22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
第5课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
教学目标
1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;会用配方法将二次函数y=ax2+bx+c 的解析式写成y=a(x-h)2+k的形式;通过图象能熟练地掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.
2.经历探索y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质紧密联系的过程,能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题,深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.
3.通过合作交流,激发学习数学的兴趣,感受数学的价值.
教学重难点
重点:用描点法画出二次函数的图象,并指出该图象的基本性质.
难点:通过对二次函数y=ax2+bx+c上的一些点的分析得出关于a、b、c的不等式.
教学过程与方法
知识点:y=ax2+bx+c的图象和性质
1.提出问题(3分钟)
你能作出y=x2-6x+21的图象吗?
2.自主学习:教材P37~P39(9分钟)
3.交流方法(2分钟)
4.归纳总结(4分钟)
①一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.
y=ax2+bx+c=a(x+)2+,因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).
②开口方向、最值、增减性怎样?
5.课堂练习:P39练习(3分钟)
6.课堂小结(5分钟)
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标通常有几种方法?配方时应注意什么?公式是怎样的?
(2)指出y=ax2+bx+c的开口方向、顶点坐标.
7.独立作业(15分钟)
(1)必做题:习题22.1第6题(1)(3).
(2)选做题:习题22.1第6题(2)(4).
(3)备用题:
①用配方法将二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式.
解:y=(x-3)2+12
②某学生推铅球,铅球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是
y=-x2+x+,则铅球落地的水平距离为 5 m.
小华说:过点(3,0);小彬说:过点(4,3),小明说:a=1,小颖说:抛物线被x轴截得的线段长为2,你认为四个人的说法中,正确的有( D )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
一、情境导入 在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙的身高是1.5米，距甲拿绳的手水平距离为1米，绳子甩到最高处时，刚好通过他的头顶．当绳子甩到最高时，学生丁从距甲拿绳的手2.5米处进入游戏，恰好通过．你能根据以上信息确定学生丁的身高吗？ 二、合作探究 探究点：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 【类型一】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的性质 若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是() A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2 解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－b 2a＝2.∵A(2，y1)中x ＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3，∴y2＞y3＞y1.故选C. 方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的位置与各项系数符号的关系 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a ＜0；②a＋b＋c＞0；③－b 2a＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________(填序号)． 解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴 在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；因为对称轴在y轴右侧，∴对称轴为－b 2a＞0；由图象可 知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③都正确．故答案为①②③. 方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型三】二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数图象的综合 在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是() 解析：若函数y＝mx＋m中的m＜0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－b 2a＝ － 2 2m＝－ 1 m＞0，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误，D选项正确；若函数y＝mx＋m中的m ＞0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝－b 2a＝－2 2m＝－1 m＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误．故选D. 方法总结：熟记一次函数y＝ax＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 第5课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 教学目标 1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;会用配方法将二次函数y=ax2+bx+c 的解析式写成y=a(x-h)2+k的形式;通过图象能熟练地掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质. 2.经历探索y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质紧密联系的过程,能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题,深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想. 3.通过合作交流,激发学习数学的兴趣,感受数学的价值. 教学重难点 重点:用描点法画出二次函数的图象,并指出该图象的基本性质. 难点:通过对二次函数y=ax2+bx+c上的一些点的分析得出关于a、b、c的不等式. 教学过程与方法 知识点:y=ax2+bx+c的图象和性质 1.提出问题(3分钟) 你能作出y=x2-6x+21的图象吗? 2.自主学习:教材P37~P39(9分钟) 3.交流方法(2分钟) 4.归纳总结(4分钟) ①一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴. y=ax2+bx+c=a(x+)2+,因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点坐标是(-,). ②开口方向、最值、增减性怎样? 5.课堂练习:P39练习(3分钟) 6.课堂小结(5分钟) (1)求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标通常有几种方法?配方时应注意什么?公式是怎样的? (2)指出y=ax2+bx+c的开口方向、顶点坐标. 7.独立作业(15分钟) (1)必做题:习题22.1第6题(1)(3). (2)选做题:习题22.1第6题(2)(4).
第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.能用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,从而确定其开口方向、最值、对称轴和顶点坐标; 2.理解并能说出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式,并以此求其对称轴和最值. 【过程与方法】 经历用配方法推导二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式的过程,进一步体验数学上的转化思想,体会建立二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式的必要性. 【情感、态度与价值观】 丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,体会二次函数图象的对称美以及二次函数的一般式与顶点式互相转化的和谐美. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式,并能用其推导的顶点坐标公式求二次函数的对称轴和顶点坐标. 【教学难点】 用配方法推导y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式. ◇教学过程◇ 一、问题导入 1.请说出二次函数y=ax2,y=ax2+h,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标. 2.怎么求y=x2-8x+11的顶点坐标、对称轴和最值?y=2x2-4x+5呢? 3.对于更一般的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)又怎么求其顶点坐标、对称轴和最值呢? 二、合作探究 探究点1用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴 典例1已知二次函数y=x2-x-. (1)用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标; (2)在图中画出该函数的图象;
课题：2.2.1二次函数的图象与性质 教学目标： 1．能够利用描点法作出函数2x y =的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质； 2．猜想并能作出二次函数2x y -=的图象，并能比较它与2x y =的图象的异同； 3．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验； 4．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同存异思维． 教学重点与难点： 重点：作出函数2x y =和2x y -=的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y =和2x y -=的性质； 难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点． 课前准备：多媒体课件、几何画板． 教学过程: 一、回顾旧知，导入新课 活动内容：复习回顾 问题1：你还记得我们按照什么步骤研究一次函数和反比例函数的吗？（多媒体出示） 问题2：我们知道一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线，通过上节课的练习，你认为二次函数的图象是直线吗？是双曲线吗？（多媒体出示上节课练习） 问题3：从今天我们开始来研究二次函数的图象及性质（板书课题），由于二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象较为复杂，我们从最简单的开始，你认为最简单的二次函数a ，b ，c 分别为多少？ （多媒体出示） 下面我们先在平面直角坐标系中作出2 x y =的图象． 处理方式：
问题1让学生回忆研究函数的步骤，“认识函数——研究图象——函数应用”，学生回答会有困难，可进行多媒体投放目录同时在教师的引导下进行．问题2多媒体投放一次函数和反比例函数的图象，以及上节课练习中的表格，让学生猜测二次函数的形状，从而引入新课．问题3的提出为整个本节埋下伏笔后，学生自然会想到最简单的系数为a = 1，b = 0，c = 0，继而得到本节课的第一个函数图象的研究． 设计意图：本章为初中阶段最后一种函数的研究，所以在开篇让学生回顾一次函数及反比例函数研究顺序及方法，并对比着探索二次函数的研究方法，使其对知识的生成与使用有更高层次的升华．而后续问题让学生了解到，本节课所研究的二次函数只是本节的基础，为后续函数做好基础性的准备与铺垫． 二、探究学习，感悟新知 y=的图象 活动内容一：画二次函数2x 问题1 你还记得画函数图象的一般步骤吗？ 问题2 （利用几何画操作如图1） y=的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：（1）观察2x （2）在直角坐标系中描点． y=的图象． （3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数2x 图1 处理方式：
二次函数图像和性质教学设计【优秀3篇】 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、合同协议、规章制度、条据文书、策划方案、心得体会、演讲致辞、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, contract agreements, rules and regulations, doctrinal documents, planning plans, insights, speeches, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!
二次函数图像与性质教案 二次函数图像与性质教案 27.2二次函数的图象与性质第一课时二次函数y=ax2的图象与性质 教学内容 二次函数y=ax2图象的画法及其性质。教学目标 知识与技能：1.使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2.使学生能在教师引导下探索并理解二次函数y=ax2在a＞0和a＜0时的图像情况及性质。过程与方法：使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程。情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。重点 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象难点 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数y=ax2性质。教具准备 多媒体、课件、课外资料。学具准备平面直角坐标系教学过程： 一、复习准备、引入新课1.平面直角坐标系 相关概念：横轴（x轴）、纵轴（y轴）、坐标原点、象限点的坐标点与有序实数对点的位置及其坐标特征 各象限的点各坐标轴上的点，各象限角平分线上的点、对称于坐标轴的点、对称于原点的点。2.引入新课
反比例函数的性质我们是通过图像总结出来的，二次函数性质的研究也离不开二次函数的图像，那么，如何画二次函数的图像呢？二、动手操作，探求新知1.图像 学生用描点法画函数y=x2和y=-x2的图像（在同一个坐标系中）提示：用光滑的曲线自左向右顺次连接，注意向外延伸。教师演示，规范画法。随堂练习画出下列函数的图像 （1）y=x2（2）y=2x2（3）y=－x22.抛物线 二次函数y=ax2的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。这条抛物线是轴对称图形，y轴就是它的对称轴。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。3.性质 （1）让学生观察所画的几个函数的图像，引导总结 y=ax2的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是 （0,0）（2）引导观察y=x2和y=2x2的图象总结当a＞0时抛物线开口向上， 在对称轴的左侧，曲线自左向右下降；在对称轴的右侧，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点；归纳性质： 当a＞0时，函数y=ax2的性质如下当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取得最小值，最小值y=0。 （3）学生自己观察y=-x2的图象，尝试描述图象的特点并归纳当a＜0时二次函数y=ax2的性质。学生讨论后小组汇报，教师点评并总结。三、随堂练习
二次函数y=a x2（a≠0）的图像和性质 教学目标： 通过画二次函数的图像的过程，使学生进一步熟练用描点法画函数图像，认识y=ax2（a≠0）的图像的性质。理解图像与表格和解析式之间的关系。培养学生的动手操作能力， 通过总结图像的性质的过程，培养学生善于观察，分析，归纳，概括，善于合作交流的良好习惯 通过练习运用经历建模的过程，让学生体会数学的应用价值。 重点：理解抛物线的概念，会用描点法画二次函数y=a x2（a ≠0）的图像 难点：探索y=a x2（a≠0）的图像和性质 教法：教师通过实际动手操作画不同类型二次函数的图像，多媒体演示，引导学生观察，分析，归纳二次函数y=a x2（a≠0）的图像和性质 学法：学生通过动手操作，相互讨论，总结归纳出本节内容。 教具：多媒体和教学三角板。 学具: 三角板 教学过程： 一，复习引入： 1．举例说明什么是一次函数？ （例如：y=3x+6或y=-0.5x等形式的函数叫一次函数。）
2.如何画一次函数的图像? （列表，描点，连线） 二、新授互动 1.你能试着画二次函数y=x2的图像吗？你会选择哪些自变量? 解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表： （2）（在直角坐标系中）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 （3）连线: 用光滑的曲线从左至右顺次连结各点 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．将所画的函数的图象作比较，你又能发现什么? 四、归纳
21.2二次函数的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2的图象和性质 教学目标 【知识与技能】 使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质. 【过程与方法】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质. 重点难点 【重点】 使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象. 【难点】 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么? (一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.) 2.画函数图象的一般步骤是什么? 一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线). 3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质? (运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.) 二、新课教授 【例1】画出二次函数y=x2的图象. (2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y). (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题: (1)二次函数y=x2的图象是什么形状? (2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价. 函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数 的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2. 由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称 轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛 物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点. 【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象. 思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.
二次函数的图像和性质》教学设计 1.教学内容分析： 本节课程是人教版九年级数学上册第二十二章第一节第二课时，介绍了二次函数y=ax2的图像和性质。这是学生在研究二次函数的基本概念之后引入的新内容，也是后面研究坐标形式和一般形式的二次函数图像性质的基础。 2.教学对象分析： 本节课程的教学对象是九年级的学生。在前面的研究过程中，学生已经接触过一次函数和反比例函数图象和性质等内容。但从研究情况看，学生对函数的理解和掌握情况并不理想。他们对二次函数有一定的恐惧心理，对研究非常不利。因此，在教学过程中，要调动学生的积极性，多与前面的函数联系，帮助他们突破难点。 3.教学目标： 一）知识与技能： 能够准确绘制二次函数图像；通过图像发现和研究y=ax2 二次函数的性质。
二）过程与方法： 经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程；体会数形结合的数学思想在数学中的应用。 三）情感、态度与价值观： 经历观察、推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。 4.教学重难点： 教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索y=ax2二次函数的图像特点和性质。 教学难点：y=ax2二次函数的图像特点和性质的得出过程。 5.教学过程： 活动1 创设情境 通过回顾一次函数的图象和性质，引出研究二次函数图象和性质的方法。先画出函数图象，然后借助图象了解了一次函数的性质。对二次函数的研究，也从图象入手。让学生回忆如何画函数图象，观察图象的形状和位置得到图象的性质。 活动2 体验画图
画二次函数y=ax2的图象。 1）列表： 让学生思考二次函数y=x2的自变量取值范围，并在表格中列出合适的自变量取值。 x y 2 4 1 1 1 1 2 4 2）描点和连线： 在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次（按x由小到大）连结各点（连线），得到函数y=x2的图象。通过观察图象，学生可以发现二次函数y=ax2的图象是一个开口朝上或
初中数学教学设计二次函数的图象及性质初中数学教学 设计《二元一次方程的概念》 初中数学教学设计：二次函数的图象及性质本节课是在学生已经掌握 了二次函数的概念及用描点法作图的基础上进行的，学生作出二次函数的 图象难度不会很大，但对于基础较差的学生来说，由特殊的函数到一般函 数的探索过程中会有较大的难度，因此，通过动画的演示直观地反映了这 一函数图象，学生是比较容易接受的。 教材分析知识点二次函数的图象的画法及性质重点二次函数的图象的 画法及性质，能确定二次函数y=a某2的解析式。 难点用描点法画二次函数y=a某2的图像，探究其性质。 易混（错）点考点二次函数的图象的画法及性质学科特性教学目标知 识与技能1.会用描点法画二次函数y=a某2的图像，理解抛物线的有关 概念； 2.掌握二次函数的性质，能确定二次函数y=a某2的表达式. 过程与方法通过画具体的简单二次函数的图像，探索出二次函数y=a某2 的性质及图像特征情感态度与价值观使学生经历探索二次函数y=a某2图 像性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 自信课堂教学进程一、激趣导入生发自信上一节所提出的两个问题， 都归结为有关二次函数的问题.为了解决这类问题，需要研究二次函数的 性质.在研究一次函数时，曾借助图象了解了一次函数的性质.对二次函数 的研究，我们也从图象入手.我们知道，一次函数的图象是一条直线.那么，二次函数的图象是什么它有什么特点又有哪些性质让我们先来研究最简单 的二次函数y二、自主合作彰显自信探究画二次函数y=某2的图象.解： 列表.（一般取7组值，或更多）在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲 线顺次（按某由小到大）连结各点（连线），得到函数y=某2的图象，
二次函数的图像和性质 教学设计 教学设计思想：二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点之一。通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力。正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键。 教学目标： 1．知识与技能 会用描点法画出y=a 2 x 的图像，能通过图像认识二次函数的性质，会确定二次函数y=a 2 x 的图像的顶点、开口方向和对称轴； 会用配方法确定二次函数的图像的顶点、开口方向和对称轴； 会用特殊二次函数分析和推导一般二次函数y= a 2 x +bx+c 图像的性质； 会运用二次函数及其性质解决简单的实际问题。 2．过程与方法 通过二次函数图像的学习，体会二次函数作为一种数学模型的作用，体会从特殊到一般的数学思想。 3．情感、态度与价值观 通过y=a 2x ，y=2a(x-h)，y=a 2 x +k ，y=2 a(x-h)+k 四种图像的平移，比较体验归纳推 理的数学思想，也体验数学规律的乐趣。 教学重点：通过描点、列表、连线画函数y=ax 2 的图象；通过图象初步理解二次函数的性质。 教学难点：结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结。 教学方法：谈话、启发引导式。 教学安排：3课时： 教学媒体：多媒体课件、坐标纸，作图工具，草稿纸。 教学过程： 第一课时： Ⅰ.情景导入 教师提问：根据我们所学知道，一次函数的图像是条直线，反比例函数的图像是双曲线，那么二次函数的图像又是什么样的呢？ [教法]：这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案． 问题：我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据上节课对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？ [教法]：这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究y=2 x 。另一方面也使同学认识到研究问题要由简到繁的基本方法。
二次函数y=ax²+k的图象和性质说课稿 石柱县南宾中学校初三数学组 说课人：李方勇 1、教材的地位及作用 函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具，二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。本节内容的教学，在函数的教学中有着承上启下的作用。它既是对已学一次函数及二次函数y=ax²知识的延续和深化，又是对二次函数特殊情形的研究，为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础，做好铺垫。 2、教学目标 根据新课标的目标要求和对教材的分析，结合学生已有的知识基础，目标制订如下： (1)使学生会画出特殊二次函数y=ax2+k的图象，能通过它们的图象和解析式，正确地说出它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们的图象与抛物线y=ax2的位置关系，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力。［知识与技能目标］ (2)让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。［过程与方法目标］ (3)在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，［情感、态度、价值观目标］ 3、教学的重、难点 根据学生的认知发展水平和教材的特点，确定以下重难点： 重点：根据二次函数的图象与解析式，能说出它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们图象间的位置关系。 难点：会由所学特殊函数的特殊情形向一般情形转化，了解图象间的平移规律。 4、学情分析 ①学生已掌握一次函数，二次函数y=ax²图象的画法，以及它们图象的性质； ②学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。 ③初三学生程度参差不齐，两极分化已形成。 5、教材处理 由于本节课的教学要借助图象来完成，例题间又缺乏过渡，教材知识点较为抽象，我对教材作了以下处理： ①在例题教学前安排了一组准备性练习。 ②增设了一道情景课堂作业。 目的：调整学生的思维状态，作好知识准备，提高课堂效率；保持学习的连续性，降低教材难度，便于问题的探究和重难点的突破；让学生体验学习乐趣。 二、教法学法分析 1、教法（关键词：情境、探究、分层） 基于本节课内容的特点和初三学生的年龄特征，我以“探究式”体验教学法和“启发式”教学法为主进行教学。让学生在开放的情境中，在教师的引导启发下，同学的合作帮助下，通过探究发现，让学生经历数学知识的形成和应用过程，加深对数学知识的理解。教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教。 2、学法（关键词：类比、自主、合作） 根据学生的思维特点、认知水平，遵循“教必须以学为立足点”的教育理念，让每一个学
第5课时 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质 1.会用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象. 2.会用配方法求抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标、开口方向、对称轴、y 随x 的增减性. 3.能通过配方求出二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值. 阅读教材第15至17页，自学“动脑筋”“说一说”和“例6”，掌握将一般式化成顶点式的方法. 自学反馈 学生独立完成后集体订正 ①二次函数y=a(x-h)2+k 的顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h ，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小. ②用配方法将y=ax 2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式，则h=-2b a ，k=244ac b a -.则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的顶点坐标是(-2b a ,244ac b a -),对称轴是x=-2b a ，当x=-2b a 时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最大(最小)值，当a>0时，函数y 有最小值，当a<0时，函数y 有最大值. ③求二次函数y=2x 2+4x-1顶点的坐标，对称轴，最值，并画出其函数图象. 解：顶点坐标为(-1，-3)，对称轴是直线x=-1，当x=-1时，y 有最小值-3，图略. 先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征. 活动1 小组讨论 例 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k 的形式，并写出其开口方向，顶点坐标,对称轴. ①y= 12 x 2-6x+21; ②y=-2x 2-12x-22. 解:①y=12x 2-6x+21=12(x 2-12x)+21=12(x 2-12x+36-36)+21=12(x-6)2+3. ∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，3)，对称轴是直线x=6. ②y=-2x 2-12x-22=-2(x 2+6x)-22=-2(x 2+6x+9-9)-22=-2(x+3)2-4. ∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(-3，4)，对称轴是直线x=-3. 第②小题注意h 值的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 解：当两条直角边都等于4时，面积最大为8 注意图象的画法，结合图象找出最大值. 2.抛物线y=-x 2+4x-7的开口方向是向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,-3).当x=2时，函数y 有最大值，其值为- 3. 3.已知二次函数y=ax 2+2x+c(a ≠0)有最大值，且ac=4，则二次函数的顶点在第四象限. 用顶点公式来解答. 4.抛物线y=ax 2+bx+c,与y 轴交点的坐标是(0，c)，当b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，
《二次函数的图像和性质》教学设计与反思
教师活动学生活动设计意图 一、情境引入 一次函数的性质是如何研究的?我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?假如能够，应先研究什么? 教师引导学生回顾：先画 出一次函数的图象，然 后观察、分析、归纳得 到一次函数的性质。能 够用研究一次函数性质 的方法来研究二次函数 的性质，应先研究二次 函数的图象。 创设问题情 境，让学生通过 类比学过的知识 的研究方法来探 究新知识，并激 发学生的兴趣。 二、探究新知 ㈠抛物线及相关概念 用描点发法画二次函数y=x2的图象。 解：(1)列表：自变量x能够是任何实数，x 的互为相反数的两个值对应的函数值相等，以0为中心，取几个自变量的整数值，并求出y值 x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … y …9 4 1 0 1 4 9 …(2)用表里x、y对应值作为 点的横纵坐标，在坐标平 面中描点 (3)连线：用平滑的曲线顺 次连结各点，得到函数y=x2 的图象，如下图。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 像投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，仅仅开口向上，这样的曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或向下。二次函数 c bx ax y+ + =2的图像叫做抛物线 c bx ax y+ + =2。 顶点：抛物线与它的对称轴的交点，是抛物线的最高点或最低点。 ㈡探索2 ax y=性质 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数 教师让学生观察，思 考、讨论、交流，图像 特点归结为：它是轴对 称图形，有一条对称轴 y轴，且对称轴和图象 有一点交点。 学生初步感知二次函数的 图像是一条抛物线 学生画图，并观察、比较。 教师指导感觉困难的学 生，引导学生思考选几 个点比较适宜以及如何 选点。让学生发表不同 的意见，达成共识。 将发现的结论实行 小组交流，得出结论：四 个函数的图象都是抛物 线，都关于y轴对称， 顶点坐标都是(0，0)． 让学生经历猜测、 画图、观察、归纳 总结出二次函数 y=x2的图像，感受 知识的发生发展 过程，便于对新知 识的理解和理解。 通过让学生自己 动手画图，加深 对二次函数图像 的理解和理解， 同时培养学生规 范作图的习惯。 增强学生观察分 析、归纳概括水 平和表达水平， 经历由感性理解 到理性理解的思 维过程。
二次函数的图像与性质（教案） 教学目标： 一. 知识与技能： 1. 通过对二次函数性质习题的讲评，使学生熟练掌握二次函数的图像与性质 2. 懂得从图像中获取有关的性质信息。 3. 使学生会通过图像求二次函数的解析式。 二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的性质。 三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。 教学重点：如何在图像中获取有用的信息。 教学难点：性质的综合应用 教学过程： 一. 引入：华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”要真正的研究数学就应该数 形结合，研究函数就是用数形结合的思想 二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，可以出简单题、中档题甚至于综合性难题，但实际上有相当一部分的题型都跟二次函数的图像与性质有关，本节课通过对我们做过的习题进行讲评，使同学们熟练掌握二次函数的图像与性质 二.讲评： 一. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质： 1.图像位置 一题.5. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x²+2x+1 的图像可能是（ ） 总结抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的性质： Ａ．
最小值。 0时，顶点纵坐标 最大值。 当0y =时，即轴 的【练习】 已知反比例函数x y =的图像如下右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图像大 致为（ ） 【总结】灵活运用二次函数中24a b c b ac -、、、的性质在图像中解题，也就是根据抛物线确定二次函数解析式中字母系数的取值范围，很好地体现了数形结合的数学思想，这就需要大家对于二次函数的性质与图像要比较熟悉，并能在图像中从这些性质来思考解决问题的思路。 2.图像对称性 二题4. 二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(-1, 0)和(5, 0)两点, 则该抛物线的对称轴是 【总结】二次函数的对称性：二次函数的图像是一个关于对称轴 2b x a =-对称的轴对称图形，当抛物线上两点的纵坐标相同，即()() 12,,,x y x y 时，1222x x b a +=-。 【练习】抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =且抛物线上点A （3，-8），则该抛物线 上 纵坐标为-8的另一点的坐标 是 。 3. 二次函数的增减性： 三题1．抛物线 y=x²-2x-1 的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小 【总结】 ①如图1，当0a 时，当2b x a -时，y 随x 的增大而增大，当2b x a -时，y 随x 的增 大而减小。 ②如图2，当0a 时，当2b x a -时，y 随x 的增大而减小，当2b x a -时，y 随x 的增 大而增大。 物线21y x =-上，下列 【练习】 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛 说法中正确的是（ ） A ． B ． C ． D
第5课时 二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象和性质 初三（ ）班 第 组 姓名 学习目标： 1．配方法求二次函数一般式2y ax bx c =++的顶点坐标、对称轴； 2. 熟记二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标公式； 3. 会画二次函数一般式2y ax bx c =++的图象. 学习过程： 一、预习导入 1. 二次函数()2 1532 y x =--图象的顶点坐标是 ，对称轴是 . 2. 抛物线()2 725y x =--+可以由抛物线27y x =-向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到. 3.你会画二次函数y ＝1 2 x 2－6x ＋21的图象吗？你知道它的开口方向、顶点坐标和对称轴吗？ 二、自主学习 例1. 画二次函数y ＝1 2 x 2－6x ＋21的图象，并指出它的开口方向、顶点坐标和对称轴. 解： +-=+-+-=+-=+-= 222222 )6(2 1 ]42) () (12[21 )4212(2 1 2162 1 y x x x x x x x
列表： 由上可知，它的图象是开口 、顶点坐标为 ，对称轴是直线 的抛物线. 新知：3)6(2 1 2+-=x y 叫做二次函数y ＝12 x 2－6x ＋21的顶点式. 因此，二次函数y ＝12 x 2－6x ＋21的图象可看作是将抛物线221 x y =先向 平移 个单位，再先向 平移 个单位得到. 当x______时，y 随x 的增大而减小，当x______时，y 随x 的增大而增大； 当x=_____，y 有最_____值，其值是_______． 例2. 用配方法求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点与对称轴． 解： 2y ax bx c =++ ∴二次函数2y ax bx c =++通过配方化为顶点式k h x a y +-=2)(的形式为: 2 2424b ac b y a(x )a a -=++ 因此，二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标是 ，对称轴是直线 . 三、归纳提升 1.用顶点坐标和对称轴公式直接求抛物线顶点坐标和对称轴的方法叫公式法. 2. 求二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标，对称轴有两种方法： 一是将一般式配成顶点式，二是直接运用公式. () ()22 ___________________2_________ +______2_________________ a b a x x a a x =⎡⎤ =++-⎢⎥ ⎣⎦=++
初探二次函数的图像和性质课堂 教学设计 《二次函数的性质和图像》教学设计 一、设计理念： 本节课遵循“探索—研究——运用“亦即“观察——思维——迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究二次函数图象及其性质。学生动脑思和究，动手探。教师的“诱”要在点上，在精不用多。通过本节学习，学生更进一步的掌握二次函数性质及其图象特征。 二、学情分析： 学生在初中学习中，已有二次函数的基础，了解二次函数图象及其相关性质，接受起来较快。基于此，教师应在学生原有基础上拓宽知识面，引入新概念，帮助学生加深并提高对二次函数的认识。 三、教学目标 （一）、知识目标 1、使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法。进一步掌握二次函数y=ax2+bx+c (a )的图象的顶点坐标，对称轴方程，单调区间和最值的求法。 2、会用描点法画出二次函数图像，能通过图像认识二次函数的性质
3、通过具体例子，在探索二次函数图像和性质的过程中，学会利用配方法将数字系数的二次函数表达式表示成：y=a(x-h)^2+k的形式，从而确定二次函数图像的顶点和对称轴。 4、通过一般式与顶点式的互化过程，了解互化的必要性。培养学生认识“事物都是相互联系、相互制约”的辩证唯物主义观点。 5、在经历“观察、猜测、探索、验证、应用”的过程中，渗透从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、迁移能力，实现感性到理性的升华。 （二）、情感目标 1、通过主动操作、合作交流、自主评价，改进学生的学习方式及学习质量，激发学生的兴趣，唤起好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动获取知识。 2、让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与的意识、协同合作的意识、勇于创新和实践的科学精神。 （三）、能力目标 1、拟通过本节课的学习，培养学生的观察能力、探索能力、数形结合能力、归纳概括能力，综合培养学生的思维能力及创新能力。 2、培养学生运用运动变化的观点来分析、探讨问题的意识。教学重点：二次函数的性质 教学难点：研究二次函数图象和性质的重要方法——配方法。
二次函数的图象与性质（5） y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 【教学目标】 1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象； 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。 【重点难点】 重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。 难点：理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴是2b x a =-；顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是教学的难点。 【教学过程】 一、提出问题 1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2 ＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标是(2，1) 2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系? (函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质? (当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1) 4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? （因为y ＝－x 2＋2x －3＝－(x －1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－2)） 5．你能画出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题 由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－x 2＋2x －3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象，进而观察得到这个函数的性质。 解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表；