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页,选择题部分1至2页;非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用時120分钟。

考生注意:1．答题前,请务必将自己得姓名、 准考证号用黑色字迹得签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定得位置上。

2．答题時,请按照答题纸上“注意事项”得要求,在答题纸相应得位置上规范做答,在本试题卷上得做答一律无效。

参考公式:如果事件A,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A,B 相互独立,那么()()()P AB P A P B = 如果事件A 在一次试验中发生得概率昰p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次得概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=台体得体积公式121()3V S S h=+其中12,S S 分别表示台体得上、 下底面积,h 表示台体得高柱体得体积公式V Sh =其中S 表示柱体得底面积,h 表示柱体得高锥体得体积公式13V Sh= 其中S 表示锥体得底面积,h 表示锥体得高球得表面积公式 24S R =π球得体积公式 343V R =π其中R 表示球得半径选择题部分(共40分)一、 选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出得四个选项中,只有一项昰符合题目要求得。

1．设集合{}1A x x =≥,{}12B x x =-<<,则A B =( )A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x ≤<2．已知a ∈R ,()1i i 3i a +=+(i 为虚数单位),则a =( )A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知非零向量,,a b c ,则“⋅=⋅a c b c ”昰“=a b ”得( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体得三视图如图所示(单位:cm),则该几何体得体积(单位:cm3)昰( )A ．32 B ．3 C ．32 D ．325．若实数x,y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则12z x y=-得最小值昰( )A ．2-B ．32-C ．12-D ．1106．如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,M,N 分别昰1A D ,1D B得中点,则( )A ．直线1A D 与直线1DB 垂直,直线MN ∥平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行,直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交,直线MN ∥平面ABCDD ．直线1A D与直线1D B异面,直线MN ⊥平面11BDD B7．已知函数21(),()sin 4f x x g x x=+=,则图象为如图得函数可能昰( )A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =8．已知,,αβγ昰互不相同得锐角,则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中,大于12得个数得最大值昰( )A ．0B ．1C ．2D ．39．已知,,0a b ab ∈>R ,函数()2()f x ax b x =+∈R ．若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列,则平面上点(),s t 得轨迹昰( )A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线10．已知数列{}n a 满足)*111,1n n na a n a +==∈+N ．记数列{}n a 得前n 项和为nS ,则( )A ．100132S <<B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S <<非选择题部分(共110分)二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{|1}A x x =，{|12}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|1}x x >-B ．{|1}x xC ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x <【命题意图】本题考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握集合交集的定义，考查运算求解能力． 【答案】D【解析】因为集合{|1}A x x =，{|12}B x x =-<<， 所以{|12}AB x x =<．故选：D ．【方法总结】进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2．已知a R ∈，(1)3(ai i i i +=+为虚数单位），则(a = ) A ．1-B ．1C ．3-D ．3【命题意图】本题考查了复数相等定义的理解和应用，考查运算求解，逻辑推理能力． 【答案】C【解析】因为(1)3ai i i +=+，即3a i i -+=+， 由复数相等的定义可得，3a -=，即3a =-．故选C ．3．已知非零向量a ，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，考查逻辑推理能力 【答案】B【解析】当0c =时，0a b b c ⋅=⋅=，但a 与b 不一定相等， 故a b b c ⋅=⋅不能推出a b =，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的不充分条件； 由a b =，可得0a b -=， 则()0a b c -⋅=，即a b b c ⋅=⋅， 所以a b =可以推出a b b c ⋅=⋅，故“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的必要条件．综上所述，“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的必要不充分条件． 故选：B ．4．某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是( )A ．32B ．3 CD．【命题意图】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力 【答案】A【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且AB =，CD 11AA ==，则该几何体的体积13122V =⨯=． 故选：A ．【易错防范】由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.5．若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩，则12z x y =-的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．12-D ．110【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想． 【答案】B【解析】由约束条件作出可行域如图，联立102310x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数12z x y =-为22y x z =-，由图可知，当直线22y x z =-过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为131122--⨯=-．故选B ．6．如图，己知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B【命题意图】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理与性质，考查了逻辑推理核心素养． 【答案】A【解析】连接1AD ，如图：由正方体可知11A D AD ⊥，1A D AB ⊥，1A D ∴⊥平面1ABD ，11A D D B ∴⊥，由题意知MN 为△1D AB 的中位线，//MN AB ∴，又AB ⊂平面ABCD ，MN ⊂/平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ．A ∴对；由正方体可知AD 、1A D 都与平面1BDD 相交于点D ，1D B ⊂平面1BDD ，1D D B ∉， ∴直线AD 、1A D 都与直线1D B 是异面直线，B ∴、C 错；//MN AB ，AB 不与平面11BDD B 垂直，MN ∴不与平面11BDD B 垂直，D ∴错．故选：A ．7．已知函数21()4f x x =+，()sing x x =，则图象为如图的函数可能是( )A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【命题意图】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力． 【答案】D【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数， 因为21()4f x x =+为偶函数，()sing x x =为奇函数，函数21()()sin 4y f x g x x x =+-=+为非奇非偶函数，故选项A 错误； 函数21()()sin 4y f x g x x x =--=-为非奇非偶函数，故选项B 错误； 函数21()()()sin 4y f x g x x x ==+，则212sin ()cos 04y x x x x '=++>对(0,)4x π∈恒成立，则函数()()y f x g x =在(0,)4π上单调递增，故选项C 错误．故选D ． 8.已知,,αβγ是三个锐角，则sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα中，大于12的数至多有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【命题意图】本题考查了反证法，基本不等式，考查逻辑推理能力． 【答案】C9.已知,,0a b R ab ∈>，函数2()()f x ax b x R =+∈，若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则(,)s t 平面上的点的轨迹是（ ） A ．直线和圆 B ．直线和椭圆 C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【命题意图】本题考查等比数列，轨迹问题，考查数学抽象，逻辑推理能力． 【答案】C8．已知数列{}n a 满足11a =，1*)n a n N +=∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则( )A ．100132S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 【命题意图】本题主要考查数列的递推关系式及其应用，数列求和与放缩的技巧等知识，考查数学抽象，运算求解能力． 【答案】A【解析】由题意可得：22111111)?)242n n a a +==+<+，∴1?111222n n +<++=，从而1241,2(1)3111n n nn n na n a a a n n a n ++==+++++， ∴1100161111316(?)133(1)(2)24522n n na n a S a n n n ++⇒⇒+++<++=+++． 故选：A ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，则12S S = 25 ．【命题意图】本题考查了三角形中的几何计算和勾股定理，考查运算能力． 【答案】25【解析】直角三角形直角边的长分别为3，4， ∴5=，即大正方形的边长为5，21525S ∴==，则小正方形的面积2112543412S S S =-=-⨯⨯⨯=阴影，∴1225SS =． 12．已知a R ∈，函数24,2,()|3|,2x x f x x a x ⎧->=⎨-+⋅⎩若(3f f =，则a = 2 ．【命题意图】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，考查数学运算能力．【答案】2【解析】因为函数24,2()|3|,2x x f x x a x ⎧->=⎨-+⎩，所以242f =-=，则(f f f =（2）|23|3a =-+=，解得2a =．13．已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a = 5 ；234a a a ++= ．【命题意图】本题考查了二项展开式的通项公式的运用以及赋值法求解系数问题，考查数据分析运算求解能力． 【答案】5；10【解析】1a 即为展开式中3x 的系数，所以001134(1)5a C C =-+=； 令1x =，则有3412341(11)(11)16a a a a ++++=-++=， 所以234165110a a a ++=--=．【方法归纳】1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2.若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）214．在MBC ∆中，60*B ∠=，2AB =，M 是BC 的中点，AM =AC = cos MAC ∠= ．【命题意图】本题考查余弦定理应用，考查逻辑推理，数学运算能力．【答案】【解析】在ABM ∆中：2222cos60AM BA BM BA BM =+-⋅︒，22212222BM BM ∴=+-⨯⋅⋅，2280BM BM ∴--=，解得：4BM =或2-（舍去）．点M 是BC 中点，4MC ∴=，8BC =，在ABC ∆中：22228228cos6052AC =+-⨯⨯︒=，AC ∴=在AMC ∆中：cos MAC ∠=． 15．袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -= 1 ，()E ξ= ．【命题意图】本题考查了古典概型的概率，组合数公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望，考查了数学抽象及运算求解能力．【答案】1；89【解析】由题意，242416(2)636m n C P C ξ++====， 又一红一黄的概率为11424112336m m n C C C ++==，所以21436,3m n m C C ++==，解得3m =，2n =，故1m n -=； 由题意，ξ的可能取值为0，1，2， 所以2529105(0)3618C P C ξ====，1145292010(1)3618C C P C ξ====， 13(2)618P ξ===， 所以51038()0121818189E ξ=⨯+⨯+⨯=． 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．若过1F 的直线和圆2221()2x c y c -+=相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 ．【命题意图】本题考查了椭圆、圆的简单几何性质，以及点到直线的距离公式，考查分类讨论，逻辑推理，数学运算能力【解析】直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意； 由直线过1F ，设直线的方程为()y k x c =+， 直线和圆2221()2x c y c -+=相切，∴圆心1(,0)2c 到直线的距离与半径相等，∴|0|ck kc c ⋅-+=，解得k =， 将x c =代入22221x y a b +=，可得P 点坐标为2(,)b P c a，221212tan 2b PF a PF F k F F c ∠====，∴222a c ac -=，∴212e e -=，∴e =【解题方法】求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.17.已知平面向量,,(0)a b c c ≠满足1,2,0,()0a b a b a b c ==⋅=-⋅=记平面向量d 在,a b 方向上的投影分别为,,x y d a -在c 方向上的投影为z ,则222x y z ++的最小值是【命题意图】考查向量的投影，向量的数量积运算，均值不等式，考查分析问题，数学运算的能力 【答案】25三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.18．设函数()sin cos ()f x x x x R =+∈． （Ⅰ）求函数2[()]2y f x π=+的最小正周期；（Ⅱ）求函数()()4y f x f x π=-在[0，]2π上的最大值．【命题意图】本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，逻辑推理能力．【解析】函数()sin cos )4f x x x x π=++，（Ⅰ）函数222[()])]2cos ()2244y f x x x ππππ=+=++=+1cos[2()]1cos(2)1sin 242x x x ππ=++=++=-，则最小正周期为22T ππ==；（Ⅱ）函数()()))4444y f x f x x x ππππ=-+-+2cos )sin sin cos )x x x sin x x x =++1cos 212(sin 2)sin(2)224x x x π-=+=-+因为[0,]2x π∈，所以32[,]444x πππ-∈-，所以当242x ππ-=，即38x π=时，()1max f x =+．【命题意图】本题考查线面垂直的位置关系，线面角，考查逻辑推理能力，空间想象能力【命题意图】本题等比数列的通项公式，数列错位相减法求和，考查逻辑推理能力，运算求解能力【命题意图】本题抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，求范围问题，考查逻辑推理能力，数学运算能力。

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则UA B =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c ==，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选取题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目规定。

（1）设集合A=|x ｜－1≤x ≤2|，B=|x|0≤x ≤4|，则A ∩B=（A ）．[0，2]（B ）．[1，2]（C ）．[0，4]（D ）．[1，4](2)已知ni im-=+11，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m+ni=（A ）1+2i（B ）1－2i（C ）2+i（D ）2－I（3）已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则（A ）1＜n ＜m（B ）1＜m ＜n（C ）m ＜n ＜1（D ）n ＜m ＜1(4)在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x ，表达平面区域面积是（A ）24（B ）4（C ）22（D ）2(5) 双曲线122=-y m x 上点到左准线距离是到左焦点距离31，则m=（A ）21 （B ）23 （C ）81 （D ）89 （6）函数R x x x y ∈+=,sin 2sin 212值域是 （A ）]23,21[- （B ）]21,23[-（C ）[]2122,2122++-（D ）]2122,2122[---（7）“a ＞b ＞0”是“222b a ab +<”（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）若多项式,)1()1(...)1(10109910102+++++++=+x a x a x a a x x 则a 9=（A ）9 （B ）10 （C ）－9 （D ）－10（9）如图，O 是半径为球球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与 AC 中点，则点E 、F 在该球面上球面距离是（A ）4π（B ）3π （C ）2π（D ）42π（10）函数f ：|1，2，3|→|1，2，3|满足f （f （x ）=f （x ），则这样函数个数共有（A ）1个（B ）4个（C ）8个（D ）10个二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x⩾1} , B= {x|−1<x<2}，则A∩B=()A. B. C. D.【答案】D【解析】【解析】由题意可知，A∩B= { x | 1⩽x<2 }，故选D．2.已知a∈R，(1+ai) i =3+i(i为虚数单位)，则a=()A. B. C. D.【答案】C【解析】【解析】∵(1+ai) i = −a+i = 3+i，∴a=−3.故选：C．3.已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗，则“a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗”是“a⃗=b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【解析】∵a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗，∴(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=0，即(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，但a⃗≠b⃗ 不一定成立，故充分性不满足，若a⃗=b⃗ ，则a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗必成立，故必要性满足，所以是必要不充分条件．故选：B．4.某几何体的三视图如图所示(单位：厘米)，则该几何体的体积是(单位：cm3)()A.B.C.D.【答案】A【解析】【解析】由三视图可得，直观图如图所示，四棱柱A B C D−A1B1C1D1，由俯视图可知，底面A B C D为等腰梯形，将四棱柱补形成棱长为2的长方体，则BE=√22，所以V=12×(√2+2√2)×√22⋅1=32．故选：A．5.若实数x , y满足约束条件{x+1≥0x−y≤02x+3y−1≤0，则z=x−12y最小值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【解析】由题意可知，可行域如图所示，令直线l：y=2x−2z，当直线l过点A(−1 ,1)时，z有最小值−32．故选：B．6.已知正方体，，分别是，，，的中点，则()A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与异面，直线平面【答案】A【解析】【解析】连接AD1，则AD1与A1D交于M，AD1⊥AD1，在正方体中，∵A B ⊥平面ADD1A1，∴A B ⊥A1D，∴AD 1⊥平面ABD 1， ∴A 1D ⊥D 1 B ， ∵M 为AD 1中点， N 为D 1 B 中点， ∴M N//A B ，∴M N//平面A B C D ． 故选：A ．7. 已知函数f(x)=x 2+14，g(x)=sinx ，则为如图的函数可能是( )A.B. y =f(x)−g(x)−14 C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性分析不符合题意的选项排除即可． 【解答】解：由函数图象关于原点对称，易知函数是奇函数，y =f(x)+g(x)−14=x 2+sinx 与y =f(x)−g(x)−14=x 2−sinx 均为非奇非偶函数，排除A 和B ，对于C ，y =f(x)g(x)=(x 2+14) sinx 是奇函数， 且y′=2xsinx +(x 2+14)cosx >0对x ∈(0,π4)恒成立，则函数y=f(x)g(x)在(0,π4)上单调递增，与题意不符．故选：D．8.已知，，是三个锐角，则，，中，大于的数至多有()A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【解析】假设sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα均大于12，即sinαcosβ>12，sinβcosγ>12，sinγcosα>12，则(sinαcosβ)⋅(sinβcosγ)⋅(sinγcosα)>18，而另一方面，(sinαcosβ)(sinβcosγ)(sinγcosα)=(sinαcosα)(sinβcosβ)(sinγcosγ)，化简得，12sin2α⋅12sin2β⋅12sin2γ=18sin2α⋅sin2β⋅sin2γ≤18，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12，取β=π4，α=π3，γ=π6，得到sinαcosβ=√64>12，且sinβcosγ=√64>12，∴大于12的数至多有2个．故选：C．9.已知a , b ∈ R , a b>0，若函数f(x)=ax2+b (x∈R)，且f(s−t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，则平面上点(s , t)的轨迹是()A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列、函数值、双曲线的概念，综合性较强，属于拔高题．由f2(s)=f(s−t)⋅f(s+t)，根据f(x)=ax2+b (x∈R)，ab>0，化简整理可知t2(at2−2as2+2b)=0，分t=0或at2−2as2+2b=0分析点(s , t)的轨迹．【解答】解：∵f(s −t)，f(s)，f(s +t)成等比数列，∴f 2(s)=f(s −t)⋅f(s +t)⇒[a(s −t)2+b][a(s +t)2+b]=(as 2+b)2，⇒a 2(s 2−t 2)2+a b(2s 2+2t 2)+b 2=a 2s 4+2abs 2+b 2， ⇒a 2(s 4−2s 2t 2+t 4)+2abs 2+2abt 2+b 2=a 2s 4+2abs 2+b 2，∴a 2t 4−2a 2s 2t 2+2abt 2=0 ⇒at 4−2as 2t 2+2bt 2=0⇒t 2(at 2−2as 2+2b )= 0， 当t =0时，点(s , t)的轨迹是直线， 当 at 2−2as 2+2b = 0时，2s 2−t 2=2b a> 0，即 s 2b a−t 22b a=1，此时点(s , t)的轨迹是双曲线．故选：C ．10. 已知数列满足，，记数列的前和项，则( )A.B. C. D.【答案】A【解析】【解析】∵a n+1=n1+a ⇒a n+1+a n+1√a n =a n ，∴a n+1=n n+1√a ，∵√a n >12(√a n +√a n+1)， ∴a n+1<n n+112(√a +a )=2(√a n −√a n+1)，∴S 100<1+2(√a 1−√a 2+√a 2−√a 3+⋯+√a 99−√a 100)=1+2(1−√a 100)<3， 易知：n ⩾2时，a n ≤12，先证明：n ⩾2时，√a n <712(√a n +√a n+1)⇔5√a n <7√a n+1⇔25 a n <49 a n+1，即：25a n <49⋅n1+√a ⇔√a n <2425(n ⩾2)成立，当n ⩾2，a n+1>n n+1712(a +a )=127(√a n −√a n+1)，由a n+1=n 1+a ⇒1an+1=1+√a n a n=1a n+√1a n⇒1an+1−1a n=√1a n≥1，则1a 2−1a 1>1 , 1a 3−1a 2>1 , ⋯ , 1a100−1a 99>1 ⇒1a 10>100，即a 100<1100， ∴S 100>1+12+127(√a 2−√a 3+√a 3−√a 4+⋯+√a 99−√a 100)=1+12+6√27−127√a 100≥32+6√27−635>52，综上：52<S 100<3． 故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2，则S1S 2= ．【答案】25．【解析】【解析】由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，则S 1S 2=251= 25．故答案为：25．12. 已知，函数；若，则_________．【答案】2.【解析】【解析】f(√6)=(√6)2−4=2，f(2)=|2−3|+a =3，解得a =2． 故答案为：2．13. 已知多项式，则__________；__________．【答案】5；10．【解析】【解析】a 1 x 3=C 30x 3(−1)0+C 41x 3=5x 3，则a 1=5； a 2 x 2=C 31x 2(−1)1+C 42x 2=3x 2，则a 2=3； a 3 x =C 32x 1(−1)2+C 43x =7x ，则a 3=7； a 4=C 33x 0(−1)3+C 44=0；a 2+a 3+a 4=3+7+0=10． 故答案为：5；10．14. 在中，，，是的中点，，则__________；__________．【答案】2√13；2√3913． 【解析】【解析】因为= 60∘ ，AB =2 ，AM =2√3 ，所以BM =4 ，所以BC =8 ，AC = √AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB = 2√13 ， cos∠MAC =AC 2+AM 2−CM 22⋅AC⋅AM = 2√3913。