2021年浙江省高考数学试题含答案解析

2021年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共10题；共40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，(i为虚数单位)，则（）A. -1B. 1C. -3D. 33.已知非零向量，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. 3 C. D.5.若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A. -2B.C.D.6.如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与直线异面，直线平面7.已知函数，则图象为如图的函数可能是（）A. B. C. D.8.已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 39.已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10.已知数列满足.记数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.二、填空题（共7题；共36分），小正方形的面积为，则________.12.已知，函数若，则________.13.已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为________. 14.已知多项式，则________，________.15.在中，，M是的中点，，则________，________.16.袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则________，________.17.已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

2021年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题1.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=（）A. ∅B. {1，3}C. {2，4，5}D. {1，2，3，4，5}【答案】C【考点】补集及其运算【解析】【解答】解：因为全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，所以根据补集的定义得∁U A={2,4,5}, 故答案为：C.【分析】根据补集的定义直接求解：∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．−y2=1的焦点坐标是（）2.双曲线x23A. (− √2，0)，( √2，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−√2)，(0，√2)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【考点】双曲线的简单性质−y2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，【解析】【解答】解：因为双曲线方程为x23因为c2=a2+b2=3+1=4,c=2，所以焦点坐标为(±2,0)，故答案为：B.【分析】求得双曲线的a，b，由c=√a2+b2，求得c=2，即可得到所求焦点坐标．3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别×(1+2)×2×2=6,为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为12故答案为：C.【分析】直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．注意画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．4.复数21−i(i为虚数单位)的共轭复数是（）A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】详解：∵21−i =2(1+i)2=1+i，∴共轭复数为1−i，故答案为：B.【分析】由复数的除法运算化简复数为a+bi（a，b∈R）的形式，则其共轭复数可求．5.函数y= 2|x|sin2x的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质，奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】解：令f(x)=2|x|sin2x，因为x∈R,f(−x)=2|−x|sin2(−x)=−2|x|sin2x=−f(x)，所以f(x)=2|x|sin2x为奇函数，排除选项A,B;因为x∈(π2,π)时，f(x)<0，所以排除选项C，故答案为：D.【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．可根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．6.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】详解：因为m⊄α,n⊂α,m//n，所以根据线面平行的判定定理得m//α.由m//α不能得出m与α内任一直线平行，所以m//n是m//α的充分不必要条件，故答案为：A.【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．7.设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，（）A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】详解：∵E(ξ)=0×1−p2+1×12+2×p2=p+12，∴D(ξ)=1−p2(0−p−12)2+12(1−p−12)2+p2(2−p−12)2=−p2+p+14，∵12∈(0,1)，∴D(ξ)先增后减,故答案为：D.【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．解题的关键是掌握离散型随机变量的数学期望与方差.8.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（）A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】 D【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD 于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此∠SEN=θ1,∠SEO=θ2,∠SMO=θ3,从而tanθ1=SNEN =SNOM,tanθ2=SOEO,tanθ3=SOOM,因为SN≥SO，EO≥OM，所以tanθ1≥tanθ3≥tanθ2,即θ1≥θ3≥θ2，故答案为：D.【分析】根据图形的特征作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．9.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）A. √3−1B. √3+1C. 2D. 2− √3【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】详解：设a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)，则由a,e=π3得a⋅e=|a|⋅|e|cosπ3,x=12√x2+y2,∴y=±√3x，由b2−4e⋅b+3=0得m2+n2−4m+3=0,(m−2)2+n2=1,因此|a−b|的最小值为圆心(2,0)到直线y=±√3x的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.故答案为：A.【分析】则向量b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到向量a的终点在不含端点O的两条射线y=± √3x（x＞0）上，利用直线和圆的位置关系可得答案．10.已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则（）A. a1<a3,a2<a4B. a1>a3,a2<a4C. a1＜a3,a2＞a4D. a1>a3,a2>a4【答案】B【考点】函数的单调性与导数的关系，等比数列，数列的应用【解析】【解答】a1,a2,a3,a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q当q>0时，a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3) ，不成立；即a1>a3，a2<a4，a1<a3，a2<a4不成立，排除AD；当q=-1时，a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3) >0，等式不成立，所以q≠-1；当q<-1时，a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3) >0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，当q∈（-1,0）时，a1>a3>0，a2<a4<0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3) ，能够成立，故答案为：B【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．二、填空题11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h=+其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则UA B =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c ==，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。

2021年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4分）设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}2．（4分）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．（4分）已知非零向量，，，则“•＝•”是“＝（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．3C．D．35．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．6．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B17．（4分）已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sinx，则图象为如图的函数可能是（）A．y＝f（x）+g（x）﹣B．y＝f（x）﹣g（x）﹣C．y＝f（x）g（x）D．y＝8．（4分）已知α，β，r是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinγcosα三个值中，大于（）A．0B．1C．2D．39．（4分）已知a，b∈R，ab＞0（x）＝ax2+b（x∈R）．若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列（s，t）的轨迹是（）A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线10．（4分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．记数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．＜S100＜3B．3＜S100＜4C．4＜S100＜D．＜S100＜5二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x⩾1} , B= {x|−1<x<2}，则A∩B=()A. B. C. D.2.已知a∈R，(1+ai) i =3+i(i为虚数单位)，则a=()A. B. C. D.3.已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗，则“a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗”是“a⃗=b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示(单位：厘米)，则该几何体的体积是(单位：cm3)()A.B.C.D.5.若实数x , y满足约束条件{x+1≥0x−y≤02x+3y−1≤0，则z=x−12y最小值是()A. B. C. D.6.已知正方体，，分别是，，，的中点，则()A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与异面，直线平面7.已知函数，则为右图的函数可能是()A.B. y =f(x)−g(x)−14 C.D.8. 已知，，是三个锐角，则，，中，大于的数至多有( )A. 个B. 个C. 个D. 个9. 已知 a , b ∈ R , a b >0，若函数f(x)=ax 2+b (x ∈R)，且f(s −t)，f(s)，f(s +t)成等比数列，则平面上点(s , t)的轨迹是( )A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10. 已知数列满足，，记数列的前和项，则( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2，则S1S 2= ．12. 已知，函数；若，则_________． 13. 已知多项式，则__________；__________．14. 在中，，，是的中点，，则__________；__________．15.袋中有4个红球，个黄球，个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为；若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_________，_________．16.已知椭圆，焦点，；过的直线和圆相切，并与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是_________，椭圆的离心率是__________．17.已知平面向量，，满足，，，，记平面向量在，方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为，则的最小值的等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．1证明：；2求直线与平面所成角的正弦值．20.已知数列a n的前n项和为S n，a1=−9，且4S n+1=3S n−9(n∈N∗).4(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列{b n}满足3b n+(n−4)a n=0(n∈N∗)，记{b n}的前项和为T n，若T n≤λb n对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．21.如图，已知F是抛物线y2=2px (p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2．(1)求抛物线方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A , B两点，若斜率为2的直线l与直线MA , MB , AB , x轴依次交于点P , Q , R , N，且满足|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．22.设a , b为实数，且a>1，函数f(x)=a x−b x+e2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>e4，函数f(x)有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，且满足x2>blnb2e2x1+e2b．答案和解析1.【答案】D【知识点】相等关系与不等关系、交集及其运算【解析】【解析】由题意可知，A∩B= { x | 1⩽x<2 }，故选D．2.【答案】C【知识点】复数的概念、复数的四则运算、复数相等的充要条件【解析】【解析】∵(1+ai) i = −a+i = 3+i，∴a=−3.故选：C．3.【答案】B【知识点】推理、必要条件、充分条件与充要条件的判断、向量的数量积【解析】【解析】∵a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗，∴(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=0，即(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，但a⃗≠b⃗ 不一定成立，故充分性不满足，若a⃗=b⃗ ，则a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗必成立，故必要性满足，所以是必要不充分条件．故选：B．4.【答案】A【知识点】几何体的侧面积、表面积、体积问题、数学模型与数学探究活动、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间几何体的三视图【解析】【解析】由三视图可得，直观图如图所示，四棱柱A B C D−A1B1C1D1，由俯视图可知，底面A B C D为等腰梯形，将四棱柱补形成棱长为2的长方体，则BE=√22，所以V=12×(√2+2√2)×√22⋅1=32．故选：A．5.【答案】B【知识点】数学思想和方法、范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域【解析】【解析】由题意可知，可行域如图所示，令直线l：y=2x−2z，当直线l过点A(−1 ,1)时，z有最小值−32．故选：B．6.【答案】A【知识点】空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间中的位置关系 【解析】【解析】连接AD 1，则AD 1与A 1D 交于M ，AD 1⊥AD 1， 在正方体中，∵A B ⊥平面ADD 1A 1，∴A B ⊥A 1D ， ∴AD 1⊥平面ABD 1， ∴A 1D ⊥D 1 B ， ∵M 为AD 1中点， N 为D 1 B 中点， ∴M N//A B ，∴M N//平面A B C D ． 故选：A ．7.【答案】D【知识点】函数的图象、函数的奇偶性、复合函数的单调性、数学模型与数学探究活动 【解析】【解析】易知函数图像表示的是奇函数，y =f(x)+g(x)−14=x 2+sinx 与y =f(x)−g(x)−14=x 2−sinx 均为非奇非偶函数，排除A 和B ，对于C ，y =f(x)g(x)=(x 2+14) sinx 在[0， π2]上单调，与题意不符． 故选：D ．8.【答案】C【知识点】推理、运用反证法证明、三角恒等变换【解析】【解析】假设sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα均大于12，即sinαcosβ>12，sinβcosγ>12，sinγcosα>12，则(sinαcosβ)⋅(sinβcosγ)⋅(sinγcosα)>18，而另一方面，(sinαcosβ)(sinβcosγ)(sinγcosα)=(sinαcosα)(sinβcosβ)(sinγcosγ)，化简得，12sin2α⋅12sin2β⋅12sin2γ=18sin2α⋅sin2β⋅sin2γ≤18，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12，取β=π4，α=π3，γ=π6，得到sinαcosβ=√64>12，且sinβcosγ=√64>12，∴大于12的数至多有2个．故选：C．9.【答案】C【知识点】数学思想和方法、圆锥曲线中的对称性问题、直线方程的综合应用、双曲线的概念及标准方程【解析】【解析】∵f(s−t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，∴f2(s)=f(s−t)⋅f(s+t)⇒[a(s−t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2，⇒a2(s2−t2)2+a b(2s2+2t2)+b2=a2s4+2abs2+b2，⇒a2(s4−2s2t2+t4)+2abs2+2abt2+b2=a2s4+2abs2+b2，∴a2t4−2a2s2t2+2abt2=0⇒at4−2as2t2+2bt2=0⇒t2(at2−2as2+2b)= 0，当t=0时，(s , t)的轨迹是直线，当at2−2as2+2b=0时，2s2−t2=2ba>0，即s2ba−t2a=1，此时(s , t)的轨迹是双曲线．故选：C．10.【答案】A【知识点】运用放缩法证明不等式、数列的递推关系、数列的求和【解析】【解析】∵a n+1=n1+√a ⇒a n+1+a n+1√a n =a n ，∴a n+1=n n+1√a ，∵√a n >12(√a n +√a n+1)， ∴a n+1<n n+112(√a +√a )=2(√a n −√a n+1)，∴S 100<1+2(√a 1−√a 2+√a 2−√a 3+⋯+√a 99−√a 100)=1+2(1−√a 100)<3， 易知：n ⩾2时，a n ≤12，先证明：n ⩾2时，√a n <712(√a n +√a n+1)⇔5√a n <7√a n+1⇔25 a n <49 a n+1，即：25a n <49⋅n1+√a ⇔√a n <2425(n ⩾2)成立，当n ⩾2，a n+1>n n+1712(√a +√a )=127(√a n −√a n+1)， 由a n+1=n 1+√a ⇒1an+1=1+√a n a n=1a n+√1a n ⇒1a n+1−1a n =√1a n≥1，则1a 2−1a 1>1 , 1a 3−1a 2>1 , ⋯ , 1a100−1a 99>1 ⇒1a 10>100，即a 100<1100， ∴S 100>1+12+127(√a 2−√a 3+√a 3−√a 4+⋯+√a 99−√a 100)=1+12+6√27−127√a 100≥32+6√27−635>52，综上：52<S 100<3． 故选：A ．11.【答案】25．【知识点】数学思想和方法、数学模型与数学探究活动【解析】【解析】由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，则S 1S 2=251= 25．故答案为：25．12.【答案】2.【知识点】函数的解析式、复合函数、分段函数【解析】【解析】f(√6)=(√6)2−4=2，f(2)=|2−3|+a =3，解得a =2． 故答案为：2．13.【答案】5；10．【知识点】数学思想和方法、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】【解析】a 1 x 3=C 30x 3(−1)0+C 41x 3=5x 3，则a 1=5； a 2 x 2=C 31x 2(−1)1+C 42x 2=3x 2，则a 2=3； a 3 x =C 32x 1(−1)2+C 43x =7x ，则a 3=7； a 4=C 33x 0(−1)3+C 44=0；a 2+a 3+a 4=3+7+0=10． 故答案为：5；10．14.【答案】2√13；2√3913．【知识点】解三角形、数学模型与数学探究活动、余弦定理 【解析】【解析】因为= 60∘ ，AB =2 ，AM =2√3 ，所以BM =4 ，所以BC =8 ，AC = √AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB = 2√13 ， cos∠MAC =AC 2+AM 2−CM 22⋅AC⋅AM = 2√3913。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=L台体的体积公式121()3V S S h=其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =p 球的体积公式343V R =p 其中R 表示球的半径一､选择题1. 设集合{}1A x x =³，{}12B x x =-<<，则A B =I （ ）A. {}1x x >- B. {}1x x ³ C. {}11x x -<< D. {}12x x £<【答案】D 【解析】【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =£<I .故选：D.2. 已知a R Î，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A. 1- B. 1C. 3- D. 3【答案】C 【解析】【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=\=-.故选：C.3. 已知非零向量,,a b c r r r ，则“a c b c ×=×r r r r ”是“a b =r r”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-uuu r uuu r uuu r uuu r r r r r r ,当AB OC ^时，a b -r r 与c r 垂直，，所以成立，此时a b ¹rr，∴不是a b =r r 的充分条件，当a b =r r 时，0a b -=r r r ，∴()00a b c c -×=×=r r r r r ,∴成立，∴是a b =rr的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.32B. 3D. 【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，，下底为1=故111113122ABCD A B C D V -=´=，故选：A.5. 若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +³ìï-£íï+-£î，则12z x y =-最小值是（）的A. 2-B. 32-C. 12-D.110【答案】B 【解析】【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为22y x z =-，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y 轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件1002310x x y x y +³ìï-£íï+-£î的可行域，如下图所示：目标函数12z x y =-化为22y x z =-，由12310x x y =-ìí+-=î，解得11x y =-ìí=î，设(1,1)A -，当直线22y x z =-过A 点时，12z x y =-取得最小值为32-.故选：B6. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）.A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ^平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ^平面11BDD B 【答案】A 【解析】【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ^平面1ABD ，即可得出结论.【详解】连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN Ë平面,ABCD AB Ì平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD 则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ^，AB ^平面11AA D D ，所以1AB A D ^，1AD AB A Ç=，所以1A D ^平面1ABD ，1D B Ì平面1ABD ，所以11A D D B ^，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.7. 已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A. 1()()4y f x g x =+- B. 1()()4y f x g x =--C. ()()y f x g x = D. ()()g x y f x =【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x æö==+ç÷ø，则212sincos 4y x x x x æö¢=++ç÷èø，当4x p =时，2102164y pp æö¢=++>ç÷èø，与图象不符，排除C.故选：D.为8.已知,,a b g 是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2a b b g g a ++£，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2a ba b +£，同理22sin cos sin cos 2b g b g +£，22sin cos sin cos 2g ag a +£，故3sin cos sin cos sin cos 2a b b g g a ++£，故sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 不可能均大于12.取6pa =，3pb =，4pg =，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222a b b g g a =<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设a b g <<，则cos cos cos ,sin sin sin a b g a b g >><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos a b b g g a a g b b g a ++£++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222a gb b g a g a b ++=++£，故sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 不可能均大于12.取6pa =，3pb =，4pg =，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222a b b g g a =<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.9.已知,R,0a b ab Î>，函数()2R ()f x ax b x =+Î.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b éùéù-+++=+ëûëû，对其进行整理变形：()()()22222222as at ast b as at ast b as b +-++++=+，()()222222(2)0asat b ast as b++--+=，()2222222240asat b at a s t ++-=，222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0t =，其中2212s t b ba a-=为双曲线，0t =为直线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.10. 已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==Î.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A100321S << B. 10034S << C. 100942S <<D.100952S <<.【答案】A 【解析】【分析】显然可知，1001 2S>，利用倒数法得到21111124n na a+ö==+-÷÷ø，再放缩可得12<，由累加法可得24(1)nan³+，进而由1na+=局部放缩可得113nna na n++£+，然后利用累乘法求得6(1)(2)nan n£++，最后根据裂项相消法即可得到1003S<，从而得解．【详解】因为)111,Nna a n*+==Î，所以0na>，10012S>．由211111124nn naa a++ö=Þ==+-÷÷ø2111122na+ö\<+Þ<+÷÷ø12<11122n n-+£+=，当且仅当1n=时取等号，12412(1)311nn n na na a an nn++\³\=£=++++113nna na n++\£+，由累乘法可得6(1)(2)nan n£++，当且仅当1n=时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102Sæöæö£-+-+-++-=-<ç÷ç÷èøèøL，即100321S<<．故选：A．【点睛】的不等关系，再由累加法可求得24(1)nan³+，由题目条件可知要证100S小于某数，从而通过局部放缩得到1,nna a+的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n £++，最后由裂项相消法求得1003S <．二､填空题11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，则11S S =___________.【答案】25【解析】【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：5a ==，则其面积为：21525S ==，小正方形的面积：212543412S æö=-´´´=ç÷èø，从而2125251S S ==.故答案为：25.12. 已知R a Î，函数24,2()3,2,x x f x x a x ì->ï=í-+£ïî若3f f éù=ëû，则a =___________.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f ff f a éù=-==-+=ëû，故2a =，故答案为：2.13.已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】 (1). 5; (2). 10.【解析】【分析】根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4))x x -+的展开式，即可得出结论.【详解】332(1)331x x x x -=-+-，4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=，34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=.故答案为：5,10.14. 在ABC V 中，60,2B AB Ð=°=，M 是BC 的中点，AM =AC =___________，cos MAC Ð=___________.【答案】 (1). 【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC Ð.【详解】由题意作出图形，如图，在ABM V 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-××，即21124222BM BM =+-´´，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC V 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-××=+-´´´=，所以AC =在AMC V中，由余弦定理得222cos 2AC AM MC MAC AM AC +-Ð===×.故答案为：15.袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为x ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E x =___________.【答案】 (1). 1 (2).89【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得,m n 的值，再根据随机变量x 的分布列即可求出()E x ．【详解】2244224461(2)366m n m n m n C P C C C x ++++++====Þ=，所以49m n ++=，()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++×====Þ=, 所以2n =, 则1m n -=．由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C x x x ×´==========155158()2106918399E x \=´+´+´=+=．故答案为：1；89．16. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c æö-+=ç÷èø相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ^轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.【答案】【解析】【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F Ð=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =Ð=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F AÐ=Ð==，12tan PF F Ð==所以k =由21212,24PF k F F c F F ===，所以2PF =，21121=sin PF PF PF F ´=∠，于是122PF a PF +==，即a =，所以c e a ===．．17.已知平面向量,,,(0)a b c c ¹r r r r r 满足()1,2,0,0a b a b a b c ==×=-×=r r r r r r r .记向量d u r 在,a b r r方向上的投影分别为x ，y ，d a -u r r 在c r方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.【答案】25【解析】【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===r r r，，由平面向量的知识可得22x y +=，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===r r r，，则()20a b c m n -×=-=r r r，即2m n =，又向量d u r 在,a b r r方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =u r ，所以d a -u r r 在c r 方向上的投影()||d a c z c -×===u r rrr ，即22x y +=m ,所以(()()222222222211221210105x y z x y z x y éù++=++++³+=êúëûm ，当且仅当212x y x y ì=ïíï+îm即25x y z ì=ïïïíïï=ïî时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出,,x y z 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.三､解答题18. 设函数()sin cos (R)f x x x x =+Î.（1）求函数22y fx p éùæö=+ç÷êúèøëû的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x p æö=-ç÷èø在0,2p éùêúëû上的最大值.【答案】（1）p；（2）1+.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解；【（2）由三角恒等变换可得sin 24y x p æö=-ç÷èø，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x p æö=+=+ç÷èø，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x p p p p éùùæöæöæö=+=+=+=-+=-ç÷ç÷ç÷êúúèøèøèøëûæöç÷øûè，所以该函数的最小正周期22T pp ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x p p p æöæöæö=-=+=+ç÷ç÷ç÷èøèøèø22sin cos x x x x x x ö=×+=+÷÷ø1cos 2222sin 224x x x x x p -æö=+=-=-+ç÷èø由0,2x p éùÎêúëû可得32,444x p p p éù-Î-êúëû，所以当242x pp-=即38x p =时，函数取最大值119. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA Ð=°===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ^^.（1）证明：AB PM ^；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）要证AB PM ^，可证DC PM ^，由题意可得，PD DC ^，易证DM DC ^，从而DC ^平面PDM ，即有DC PM ^，从而得证；（2）取AD 中点E ，根据题意可知，,,ME DM PM 两两垂直，所以以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN uuu r和平面PDM 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在DCM △中，1DC =，2CM =，60DCM Ð=o，由余弦定理可得DM =，所以222DM DC CM +=，\DM DC ^．由题意DC PD ^且PD DM D Ç=，DC \^平面PDM ，而PM Ì平面PDM ，所以DC PM ^，又//AB DC ，所以AB PM ^．（2）由PM MD ^，AB PM ^，而AB 与DM 相交，所以PM ^平面ABCD，因为AM =，所以PM =，取AD 中点E ，连接ME ，则,,ME DM PM 两两垂直，以点M 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(2,0),(0,0,A P D,(0,0,0),1,0)M C -又N 为PC中点，所以15,22N AN -=-uuu r .由（1）得CD ^平面PDM ，所以平面PDM 的一个法向量(0,1,0)n =r从而直线AN 与平面PDM所成角的正弦值为||sin ||AN n AN n q ×===uuu r r uuu r r ‖．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明AB PM ^，可以考虑DC PM ^，题中与DC 有垂直关系的直线较多，易证DC ^平面PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=Î，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b l £对任意N n *Î恒成立，求实数l 的取值范围.【答案】（1）33(4nn a =-×；（2）31l -££.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =³讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b l £对任意N n *Î恒成立，分类讨论分离参数l ，转化为l 与关于n 的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-\=-，当2n ³时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n na a +=122730,0,164n n n a a a a +=-¹\¹\=，又213,{}4n a a a =\是首项为94-，公比为34的等比数列，1933(3()444n n n a -\=-×=-×；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n æöæöæöæö=-´-´-´´++-×ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèè+øøL ，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +æöæöæöæöæö=-´-´-´++-×+-×ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL ，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +æöæöæöæöæö=-´++++--×ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL1193116493(4)34414n n n -+éùæö-êúç÷èøêúæöëû=-+--ç÷èø-111993334(4)44444n n n n n +++æöæöæö=-+---×=-×ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以134()4n n T n +=-×，由n n T b l £得1334((4)(44n nn n l +-×£-×恒成立，即(4)30n n l -+³恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n l £-=----，得1l £；4n >时，312344n n n l ³-=----，得3l ³-；所以31l -££.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n l -+³恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.21. 如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R，N ，且2RNPN QN =×，求直线l 在x 轴上截距的范围.【答案】（1）24y x =；（2）()(),771,é-¥---++¥ëU U .【解析】【分析】（1）求出p 的值后可求抛物线的方程.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，联立直线AB 的方程和抛物线的方程后可得12124,4y y y y t =-+=，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出,,P Q R y y y ，根据题设条件可得()222134121n t n t ++æö=ç÷-èø-，从而可求n 的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ¹且12t ¹.由214x ty y x=+ìí=î可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=，因为2RN PN QN =×，故=2R P Q y y y =×.又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x nì=+ï+ïíï=+ïî可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+ìïí=+ïî可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++éù´êú-+-+-ëû，整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -æö=-ç÷++-+-èø，()22221214212222t y y y y -=æöæö+-+-ç÷ç÷èøèø()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--´-+故()222134121n t n t ++æö=ç÷-èø-，令21s t =-，则12s t +=且0s ¹，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++æö==+=++³ç÷èø-，故213141n n n ì+æö³ïç÷-íèøï¹î即214101n n nì++³í¹î，解得7n £--71n -+£<或1n >.故直线l 在x轴上的截距的范围为7n £--71n -+£<或1n >.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.22. 设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()xf x a bx e x =-+Î（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =×××是自然对数的底数)【答案】(1)0b £时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln ab a æö-¥ç÷èø，单调增区间为log ,ln ab a æö+¥ç÷èø；(2)(21,e ùû；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a 的取值范围；(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)2(),()ln x x f x b f a x e a x a b ¢==+--，①若0b £，则()ln 0x f x a a b ¢=-³，所以()f x 在R 上单调递增；②若0b >，当,log ln a b x a æöÎ-¥ç÷èø时，()()'0,f x f x <单调递减，当log ,ln a b x a æöÎ+¥ç÷èø时，()()'0,f x f x >单调递增.综上可得，0b £时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln a b a æö-¥ç÷èø，单调增区间为log ,ln a b a æö+¥ç÷èø.(2)()f x 有2个不同零点20x a bx e Û-+=有2个不同解ln 20x a e bx e Û-+=有2个不同的解，令ln t x a =，则220,0ln ln t tb b e e e e t a a t t +-+=Þ=>，记()22222(1)(),()t t t t e t e e e e e t e g t g t t t t ¢×-++--===，记2()(1),()(1)10t t t t h t e t e h t e t e e t ¢=--=-+×=×>，又(2)0h =，所以(0,2)t Î时，()0,(2,)h t t <Î+¥时，()0h t >，则()g t 在(0,2)单调递减，(2,)+¥单调递增，22(2),ln ln b b g e a a e\>=\<，22222,ln ,21b b e a a e e>\>\£Þ<£Q .即实数a 的取值范围是(21,e ùû.(3)2,()x a e f x e bx e ==-+有2个不同零点，则2x e e bx +=，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为2x ，较小者为1x ，1222412x x e e e e b e x x ++==>，注意到函数2x e e y x+=在区间()0,2上单调递减，在区间()2,+¥上单调递增，故122x x <<，又由5245e e e +<知25x >，122211122x e e e e b x x x b+=<Þ<，要证2212ln 2b b e x x e b >+，只需22ln e x b b>+，222222x x e e e b x x +=<且关于b 的函数()2ln e g b b b=+在4b e >上单调递增，所以只需证()22222222ln 52x x e x e x x x e>+>，只需证2222222ln ln 02x x x e x e e x e -->，只需证2ln ln 202x e x x e-->，242e <Q ，只需证4()ln ln 2x x h x x e =--在5x >时为正，由于()11()44410x x x h x xe e e x xx ¢---+-+-==>，故函数()h x 单调递增，又54520(5)ln 5l 20n 2ln 02h e e =--=->，故4()ln ln 2x x h x x e =--在5x >时为正，从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

2021年浙江省高考数学真题试卷（含答案）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1≤x＜2} 2．已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．已知非零向量，，，则“•＝•”是“＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．3C．D．35．若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．6．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B17．已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sin x，则图象为如图的函数可能是（）A．y＝f（x）+g（x）﹣B．y＝f（x）﹣g（x）﹣C．y＝f（x）g（x）D．y＝8．已知α，β，r是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于的个数的最大值是（）A．0B．1C．2D．39．已知a，b∈R，ab＞0，函数f（x）＝ax2+b（x∈R）．若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（）A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．记数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．＜S100＜3B．3＜S100＜4C．4＜S100＜D．＜S100＜5二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x ≤<2．已知a ∈R ，()1i i 3i a +=+（i 为虚数单位），则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知非零向量,,a b c ，则“⋅=⋅a c b c ”是“=a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）A ．32 B ．3 C ．322 D ．325．若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y=-的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．12-D ．1106．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D，1D B的中点，则（ ）A ．直线1A D与直线1D B垂直，直线MN ∥平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线MN ∥平面ABCDD ．直线1A D与直线1D B异面，直线MN ⊥平面11BDD B7．已知函数21(),()sin 4f x x g x x=+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =8．已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知,,0a b ab ∈>R ，函数()2()f x ax b x =+∈R ．若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线10．已知数列{}n a 满足)*111,1n n na a n a +==∈+N ．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．100132S <<B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S <<非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

高考精品文档高考浙江卷数学科目·2021年考试真题与答案解析目录选择题………………01页填空题………………05页解答题………………07页高考浙江卷：《数学》科目2021年考试真题与答案解析一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={xIx ≥1}，B={xI-1＜x ＜2}，则（ ） A ． B ． C ． D ． 答案：D2．已知，（i 为虚数单位），则（ ） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 答案：C3．已知非零向量a 、b 、c ，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件A B ={}1x x >-{}1x x ≥{}11x x -<<{}12x x ≤<a ∈R ()1i i 3i a +=+a =⋅=⋅a c b c =a bC ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）A ．B ．3C ．D ．答案：A5．若实数x ，y 满足约束条件，则的最小值是（ ）A ．B ．C ． 32322321002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩12z x y =-2-32-12-D ．答案：B6．如图，已知正方体，M ，N 分别是，的中点，则（ ）A ．直线与直线垂直，直线平面B ．直线与直线平行，直线平面C ．直线与直线相交，直线平面D ．直线与直线异面，直线平面 答案：A7．已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．B ．1101111ABCD A B C D -1A D 1D B 1A D 1D B MN ∥ABCD 1A D 1D B MN ⊥11BDD B 1A D 1D B MN ∥ABCD 1A D 1D B MN ⊥11BDD B 21(),()sin 4f x xg x x =+=1()()4y f x g x =+-1()()4y f x g x =--C ．D ． 答案：D8．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C9．已知，函数．若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ） A ．直线和圆 B ．直线和椭圆 C ．直线和双曲线 D ．直线和抛物线 答案：C10．已知数列满足．记数列的前n 项和为，则（ ） A ．()()y f x g x =()()g x y f x =,,αβγsin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα12,,0a b ab ∈>R ()2()f x ax b x =+∈R (),(),()f s t f s f s t -+(),s t {}n a ()*111,1nn na a a n a +==∈+N {}n a n S 100132S <<B ．C ．D ．答案：A二、填空题本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2021年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4分）设集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ＞﹣1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |﹣1＜x ＜1}D ．{x |1≤x ＜2}2．（4分）已知a ∈R ，（1+ai ）i ＝3+i （i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣3D ．33．（4分）已知非零向量a →，b →，c →，则“a →•c →=b →•c →”是“a →=b →”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．32B ．3C ．3√22D ．3√25．（4分）若实数x ，y 满足约束条件{x +1≥0x −y ≤02x +3y −1≤0，则z ＝x −12y 的最小值是（ ）A ．﹣2B ．−32C ．−12D ．1106．（4分）如图，己知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，M ，N 分别是A 1D ，D 1B 的中点，则（ ）A ．直线A 1D 与直线D 1B 垂直，直线MN ∥平面ABCDB ．直线A 1D 与直线D 1B 平行，直线MN ⊥平面BDD 1B 1C ．直线A 1D 与直线D 1B 相交，直线MN ∥平面ABCD D ．直线A 1D 与直线D 1B 异面，直线MN ⊥平面BDD 1B 17．（4分）已知函数f （x ）＝x 2+14，g （x ）＝sin x ，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．y ＝f （x ）+g （x ）−14B ．y ＝f （x ）﹣g （x ）−14C ．y ＝f （x ）g （x ）D ．y =g(x)f(x)8．（4分）已知α，β，r 是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．（4分）已知a ，b ∈R ，ab ＞0，函数f （x ）＝ax 2+b （x ∈R ）．若f （s ﹣t ），f （s ），f （s +t ）成等比数列，则平面上点（s ，t ）的轨迹是（ ） A ．直线和圆 B ．直线和椭圆 C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线10．（4分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1=an 1+a （n ∈N *）．记数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．12＜S 100＜3B ．3＜S 100＜4C ．4＜S 100＜92D ．92＜S 100＜5二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2021年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共10题；共40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，(i为虚数单位)，则（）A. -1B. 1C. -3D. 33.已知非零向量，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. 3 C. D.5.若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A. -2B.C.D.6.如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与直线异面，直线平面7.已知函数，则图象为如图的函数可能是（）A. B. C. D.8.已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 39.已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10.已知数列满足.记数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.二、填空题（共7题；共36分），小正方形的面积为，则________.12.已知，函数若，则________.13.已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为________. 14.已知多项式，则________，________.15.在中，，M是的中点，，则________，________.16.袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则________，________.17.已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

20212021年浙江省高考数学试卷及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|1}A x x =≥，{|12}B x x =-<<，则A B ⋂=（）A.{|1}x x >- B.{|1}x x ≥ C.{|11}x x -<< D.{|12}x x ≤<2.已知a R ∈，(1)3ai i i +=+（i 为虚数单位），则a =（）A.1- B.1C.3- D.33.已知非零向量a ，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A.32B.3C.322D.5.若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是（）A.2- B.32-C.12-D.1106.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN⊥平面11BDD B C.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 7.已知函数21()4f x x =+，()sin g x x =，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+-B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x =D.()()g x y f x =8.已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin cos αβ，sin cos βγ，sin cos γα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.39.已知,a b R ∈，0ab >，函数2()()f x ax b x R =+∈，若()f s t -，()f s ，()f s t +成等比数列，则平面上点(,)s t 的轨迹是（）A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线10.已知数列{}n a 满足11a =，1)n a n N *+=∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.100132S << B.10034S << C.100942S <<D.100952S <<二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，则12S S =.12.已知a R ∈，函数24,2()|3|,2x x f x x a x ⎧->=⎨-+≤⎩，若(3f f =，则a =.13.已知多项式34431234(1)(1)x x x a x a x a x a 2-++=++++，则1a =；234a a a ++=.14.在ABC ∆中，60B ∠=︒，2AB =，M 是BC的中点，AM =AC =；cos MAC ∠=.15.袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=，()E ξ=.16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c （0c >）.若过1F 的直线和圆2221()2x c y c -+=相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是；椭圆的离心率是_________.17.已知平面向量a ，b ，(0)c c ≠ 满足1a = ，2b = ，0a b ⋅= ，()0a b c -⋅=，记平面向量d 在a ，b 方向上的投影分别为x ，y ，d a - 在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值是.三、解答题（本题共5小题，满分74分）18.（14分）记函数()sin cos ()f x x x x R =+∈.（1）求函数2[()]2y f x π=+的最小正周期；（2）求函数()(4y f x f x π=-在[0,]2π上的最大值.19.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，4BC =，PA M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥.（1）证明：AB PM ⊥.（2）求直线AN 与平面PD M 所成角的正弦值.20.（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且*1439()n n S S n N +=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设数列{}nb 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.21.（15分）如图，已知F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且||2MF =.（1）求抛物线的方程.（2）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足2||||||RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的取值范围.22．（15分）已知函数2()(1,)x f x a bx e a x R =-+>∈．（12分）（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若对于任意实数22b e >，()f x 均有两个不同零点，求实数a 的取值范围；（3）若a e =，证明：对于任意实数4b e >，()f x 有两个零点1x ，2x （12x x <），且2212ln 2b b ex x e b>+．数学试题参考答案1-10DCBAB ADCCA11、25；12、2；13、5；1014、2391315、1；8916、255；5517、2518、解：（1）()sin cos )4f x x x x π=+=+，222333[()])]2sin (1cos(2)1sin 22442y f x x x x x ππππ=+=+=+=-+=-，所以222T πππω===.（2）()()44y f x f x x xππ=-=+2222sin(2sin sin cos )cos422x x x x x x x xπ=+=⋅+=1cos 222222sin 22cos 2sin(2)2222242x x x x x π-=+=-+=-+，令24x t π-=，[0,]2x π∈，所以3[,44t ππ∈-，所以2sin [,1]2t ∈-，故2[0,12y ∈+，所以函数()(4y f x f x π=-在[0,]2π上的最大值为212+.19、解：（1）证明：在DCM ∆中，1DC =，2CM =，60DCM ∠=︒，∴DCM ∆为直角三角形，90MDC ∠=︒，即DM DC ⊥，由题意DC PD ⊥且PD DM D ⋂=，PD ，DM ⊂面PD M ，∴DC ⊥面PD M ，又//AB DC ，∴AB ⊥面PD M ，∵PM ⊂面PD M ，∴AB PM ⊥.（2）由PM MD ⊥，PM AB ⊥得PM ⊥面ABCD ，∴PM MA ⊥，MA ==PM ==，取AD 中点E ，连接ME ，则ME ，D M ，PM 两两垂直，以M 为坐标原点，分别以M D 、M E 、M P 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(A，P，D ，(0,0,0)M，1,0)C -，又N 为PC中点，所以1(22N -，5(,22AN =- ，由（1）得CD ⊥面PD M ，所以面PD M 的法向量(0,1,0)n =，从而直线AN 与平面PD M所成角的正弦值为5||2sin 6||||AN n AN n θ⋅===.20.解：（1）由1439n n S S +=-①，得1439(2)n n S S n -=-≥②，①-②得143n n a a +=，即134n n a a +=，所以{}n a 是以94-为首项，34为公比的等比数列，故1933()3()444n n n a -=-=-.（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，从而2343333332()1()0((4)()44444n n T n =-⨯-⨯-⨯+⨯++-⋅ ③，故23413333333(2()1((5)((4)(444444n n n T n n +=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ④，③-④得234113333333((()()(4)(4444444n n n T n +=-⨯+++++--⋅ 1111193[1()9399333164(4)(4((4)()()344444441]4n n n n n n n n -++++-=-+--=-+---⋅=-⋅-，所以134(4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式成立，4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤，4n >时，312344n n n λ≥-=--+-，得3λ≥-，所以31λ-≤≤.21、解：（1）||2MF p ==，故抛物线的方程为24y x =.（2）(1,0)F ，(1,0)M -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，显然直线AB 斜率不为0，故可设:1AB x my =+，因为R ，N 不重合，故l 不过点(1,0)F ，故可设:2(2)l y x n n =+≠-，联立直线AB 与抛物线方程可得2244401y x y my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩，故由韦达定理可知121244y y my y +=⎧⎨=-⎩，故2222121212()2168y y y y y y m +=+-=+，直线AM 的方程为1111()1y y x x y x =-++，联立直线AM 和l 可得1111111(1)(2)(,)2222n x y n y P y x y x +------，同理可得2222222(1)(2)(,2222n x y n y Q y x y x +------，故2212212221122112(2)4(2)|||||(22)(22)(24)(2)|4P Q n y y n y y y y y x y x y y y y --==--------()()2222222121212121216(2)(2)||4286)4(143n n y y y y y y y y y y m --==-+++++++，联立直线AB 和l 解得212R n y m +=-，因为2||||||RN PN QN =⋅，故22222(2)()|243|1R P Q n n y y y m m +-===-+，故22222(2)432431(2)(21)21(21)4n m n m m m -+==++≥+---，解得(,2)(2,14[14)n ∈-∞-⋃--⋃++∞，故(,7[7(1,)2n-∈-∞--⋃-⋃+∞，直线l 在x轴上截距的取值范围为(,7[7)(1,)-∞--⋃-⋃+∞.22．解：（1）由()ln x f x a a b '=-，若0b ≤，有()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；若0b >，则()f x 在(,log ln ab a -∞单调递减，在(log ,)ln a ba+∞单调递增；（2）当22b e >，()f x 均有两个不同零点，由（1）可知2min ()(log )log 0ln ln ln aa b b b f x f b e a a a==-+<，记ln b m a =，即有2ln 0m m m e -+<，即21ln 0e m m -+<，记2()1ln e g x x x=-+，易知()g x 单调递减，又有2()0g e =，则由()0g m <，可知2m e >，所以有2ln ba e<恒成立，则有ln 2a ≤，可得21a e <≤；（3）当a e =时，4b e >，由（1）有2min ()(ln )ln 0f x f b b b b e ==-+<，又有22()0eb e f e b=>，22()0b f b e b e =-+>，其中2ln e b b b <<，所以可知()f x 有两个不同的零点，又22222(0eb e f e e b=-<，则有22121e e x b b <<<，所以2112ln ln 2b b e x b x e b+<+，而122111(ln )(ln )0x f b x b e b x e e bx +=--+<-<，所以21ln x x b >+，则有22112ln ln 2b b e x b x x e b>+>+，不等式得证．。