2020届高中数学：指数型函数模型

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题12函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.基础知识融会贯通1．几类函数模型2.三种函数模型的性质【知识拓展】1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .重点难点突破【题型一】用函数图象刻画变化过程【典型例题】某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：°C ）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势【解答】解：由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误故选：D．【再练一题】某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y（℃）与时间t（min）近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y（℃）与时间t（min）近似满足函数的关系式为（a，b为常数），通常这种热饮在40℃时，口感最佳．某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（）A．35min B．30min C．25min D．20min【解答】解：由题意知当0≤t≤5时，图象是直线，当t≥5时，图象的解析式为，图象过（5，100）和（15，60），则，得，即y＝80（）20，t≥5，当y＝40时，得80（）20＝40，即80（）20，得（），得2，得t＝25，即最少需要的时间为25min，故选：C．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【题型二】已知函数模型的实际问题【典型例题】在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y ＝e kx+b（e＝2.71828…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时，在30℃时的保鲜时间为15小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为（）A．30小时B．40小时C．50小时D．80小时【解答】解：由题意可知，∴e30k，∴e10k，∴e20k+b＝（e10k）2•e b•120＝30．故选：A．【再练一题】地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝35，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【题型三】构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型【典型例题】已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为米．【解答】解：由汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，设y＝kv2，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，∴20＝3600k，解得k，∴y v2，当v＝90千米/时，∴y902＝45米，故答案为：45【再练一题】某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f（x）（单位：万斤）与年份x （记2015年为第1年）之间的关系统计如下：则f（x）近似符合以下三种函数模型之一：①f（x）＝ax+b；②f（x）＝2x+a；③f（x）＝x2+b．则你认为最适合的函数模型的序号是．【解答】解：若模型为②，则f（1）＝2+a＝4，解得a＝2，于是f（x）＝2x+2，此时f（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f（1）＝1+b＝4，解得b＝3，于是f（x）＝x2+3，f（2）＝7，f93）＝12，f（4）＝19，此时，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得，解得a，b，经检验是最适合的函数模型．故答案为：①．命题点2构造指数函数、对数函数模型【典型例题】已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg．（1）y与x的关系式为；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过小时（精确到0.1）．（参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1）【解答】解：（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减， 给某病人注射了该药物2500mg ，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为y ＝2500×（1﹣20%）x ＝2500×0.8x （mg ）， 即y 与x 的关系式为 y ＝2500×0.8x ；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险， 令2500×0.8x ≥500， ∴0.8x ≥0.2，∵0.87.2≈0.2，y ＝0.8x 是单调减函数， ∴x ≤7.2，所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时． 故答案为：（1）y ＝2500×0.8x ，（2）7.2．【再练一题】燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2，单位是m /s ，其中O 表示燕子的耗氧量的单位数．记v 1＝25m /s 时耗氧量为O 1，v 2＝5m /s 时耗氧量为O 2，则O 1是O 2的 16 倍．【解答】解：v ＝5log 2，当v 1＝25m /s 时耗氧量为O 1，则25＝5log 2，即25，即O 1＝10×25，v 2＝5m /s 时耗氧量为O 2，5＝5log 2，即2，即O 2＝10×2，∴24＝16，故则O 1是O 2的16倍， 故答案为：16命题点3 构造y ＝x ＋ax (a >0)型函数【典型例题】某公司一年购买某种货物480吨，每次购买x吨，运费为10万元/次，一年的总存储费用为3x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是．【解答】解：设总费用为y，则y＝3x+103x2240，当且仅当3x即x＝40时取等号．故答案为：40．【再练一题】某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L．欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为．【解答】解：设每小时的油耗（所需要的汽油量）为y，由题意可得y，当x＝120时，y＝11.5，∴11.5（120﹣k），解得k＝100，∴y（x﹣100）∵每小时的油耗不超过9L，∴（x﹣100）≤0，即x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]，故答案为：[60，100]命题点4构造分段函数模型【典型例题】2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下：（相关计算公式为：应纳税额＝纳税所得额﹣起征额，税款＝应纳税额×适用税率﹣速算扣除数，税后工资＝纳税所得额﹣税款）（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为元；（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为元．附录：【解答】解：（1）根据题意，某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，则甲的应纳税额对应的税率为10%，速算扣除数为105，那么他9月份的税款为2000×10%﹣105＝95元；（2）根据题意，设乙的工资为x元，个税改革之前其应缴的个税为y元，个税改革之后其应缴的个税为y′元，则y，y′，若职工乙2018年10月税后工资为14660元，即y′＝14660，分析可得有0.1（x﹣5000）﹣210＝x﹣14660，解可得x＝15500，该职工的税款15500﹣14660＝840元，在个税改革之前，该职工的税款y ＝0.25×（15500﹣3500）﹣1005＝1995元，则职工乙享受减税红利为1995﹣840＝1155元；故答案为：（1）95，（2）1155．【再练一题】某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为x元/件，其中10≤x≤30，且x∈N*．根据市场调查，当10≤x≤15，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与（18﹣x）2成正比；当15≤x≤30，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与成反比．已知售价为15元/件时，月销售量为9万件．（1）求该公司的月利润f（x）（万件）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润f（x）最大？并求出最大值．【解答】解：（1）当10≤x≤15且x∈N×时，设h（x）＝k1（18﹣x）2，由题意可知h（15）＝9，即9＝9k1，故k1＝1，此时利润f（x）＝（x﹣8）（18﹣x）2，当15≤x≤30且x∈N×时，设h（x），又h（15）＝9，故9，故k2＝3．此时利润f（x）＝（x﹣8）．∴f（x）．（2）当10≤x≤15且x∈N×时，f′（x）＝（x﹣18）（3x﹣34），令f′（x）＝0可得x＝18（舍）或x，∴当10≤x时，f′（x）＞0，当x≤15时，f′（x）＜0，∴f（x）在[10，）上单调递增，在（，15]上单调递减，∵x∈N×，且f（11）＝147，f（12）＝144，∴当x＝11时，f（x）取得最大值147．当15≤x≤30且x∈N×时，f′（x），令f′（x）＝0可得x＝10±2（舍），∴当15≤x≤30时，f′（x）＞0，故f（x）在[15，30]上单调递增，∴当x＝30时，f（x）取得最大值f（30）＝99．综上，当x＝11时，f（x）取得最大值147．答：当每件产品的售价为11元时，该公司的月利润f（x）最大，最大利润为147万元．思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．基础知识训练1．图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD 和BC上的射影分别为H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH = ．（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当时该别墅总造价最低【解析】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM ⊂平面ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM = 5，，所以．因此△FBC的面积为．从而屋顶面积．所以S关于的函数关系式为)．（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为．所以别墅总造价为记，所以，令，得，又，所以．列表：− 0 +所以当时，有最小值．答：当时该别墅总造价最低．2．如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．已知在时刻时点P距离地面的高度为，其中，求的解析式；在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？【答案】（1）．；（2）摩天轮转动的一圈内，有点P距离地面超过70m.【解析】（1）由题意可得（2）由解得：故摩天轮转动的一圈内，有距离地面超过3．小王在某景区内销售该景区纪念册，纪念册每本进价为5元，每销售一本纪念册需向该景区管理部门交费2元，预计这种纪念册以每本20元的价格销售时，小王一年可销售2000本，经过市场调研发现，每本纪念册的销售价格在每本20元的基础上每减少一元则增加销售400本，而每增加一元则减少销售100本，现设每本纪念册的销售价格为x元．写出小王一年内销售这种纪念册所获得的利润与每本纪念册的销售价格的函数关系式，并写出这个函数的定义域；当每本纪念册销售价格x为多少元时，小王一年内利润最大，并求出这个最大值．【答案】（1）见解析；（2）32400【解析】由题每本书的成本为7元设每本纪念册的销售价格为x元．当时，当时，，小王一年内销售这种纪念册所获得的利润与每本纪念册的销售价格的函数关系式为：．此函数的定义域为．．，当，则当时，当，则当时，所以当时，小王获得的利润最大为4．某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【答案】（1）饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．【解析】（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x–80）件．x+（x–80）=320，解得x=200．∴x–80=120．答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8–m）辆．得：，解得2≤m≤4．∵m为正整数，∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：①2×400+6×360=2960（元）；②3×400+5×360=3000（元）；③4×400+4×360=3040（元）；∴方案①运费最少，最少运费是2960元．答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．5．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？需说明理由至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．【答案】（1）应将作为模拟函数,理由见解析；（2）个月.【解析】由题意，把，2，3代入得：，解得，所以，所以，；把，2，3代入，得：，解得，所以，所以；更接近真实值，应将作为模拟函数．，解得，至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．6．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.（1）求的值；（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.【解析】（1）因为.且时，.所以解得. .（2）由（1）可知，该商品每日的销售量.所以商场每日销售该商品所获得的利润：因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.7．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min【解析】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，将（30，800），（60，2000）代入得，，解得，∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，则，解得．即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，解方程组，得，即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，∵75–60=15，∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．8．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如下表所示：设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元．（1）根据题意，填写下表．（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？【答案】(1)(2) y=–20x+8300,当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．【解析】（1）填表如下：故答案为80–x，x–10，2×20×（80–x），2×20×（x–10）；（2）y=2×15x+2×25×（110–x）+2×20×（80–x）+2×20×（x–10），整理得y关于x的函数表达式为y=–20x+8300，∵–20<0，且10≤x≤80，∴当x=80时，总运费y最省，此时y最小=–20×80+8300=6700．故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．9．一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．（a）说明图①中点A和点B的实际意义；（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．【答案】(1)A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．(2)（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③；反映公交公司意见的是图②；【解析】（1）设A,B两站相距千米，行驶时间是小时，依题意得，解得（千米/小时），即如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是（千米/小时）.（2）（a）A点表示公交公司的该条公交线路的运营成本为万元；B点表示当乘客量为万人时，公交公司的该条公交线路收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③，反映公交公司意见的是图②.10．某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的，且最低1元笔，最高50元笔，王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务．(1)若王杰转账的金额为x元，手续费为y元，请将y表示为x的函数；(2)若王杰转账的金额为元，他支付的手续费大于5元且小于50元，求t的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】解：由题意得中的分段函数得，如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元则转账金额大于1000元，且小于10000元则只需要考虑当时的情况即可由，得即实数t的取值范围是11．2016年汕头市开展了一场创文行动一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表：每辆车月租金定价辆若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元由上表，他决定每辆车月租金定价满足：为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；不低于3000元；定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆．(1)按调查数据，请将y表示为关于x的函数．(2)当x何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？【答案】(1)，且；(2)当时，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【解析】由表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，则，令，得，得，得，所以所求函数，且，知，租赁公司的月收益为，则，时，取得最大值为307050，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．12．2018年末，天猫某商铺为了制定2019年营销方案，分析了2018年每次促销活动时某网红产品的销售量单位：千套与销售价格单位：元的关系关系式为，其中，m为常数，已知销售价格为40元套时，每次促销可售出此产品21千套．求m的值；假设此产品的成本约为每套产品20元只考虑销售出的产品数，试确定销售价格x的值，使该商铺每次销售此产品所获得的利润最大．【答案】（1）320；（2）见解析【解析】代入，得：，．设商铺所获利润为，则，令，则，令，时，，当时，，时，取得最大值，时，取得最大值．故销售价格为套时，该商铺每次销售此产品所获得的利润最大．13．科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中平方米如风吹落叶沙沙声的强度平方米，它的强弱等级分贝．已知生活中几种声音的强度如表：声音来源平方米强弱等级分贝求a和m的值为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．【答案】（1）；（2）平方米【解析】（1）将平方米，平方米代入得：则：由题意得：，即：，得，即此时声音强度的最大值为平方米14．已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km的直线型水路，一艘游轮以的速度航行时考虑到航线安全要求，每小时使用的燃料费用为万元为常数，且，其他费用为每小时万元．若游轮以的速度航行时，每小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的所有费用不超过万元，求x的取值范围；求该游轮单程航行所需总费用的最小值．【答案】（1）；（2）见解析【解析】由题意时，每小时使用的燃料费为，解得；此时每小时的所有费用为，化简得，解得；又，，的取值范围是；设该游轮单程航行所需总费用为y万元，则，令，则，即；由，得对称轴；，即，则函数上单调递减，在上单调递增；故当，即时，y取得最小值为；，即，则函数上单调递减，故当，即时，y取得最小值为；综上所述，当时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元，当时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元．15．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：。

【高中数学】高中数学知识点：指数函数模型的应用指数函数模型的定义
：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=ab
x
+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数复合函数性质的应用：
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
（2）比如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
① 作用
的定义域与f(x)的定义域相同；
② 首先确定函数f（x）的取值范围，然后根据指数函数的取值范围和单调性确定函数
的值域；
③ 当a>L时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当o<a<l时，函数
它与函数f（x）的单调性相反
相关
高中数学
知识点：对数函数模型的应用
对数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=mlog
A.
x+n（m、n、a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）的形式，进而结合对数函数的性质解决问题。

对数函数模型的解析公式
：
f（x）=mlog
a
X+n（m，n，a是常数，m≠ 0，a>0，a≠ 1)
用函数模型解函数应用题的步骤：
1.检查：澄清问题的含义，区分条件和结论，确定定量关系，初步选择数学模型；
2.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
3.寻找模型：求解数学模型，得出数学结论；
4.还原：将数学问题还原为实际问题的意义。

指数函数【考点梳理】1．根式的性质(1)( na)n＝a.(2)当 n 为奇数时，na n＝ a.n n a a≥0 ，(3)当 n 为偶数时， a ＝ |a|＝(4)负数的偶次方根无心义．(5)零的任何次方根都等于零．2．有理指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂： a ＝na m(a＞ 0， m， n∈ N*，且 n＞1)；1 1 *，且 n＞ 1)；②负分数指数幂： a ＝m＝(a＞0，m，n∈Na n na m③ 0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没存心义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a＞0， r， s∈Q)；② (a r)s＝a rs(a＞0，r， s∈ Q)；③ (ab)r＝ a r b r (a＞0，b＞0， r∈ Q)．3．指数函数的图象与性质a＞10＜ a＜ 1 图象定义域R值域(0，＋∞ )过定点 (0,1)性质当 x＞ 0 时， y＞1；当 x＞0 时， 0＜y＜1；当 x ＜ 0 时， 0＜y ＜1 当 x ＜0 时， y ＞1在 R 上是增函数在 R 上是减函数【考点打破】考点一、指数幂的运算【例 1】化简以下各式：131－－2 2 (1) 25＋2· 24－(0.01) ；112 15 332(2)6a ·b －2·(－ 3a － 2b －1) ÷4a · b － 3 .1 1114[分析](1)原式＝ 1＋ 4× 9 2－ 100 2 1 2 1 1 1 16＝1＋4×3－ 10＝1＋6－10＝ 15.2 11(2)原式＝－ 5a 6b －3÷(4a 3· b － 3)2211135－335÷(a 3 b 2＝－ 4 a6 b)＝－ 4 a 2 · b 2 5 1 5 ab＝－ · 3＝－4ab 2 . 4 ab【类题通法】1．指数幂的运算，第一将根式、分数指数幂一致为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)一定同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后次序．2．当底数是负数时，先确立符号，再把底数化为正数．3．运算结果不可以同时含有根号和分数指数，也不可以既有分母又含有负指数．【对点训练】1－ －541．求值：0 ＋33 ＋ 16－＋＝________.32192[答案] 143801 4 310 1 1 1 143[分析] 原式＝－－1＋(－2)－＋ 2－＋＝4－1＋16＋8＋10＝80.3 3 6 62．化简： (2 a2· b)(－ 6 a· b) ÷(－3 a· b5)＝________.[答案] 4a3 3 6 6[分析] (2 2 ·÷－ 5a · b)(－6 a b) ( 3 a·b )2 1 1 1 1 5＝2a3·b2 －6a2·b3÷－3a6·b 62 1 1 1 1 5＝4a 3 ＋ 2 6 ·b 2 ＋ 3 6＝4a1·b0＝4a.考点二、指数函数的图象及应用【例 2】 (1)函数 f(x)＝2|x－1|的图象是 ()(2)若函数 f(x)＝ |2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ________.[答案] (1) B (2) (0，2)x 12 －，x≥1，[分析] (1)由题意得 f(x)＝ 1 x 1 联合图象知选 B.2 －，x<1，(2)将函数 f(x)＝ |2x－ 2|－b 的零点个数问题转变为函数y＝ |2x－2|的图象与直线y＝ b 的交点个数问题，数形联合求解.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－ 2|与 y＝ b 的图象，如下图 .∴当 0<b<2 时，两函数图象有两个交点，进而函数f(x)＝|2x－ 2|－ b 有两个零点.∴ b 的取值范围是 (0，2).【类题通法】指数函数图象的画法 (判断 )及应用(1)画(判断 )指数函数 y＝a x(a＞ 0， a≠ 1)的图象，应抓住三个重点点：(1，a)，1(0,1)，－1，a .(2)与指数函数相关的函数的图象的研究，常常利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换获得其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，常常利用相应的指数型函数图象数形联合求解 .【对点训练】1．函数 f(x)＝1－ e|x|的图象大概是 ()A B C D[答案] A因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值[ 分析] 将函数分析式与图象对照剖析，域是 (－∞，0]，只有 A 知足上述两个性质．2．若曲线y＝ |2x－1|与直线y＝b 有两个公共点，则 b 的取值范围是．[答案] (0， 1)[分析] 曲线y＝ |2x－ 1|与直线y＝ b 的图象如下图，由图象可得，假如曲线y＝ |2x－1|与直线 y＝ b 有两个公共点，则 b 的取值范围是 (0，1).考点三、指数函数的性质及应用42 1 【例 3】已知 a＝ 3 ，＝ 3 ，＝25 3 ，则()2 b3 cA ． b＜ a＜ c B．a＜b＜c C． b＜c＜a D． c＜a＜b[答案] A4 2 2 1 2[分析] a＝ 23＝ 4 3，b＝33， c＝253＝53 .2∵y＝x3在第一象限内为增函数，又5＞ 4＞ 3，∴c＞a＞b.【类题通法】比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不可以化成同底数的，一般引入“ 1” 等中间量比较大小．【对点训练】以下各式比较大小正确的选项是()A ．3B．－12C．－D．[答案] B[分析]x 3A 中，∵函数 y＝在 R 上是增函数，2.5<3，∴<1.7 ，错误；B中，∵y＝x在R上是减函数，－ 1<2，∴－12，正确；C中，∵(0.8)－1＝，∴问题转变为比较与的大小 .∵y＝x在R上是增函数，，∴，即－，错误； D 中，∵<1，∴，错误 .应选 B.【例 4】不等式1 x－3>16 的解集为 ________．4[答案]{ x|x<1}1x 3 1 x312[分析]不等式 4 －>16 可化为 4 －> 4 － ，等价于 x －3<－2，解得 x<1，所以不等式1 x －3>16 的解集为 { x|x<1}.4【类题通法】解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转变为一般不等式求解．【对点训练】x2x＜4 的解集为 ______．不等式 2[答案] { x|－1＜x ＜ 2} (或 － 1， 2 ) [分析]∵2x 2 x 2x 2 x 2＜4，∴ ＜ 2 ，∴x 2－x ＜2，即 x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.【例 5】已知函数 f(x)＝13ax2－ 4x ＋3.(1)若 a ＝－ 1，求 f(x)的单一区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是 (0，＋∞ )，求 a 的值．1 x 24x ＋3 [分析](1)当 a ＝－ 1 时， f(x)＝ 3 － － ，令 g(x)＝－ x 2－4x ＋ 3＝－ (x ＋2)2 ＋7，则 g(x)在区间 (－ ∞，－ 2)上单一递加，1 x在区间 [ －2，＋ ∞ )上单一递减，又函数 y ＝ 3 在 R 上是减函数，所以 f(x)的单一递加区间是 [－2，＋ ∞)，单一递减区间是 (－ ∞，－ 2).a ＞0，(2)由 f(x)有最大值 3 知，ax 2－4x ＋ 3 有最小值－ 1，则有 12a －16解4a ＝－ 1，得 a＝1.(3)由 f(x)的值域是 (0，＋∞ )知， ax2－ 4x＋3 的值域为 R，则必有 a＝0.【类题通法】研究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单一性(区间 )、奇偶性、最值(值域 )等性质的方法一致．【对点训练】|2x－ 4| 11．若函数 f(x)＝ a (a>0，且 a≠1)，知足 f(1)＝9，则 f(x)的单一递减区间是()A．(－∞， 2] B．[2 ，＋∞ )C．[－2，＋∞ ) D．(－∞，－2][答案] B[分析] 由 f(1)＝1 2 1 1 1 1 |2x－4| 9，得 a ＝9，解得 a＝3或 a＝－3(舍去 )，即 f(x)＝3 .因为 y＝ |2x－4|在 (－∞，2]上递减，在 [2，＋∞)上递加，所以 f(x)在(－∞，2] 上递增，在 [2，＋∞)上递减 .2．已知函数 f(x)＝a|x＋b|(a>0，b∈R)．(1)若 f(x)为偶函数，求 b 的值；(2)若 f(x)在区间 [2 ，＋∞ )上是增函数，试求a， b 应知足的条件．[ 分析 ](1)∵f(x)为偶函数，∴对随意的 x∈R，都有 f(－x)＝ f(x)．即 a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋ b|，解得 b＝0.x＋b，x≥ －b，(2)记 h(x)＝|x＋b|＝－x－b，x<－ b.①当 a>1 时， f(x)在区间 [2，＋∞)上是增函数，即 h(x)在区间 [2 ，＋∞)上是增函数，∴－b≤2，b≥－ 2.②当 0<a<1 时， f(x)在区间 [2，＋∞)上是增函数，即 h(x)在区间 [2，＋∞)上是减函数，但 h(x)在区间 [－ b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b 的值，使 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间 [2，＋∞)上是增函数时， a，b 应知足的条件为a>1 且 b≥－2.。

3.4。

2 函数模型及其应用学习目标核心素养1。

了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点）2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用(重点).通过学习本节内容，提升学生的数学建模的数学运算核心素养。

1．常见的函数模型(1)一次函数模型：f(x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）；(2)反比例函数模型:f(x)＝错误!＋b（k，b为常数,k≠0)；(3)二次函数模型：f（x）＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数，a≠0)；(4）指数函数模型：f（x)＝ab x＋c（a，b，c为常数，a≠0，b ＞0，b≠1）；(5）对数函数模型：f（x）＝m log a x＋n（m，n，a为常数,m≠0，a＞0，a≠1）；(6）幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．(7）分段函数模型．2．用函数模型解决实际问题的基本步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；（2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3）求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．1．某商店每月利润的平均增长率为2％，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________。

1.0211[设1月份利润为x，则12月份的利润y＝x（1＋2％)11＝kx，∴k＝1。

0211.]2．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨,每吨为700元,一客户购买400吨，单价应该是________元．860 ［依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由x＝800，y＝1 000及x＝700，y＝2 000，可得k＝－10，b＝9 000，即y＝－10x＋9 000，将y＝400代入得x＝860（元)．]利用已知函数模型解实际问题受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用f（x)表示学生掌握和接受概念的能力(f（x)值越大,表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min),可有以下的公式：f(x）＝错误!（1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2）开讲后5 min与开讲后20 min比较,学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？思路点拨：精读题目，理解题意及分段函数的意义进行求解．[解] （1）当0<x≤10时，f(x）＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1（x－13)2＋59。