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高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.2圆的一般方程课件北师大版必修2

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2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示
圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[通一类] 1．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0) 12 12 1 解：(1)原方程可化为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2
§
[读教材·填要点] 1．圆的一般方程的定义 Nhomakorabea当
D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 为圆 (1)当 D ＋E －4F＞0 时，方程表示以 1 2 D ＋E2－4F 心，以 2 为半径的圆． D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 ． (2)当 D ＋E －4F＝0 时， 方程表示一个点 (3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程 不表示任何图形 ．
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方
程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆； ②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a| 的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
[悟一法] 对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程
[研一题]
[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，化成
标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
[自主解答] (1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它 表示点(－1,0)，不表示圆． (2)原方程可化为 x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆 心在(0，－a)，半径为 a2＋1的圆，标准方程为 x2＋(y＋a)2＝( a2＋1)2.

北师大版高中数学必修二解析几何初步二《圆与圆的方程》ppt

北师大版高中数学必修二解析几何初步二《圆与圆的方程》ppt

得 ｒ＝ 3 1－4 3－7 ＝16
因此圆的方程是
32＋－42
ｘ－1 ＋ｙ－3
＝
5
25
2
2 256
解：
因为圆心在ｙ轴上，圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是 ｒ，那么圆的方程是
ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2
因为点（10,0）和（0,4）在圆上。于是得方程组
0 2 ＋4－ｂ2＝ｒ2
2）由于圆的方程含有a、b、r三个参数，因此必须具备 三个独立的条件才能确定一个圆，可用待定系数法求得。
3）可用圆的方程解决一些实际问题。
作业
习题7.7第1（2）、第2（2）、第4题。
例1
解：已知圆心是C（1,3），那么再求出圆的半径ｒ， 就能写出圆的方程。
因为圆C和直线3X－4Y－7＝0相切，所以半径ｒ等于 圆心C到这条直线的距离，根据点到直线的的距离公式，
X
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的 切线的方程。
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切 线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是
x a2 y b2 r 2；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的
方程就是x2+y2=r2。
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示 的圆的圆心和半 径是？
圆心：（1，-4），半径：5
3) 圆x a2 y b2 r 的圆心和半径分别是什么？
（-a，-b）
r
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直 线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。解
解得 ａ＝2，ｒ2＝10 所以这个圆的方程是

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)

平面上不共线的三点可以确定一个圆 思考：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上? 分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定 的圆的方程为同一方程 求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐 标满足圆的方程.
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
2 2
D = -2, E = 4, F = 1 D + E - 4F = 16 圆心: (1, -2) 半径: r = 2
2 2
（2） + y - 6 x = 0 3) x
D = -6, E = F = 0 D + E - 4F = 36
2 2
圆心: (3,0)
半径:

2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
解析：由D2＋E2－4F＝1＋1＋4m>0， 1 得m>－2. 1 故当m>－2时，x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆．
答案：A
2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
1 5．已知一曲线为与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离比为 2 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
解：在给定的坐标系里，设点M(x，y)是曲线上的 |OM| 1 任意一点，也就是点M(x，y)满足 |AM| ＝ 2 ，即 x2＋y2 x2＋y2 1 1 ＝ ， 2 2＝ . x－32＋y2 2 x－3 ＋y 4
[一点通]
在解决圆在实际生活中的应用问题时，
借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效 果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问 题的解决会有很大帮助．
6．一辆卡车宽3米，要经过一个半径为5米的半圆形 隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车 篷篷顶距离地面的距离不得超过4米，试用数学 知识进行验证． 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 圆的方程为x2＋y2＝25(y>0)， 当x＝3时，y＝4，即高度不得超过4米．
首先建立适当的平面直角坐标系，根
据条件求出圆的方程，再应用方程求解．
[精解详析] 以圆拱桥顶为坐标原点，以
过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6， －2)，B(－6，－2)， 设圆拱所在的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为原点在圆上，所以F＝0，

高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-2-2圆的一般方程课件

高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-2-2圆的一般方程课件
设
1.根据题意，选择标准方程或一般方程；
列
2.根据条件列出关于a,b,r或D，E，F的方程组；
解
3.解出a,b,r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.
典型例题
例2 过点M(-1,1)且圆心与已知圆C：x2+y2-4x+6y-3=0 相同的圆的方程
解法一:将已知圆的方程化为标准方程
(x-2)2+(y+3)2=16, 圆心C的坐标为(2,-3),半径为4, 故所求圆的半径为
新课探究，总结规律
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件：
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
x
+
D 2
2
+
y
+
E 2
2
=
D2
+
E2 4
-
4F
（1）当 D2 + E2 - 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
-
E 2
（2）当 D2 + E2 - 4F
r = D2 + E2 - 4F 2
则设标准方程.
解法一
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中 D，E，F 待定．
由题意得
DF
= +
0 E
+
F
+
2
=
0
三元一次 方程组
4D + 2E + F + 20 = 0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0．
于是所求圆的方程为x2＋y2－8 x＋6 y＝0． 将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25． 因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程222圆的一般方程课件北师大版必修2(2)

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程222圆的一般方程课件北师大版必修2(2)

(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表 示圆时，务必注意x2及y2的系数都为1.
【跟踪训练】 若使圆x2+y2+2x+ay-a-12=0(a为实数)的面积最小， 则a=_________.
【对点训练】
1.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分
别为 ( )
A.(3，0)，8
B.(0，-3)，8
C.(0，3)，2 2
D.(3，0)，2 2
【解析】选C.因为x2+y2-6y+1=0，可化为x2+(y-3)2 =8，所以圆心为(0，3)，半径为2 2 .
2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，则m的取值范围是
【跟踪训练】
若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为
半径的圆，则D，E，F的值分别为 ( )
A.4，8，-4
B.-4，8，4
C.8，-4，16
D.4，-8，16
【解析】选B.由已知，圆的标准方程为(x-2)2 +(y+4)2=16， 展开得一般方程x2+y2-4x+8y+4=0， 比较系数知，D，E，F分别为-4，8，4，故选B.
(-2，-4)，半径为5；当a=2时，方程为
4x2+4y2+4x+8y+10=0(x ，即1)2y12不5表示圆.
2
4
答案：(-2，-4) 5
【方法总结】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判 断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程 可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示 圆.

【数学】2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)


即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1） 可见任何圆的方程都可以写成（1）式，
将（ ）配方得（x 1 D 2 ) (y
2
E 2
)
2
D E 4F
2 2
(2)
4
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D E 4F x y 2 2 4
2
y 2x 4y 6 0____
2
2
y 2ax b
2
2
0________
1 1的 圆 .
2 2
( 2 )圆 心 为 ( 1, 2 ), 半 径 为
(3)当a, b不同时为0时，圆心为(a, 0), 半径为 a b 的圆 .当a, b同时为0时，表示一个点。
C O ①
A x
化简得 x2+y2+2x3＝0 这就是所求的曲线方程． 把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A(3，0)距离的比为 1 的点的轨迹，求此曲 2 线的方程，并画出曲线。
y
M
2 2
若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单.
练习： 求过三点
A ( 0 , 0 ), B ( 6 , 0 ), C ( 0 ,8 ) 的圆的方程
2 2
.
设圆的方程为
x y Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
6
2
6D F 0

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程221圆的标准方程课件北师大版必修2(2)


2
2
所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-3 圆的位置关系 【典例2】已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5，3)， N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
【解题指南】求出圆的标准方程，将点M，N，P的 坐标代入方程左侧与r2相比较判断.
【拓展】圆心在坐标轴上或过原点或与坐标轴相切的 圆的方程的形式 (1)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程： x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上，半径为r的圆的标准方程： (x-a)2+y2=r2.
(3)圆心在y轴上，半径为r的圆的标准方程： x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上，且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上，且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
【对点训练】 1.圆心为(-2，1)，半径为 2 的圆的标准方程为
() A.(x+2)2+(y+1)2= 2 B.(x+2)2+(y-1)2= 2 C.(x+2)2+(y+1)2=2 D.(x+2)2+(y-1)2=2
【解析】选D.圆心为(-2，1)，排除A，C，半径 为 2 ，故选D.
2.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3，则此圆的
(2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的 标准方程是_(_x_-_a_)_2_+_(_y_-_b_)_2=_r_2_. 当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以_(_0_，__0_)_为圆心， r为半径的圆.

北师大版高中数学必修2第二章解析几何初步第二节《圆与圆的方程》ppt课件


O
X
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的
切线的方程。
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切 线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是 ；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的 方程就是x2+y2=r2。
x a2 y b2 r 2
试一试 ： 1)已知一个圆的圆心在原点， 并且与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
例2 1） :已知圆心在Y轴上,且过点（10，0） 和（0，4）的圆的方程. 解
练习： 过点C(-1，1)和D（1，3），圆
心在X轴上，求圆的方程。解
某圆拱桥的一孔圆拱，其跨度为20m，高度为4m，在 建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度。
2 －1－ａ 2 ＋12＝ｒ 2 2 1－ａ ＋3 2＝ｒ
解得
ａ＝2，ｒ2＝10
2 2 ＋ｙ＝ ｘ－ 10 2
所以这个圆的方程是
例2； 2） 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱的 跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m） y P2 P
A
A1 A2
O
A3 A4 Y
M
B
x
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求 经过圆上一点M（xo，yo）的切线 的方程.
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示 的圆的圆心和半 径是？
圆心：（1，-4），半径：5
2 2 3) 圆x a y b r 的圆心和半径分别是什么？

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)


圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x D 2 + E 2 - 4 F 0
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������ ������ - ,2 2
,半径为
1 r= 2
������2 + ������2 -4������ .
名师点拨1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆,当且仅当 D2+E2-4F>0时表示圆,当D2+E2-4F=0时表示一个点,当D2+E2-4F<0 时不表示任何图形. 2.圆的一般方程的特点 (1)x2和y2的系数相等且不为0; (2)没有xy这样的二次项; (3)满足D2+E2-4F>0.
1 (2)将 x +y -2x+y+ =0 配方 ,得 (x-1)2+ 4 1 故圆心坐标为 1,- ,半径为 1. 2
2 2
������ +
1 2 =1. 2
题型一
题型二
题型三
题型二
圆的方程的判断
【例2】 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆,若能 表示圆,求出圆心坐标和半径. 分析:解答本题可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把 左端配方,看右端是否为大于零的常数.
0 2 -4 2
∴圆心坐标为(0,2),
1 02 + (-4 )2 -4 × 2 2������ 0 (2)∵- =-a,- =0, 2 2
半径 r=
0=2.
∴圆心坐标为(-a,0),
半径 r=
1 2
(2������)2 + 02 -4 × 0 =|a|.
题型一
题型二
题型三
反思1.可将圆的一般方程先转化为标准方程再求圆心坐标和半 径. 2.由公式求半径和圆心坐标时,一定要注意圆的一般方程的形式, 二次项系数相等且为1.
【做一做1】 下列方程能否表示圆?若能,求出圆心坐标和半径, 并画出图形. (1)2x2+y2-7x+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)2x2+2y2-4x=0. 解:根据二元二次方程表示圆的条件判断. (1)不能表示圆,因为方程中x2,y2项的系数不相同. (2)不能表示圆,因为方程中含有xy这样的二次项. (3)不能表示圆,因为(-2)2+(-4)2-4×10=-20<0. (4)能表示圆,方程可化为x2+y2-2x=0,配方得(x-1)2+y2=1,圆心为 (1,0),半径r=1,如图所示.
题型一
题型二
题型三
解:方法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0, 可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2. 因此,当m=2时,原方程表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆. 此时,圆的圆心为点(2m,-m),
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 将下列圆的方程化为标准方程,并写出圆心坐标 和半径: (1)2x2+2y2+4ax-2=0; 1 (2)x2+y2-2x+y+ =0.
4
解 :(1)将 2x2+2y2+4ax-2= 0 两边同除以 2,得 x2+y2+2ax-1=0, 配方 ,得(x+a)2+y2=1+a2. 故圆心坐标为(-a,0),半径为 1 + ������2 .
题型三
反思对于判断二元二次方程是否表示圆的题目,解答的步骤是: (1)看这个二元二次方程是否符合圆的一般方程的形式,若不符合 这种形式则不表示圆,若符合这种形式则再进行判断. (2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足,若满足,则表示圆;若 不满足,则不表示圆.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 判断方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0(a≠0)是否表示圆, 若表示圆,写出圆心坐标和半径. 4(������-1) 4 解:方法一:∵a≠0, ∴原方程可化为 x2 +y2 x+ y=0, 即 ������������ ������ 2(������-1) 2 ������
2程,进而 求出圆心坐标和半径,能将标准方程化为圆的一般方程. 2.掌握待定系数法求一般方程的方法. 3.了解二元二次方程与圆的方程的关系,知道二元二次方程表示 圆的充要条件.
圆的一般方程 方程:当 D2+E 2-4F>0 时,方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0 叫作圆的一般 方程,其圆心为
【做一做2】 求过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程,并求 出此圆的圆心与半径. 解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有 1 + 144 + ������ + 12������ + ������ = 0, 49 + 100 + 7������ + 10������ + ������ = 0, 81 + 4-9������ + 2������ + ������ = 0, ������ = -2, 解得 ������ = -4, ������ = -95. 于是所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100. 可知此圆的圆心坐标为(1,2),半径为10.
������ 2
������ 2
, 半径为 r=
1 2
������ 2 + ������ 2-4������来求解.
题型一
题型二
题型三
解 :方法一 :将方程分别化为标准方程 : (1)x2+(y-2)2=4,圆心坐标为 (0,2),半径为 2. (2)(x+a)2+y2=a2,圆心坐标为(-a,0),半径为 |a|. 方法二 :(1)∵- =0,- =2,
半径为
1 r= 2
������2 + ������2 -4������ = 5|m-2|.
方法二:原方程可化为 (x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2, 因此,当m=2时,原方程表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆, 此时,圆的圆心为点(2m,-m),半径为r= 5 |m-2|.
题型一
题型二
题型一
题型二
题型三
题型一
根据圆的一般方程求圆心和半径
【例 1】 求下列各圆的圆心坐标和半径: (1)x2 +y2 -4y=0; (2)x2 +y2 +2ax=0(a≠0). 分析:由圆的一般方程确定圆心坐标和半径通常有两种方法:一是 将其化为标准方程后求圆心坐标和半径;二是利用一般方程表示圆时,
圆心为 - ,-