22.1 二次函数的图象和性质(第5课时)

人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。

通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。

但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。

2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。

2.二次函数的增减性和对称性。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.二次函数图象和性质的相关教学素材。

3.学生分组合作学习的材料。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。

同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。

呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。

学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。

操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。

学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。

专题22.1 二次函数的图象和性质目录二次函数的定义 (1)二次函数求参数 (3)二次函数一般式................................................................................................................................42y ax =性质.....................................................................................................................................42y ax =图像开口.............................................................................................................................62y ax =图像问题.............................................................................................................................7()2y a x h k =-+顶点坐标...........................................................................................................9()2y a x h k =-+性质.................................................................................................................10()2y a x h k =-+图像平移 (13)二次函数一般式配凑顶点式 (14)二次函数图像问题 (15)二次函数比较大小 (19)二次函数性质综合..........................................................................................................................21二次函数的定义【例1】下列函数中，属于二次函数的是( )A ．23y x =-B ．22(1)y x x =+-C ．2(1)y x x =+D ．22y x =-【解答】解：A ．不含有x 的二次项，所以A 不符合题意；B ．化简后21y x =+，不含有x 的二次项，所以B 不符合题意；C ．符合题意；D ．22y x -=-，不含有x 的二次项，所以D 选项不符合题意．一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。

人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质一、选择题（本大题共10道小题）1.已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )A．2>y1>y2B．2>y2>y1C．y1>y2>2 D．y2>y1>22.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的解析式为()A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－33. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的( ) A．3.2<x1<3.3 B．3.3<x1<3.4 C．3.4<x1<3.5 D．3.1<x1<3.24. 2019·丹东如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－2，0)，对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a＋c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x＋2)(4－x)＝－2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则－2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个5.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为( )A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋36. 2019·资阳如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是()A．m≥1 B．m≤0C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤07. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )8.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a ＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．49. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<D．c<110.如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x ，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( )二、填空题（本大题共8道小题）11.若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系式为s＝5t2＋2t，则当物体运动时间为4 s时，该物体所经过的路程为________．12.【2018·淮安】将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________．13. (2019•武汉)抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是__________．14.已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝______ __，c＝________．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)16. (2019•天水)二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为__________．(填“”、“”或“”)17.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－32，y1)，(－12，y2)，(12，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－1 a时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)18.如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB＝________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 已知抛物线的顶点坐标是(2，3)，并且经过点(0，－1)，求它的解析式．20.如图，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋1与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点． (1)求这条抛物线对应的函数解析式； (2)求直线AB 对应的函数解析式．21.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若关于x的方程|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．22.如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出B、C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)注：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】 A [解析] 根据题意，可得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴在对称轴的右侧，y 随x的增大而减小．∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故选A.2. 【答案】 B [解析] 由抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．又因为抛物线与y轴交于点(0，－3)，把x＝0，y＝－3代入y＝a(x＋1)(x－3)，得－3＝a(0＋1)(0－3)，即－3a＝－3，解得a＝1，故此抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.故选B.3. 【答案】 B [解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3. 4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，∴方程的根也在此范围内．故选B.4. 【答案】A5. 【答案】 A [解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD关于坐标原点成中心对称．因为A ，C是矩形对角线上的两个点，所以点A，C关于原点对称，所以点C的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.6. 【答案】C7. 【答案】 D [解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax ＋a的图象经过第二、三、四象限．排除C.8. 【答案】C [解析] ①∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，所以①错误．②当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.∵－b2a＝1，∴b＝－2a.把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，所以②正确．③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.当x＝－1时，y>0，∴a－b＋c>0，∴(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，即(a＋c)2－b2＜0，所以③正确．④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)，即a＋b≤m(am＋b)，所以④正确．故选C.9. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c=0，所以=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2，所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则，解得c<-2，故选B．10. 【答案】B【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，此时y＝12x×32x＝34x2；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y＝12×1×32＝34；当2＜x≤3时，边长为3－x，此时y＝12(3－x)×32(3－x)．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】88 m [解析] 把t＝4代入函数解析式，得s＝5×16＋2×4＝88.故填88 m.12. 【答案】y＝x2＋2 [解析] 二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，平移后的纵坐标增加3，即y＝x2－1＋3＝x2＋2.13. 【答案】，【解析】依题意，得：，解得：，所以，关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx为：，即：，化为：，解得：，，故答案为：，．14. 【答案】3 215. 【答案】8a [解析] ∵抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，∴BD＝BC＝2，∴DC＝4.∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.16. 【答案】< 【解析】当时，，当时，， ，即，故答案为：．17. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b ＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误； (2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n(x －m)2＋n ＝0. ∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．18. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）b b＝3－ 3.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3. ∵抛物线经过点(0，－1)，∴－1＝a(0－2)2＋3，解得a＝－1，∴y＝－(x－2)2＋3.20. 【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个交点，∴b2－4ac＝(2a)2－4a＝0，解得a＝1，a＝0(舍去)，∴抛物线的解析式：y＝x2＋2x＋1.(3分)(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵抛物线解析式y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，∴A(－1，0)，(4分)过点B作BD⊥x轴于点D，如解图，∵OC⊥x轴，∴OC∥BD，∵C是AB中点，∴O是AD中点，∴AO＝OD＝1，(6分)∴点B的横坐标为1，把x＝1代入抛物线中，得y＝(x＋1)2＝(1＋1)2＝4，∴B 的坐标为(1，4)．(7分)把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－k ＋b 4＝k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝2， ∴直线AB 的解析式为： y ＝2x ＋2.(8分)21. 【答案】[解析]先根据题意画出y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象，即可得出|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时k 的取值范围．解：根据题意，得y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象如图所示．由图象易知，若|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k ＞3.22. 【答案】解：(1)由抛物线经过点A(－1，0)，且对称轴为直线x ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝21－b ＋c ＝0，(2分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝－5，(3分)解图∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5.(4分)(利用抛物线对称性先求出点B的坐标，再求出解析式也可)(2)B(5，0)，C(0，－5)．(6分)(3)如解图，连接BC，易知△OBC是直角三角形，∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，(8分)由勾股定理得BC＝52＋52＝52，∴所以所求圆的面积是π×(522)2＝252π.(10分)。

22.1二次函数的图象和性质4．(中考·丽水)若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( ) A．(2，4) B．(－2，－4)C．(－4，2) D．(4，－2)5．函数y＝ax－2与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )(第6题)6．(2015·黔西南州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝6 cm，动点P从点C 沿CA以1 cm/s的速度向A点运动，同时动点Q 从点C沿CB以2 cm/s的速度向B点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是( )11．对于二次函数：①y＝3x2；②y＝13x2；③y＝43x2，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是( )A．②>③>① B．②>①>③C．③>①>② D．③>②>①13．已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．14．已知函数y＝(m＋3)x m2＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？17．有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时，桥下水面宽度AB为20 m，拱顶距离水面4 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面宽度CD为d m，请将d表示成关于h的函数解析式；(3)为保证过往船只顺利通行，桥下水面宽度不得小于18 m，则水深超过正常水位多少米时，会影响过往船只顺利通行？3．已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在抛物线y＝23x2上，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y14．已知函数y＝(m＋3)x m2－3m－26是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(第6题)6．如图，直线AB过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为(1，1)，(1)求直线AB的解析式，及抛物线y＝ax2的解析式；(2)求点C的坐标；(3)求S△COB；(4)若抛物线上有一点D(在第一象限内)，使得S△AOD ＝S△COB，求点D的坐标．8．如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象与一次函数y＝x＋2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是－1，点B的横坐标是2.(1)求二次函数的解析式；(2)设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值．（第8题）5．(2015·泰安)在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )14．抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与抛物线y＝－12x2相同．(1)确定a，k的值；(2)画出抛物线y＝ax2＋k.1­1.〈上海〉如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( ) A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1D．y＝x2＋36．已知抛物线y＝－13x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是( )A．2 B.23C.53D.73,13．能否通过上下平移二次函数y＝13x2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．14．抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与抛物线y＝－12x2相同．(1)确定a，k的值；(2)画出抛物线y＝ax2＋k.5．已知二次函数y甲＝mx2和y乙＝nx2，对任意给定的一个x值都有y甲≥y乙，下列结论可能正确的是________(填序号)．①m＜n＜0；②m＞0，n＜0；③m＜0，n＞0；④m＞n＞0.4．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是( )8．已知二次函数y＝－2(x＋h)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x 的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( ) A．－12 B．12 C．32 D．－3213．抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后经过点(－1，4)，求a的值和平移后抛物线对应的二次函数解析式．16．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.(1)写出点A、点B的坐标．(2)求S△AOB.(3)写出对称轴的解析式．(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．3．二次函数y＝(x－k)2与一次函数y＝kx(k ＞0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )4．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是()8．已知二次函数y＝－2(x＋h)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x 的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( ) A．－12 B．12 C．32 D．－3214．已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝－2x2平移后的顶点与点A重合．(1)求平移后的抛物线l的解析式；(2)若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且－12<x1<x2，试比较y1，y2的大小．15．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝2x2都相同，而顶点与抛物线y＝(x－2)2相同．(1)求该抛物线的解析式；(2)将(1)中的抛物线向左平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)直接写出(2)中的抛物线沿坐标轴翻折180°后得到的抛物线的解析式．。

1,设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另2,2 . x的值是否可以任意取有限定范围吗3 .我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的函数,试写出这个函数的关系式,对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长,填出相应的BC的长和面积,然后引导学生观察表格中数据的变化情况, 提出问题：(1)从所填表格中,你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜测？让学生思考、交流、发表意见,达成共识：当AB的长为5cm, BC的长为10m时,围成的矩形面积最大；最大面积为50M.对于2,可让学生分组讨论、交流,然后各组派代表发表意见.形成共识, x的值不可以任意取,有限定范围,其范围是0 vx <10.对于3,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少？并指出y=x(20 — 2x)(0 v x v 10)就是所求的函数关系式.二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的方法来提升利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大？在这个问题中,可提出如下问题供学生思考并答复：1 .商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？2 .如果不降低售价,该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多少元？3 .假设每件商品降价x元,那么每件商品的利润是多少元？一天可销售约多少件商品？4 .x的值是否可以任意取？如果不能任意取,请求出它的范围,5 .假设设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式.一、提出问题1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的？(先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以,应先研究什么？(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图 象)3. 一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么 ？二、范例例1、画二次函数y=x 2的图象.解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为 点的坐标,在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数提问：观察这个函数的图象,它有什么特点 ？让学生观察,思考、讨论、交流,归结为：它有一条对称轴,且对称轴和图象 有一点交点.抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线.顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.三、做一做1 .在同一直角坐标系中,画出函数y=x 2与y=-x 2的图象,观察并比拟两个图象,你发现有什么共同点？又有什么区别 ？2 .在同一直角坐标系中,画出函数 y=2x 2与y=-2x 2的图象,观察并比拟这两个函数的图象,你能发现什么？3 .将所画的四个函数的图象作比拟,你又能发现什么 ？在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生 讨论选几个点比拟适宜以及如何选点.两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论.交流,让学生发表不同的意见,达成共识,两个函数的图象都是抛物线, 都关于y 轴对称,顶点坐标都是(0 , 0),区别在于函数 y=x 2的图象开口向上,函数 y=-x 2的图象开口向下.四、归纳、概括函数 y=x 2、y=-x 2、y=2x 2、y=-2x 2是函数 y=ax 2的特例,由函数 y = x 2、y=-x 2、y = 2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点,可猜测：函数y=ax 2的图象是一条 ,它关于 对称,它的顶点坐标是 .如果要更细致地研究函数 y=ax 2图象的特点和性质,应如何分类？为什么 ？让学生观察y = x 2、y=2x 2的图象,填空；当a>0时,抛物线y=ax 2开口,在对称轴的左边,曲线自左向右 ;在对称轴的右边,曲线自左向右 , 是抛物线上位置最低的点. 图象的这些特点反映了函数的什么性质 ？ 先让学生观察下列图,答复以下问题；(1)X A 、内大小关系如何？是否都小于0?(2)y A 、y B 大小关系如何？(3)X C 、X D 大小关系如何？是否都大于0？(4)y C 、y D 大小关系如何？(X A <X B ,且 X A <0, X B <0; y A >y B ； X C <X ),且 X C >0, X D >0, y c <y D )其次,让学生填空.x … -3 —2 —1 0 1 2 3 … y…9 4 1 0 1 4 9…2 一y=x 的图象,如图所不.-4 -3-a-] 0 2 3 4表:(2)(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=2x2和y=2x2+1的图象.(图象略)问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系？教师引导学生观察上表,当x依次取一3, —2, —1, 0, 1, 2, 3时,两个函数的函数值之间有什么关系,由此让学生归纳得到, 当自变量x取同一数值时,函数y=2x2+1的函数值都比函数y = 2x2的函数值大1.教师引导学生观察函数y = 2x2+1和y=2x2的图象,先研究点(一1, 2)和点(一1, 3)、点(0, 0)和点(0 , 1)、点(1 , 2)和点(1 , 3)位置关系,让学生归纳得到：反映在图象上,函数y=2x2 + 1的图象上的点都是由函数y = 2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位.问题4:函数y = 2x2+ 1和y= 2x2的图象有什么联系？由问题3的探索,可以得到结论：函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y =2x2的图象向上平移一个单位得到的.问题5:现在你能答复前面提出的第2个问题了吗？让学生观察两个函数图象,说出函数y = 2x2+ 1与y= 2x2的图象开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y = 2x2的图象的顶点坐标是(0 , 0),而函数y =2x2+1的图象的顶点坐标是(0 , 1).问题6:你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗？完成填空：当x 时,函数值y随x的增大而减小；当x 时,函数值y随x的增大而增大,当x 时,函数取得最值,最值y=.以上就是函数y = 2x2+1的性质.三、做一做问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2—2与函数y=2x2的图象,再作比拟,说说它们有什么联系和区别？教学要点1 .在学生画函数图象的同时,教师巡视指导；2 .让学生发表意见,归纳为：函数y=2x2—2与函数y = 2x2的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同.函数y=2x2—2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向下平移两个单位得到的.问题8:你能说出函数y=2x2—2的图象的开口方向,对称轴和顶点坐标,以及这个函数的性质吗？教学要点1 .让学生口答,函数y = 2x2—2的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是(0 , —2);2 .分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识：当x<0时, 函数值y随x的增大而减小；当x>0时,函数值y随x的增大而增大,当x=0时,函数取得最小值,最小值y = — 2.问题9:在同一直角坐标系中. 函数y = —：x2+2图象与函数y = —^x2的图象有 3 3什么关系？2 .让学生分组讨论,交流合作,各组选派代表发表意见,达成共识：函数 y =2(x — 1)2与y=2x 2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数 y=2(x 一 1)2的图象可以看作是函数 y = 2x 2的图象向右平移1个单位得到的,它的对称轴是直 线x=1,顶点坐标是(1 , 0).问题4：你可以由函数 y = 2x 2的性质,得到函数 y = 2(x —1)2的性质吗？ 教学要点1 .教师引导学生回忆二次函数 y=2x 2的性质,并观察二次函数 y = 2(x —1)2的图象； 2 .让学生完成以下填空：当x 时,函数值y 随x 的增大而减小；当x 时,函数值y 随x 的增大而增大；当 x =时,函数取得最 值y =. 三、做一做 问题5:你能在同一直角坐标系中画出函数 y=2(x + 1)2与函数y=2x 2的图象,并比 较它们的联系和区别吗？教学要点1 .在学生画函数图象的同时,教师巡视、指导；2 .请两位同学上台板演,教师讲评；3 .让学生发表不同的意见,归结为：函数 y=2(x+1)2与函数y=2x 2的图象开口方向相同,但顶点坐标和对称轴不同；函数y=2(x+1)2的图象可以看作是将函数y= 2x2的图象向左平移1个单位得到的.它的对称轴是直线 x= - 1,顶点坐标是(一 1,0).问题6;你能由函数y=2x2的性质,得到函数 y=2(x + 1)2的性质吗？ 教学要点让学生讨论、交流,举手发言,达成共识：当 xv — 1时,函数值y 随x 的增大 而减小；当x>- 1时,函数值y 随x 的增大而增大；当 x = - 1时,函数取得最小 值,最小值y= 0.1 21 2 问题7：函数y= —g(x+2)图象与函数y= —gx 的图象有何关系？问题8:你能说出函数y= — \(x + 2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗 3 问题9:你能得到函数 y = ；(x+2)2的性质吗？、提出问题1 .在同一直角坐标系内,画出二次函数 y = -2x 2, y=—；x 2—1的图象,并答复：(1)两条抛物线的位置关系.(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标. (3)说出它们所具有的公共性质.2 .二次函数y=2(x — 1)2的图象与二次函数 y = 2x 2的图象的开口方向、对称轴以 及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系 ？二、分析问题,解决问题问题1:你将用什么方法来研究上面提出的问题？(画出二次函数y = 2(x — 1)2和二次函数y=2x 2的图象,并加以观察)问题2:你能在同一直角坐标系中, 画出二次函数y=2x 2与y = 2(x —1)2的图象吗？教学要点1 .让学生完成列表.2 .让学生在直角坐标系中画出图来： 问题3:现在你能答复前面提出的问题吗 教学要点 1.教师引导学生观察画出的两个函数图象. 根据所画出的图象,完成以下填空：3 .教师巡视、指导.。

22．1 二次函数的图象和性质22．1.1 二次函数1．设一个正方形的边长为x ，则该正方形的面积y ＝__x 2___，其中变量是__x ，y___，__y___是__x___的函数．2．一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c(__a ，b ，c 为常数且a ≠0___)的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a ，b ，c 分别为二次项系数、一次项系数、常数项．知识点1：二次函数的定义1．下列函数是二次函数的是( C )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝0.5x －2 2．下列说法中，正确的是( B )A ．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B ．在圆的面积公式S ＝πr 2中，S 是r 的二次函数C ．y ＝12(x －1)(x ＋4)不是二次函数D ．在y ＝1－2x 2中，一次项系数为13．若y ＝(a ＋3)x 2－3x ＋2是二次函数，则a 的取值范围是__a ≠－3___．4．已知二次函数y ＝1－3x ＋2x 2，则二次项系数a ＝__2___，一次项系数b ＝__－3___，常数项c ＝__1___．5．已知两个变量x ，y 之间的关系式为y ＝(a －2)x 2＋(b ＋2)x －3. (1)当__a ≠2___时，x ，y 之间是二次函数关系；(2)当__a ＝2且b ≠－2___时，x ，y 之间是一次函数关系．6．已知两个变量x ，y 之间的关系为y ＝(m －2)xm 2－2＋x －1，若x ，y 之间是二次函数关系，求m 的值．解：根据题意，得m 2－2＝2，且m －2≠0，解得m ＝－2 知识点2：实际问题中的二次函数的解析式7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y 元与售价x 元的函数关系式为( B )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7350B ．y ＝－10x 2＋560x －7350C ．y ＝－10x 2＋350x ＋7350D ．y ＝－10x 2＋350x －73508．某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间满足二次函数y ＝120x 2(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( C )A ．40 m /sB ．20 m /sC ．10 m /sD ．5 m /s 9．(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2___．10．多边形的对角线条数d 与边数n 之间的关系式为__d ＝12n 2－32n___，自变量n 的取值范围是__n ≥3且为整数___；当d ＝35时，多边形的边数n ＝__10___．11．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a 为10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？解：(1)S＝x(24－3x)，即S＝－3x2＋24x(2)当S＝45时，－3x2＋24x＝45，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，24－3x＝15＞10，不合题意，舍去；当x＝5时，24－3x＝9＜10，符合题意，故AB的长为5米12．已知二次函数y ＝ x 2－2x －2，当x ＝2时，y ＝__－2___；当x ＝__3或－1___时，函数值为1.13．边长为4 m 的正方形中间挖去一个边长为x(m )(x ＜4)的小正方形，剩余的四方框的面积为y(m 2)，则y 与x 之间的函数关系式为__y ＝16－x 2(0＜x ＜4)___，它是__二次___函数．14．设y ＝y 1－y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成正比例，则y 与x 的函数关系是( C ) A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数 D ．以上都不正确 15．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x 厘米，当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( A )A ．6厘米B ．12厘米C ．24厘米D ．36厘米 16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm .设底面的宽为x ，抽屉的体积为y 时，求y 与x 之间的函数关系式．(材质及其厚度等暂忽略不计)解：根据题意得y ＝20x(90－x)， 整理得y ＝－20x 2＋1800x17．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式，并注明x 的取值范围．解：降低x 元后，所销售的件数是(500＋100x)， 则y ＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y ＝－100x 2＋600x ＋5500(0＜x ≤11)18．一块矩形的草坪，长为8 m ，宽为6 m ，若将长和宽都增加x m ，设增加的面积为y m 2.(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若使草坪的面积增加32 m 2，求长和宽都增加多少米？ 解：(1)y ＝x 2＋14x(x ≥0)(2)当y ＝32时，x 2＋14x ＝32，x 1＝2，x 2＝－16(舍去)，即长和宽都增加2 m19．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm /s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 mm /s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为y mm 2.(1)求y 与x 之间函数关系式； (2)求自变量x 的取值范围；(3)四边形APQC 的面积能否等于172 mm 2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．解：(1)由运动可知，AP ＝2x ，BQ ＝4x ，则y ＝12BC·AB －12BQ·BP ＝12×24×12－12×4x(12－2x)，即y ＝4x 2－24x ＋144(2)0＜x ＜6 (3)当x ＝172时，4x 2－24x ＋144＝172，解得x 1＝7，x 2＝－1.又∵0＜x ＜6，∴四边形APQC 的面积不能等于172 mm 222．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．由解析式画函数图象的步骤是__列表___、__描点___、__连线___． 2．一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象是__一条直线___．3．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是一条__抛物线___，其对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，0)___．4．抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于__x___轴对称．抛物线y ＝ax 2，当a ＞0时，开口向__上___，顶点是它的最__低___点；当a ＜0时，开口向__下___，顶点是它的最__高___点，随着|a|的增大，开口越来越__小___．知识点1：二次函数y ＝ax 2的图象及表达式的确定1．已知二次函数y ＝x 2，则其图象经过下列点中的( A ) A ．(－2，4) B ．(－2，－4) C ．(2，－4) D ．(4，2)2．某同学在画某二次函数y ＝ax 2的图象时，列出了如下的表格： x －3 －2.5 －1 0 1 2.5 3 y 36 25 4 0 4 25 36(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是__y ＝4x 2___； (2)将表格中的空格补全．3．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A(－1，－13)．(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．解：(1)y ＝－13x 2，图象略(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴是y 轴 知识点2：二次函数y ＝ax 2的图象和性质4．对于函数y ＝4x 2，下列说法正确的是( B ) A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 C ．y 随x 的增大而减小 D ．y 随x 的增大而增大5．已知点(－1，y 1)，(2，y 2)，(－3，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则( A ) A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 36．已知二次函数y ＝(m －2)x 2的图象开口向下，则m 的取值范围是__m ＜2___．7．二次函数y ＝－12x 2的图象是一条开口向__下___的抛物线，对称轴是__y 轴___，顶点坐标是__(0，0)___；当x__＞0___时，y 随x 的增大而减小；当x ＝0时，函数y 有__最大___(填“最大”或“最小”)值是__0___．8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y ＝12x 2___，当x ＝__0___时，函数图象的最低点为__(0，0)___．9．已知二次函数y＝mxm2－2.(1)求m的值；(2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x取何值时，y随x 的增大而减小；(3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并指出x取何值时，y 随x的增大而增大．解：(1)m＝±2(2)m＝2，y最小＝0；x＜0(3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜010．二次函数y ＝15x 2和y ＝5x 2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x ＞0时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知a ≠0，同一坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( C )12．如图是下列二次函数的图象：①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2.比较a ，b ，c ，d 的大小，用“＞”连接为__a ＞b ＞d ＞c___．,第12题图) ,第14题图)13．当a ＝__4___时，抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝－4x 2关于x 轴对称；抛物线y ＝－7x 2关于x 轴对称所得抛物线的解析式为__y ＝7x 2___；当a ＝__±2___时，抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝－2x 2的形状相同．14．已知二次函数y ＝2x 2的图象如图所示，将x 轴沿y 轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A ，B 两点，则△AOB 的面积为__2___．15．已知正方形的周长为C(cm )，面积为S(cm 2)． (1)求S 与C 之间的函数关系式； (2)画出所示函数的图象；(3)根据函数图象，求出S ＝1 cm 2时正方形的周长； (4)根据列表或图象的性质，求出C 取何值时S ≥4 cm 2?解：(1)S ＝116C 2(C ＞0) (2)图象略 (3)由图象可知，当S ＝1 cm 2时，正方形周长C 是4cm(4)当C ≥8 cm 时，S ≥4 cm 216．二次函数y ＝ax 2与直线y ＝2x －1的图象交于点P(1，m)． (1)求a ，m 的值；(2)写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时，y 随x 的增大而增大； (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．解：(1)将(1，m)代入y ＝2x －1得m ＝2×1－1＝1，所以P 点坐标为(1，1)．将P 点坐标(1，1)代入y ＝ax 2得1＝a ×12，∴a ＝1 (2)y ＝x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴17．如图，抛物线y ＝x 2与直线y ＝2x 在第一象限内有一个交点A. (1)你能求出A 点坐标吗？(2)在x 轴上是否存在一点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝4，∴A(2，4) (2)存在满足条件的点P.当OA ＝OP 时，∵OA ＝22＋42＝25，∴P 1(－25，0)，P 2(25，0)；当OA ＝AP 时，过A 作AQ ⊥x 轴于Q ，∴PQ ＝OQ ＝2，∴P 3(4，0)；当PA ＝PO 时，设P 点坐标为(x ，0)，则x 2＝(x －2)2＋42，解得x ＝5，∴P 4(5，0)．综上可知，所求P 点的坐标为P 1(－25，0)，P 2(25，0)，P 3(4，0)，P 4(5，0)22．1.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象是一条__抛物线___．它与抛物线y ＝ax 2的__形状___相同，只是__顶点位置___不同，它的对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，k)___．2．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象可由抛物线y ＝ax 2__平移___得到，当k ＞0时，抛物线y ＝ax 2向上平移__k___个单位得y ＝ax 2＋k ；当k ＜0时，抛物线y ＝ax 2向__下___平移|k|个单位得y ＝ax 2＋k.知识点1：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1．抛物线y ＝2x 2＋2的对称轴是__y 轴___，顶点坐标是__(0，2)___，它与抛物线y ＝2x 2的形状__相同___．2．抛物线y ＝－3x 2－2的开口向__下___，对称轴是__y 轴___，顶点坐标是__(0，－2)___．3．若点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)在二次函数y ＝－12x 2＋1的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2的大小关系为__y 1＜y 2___．4．对于二次函数y ＝x 2＋1，当x ＝__0___时，y 最__小___＝__1___；当x__＞0___时，y 随x 的增大而减小；当x__＜0___时，y 随x 的增大而增大．5．已知二次函数y ＝－x 2＋4.(1)当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ (2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ (4)求图象与x 轴、y 轴的交点坐标．解：(1)x ＞0 (2)x ＜0 (3)x ＝0时，y 最大＝4(4)与x 轴交于(－2，0)，(2，0)，与y 轴交于(0，4) 知识点2：二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移6．将二次函数y ＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是__y ＝x 2＋1___．7．抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位得到抛物线y ＝－3x 2＋2，则a ＝__－3___，c ＝__4___．8．在同一个直角坐标系中作出y ＝12x 2，y ＝12x 2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y ＝12x 2－1与抛物线y ＝12x 2有什么关系？解：(1)图象略，y ＝12x 2开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标(0，0)；y ＝12x 2－1开口向上，对轴轴为y 轴，顶点坐标(0，－1) (2)抛物线y ＝12x 2－1可由抛物线y ＝12x 2向下平移1个单位得到知识点3：抛物线y ＝ax 2＋k 的应用9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l 是( B )A ．3.5 mB ．4 mC ．4.5 mD ．4.6 m10．如果抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( C) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋311．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是( A)A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤012．已知抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为__22___．13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4___，c＝__－3___．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝13x2于点B，C，则BC的长度为__6___．15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：(1)经过点(－3，2)；(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.解：(1)y＝13x2－1(2)y＝－12x2－1(3)－x2－116．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位．(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；(2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．解：(1)y＝－12x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴(2)图象略(3)x＝0时，y有最大值，为217．已知抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)，且经过(1，3)，求此抛物线的解析式．解：设抛物线解析式为y＝ax2＋k，将(0，2)，(1，3)代入y＝ax2＋k，得k＝2，a＝1，∴y＝x2＋218．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( D)A．a＋c B．a－c C．－c D．c19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－140x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．(5≈2.24，结果精确到1米)解：由题意得点E ，F 的纵坐标为8，把y ＝8代入y ＝－140x 2＋10，解得x ＝45或x ＝－45，EF ＝|45－(－45)|＝85≈18(米)，即这两盏灯的水平距离约为18米第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质1．二次函数y ＝a(x －h)2的图象是__抛物线___，它与抛物线y ＝ax 2的__形状___相同，只是__位置___不同；它的对称轴为直线__x ＝h___，顶点坐标为__(h ，0)___．2．二次函数y ＝a(x －h)2的图象可由抛物线y ＝ax 2__平移___得到，当h ＞0时，抛物线y ＝ax 2向__右___平移h 个单位得y ＝a(x －h)2; 当h ＜0时，抛物线y ＝ax 2向__左___平移|h|个单位得y ＝a(x －h)2.知识点1：二次函数y ＝a (x －h )2的图象1．将抛物线y ＝－x 2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( A ) A ．y ＝－(x ＋2)2 B ．y ＝－x 2＋2 C ．y ＝－(x －2)2 D ．y ＝－x 2－22．抛物线y ＝－3(x ＋1)2不经过的象限是( A ) A ．第一、二象限 B ．第二、四象限 C ．第三、四象限 D ．第二、三象限3．已知二次函数y ＝a(x －h)2的图象是由抛物线y ＝－2x 2向左平移3个单位长度得到的，则a ＝__－2___，h ＝__－3___.4．在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象略，抛物线y ＝x 2的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)；抛物线y ＝(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)；抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)知识点2：二次函数y ＝a (x －h )2的性质 5．二次函数y ＝15(x －1)2的最小值是( C ) A ．－1 B ．1C ．0D ．没有最小值6．如果二次函数y ＝a(x ＋3)2有最大值，那么a__＜___0，当x ＝__－3___时，函数的最大值是__0___．7．对于抛物线y ＝－13(x －5)2，开口方向__向下___，顶点坐标为__(5，0)___，对称轴为__x ＝5___．8．二次函数y ＝－5(x ＋m)2中，当x ＜－5时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－5时，y 随x 的增大而减小，则m ＝__5___，此时，二次函数的图象的顶点坐标为__(－5，0)___，当x ＝__－5___时，y 取最__大___值，为__0___．9．已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__y 3＜y 1＜y 2___．10．已知抛物线y ＝a(x －h)2，当x ＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2，解得a＝－3，∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小11．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数y ＝12x 2的图象相同的抛物线的解析式是( D ) A ．y ＝12(x －6)2 B ．y ＝12(x ＋6)2 C ．y ＝－12(x －6)2 D ．y ＝－12(x ＋6)2 12．平行于x 轴的直线与抛物线y ＝a(x －2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( C )A ．(1，2)B ．(1，－2)C ．(5，2)D ．(－1，4)13．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 和二次函数y ＝a(x ＋c)2的图象大致为( B )14．已知二次函数y ＝3(x －a)2的图象上，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是__a ≤2___．15．已知一条抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)，则该抛物线的解析式是__y ＝12(x ＋5)2___． 16．已知抛物线y ＝a(x －h)2的对称轴为x ＝－2，且过点(1，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的图象；(3)从图象上观察，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，函数有最大值(或最小值)? 解：(1)y ＝－13(x ＋2)2 (2)图象略 (3)x ＜－2时，y 随x 的增大而增大；x ＝－2时，函数有最大值17．已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y ＝－8x 2都相同，并且它的顶点在抛物线y ＝2(x ＋32)2的顶点上． (1)求这条抛物线的解析式；(2)求将(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的解析式；(3)将(2)中所求抛物线关于x 轴对称，求所得抛物线的解析式．解：(1)y ＝－8(x ＋32)2 (2)y ＝－8(x ＋132)2 (3)y ＝8(x ＋132)218．如图，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴上，OA ＝AB ＝1个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移1个单位长度后得△AA 1B 1.(1)求以A 为顶点，且经过点B 1的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D ，C 的坐标．解：(1)由题意得A(1，0)，A 1(2，0)，B 1(2，1)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2，∵抛物线经过点B 1(2，1)，∴1＝a(2－1)2，解得a ＝1，∴抛物线解析式为y ＝(x －1)2(2)令x ＝0，y ＝(0－1)2＝1，∴D 点坐标为(0，1)．∵直线OB 在第一、三象限的角平分线上，∴直线OB 的解析式为y ＝x ，根据题意联立方程组，得⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝（x －1）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3＋52，y 1＝3＋52，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3－52，y 2＝3－52. ∵x 1＝3＋52＞1(舍去)，∴点C 的坐标为(3－52，3－52) 第3课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质 1．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状__相同___，位置__不同___，把抛物线y ＝ax 2向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k ，平移的方向、距离要根据__h___，__k___的值来决定．2．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 有如下特点：①当a ＞0时，开口向__上___；当a ＜0时，开口向__下___；②对称轴是直线__x ＝h___；③顶点坐标是__(h ，k)___．知识点1：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象1．(2014·兰州)抛物线y ＝(x －1)2－3的对称轴是( C )A ．y 轴B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－32．抛物线y ＝(x ＋2)2＋1的顶点坐标是( A )A ．(－2，1)B ．(－2，－1)C ．(2，1)D ．(2，－1)3．把抛物线y ＝－2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( C )A ．y ＝－2(x ＋1)2＋2B ．y ＝－2(x ＋1)2－2C ．y ＝－2(x －1)2＋2D ．y ＝－2(x －1)2－24．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：(1)y ＝3(x －1)2＋2；解：开口向上，对称轴x ＝1, 顶点(1，2)(2)y ＝－13(x ＋1)2－5. 解：开口向下，对称轴x ＝－1，顶点(－1，－5)知识点2：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质5．在函数y ＝(x ＋1)2＋3中，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围为( A )A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．x ＜－1D ．x ＜36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y ＝－2(x －h)2＋k ，则下列结论正确的是( A)A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0,第6题图),第9题图) 7．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C)A．1米B．5米C．6米D．7米8．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则该矩形面积的最大值为__144_m2___．9．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是__(1，0)___．10．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．解：(1)a＝－1(2)由题意得抛物线的对称轴为x＝3，∵抛物线开口向下，∴当x＜3时，y随x的增大而增大，而m＜n＜3，∴y1＜y211．(2014·哈尔滨)将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( D )A ．y ＝－2(x ＋1)2－1B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2＋1D ．y ＝－2(x －1)2＋312．已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－2；③其图象顶点坐标为(2，－1)；④当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象如图，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过( C )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限14．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 215．二次函数y ＝a(x ＋k)2＋k ，无论k 为何实数，其图象的顶点都在( B )A ．直线y ＝x 上B ．直线y ＝－x 上C ．x 轴上D ．y 轴上16．把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5 (2)它的开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－5) 17．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式．(不要求写出自变量的取值范围)解：∵点(12，3)是抛物线的顶点，∴可设抛物线的解析式为y ＝a(x －12)2＋3.∵抛物线经过点(0，1)，∴1＝(0－12)2·a ＋3，解得a ＝－8，∴抛物线水柱的解析式为 y ＝－8(x －12)2＋318．已知抛物线y ＝－(x －m)2＋1与x 轴的交点为A ，B(B 在A 的右边)，与y 轴的交点为C.(1)写出m ＝1时与抛物线有关的三个正确结论；(2)当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)正确的结论有：①顶点坐标为(1，1)；②图象开口向下；③图象的对称轴为x ＝1；④函数有最大值1；⑤当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；⑥当x ＞1时，y 随x 的增大而减小等 (2)由题意，若△BOC 为等腰三角形，则只能OB ＝OC.由－(x －m)2＋1＝0，解得x ＝m ＋1或x ＝m －1.∵B 在A 的右边，所以B 点的横坐标为x ＝m ＋1＞0，OB ＝m ＋1.又∵当x ＝0时，y ＝1－m 2＜0.由m ＋1＝m 2－1，解得m ＝2或m ＝－1(舍去)，∴存在△BOC 为等腰三角形的情形，此时m ＝222．1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)通过配方可化为y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a的形式，它的对称轴是__x ＝－b 2a ___，顶点坐标是__(－b 2a ，4ac －b 24a )___．如果a ＞0，当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而__减小___，当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而__增大___；如果a ＜0，当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而__增大___，当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而__减小___． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与y ＝ax 2的图象__形状完全相同___，只是__位置___不同；y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象可以看成是y ＝ax 2的图象平移得到的，对于抛物线的平移，要先化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规则来平移．知识点1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象和性质1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该二次函数有( B )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值2D ．最大值22．(2014·成都)将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( D )A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2＋4D ．y ＝(x －1)2＋23．若抛物线y ＝x 2－2x ＋c 与y 轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是( C )A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是x ＝1C ．当x ＝1时，y 的最大值为－4D ．抛物线与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)4．抛物线y ＝x 2＋4x ＋5的顶点坐标是__(－2，1)___．5．已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当__x ＜－2___时，y 随x 的增大而增大；当x ＝__－2___时，y 有最__大___值是__2___．知识点2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的变换6．抛物线y ＝－x 2＋2x －2经过平移得到y ＝－x 2，平移方法是( D )A ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位D ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位7．把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y ＝x 2－3x ＋5，则( A )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝218．如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C(5，4)．(1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．解：(1)由抛物线过C(5，4)得25a －25a ＋4a ＝4，解得a ＝1，∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－5x ＋4.∵y ＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，∴顶点坐标为P(52，－94) (2)(答案不唯一，合理即正确)如：先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为y ＝(x －52＋3)2－94＋4，即y ＝(x ＋12)2＋74，也即y ＝x 2＋x ＋29．(2014·河南)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点．若点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝2，则线段AB 的长为__8___．10．二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图象如图所示，则m 的值是( B )A ．－8B ．8C ．±8D ．6,第10题图) ,第12题图)11．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152.若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 112．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)的图象如图所示，当－5≤x ≤0时，下列说法正确的是( B )A ．有最小值－5，最大值0B ．有最小值－3，最大值6C ．有最小值0，最大值6D ．有最小值2，最大值613．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象正确的是( D )14．已知二次函数y ＝x 2－2kx ＋k 2＋k －2.(1)当实数k 为何值时，图象经过原点？(2)当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？解：(1)∵图象过原点，∴k 2＋k －2＝0，∴k 1＝－2，k 2＝1 (2)y ＝x 2－2kx ＋k 2＋k －2＝(x －k)2＋k －2，其顶点坐标为(k ，k －2)．∵顶点在第四象限内，∴⎩⎨⎧k ＞0，k －2＜0，∴0＜k ＜2 15．当k 分别取－1，1，2时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．解：①当k ＝1时，函数为y ＝－4x ＋4，是一次函数，无最值；②当k ＝2时，函数为y ＝x 2－4x ＋3，为二次函数，此函数图象的开口向上，函数只有最小值而无最大值；③当k ＝－1时，函数为y ＝－2x 2－4x ＋6，为二次函数，此函数图象的开口向下，函数有最大值，因为y ＝－2x 2－4x ＋6＝－2(x ＋1)2＋8，所以当x ＝－1时，函数有最大值，为816．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C ，D 两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点坐标；若P 点不存在，请说明理由． 解：(1)将(0，0)代入二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1中，得0＝m 2－1，解得m ＝±1，∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x 或y ＝x 2－2x (2)当m ＝2时，二次函数解析式为y ＝x 2－4x＋3，即y ＝(x －2)2－1，∴C(0，3)，顶点坐标为D(2，－1) (3)存在．连接CD ，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P 位于CD 与x 轴的交点时，PC ＋PD 最短．可求经过C ，D 两点的直线解析式为y ＝－2x ＋3，令y ＝0，可得－2x ＋3＝0，解得x ＝32，∴当P 点坐标为(32，0)时，PC ＋PD 最短 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y ＝ax 2＋bx ＋c___．(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h ，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y ＝a(x －h)2＋k___．以下有三种特殊情况：①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为__y ＝ax 2___；②当已知抛物线的顶点在y 轴上或以y 轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为__y ＝ax 2＋c___；③当已知抛物线的顶点在x 轴上，可设抛物线的解析式为__y ＝a(x －h)2___，其中(h ，0)为抛物线与x 轴的交点坐标．(3)交点式：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标(x 1，0)，(x 2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为__y ＝a(x －x 1)(x －x 2)___．知识点1：利用“三点式”求二次函数的解析式1．由表格中信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则下列y 与x 之间的函数关系式正确的是( A ) x －10 1 ax 2 1ax 2＋bx ＋c8 3 A .y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋82．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为__y ＝x 2－x －2___．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式．解：由题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝6，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－3x ＋1 知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( D )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8 D ．y ＝2(x －1)2－85．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y 轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式． 解：由题意，设二次函数的解析式为y ＝a(x －4)2－1，把(0，3)代入得3＝a(0－4)2－1，解得a ＝14，∴y ＝14(x －4)2－1 知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式6．如图，抛物线的函数表达式是( D ) A ．y ＝12x 2－x ＋4 B ．y ＝－12x 2－x ＋4 C ．y ＝12x 2＋x ＋4 D ．y ＝－12x 2＋x ＋4 7．已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．解：由题意，设二次函数解析式为y ＝a(x ＋1)(x －2)，把(0，－2)代入得－2＝－2a ，∴a ＝1，∴y ＝(x ＋1)(x －2)，即y ＝x 2－x －28．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( D )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝－12x 2－12x ＋2 C ．y ＝－12x 2－12x ＋1 D ．y ＝－x 2＋x ＋29．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点是(－1，－3)，则b ，c 的值分别是( D )A ．b ＝2，c ＝4B ．b ＝2，c ＝－4C ．b ＝－2，c ＝4D ．b ＝－2，c ＝－410．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … －2 －1 0 1 2 …y … 0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是__①③④___．(填序号)①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是x ＝0.5；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．11．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为__y ＝x 2－2x －3___．12．将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象沿x 轴对折后得到的图象的解析式为__y ＝－(x －1)2－2___．13．(2014·杭州)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C在直线x ＝2上，且点C 到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2___． 14．已知二次函数的图象的对称轴为x ＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，求此二次函数的表达式．解：由题意设y ＝a(x －1)2－6，∵图象经过点(2，－8)，∴－8＝a(2－1)2－6，解得a ＝－2，∴y ＝－2(x －1)2－6，即y ＝－2x 2＋4x －815．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x 轴交于A ，B 两点．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，试说明理由．解：(1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，∴c ＝3，∴⎩⎨⎧9a －3b ＋3＝0，4a ＋2b ＋3＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，∴y ＝－x 2－2x ＋3 (2)∵当x ＝－2时，y ＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．令－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴与x 轴的交点为(－3，0)，(1，0)，∴AB ＝4，则S △PAB ＝12×4×3＝6。