山东省潍坊市高密市2015-2016学年高一上学期期中数学试卷

2017-2018学年山东省潍坊市高密市七年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列各式符合代数式书写规范的是（）A．a9B．m﹣5元C．D．1x2．下列各式中，y不是x的函数关系的是（）A．y=x B．y=x2+1C．y=‖x‖D．y=±x3．当a=5时，下列代数式中值最大的是（）A．2a+3B．﹣1C．a2﹣2a+10D．4．如图，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（）A．2B．3C．4D．55．如果|x﹣4|与（y+3）2互为相反数，则2x﹣（﹣2y+x）的值是（）A．﹣2B．10C．7D．66．下列说法中错误的是（）A．x与y平方的差是x2﹣y2B．x加上y除以x的商是x+C．x减去y的2倍所得的差是x﹣2yD．x与y和的平方的2倍是2（x+y）27．下面各式中去括号正确的是（）A．3（x+1）=3x+1B．﹣（x+1）=﹣x+1C．6+（x﹣a）=6+x﹣a D．1﹣（2﹣x）=2﹣x+1．8．单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项，则m+n的值是（）A．2B．3C．4D．59．如果每盒笔有18支，售价12元，用y（元）表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y与x之间的关系式应该是（）A．y=12x B．y=18x C．y=x D．y=10．某书上有一道解方程的题： +1=x，□处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是x=﹣2，那么□处应该是数字（）A．7B．5C．2D．﹣211．下列解方程的过程中正确的是（）A．将2﹣去分母，得2﹣5（5x﹣7）=﹣4（x+17）B．由=100C．40﹣5（3x﹣7）=2（8x+2）去括号，得40﹣15x﹣7=16x+4D．﹣x=5，得x=﹣12．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×16x=22（27﹣x）D．2×22x=16（27﹣x）二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．已知方程﹣2x2﹣5m+4m=5是关于x的一元一次方程，那么x=．14．单项式的系数与次数之积为．15．若2（x﹣3）的值与3（1+x）的值互为相反数，则x=．16．已知a﹣b=3，c+d=2，则（a+d）﹣（b﹣c）=17．某班有学生m人，若每4人一组，有一组少2人，则所分组数是．18．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为．19．一辆客车上原有（6a﹣2b）人，中途下车一半人数，又上车若干人，这时车上共有（12a﹣5b）人．则中途上车的乘客是人．20．如图，两个正方形的边长分别为4，3，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则a﹣b等于．三、解答题（本大题共计60分）21．（7分）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，计算2A+B时，他误将“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果是9x2﹣2x+7，已知B=x2+3x﹣2（1）求2A+B的正确答案；（2）当x=﹣2时，求（1）的值．22．（8分）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量桶中水面升高cm；（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；（3）当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？23．（27分）解下列方程：（1）2（10﹣0.5y）=﹣（1.5y+2）（2）（x﹣5）=3﹣（x﹣5）（3）﹣1=（4）x﹣（x﹣9）= [x+（x﹣9）]（5）﹣=0.5x+224．（18分）列方程（组）解应用题（1）某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座汽车，则比45座汽车多出一辆无人乘坐，但其余客车恰好坐满．问初一年级人数是多少？原计划租用45座汽车多少辆？（2）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式，其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八，问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，问甲，乙二人原来各有多少钱？”2017-2018学年山东省潍坊市高密市七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列各式符合代数式书写规范的是（）A．a9B．m﹣5元C．D．1x【分析】按照代数式的书写要求判断即可．【解答】解：A、代数式为9a，不符合题意；B、代数式为（m﹣5）元，不符合题意；C、代数式为，符合题意；D、代数式为x，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了代数式，熟练掌握代数式的书写要求是解本题的关键．2．下列各式中，y不是x的函数关系的是（）A．y=x B．y=x2+1C．y=‖x‖D．y=±x【分析】直接利用函数的概念进而分析得出答案．【解答】解：A、y=x，y是x的函数关系，故此选项错误；B、y=x2+1，y是x的函数关系，故此选项错误；C、y=‖x‖，y是x的函数关系，故此选项错误；D、y=±x，y不是x的函数关系，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了函数的概念，正确把握定义是解题关键．3．当a=5时，下列代数式中值最大的是（）A．2a+3B．﹣1C．a2﹣2a+10D．【分析】把a=5代入各项中计算，判断大小即可．【解答】解：A、把a=5代入得：原式=10+3=13；B、把a=5代入得：原式=﹣1=；C、把a=5代入得：原式=5﹣10+10=5；D、把a=5代入得：原式=15，故选：D．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．如图，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用第二个天平平衡得到1个正方体的质量与1个圆柱体的质量相等，再根据第一个天平平衡得到2个球体的质量与5个圆柱体的质量相等，利用等量代换可得到2个球体的质量与5个正方体的质量相等．【解答】解：根据第二个天平平衡得到1个正方体的质量与1个圆柱体的质量相等，根据第一个天平平衡得到2个球体的质量与5个圆柱体的质量相等，所以与2个球体相等质量的正方体的个数为5．故选：D．【点评】本题考查了等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．5．如果|x﹣4|与（y+3）2互为相反数，则2x﹣（﹣2y+x）的值是（）A．﹣2B．10C．7D．6【分析】利用互为相反数两数之和为0列出关系式，根据非负数的性质求出x与y的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．【解答】解：∵|x﹣4|与（y+3）2互为相反数，即|x﹣4|+（y+3）2=0，∴x=4，y=﹣3，则原式=2x+2y﹣x=x+2y=4﹣6=﹣2，故选：A．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．下列说法中错误的是（）A．x与y平方的差是x2﹣y2B．x加上y除以x的商是x+C．x减去y的2倍所得的差是x﹣2yD．x与y和的平方的2倍是2（x+y）2【分析】由题意，根据代数式的意义，对各选项进行判定，即可求出答案．【解答】解：A：x与y平方的差为x2﹣y2，故本项正确．B：x加上y除以x的商为，故本项错误．C：x减去y的2倍的差为x﹣2y，故本项正确．D：x与y和的平方的2倍为2（x+y）2故本项正确．故选：B．【点评】本题考查代数式的意义表示，对各选项进行判定，即可求得答案．7．下面各式中去括号正确的是（）A．3（x+1）=3x+1B．﹣（x+1）=﹣x+1C．6+（x﹣a）=6+x﹣a D．1﹣（2﹣x）=2﹣x+1．【分析】利用去括号法则一一检验，即可得到正确的选项．【解答】解：A、3（x+1）=3x+3，本选项错误；B、﹣（x+1）=﹣x﹣1，本选项错误；C、6+（x﹣a）=6+x﹣a，本选项正确；D、1﹣（2﹣x）=1﹣2+x=x﹣1，本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了去括号与添括号，熟练掌握去括号法则是解本题的关键．8．单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项，则m+n的值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据同类项的定义，可得m，n的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由题意，得m=2，n=3．m+n=2+3=5，故选：D．【点评】本题考查了同类项，利用同类项的定义得出m，n的值是解题关键．9．如果每盒笔有18支，售价12元，用y（元）表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y与x之间的关系式应该是（）A．y=12x B．y=18x C．y=x D．y=【分析】先求得每支笔的价格，然后依据总售价=单价×支数列出关于即可．【解答】解：∵每支笔的价格=12÷18=元/支，∴y=x．故选：C．【点评】本题主要考查的是列函数关系式，掌握题目中的数量关系是解题的关键．10．某书上有一道解方程的题： +1=x，□处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是x=﹣2，那么□处应该是数字（）A．7B．5C．2D．﹣2【分析】已知方程的解x=﹣2，把x=﹣2代入未知方程，就可以求出被油墨盖住的地方了．【解答】解：把x=﹣2代入+1=x得： +1=﹣2，解这个方程得：□=5．故选：B．【点评】利用方程的解的定义，求方程中另一个字母的解，此题主要考查解方程．11．下列解方程的过程中正确的是（）A．将2﹣去分母，得2﹣5（5x﹣7）=﹣4（x+17）B．由=100C．40﹣5（3x﹣7）=2（8x+2）去括号，得40﹣15x﹣7=16x+4D．﹣x=5，得x=﹣【分析】根据四个方程的不同特点，参照等式的性质，进行解答．【解答】A、漏乘不含分母的项；B、从左边看，方程应用的是分式的性质；从右边看，方程应用的是等式的性质2；故所得方程与原方程不是同解方程；C、去括号时漏乘不含分母的项，且未变号；D、正确．故选：D．【点评】同学们要熟悉去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．12．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×16x=22（27﹣x）D．2×22x=16（27﹣x）【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，∴可得2×22x=16（27﹣x）．故选：D．【点评】本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．已知方程﹣2x2﹣5m+4m=5是关于x的一元一次方程，那么x=﹣2.1．【分析】根据一元一次方程的定义可得2﹣5m=1，然后得到m的值，再代入方程可得﹣2x+=5，然后再解方程即可．【解答】解：由题意得：2﹣5m=1，解得：m=，方程可变为﹣2x+=5，解得：x=﹣2.1，故答案为：﹣2.1．【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程的未知数的指数为1．14．单项式的系数与次数之积为﹣2．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．求出次数和系数，再将其相乘即可．【解答】解：根据单项式定义得：单项式的系数是﹣，次数是3；其系数与次数之积为﹣×3=﹣2．【点评】确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．15．若2（x﹣3）的值与3（1+x）的值互为相反数，则x=0.6．【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：2（x﹣3）+3（1+x）=0，去括号得：2x﹣6+3+3x=0，移项合并得：5x=3，解得：x=0.6，故答案为：0.6【点评】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．已知a﹣b=3，c+d=2，则（a+d）﹣（b﹣c）=5【分析】原式去括号结合后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b=3，c+d=2，∴原式=a+d﹣b+c=（a﹣b）+（c+d）=3+2=5．故答案为：5．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．某班有学生m人，若每4人一组，有一组少2人，则所分组数是．【分析】由题意可知：如果加上2人，正好可以分成4人一组，由此用（m+2）除以4得出答案即可．【解答】解：由题意，可得所分组数是．故答案为．【点评】此题考查列代数式，理解题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题．18．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为﹣2．【分析】根据已知二次三项式得出m﹣2≠0，|m|=2，求出即可．【解答】解：因为多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，可得：m﹣2≠0，|m|=2，解得：m=﹣2，故答案为：﹣2【点评】本题考查了二次三项式的定义，关键是求出二次三项式．19．一辆客车上原有（6a﹣2b）人，中途下车一半人数，又上车若干人，这时车上共有（12a﹣5b）人．则中途上车的乘客是（9a﹣4b）人．【分析】先求出中途下车后车上剩余的人数，然后用最后车上的人数减去中途下车后剩余的人数就是上车的人数．【解答】解：根据题意，中途下车后车上剩余的人数为：×（6a﹣2b）=3a﹣b，（12a﹣5b）﹣（3a﹣b）=12a﹣5b﹣3a+b=9a﹣4b．故答案为：（9a﹣4b）．【点评】本题主要考查了整式的加减，求出中途下车后剩余的人数是解题的关键，计算时要注意符号的处理，这是本题容易出错的地方．20．如图，两个正方形的边长分别为4，3，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则a﹣b等于7．【分析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出a﹣b的值．【解答】解：设空白出图形的面积为x，根据题意得：a+x=16，b+x=9，则a﹣b=7．故答案为：7．【点评】此题考查了算术的定义，熟练掌握算术的定义是解本题的关键．三、解答题（本大题共计60分）21．（7分）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，计算2A+B时，他误将“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果是9x2﹣2x+7，已知B=x2+3x﹣2（1）求2A+B的正确答案；（2）当x=﹣2时，求（1）的值．【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；（2）把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵A+2B=9x2﹣2x+7，B=x2+3x﹣2，∴A=9x2﹣2x+7﹣2（x2+3x﹣2）=9x2﹣2x+7﹣2x2﹣6x+4=7x2﹣8x+11，则A+2B=15x2﹣13x+20；（2）当x=﹣2时，原式=60+26+20=106．【点评】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（8分）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量桶中水面升高2cm；（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；（3）当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高2cm；（2）本题中关键是如何把图象信息转化为点的坐标，无球时水面高30cm，就是点（0，30）；3个球时水面高为36，就是点（3，36），从而求出y与x的函数关系式．（3）列方程可求出量筒中小球的个数．【解答】解：（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高2cm．故答案为：2；（2）设水面的高度y与小球个数x的表达式为y=kx+b．当量筒中没有小球时，水面高度为30cm；当量筒中有3个小球时，水面高度为36cm，因此，（0，30），（3，36）满足函数表达式，则，解，得．则所求表达式为y=2x+30；（3）由题意，得2x+30=46，解，得x=8．所以要放入8个小球．【点评】本题考查了一次函数的实际应用，朴实而有新意，以乌鸦喝水的小故事为背景，以一次函数为模型，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．23．（27分）解下列方程：（1）2（10﹣0.5y）=﹣（1.5y+2）（2）（x﹣5）=3﹣（x﹣5）（3）﹣1=（4）x﹣（x﹣9）= [x+（x﹣9）]（5）﹣=0.5x+2【分析】各方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去括号得：20﹣y=﹣1.5y﹣2，移项合并得：0.5y=﹣22，解得：y=﹣44；（2）去分母得：x﹣5=9﹣2x+10，移项合并得：3x=24，解得：x=8；（3）去分母得：3x+6﹣12=6﹣4x，移项合并得：7x=12，解得：x=；（4）去括号得：x﹣x+1=x+x﹣1，去分母得：9x﹣x+9=3x+x﹣9，移项合并得：4x=﹣18，解得：x=﹣；（5）方程整理得：4x﹣2﹣=0.5x+2，去分母得：12x﹣6﹣5x﹣15=1.5x+6，移项合并得：5.5x=27，解得：x=．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（18分）列方程（组）解应用题（1）某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座汽车，则比45座汽车多出一辆无人乘坐，但其余客车恰好坐满．问初一年级人数是多少？原计划租用45座汽车多少辆？（2）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式，其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八，问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，问甲，乙二人原来各有多少钱？”【分析】（1）设原计划租用45座客车x辆，则租用60座客车（x﹣1）辆，根据总人数不变列出关于x的方程，解之可得；（2）设甲原有x文钱，则乙原有2（48﹣x）文钱，根据“乙得甲太半，亦满四十八”列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：（1）设原计划租用45座客车x辆，则租用60座客车（x﹣1）辆，则45x+15=60（x﹣1），解得：x=5，当x=5时，60（x﹣1）=60×4=240，答：初一年级人数是240人，原计划租用45座汽车5辆；（2）设甲原有x文钱，则乙原有2（48﹣x）文钱，根据题意，得：x+2（48﹣x）=48，解得x=36，则2（48﹣x）=24，答：甲原来有36文钱，乙原来有24文钱．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，并从题目中找到蕴含的相等关系，据此列出方程．。

山东省潍坊市高密市2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 对于分式x−bx+a ，当x =−1时其值为0，当x =1时此分式没有意义，那么( ) A. a =b =−1B. a =b =1C. a =1，b =−1D. a =−1，b =12. 下列说法正确的是( ) A. 面积相等的两个图形全等 B. 周长相等的两个图形全等C. 形状相同的两个图形全等D. 全等图形的形状和大小相同 3. 下列图形中，点P 与点G 关于直线l 对称的是( )A. B. C. D.4. 三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是( )A. 90°B. 180°C. 270°D. 360° 5. 下列4个分式：①a+3a 2+3，②x−y x 2−y 2，③m 2m 2n ，④2m+1，其中最简分式有( )A. ①④B. ①②C. ①③D. ②④ 6. 等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为( ) A. 16B. 21C. 27D. 21或27 7. 如图，已知AB ，CD 相交于E ，AE =CE ，BE =DE ，则下列结论错误的是( )A. AD =BCB. AD//BCC. ∠EAD =∠ECBD. AC//DB8. 下列各式中，与分式x y 相等的是( ) A. x+1y+1 B. 12x 12y C. 2x y D. x+1y−19.如图，AB//FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD等于()A. 8B. 7C. 6D.510.将图中各点的横坐标不变，纵坐标分别乘以−1，所得图形为()A.B.C.D.11.分式aa2−b2，ba2+2ab+b2，cb2−2ab+a2的最简公分母是()A. (a−b)(a+b)B. (a−b)(a+b)2C. (a−b)2(a+b)2D. (a−b)2(a+b)12.如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是()A. PQ为直线l的垂线B. CA=CBC. PO=QOD. ∠APO=∠BPO二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）13.4x=3y，则x：y=______．14.在直角坐标系中，若点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称，则m+n=______．15.14.(2016江苏省连云港市)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N.若AD=2，则MN=______．16.化简：(xx−2−xx+2)÷4x2−x的结果是______．17.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的两点，且AD=CE，AE，BD相交于点N，则∠DNE的度数是______．18.14.化简：(1x−4+1x+4)÷2x2−16=_____．19.如图，在△ABE中，∠BAE=108°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB=CE，则∠B的度数是______ ．20.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是________．三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）21.计算：(1)4a2b÷(−a22b )⋅(−ba)；(2)a2+aa2−2a+1÷(2a−1−1a)．四、解答题（本大题共6小题，共40.0分）22.如图，已知点M在射线ON上，∠α，∠β.从A、B两题中任选一题完成尺规作图：A.求作∠POM，使得∠POM=∠α+∠βB.求作点P，使得∠POM=∠α，∠PMO=∠β要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．23.已知：x2=y3=z4，且x−y+z=3，求代数式3x−2y+z的值．24.如图，已知：AB=AD，BC=DE，AC=AE，试说明：∠1=∠2．25.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E．(1)△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．(2)若AB=10，AC=6，求△ADE的周长．26.已知，如图，等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，CD交AE、BE分别于点M、F．(1)求证：△DAC≌△EAB;(2)求证：CD⊥BE．27.如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，∠EBD=42°，求∠AEB的度数．-------- 答案与解析 --------1.答案：A，当x=−1时其值为0，当x=1时此分式没有意义，解析：解：∵分式x−bx+a∴−1−b=0，1+a=0，∴a=−1，b=−1，故选：A．根据题意，可得−1−b=0，1+a=0，即可得解．本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，属于基础题．2.答案：D解析：解：A.面积相等的两个图形全等，说法错误；B.周长相等的两个图形全等，说法错误；C.形状相同的两个图形全等，说法错误；D.全等图形的形状和大小相同，说法正确；故选D．根据等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形，形状和大小相等．3.答案：D解析：[分析]本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．直接根据轴对称的性质可得出结论．[详解]解：∵直线不是线段PG的垂直平分线，∴点P与点G不关于直线对称，故ABC错误；D.直线是线段PG的垂直平分线，∴点P与点G关于直线对称，故D正确．故选D．4.答案：B解析：此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6=180°，∠5+∠7+∠8=180°，进而得出答案．解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°，∵三个全等三角形，∴∠4+∠9+∠6=180°，又∵∠5+∠7+∠8=180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．故选B．5.答案：A解析：此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义即分子，分母中不含有公因式，不能再约分，即可得出答案．解：①a+3a2+3是最简分式；②x−yx2−y2=x−y(x−y)(x+y)=1x+y，不是最简分式；③m2m2n =12mn，不是最简分式；④2m+1是最简分式；最简分式有①④．故选A．6.答案：C解析：本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，分别计算即可．解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，周长=11+11+5=27；②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，∵5+5=10<11，∴不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为27．故选C ．7.答案：B解析：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角和对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．解：A.如图，在△AED 与△CEB 中， {AE =CE∠AED =∠CEB DE =BE，则△AED≌△CEB(SAS)，所以AD =CB ，故本选项正确；B .由A 知，△AED≌△CEB ，则∠ADC =∠CBE ，但是∠CBE =∠DAB 不一定成立，故AD //BC 不一定成立，故本选项错误；C .由A 知，△AED≌△CEB ，则∠EAD =∠ECB ，故本选项正确；D .∵AE =CE ，∴∠EAC =∠ECA =90°−12∠AEC ；同理，∠CDB =∠ABD =90°−12∠AEC ， ∴∠ACD =∠CDB ，∴AC//DB ，故本选项正确；故选B ． 8.答案：B解析：本题考查了分式的基本性质．分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的数或整式，分式的值不变．根据分式的基本性质逐项判断即可．解：A.分式x+1y+1是由分式x y 的分子分母同时加1，故A 错误；B .分式12x 12y 是由分式x y 分子分母同时乘以12，故B 正确；C .分式2x y 是由分式x y 只分子乘以2，故C 错误；D .分式x+1y−1是由分式x y 分子加1，分母减1，故D 错误．故选B ．9.答案：B解析：解：∵AB//FC ，∴∠ADE =∠F ．又∵DE =EF ，∠AED =∠CEF ，∴△ADE≌△CFE ．∴AD =CF =8．∴BD =AB −AD =15−8=7．故选B ．根据AB//FC ，DE =EF 可以证明△ADE≌△CFE ，易证AD =CF ，进而就可求得BD 的值．本题考查了全等三角形的判定及性质；根据条件证明两个三角形的全等是解决本题的关键，本题比较简单．10.答案：B解析：根据变化后的对应点的坐标符号，可以得到新图形和原图形关于x 轴对称．解：各点的横坐标不变，纵坐标分别乘以−1，相当于纵坐标是原来的相反数，所以新图形和原图形关于x 轴对称，所以，选项B 符合条件．故选：B ．11.答案：C解析：本题考查了分式的最简公分母的确定，解题关键是掌握最简公分母的找法，解题时，先把各分式的分母分解因式，然后取各分母所有因式最高次幂的积作为各分式的最简公分母即可．解：aa2−b2=a(a+b)(a−b)，ba2+2ab+b2=b(a+b)2，cb2−2ab+a2=c(a−b)2，∴分式aa2−b2，ba2+2ab+b2，cb2−2ab+a2的最简公分母是(a+b)2(a−b)2．故选C．12.答案：C解析：此题主要考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，直接利用线段垂直平分线的性质以及其基本作图，进而分析得出答案．解：由作图方法可得出PQ是线段AB的垂直平分线，则PQ为直线l的垂线，故选项A正确，不合题意；CA=CB(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)，故选项B正确，不合题意；无法得出PO=QO，故选项C错误，符合题意；可得PA=PB，PQ⊥AB，则∠APO=∠BPO，故选项D正确，不合题意；故选：C．13.答案：34解析：本题考查了比例的性质的知识点，利用等式的性质是解题关键．根据等式的性质，可得答案．解：x：y=3：4=34，故答案为34．14.答案：−1解析：解：∵点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称，∴m=−3，n=2，∴m+n=−3+2=−1．故答案为：−1．直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．15.答案：13．解析：试题解析：设DH =x ，CH =2−x ，由翻折的性质，DE =1，EH =CH =2−x ，在Rt △DEH 中，DE 2+DH 2=EH 2，即1+x 2=(2−x)2，解得x =34，EH =2−x =54.∵∠MEH =∠C =90°，∴∠AEN +∠DEH =90°，∵∠ANE +∠AEN =90°，∴∠ANE =∠DEH ，又∠A =∠D ，∴△ANE∽△DEH ，AE DH =EN EH ，即EN 54=134，解得EN =53，MN =ME −BC =2−53=13，故答案为：13． 16.答案：−1x+2解析：解：原式=x(x+2)−x(x−2)(x+2)(x−2)÷4x 2−x=4x (x +2)(x −2)×−(x −2)4x =−1x+2． 分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．此题的关键是明白除法运算可以转化成乘法运算来计算．17.答案：120°解析：解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =CA ，∠BAD =∠ACE =60°，在△ABD 和△CAE 中，{AB =CA ∠BAD =∠ACE AD =CE，∴△ABD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD =∠CAE ，∵∠BNE =∠BAN +∠ABD ，∴∠BNE =∠BAN +∠CAE =∠BAC =60°，∴∠DNE =180°−60°=120°故答案为120°．由等边三角形的性质得出AB =CA ，∠BAD =∠ACE =60°，由SAS 即可证明△ABD≌△CAE ，得到∠ABD =∠CAE ，利用外角∠BNE =∠BAN +∠ABD ，即可解决问题．本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．18.答案：x解析：[分析]根据分式的加法和除法可以解答本题．[详解]解：(1x−4+1x+4)÷2x2−16=x+4+x−4(x+4)(x−4)⋅(x+4)(x−4)2=2x2=x，故答案为：x．[点睛]本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．19.答案：48°解析：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠E，根据三角形的外角的性质得到∠ACB=2∠E，根据三角形内角和定理计算即可．解：∵MN是AE的垂直平分线，∴CA=CE，∴∠CAE=∠E，∴∠ACB=2∠E，∵AB=CE，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB=2∠E，∵∠BAE=108°，∴∠B+∠E=72°，∴∠E=24°，∠B=2∠E=48°，故答案为：48°20.答案：3解析：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE=2，根据三角形的面积公式计算即可．解：作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=2，．故答案为：3．21.答案：解：(1)4a2b÷(−a22b )⋅(−ba)=4a2b⋅2ba2⋅ba=8b3a；(2)a2+aa2−2a+1÷(2a−1−1a)=a(a+1)(a−1)2÷2a−(a−1)a(a−1)=a(a+1)(a−1)2⋅a(a−1)a+1=a2a−1．解析：本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．(1)根据分式的乘除法可以解答本题；(2)根据分式的减法和除法可以解答本题．22.答案：解：A、∠POM如图所示：B、点P如图所示：解析：本题考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．A：如图作∠NOQ=∠α，∠QOP=∠β即可；B：如图在直线OM上方，作∠POM=∠α，∠PMO=∠β即可；23.答案：解：设x2=y3=z4=k，则x=2k，y=3k，z=4k，∵x−y+z=3，∴2k−3k+4k=3，解得k=1，∴x=2，y=3，z=4，∴3x−2y+z=3×2−2×3+4=6−6+4=4．解析：设比值为k，用k表示出x、y、z，然后代入等式求出k，从而得到x、y、z，再代入代数式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．24.答案：证明：在△ABC和△ADE中，{AB=AD CB=DE AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SSS)，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠1=∠2．解析：首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，再根据等式的性质两边同时减去∠DAC可得结论．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．25.答案：解：(1)△BDO是等腰三角形．∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，∵DE//BC，∴∠CBO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=DO，∴△BDO是等腰三角形．(2)同理△CEO是等腰三角形，∵BD=OD，CE=OE，∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=10+6=16．解析：(1)根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明△BDO是等腰三角形，(2)同理△CEO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD=DO，CE=EO，则△ADE的周长=AB+ AC，从而得出答案．本题考查等腰三角形判定和性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．26.答案：证明：(1)∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAC=∠EAB，在△DAC和△EAB中，{AD=AE∠DAC=∠EAB AC=AB,∴△DAC≌△EAB(SAS)．(2)∵△DAC≌△EAB(SAS)，∴∠ADC=∠AEB，∵∠AMD=∠EMF，∴∠DAM=∠EFM=90°，∴CD⊥BE．解析：本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．(1)根据SAS证明△DAC≌△EAB即可；(2)利用“8字型”证明∠EFM=∠DAM=90°即可得出结论．27.答案：解：∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB−∠BCE=∠ECD−∠BCE，∴∠BCD=∠ACE，在△BDC和△AEC中，{BC=AC∠BCD=∠ACEDC=EC,∴△BDC≌△AEC(SAS)，∴∠DBC=∠EAC，∵∠EBD=∠DBC+∠EBC=42°，∴∠EAC+∠EBC=42°，∴∠ABE+∠EAB=90°−42°=48°，∴∠AEB=180°−(∠ABE+∠EAB)=180°−48°=132°．解析：本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．。

2024-2025学年山东省潍坊市高密市九年级上学期月考数学试卷（10月份）时间：120分钟，满分150分一、单选题（本题共8小题，每小题选对得4分，共32分.）1.下一元二次方程2650x x −+=配方后可化为（ ） A.()234x −=−B.()2314x +=−C.()234x −=D.()2314x +=2.在ABC ∆中，A ∠、B ∠均为锐角，且(2tan 2sin 0B A +=，则ABC ∆是（ ）A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.如图，已知点B ，D ，C 在同一直线的水平地面上，在点C 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为α，在点D 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为β，若CD α=，则建筑物AB 的高度为（ ）A.tan tan ααβ− B.tan tan αβα− C.tan tan tan tan ααβαβ⋅−D.tan tan tan tan ααββα⋅−4.如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan 2C =，3AB =，则AC 的长为（ ）B.2C.2D.25.已知关于x 的方程()()212110k x k x k +−++−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A.5k 4≥−B.k 1≠−C.5k 4>−且k 1≠− D.5k 4≥−且k 1≠− 6.阅读材料：如果a ，b 是一元二次方程2x 10x +−=的两个实数根，则有210a a +−=，210b b +−=.创新应用：如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m −=，23n n −=，那么代数式2222009n mn m −++的值为（ ） A.2019B.2020C.2021D.20227.某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，该公司5，6月份的营业额的月平均增长率为x ，根据题意列方程正确的是（ ） A.()2250019100x +=B.()225001%9100x +=C.()()225001250019100x x +++=D.()()2250025001250019100x x ++++=8.如图，一艘船由A 港沿北偏东60方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西30方向航行10km 至C 港.则A ，C 两港之间的距离（ ）A.B.C.10kmD.5km二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）9.如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=，AD 是BC 边上的高，则下列选项中可以表示tan B 的是（ ）A.AC ABB.AD BDC.CD ADD.AB BC10.如图，点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格格点上，下列结论正确的是（ ）A.1sin 3B =B.sin C =C.1tan 2B =D.22sin sin 1B C +=11.若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程240x x k −+=的两个根，则k 的值可能为（ ） A.3B.4C.6D.712.某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件.经调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件.若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x 元，则下列说法正确的是（ ） A.涨价后每件玩具的售价是30x +()元 B.涨价后平均每天销售玩具30010x −()件C.涨价后平均每天少售出玩具10x 件D.根据题意可列方程为30300103750x x +−=()()三、填空题：（每小题5分，共20分）13.若关于x 的一元二次方程()2210a x a x a −+−=有一个根是1x =，则a 的值为__________14.如图，某小区要在长为16m ，宽为12m 的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为__________m.15.如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，若Rt ABC ∆是“好玩三角形”，且A 90∠=，则tan ABC ∠=__________16.如图，要在宽AB 为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 与灯柱BC 成120角，灯罩的轴线OD 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线（即O 为AB 的中点）时照明效果最佳，若CD =米，则路灯的灯柱BC 高度应该设计为__________米（计算结果保留根号）.四、解答题：（共78分）17.计算题阅读材料：数学课上，老师在求代数式245x x −+的最小值时，利用公式()2222a ab b a b ±+=±，对式子作如下变化()2224544121x x x x x −+=−++=−+，因为()220x −≥，所以()2211x −+≥，当2x =时，()2211x −+=， 因此()221x −+有最小值1，即245x x −+的最小值为1. 通过阅读，解下列问题：（1）代数式2x 612x ++的最小值为__________； （2）求代数式229x x −++的最大或最小值；（3）试比较代数式232x x −与2237x x +−的大小，并说明理由. 18.计算题（每题5分，共20分） （1）()2921210x −−=（2）24630x x −−=（配方法）（3）()235210x x ++=（公式法）（4()33tan3064−19.已知关于x 的一元二次方程()22110mx m x m +++−=有两个实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且22128x x +=，求m 的值.20.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？21.如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分由篱笆围成.为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为1米的两个小门，其余部分刚好用完长为28米的篱笆.（1）设花圃的一边AB 为x ，请你用含有x 的式子表示另一边BC 的长为__________ 并求出x 的取值范围为__________（2）若此时花圃的面积为72平方米，求此时花圃的长和宽.22.某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O 处，另一端系小重物G 测量时，使支杆OM 、量角器90刻度线ON 与铅垂线OG 相互重合（如图①），绕点O 转动量角器，使观测目标P 与直径两端点A 、B 共线（如图②），此时目标P 的仰角是图②中的∠_____。

2022-2023学年人教版八年级上册期末真题单元冲关测卷（提高卷）第十一章 三角形一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．（2分）（2020春•雨花区期末）如图，已知CD 和BE 是ABC ∆的角平分线，60A ∠=︒，则(BOC ∠= )A ．60︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：60A ∠=︒，18060120ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒， CD 和BE 是ABC ∆的角平分线， 111()60222OBC OCB ABC ACB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 180()120BOC OBC OCB ∴∠=︒-∠+∠=︒，故选：C ．2．（2分）（2020春•义乌市期末）如图，在ABC ∆中，B C α∠+∠=，按图进行翻折，使////B D C G BC ''，//B E FG '，则C FE '∠的度数是( )A ．2αB ．902α︒- C ．90α-︒ D ．2180α-︒【解答】解：设ADB γ∠'=，AGC β∠'=，CEB y ∠'=，C FE x ∠'=，//B D C G ''，B C γβα∴+=∠+∠=，//EB FG '，CFG CEB y ∴∠=∠'=，2180x y ∴+=︒①，2y B γ+=∠，2x C β+=∠，2y x γβα∴+++=，x y α∴+=②，②2⨯-①可得2180x α=-︒，2180C FE α∴∠'=-︒．故选：D ．3．（2分）（2020春•海淀区校级期末）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，36ACD ∠=︒，那么B ∠的度数为( )A ．144︒B ．54︒C ．44︒D ．36︒【解答】解：//AB CD ， 36A ACD ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，903654B ∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．（2分）（2019秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15B ．13或14C ．13或14或15D ．14或15或16【解答】解：如图，n 边形，123n A A A A ⋯，若沿着直线13A A 截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，若沿着直线1A M 截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线MN 截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的四边形为13或14或15，故选：C ．5．（2分）（2019秋•潮州期末）如图，在ABC ∆中，32B ∠=︒，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是( )A ．32︒B ．45︒C ．60︒D ．64︒【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：32D B ∠=∠=︒，根据外角性质得：13B ∠=∠+∠，32D ∠=∠+∠，1222264D B B ∴∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠+︒，1264∴∠-∠=︒． 故选：D ．6．（2分）（2019秋•兰州期末）ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠满足关系式3B C A ∠+∠=∠，则此三角形( )A ．一定是直角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定有一个内角为45︒D ．一定有一个内角为60︒【解答】解：180A B C ∠+∠+∠=︒又3B C A ∠+∠=∠，4180A ∴∠=∠︒，45A ∴∠=︒，ABC ∴∆一定有一个内角是45︒， 故选：C ．7．（2分）（2019秋•义安区期末）如图，将ABC ∆沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处，若1131∠=︒，则2∠的度数为( )A ．49︒B ．50︒C ．51︒D ．52︒【解答】解：由折叠得：HOG B ∠=∠，DOE A ∠=∠，EOF C ∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒，180HOG DOE EOF ∴∠+∠+∠=︒，12360HOG DOE EOF ∠+∠+∠+∠+∠=︒，12180∴∠+∠=︒，1131∠=︒，218013149∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）8．（2分）（2020春•竞秀区期末）如图1，ABC ∆中，有一块直角三角板PMN 放置在ABC ∆上(P 点在ABC ∆内），使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C ．（1）若52A ∠=︒，则12∠+∠= 38 ︒；（2）如图2，改变直角三角板PMN 的位置；使P 点在ABC ∆外，三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 仍然分别经过点B和点C，1∠的关系是．∠与A∠，2【解答】解：（1）52A∠=︒，∴∠+∠=︒-︒=︒，18052128ABC ACBP∠=︒，90∴∠+∠=︒，PBC PCB90ABP ACP∴∠+∠=︒-︒=︒，1289038即1238∠+∠=︒．故答案为：38；（2）2190A∠-∠=︒-∠．理由如下：在ABCABC ACB A∠+∠=︒-∠，∆中，180∠=︒，MPN90PBC PCB∴∠+∠=︒，90ABC ACB PBC PCB A∴∠+∠-∠+∠=︒-∠-︒，()()18090即90∠+∠+∠-∠-∠-∠=︒-∠，ABC ACP PCB ABP ABC PCB A∴∠-∠=︒-∠．ACP ABP A90即2190A∠-∠=︒-∠；故答案为：2190A∠-∠=︒-∠．9．（2分）（2020春•鼓楼区期末）如图，直线a、b、c、d互不平行，以下结论正确的是①②③．（只填序号）①125∠+∠=∠；②134∠+∠=∠；③1236∠+∠+∠=∠；④3425∠+∠=∠+∠．【解答】解：由三角形外角的性质可知：512∠=∠+∠，413∠=∠+∠，64235∠=∠+∠=∠+∠， 6123∴∠=∠+∠+∠，故①②③正确，故答案为①②③．10．（2分）（2020春•裕华区期末）（1）新冠肺炎疫情发生以来，我国人民上下齐心，共同努力抗击疫情，逐渐取得了胜利．截止3月13日，我国各级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元，1169亿元用科学记数法表示 111.16910⨯ 元．（2）已知102m =，103n =，则210m n += ．（3）在ABC ∆中，4A B ∠=∠，且60C B ∠-∠=︒，则B ∠的度数是 ．（4）如图（1），在三角形ABC 中，38A ∠=，72C ∠=︒，BC 边绕点C 按逆时针方向旋转一周回到原来的位置（即旋转角0360)α︒︒，在旋转过程中（图2)，当//CB AB '时，旋转角为 度；当CB 所在直线垂直于AB 时，旋转角为 度．【解答】解：（1）1169亿8116910=⨯元111.16910=⨯（元)．故答案为111.16910⨯．（2）2222101010(10)(10)2318m n m n m n +=⨯=⨯=⨯=，故答案为18．（3）4A B ∠=∠，且60C B ∠-∠=︒，60C B ∴∠=︒+∠，460180B B B ∴∠+∠+︒+∠=︒，20B ∴∠=︒，故答案为20︒（4）在三角形ABC 中，38A ∠=︒，72C ∠=︒，180387270B ∴∠=︒-︒-︒=︒，如图1，当//CB AB '时，旋转角70B =∠=︒，当//CB AB ''时，38B CA A ∠''=∠=︒， ∴旋转角3603872250=︒-︒-︒=︒，综上所述，当//CB AB '时，旋转角为70︒或250︒；如图2，当CB AB '⊥时，907020BCB ∠''=︒-︒=︒，∴旋转角18020160=︒-︒=︒，当CB AB ''⊥时，旋转角180160340=︒+︒=︒，综上所述，当CB AB '⊥时，旋转角为160︒或340︒；故答案为：70或250；160或340．11．（2分）（2020春•雨花区期末）如图，若30A ∠=︒，105ACD ∠=︒，则EBC ∠= 105 ︒．【解答】解：ACD A ABC ∠=∠+∠，10530ABC ∴︒=︒+∠，75ABC ∴∠=︒，180105EBC ABC ∴∠=︒-∠=︒，故答案为105．12．（2分）（2015春•金牛区期末）如图，ABC ∆的外角平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若80BPC ∠=︒，则CAP ∠= 10︒ ．【解答】解：延长BA ，作PN BD ⊥于点N ，PF BA ⊥于点F ，PM AC ⊥于点M ， 设PCD x ∠=︒， CP 平分ACD ∠，ACP PCD x ∴∠=∠=︒，PM PN =， BP 平分ABC ∠，ABP PBC ∴∠=∠，PF PN =，PF PM ∴=，80BPC ∠=︒，(80)ABP PBC x ∴∠=∠=-︒，2(80)(80)160BAC ACD ABC x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒-︒=︒， 20CAF ∴∠=︒，在Rt PFA ∆和Rt PMA ∆中，PA PA PM PF =⎧⎨=⎩， Rt PFA Rt PMA(HL)∴∆≅∆，10FAP PAC ∴∠=∠=︒．故答案为10︒．13．（2分）（2011春•成都校级期末）ABC ∆中，A x ∠=，B ∠、C ∠的角平分线的夹角为y ，则y 与x 之间的关系可以表示为 1902y x =︒+． ． 【解答】解：PB 、PC 是B ∠、C ∠的角平分线，1122ABC ∴∠=∠=∠，1342ACB ∠=∠=∠， 11113()222ABC ACB ABC ACB ∴∠+=∠+∠=∠+∠， 180(13)y =︒-∠+∠，180ABC ACB x ∠+∠=︒-，11180(180)9022y x x ∴=︒-︒-=︒+． 故答案为1902y x =︒+．14．（2分）（2019春•崇川区校级期末）如图，在ABC ∆中，40BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，D 为ABC ∆形外一点，DA 平分BAC ∠，且50CBD ∠=︒，求DCB ∠= 60︒ ．【解答】解：如图，延长AB 到P ，延长AC 到Q ，作DH AP ⊥于H ，DE AQ ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．4060100PBC BAC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，50CBD ∠=︒， DBC DBH ∴∠=∠，DF BC ⊥，DH BP ⊥，DF DH ∴=，又DA 平分PAQ ∠，DH PA ⊥，DE AQ ⊥， DE DH ∴=，DE DF ∴=，CD ∴平分QCB ∠，18060120QCB ∠=︒-︒=︒，60DCB ∴∠=︒，故答案为60︒．15．（2分）（2018秋•沈河区期末）已知如图，BQ 平分ABP ∠，CQ 平分ACP ∠，BAC α∠=，BPC β∠=，则BQC ∠= 1()2αβ+ ．（用α，β表示）【解答】解：连接BC ， BQ 平分ABP ∠，CQ 平分ACP ∠，132ABP ∴∠=∠，142ACP ∠=∠， 12180β∠+∠=︒-，2(34)(12)180α∠+∠+∠+∠=︒-，134()2βα∴∠+∠=-， 1180(12)(34)180(180)()2BQC ββα∠=︒-∠+∠-∠+∠=︒-︒---， 即：1()2BQC αβ∠=+． 故答案为：1()2αβ+．16．（2分）（2016秋•成都期末）如图，已知ABC ∆ 中，60A ∠=︒，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，BD 、CE 交于点F ，FBC ∠、FCB ∠的平分线交于点O ，则BOC ∠的度数为 150︒ ．【解答】解：60A ∠=︒，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，30ACE ABD ∴∠=∠=︒，120ABC ACB ∠+∠=︒，60FBC FCB ∴∠+∠=︒，FBC ∠、FCB ∠的平分线交于点O ，30OBC OCB ∴∠+∠=︒，150BOC ∴∠=︒故答案为150︒．17．（2分）（2017春•高密市期末）如图，把一个三角尺的直角顶点D 放置在ABC ∆内，使它的两条直角边DE ，DF 分别经过点B ，C ，如果30A ∠=︒，则ABD ACD ∠+∠= 60︒ ．【解答】解：30∠=︒，A∴∠+∠=︒，ABC ACB150∠=︒，D90∴∠+∠=︒，90DBC DCB∴∠+∠=︒-︒=︒．1509060DBA DCA故答案为：60︒．三．解答题（共12小题，满分66分）18．（4分）（2020春•惠安县期末）已知：如图1，在ABC∠=∠．∆中，CD是AB边上的高，A DCB（1）试说明90∠=︒；ACB（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么CFE∠的大小相等吗？请说明理∠与CEF由．【解答】（1）解：CD是AB边上的高，∴∠=︒，CDA90∴∠+∠=︒，A ACD90∠=∠，A DCBACB ACD BCD ACD A∴∠=∠+∠=∠+∠=︒；90（2）解：CFE CEF∠=∠，理由是：AE平分CAB∠，∴∠=∠，CAE BAE90CDA BCA ∠=∠=︒，180()DFA CDA BAE ∠=︒-∠+∠，180()CEA BCA CAE ∠=︒-∠+∠， CEF DFA ∴∠=∠，DFA CFE ∠=∠，CFE CEF ∴∠=∠．19．（4分）（2020春•海州区期末）已知如图，90COD ∠=︒，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G ．（1）若OE 平分BOA ∠，AF 平分BAD ∠，36OBA ∠=︒，则OGA ∠= 18 ︒．（2）若13GOA BOA ∠=∠，13GAD BAD ∠=∠，36OBA ∠=︒，则OGA ∠= ︒． （3）将（2）中的“36OBA ∠=︒”改为“OBA α∠=”，其它条件不变，求OGA ∠的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE 将BOA ∠分成1:4两部分，23GAD BAD ∠==∠，(1890)ABO αα∠=︒<<︒，求OGA ∠的度数．（用含α的代数式表示）【解答】解：（1）90BOA ∠=︒，36OBA ∠=︒，126BAD BOA ABO ∴∠=∠+∠=︒， AF 平分BAD ∠，OE 平分BOA ∠，90BOA ∠=︒，1632GAD BAD ∴∠=∠=︒，1452EOA BOA ∠=∠=︒， 634518OGA GAD EOA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为：18︒；（2）90BOA ∠=︒，36OBA ∠=︒，126BAD BOA ABO ∴∠=∠+∠=︒，90BOA ∠=︒，13GOA BOA ∠=∠，13GAD BAD ∠=∠，42GAD ∴∠=︒，30EOA ∠=︒，423012OGA GAD EOA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为12︒；（3）90BOA ∠=︒，OBA α∠=，90BAD BOA ABO α∴∠=∠+∠=︒+，90BOA ∠=︒，13GOA BOA ∠=∠，13GAD BAD ∠=∠， 1303GAD α∴∠=︒+，30EOA ∠=︒， 13OGA GAD EOA α∴∠=∠-∠=；（4）当:1:4EOD COE ∠∠=时，18EOD ∠=︒，90BAD ABO BOA α∠=∠+∠=+︒，23GAD BAD ∠=∠， 22(90)33FAD BAD α∴∠=∠=+︒， FAD EOD OGA ∠=∠+∠，218(90)3OGA α∴︒+∠=+︒， 解得2423OGA α∠=+︒； 当:4:1EOD COE ∠∠=时，72EOD ∠=︒， 同理可得2123OGA α∠=-︒； 综上所述，OGA ∠的度数为2423α+︒或2123α-︒．20．（4分）（2020春•淅川县期末）现有一张ABC ∆纸片，点D 、E 分别是ABC ∆边上两点，若沿直线DE折叠．研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则1∠=∠．∠的数量关系是12A∠与A研究（2）：如果折成图②的形状，猜想12∠的数量关系是；∠+∠与A研究（3）：如果折成图③的形状，猜想1∠的数量关系，并说明理由．∠和A∠、2【解答】解：（1）如图1，12A∠=∠，理由是：由折叠得：A DA A∠=∠'，∠=∠+∠'，1A DA A∴∠=∠；12A故答案为：12A∠=∠；（2）如图2，猜想：122A∠+∠=∠，理由是：由折叠得：ADE A DE∠=∠'，AED A ED∠=∠'，∠+∠=︒，ADB AEC360∴∠+∠=︒-∠-∠'-∠-∠'=︒-∠-∠，ADE A DE AED A ED ADE AED 1236036022∴∠+∠=︒-∠-∠=∠；ADE AED A122(180)2故答案为：122A∠+∠=∠；（3）如图3，212DAE∠-∠=∠，理由是：AFE A∠=∠'+∠，∠=∠+∠，12AFE DAE∴∠=∠'+∠+∠，A DAE21∠=∠'，DAE A∴∠=∠+∠，221DAE∴∠-∠=∠．212DAE故答案为：（1）12A∠=∠；（2）122A∠+∠=∠．21．（4分）（2020春•马山县期末）如图，在三角形ABC中，AD BC∠，点E是⊥于点D，且AD平分BACBA的延长线上任一点，过点E作EF BC⊥于点F，与AC交于点G．（1）求证：//AD EF．（2）若36∠的度数．∠=︒，求BCGF（3）猜想E∠与AGE∠的大小关系，并证明你的猜想．【解答】（1）证明：AD BC⊥，⊥，EF BCADC EFC∴∠=∠=︒，90∴；//AD EF（2）//AD EF，36∠=︒，CGFCGF CAD∴∠=∠=︒，36AD平分BAC∠，∴∠=∠=︒，36BAD CAD∴∠=︒-∠-∠=︒；B BAD BDA18054（3）E AGE∠=∠，证明：理由是：//AD EF，∴∠=∠，AGE CADE BAD∠=∠，∠=∠，BAD CAD∴∠=∠．E AGE22．（5分）（2020春•赣榆区期末）[问题背景]（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明A B C D ∠+∠=∠+∠．[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）（2）如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，①若28ABC ∠=︒，20ADC ∠=︒，求P ∠的度数；②D ∠和B ∠为任意角时，其他条件不变，试直接写出P ∠与D ∠、B ∠之间数量关系．[问题探究]（3）如图3，直线BP 平分ABC ∠的邻外角FBC ∠，DP 平分ADC ∠的邻补角ADE ∠， ①若30A ∠=︒，18C ∠=︒，则P ∠的度数为 24︒ ；②A ∠和C ∠为任意角时，其他条件不变，试直接写出P ∠与A ∠、C ∠之间数量关系．[拓展延伸]（4）在图4中，若设C x ∠=，B y ∠=，14CAP CAB ∠=∠，14CDP CDB ∠=∠，试问P ∠与C ∠、B ∠之间的数量关系为 ；（用x 、y 的代数式表示)P ∠（5）在图5中，直线BP 平分ABC ∠，DP 平分ADC ∠的外角ADE ∠，猜想P ∠与A ∠、C ∠的关系，直接写出结论 ．【解答】解：（1）如图1中，180A B AOB ∠+∠+∠=︒，180C D COD ∠+∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠， A B C D ∴∠+∠=∠+∠；（2）如图2中，设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，则有x B y P x P y D +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩， B P P D ∴∠-∠=∠-∠，11()(2820)2422P B D ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）①如图3中，设CBJ JBF x ∠=∠=，ADP PDE y ∠=∠=．则有18021802P x A y A x C y∠+=∠+⎧⎨∠+︒-=∠+︒-⎩， 2P A C ∴∠=∠+∠，1(3018)242P ∴∠=︒+︒=︒； 故答案为：24︒；②设CBJ JBF x ∠=∠=，ADP PDE y ∠=∠=．则有18021802P x A y A x C y ∠+=∠+⎧⎨∠+︒-=∠+︒-⎩， 2P A C ∴∠=∠+∠；（4）如图4中，设CAP α∠=，CDP β∠=，则3PAB α∠=，3PDB β∠=，则有33P C P B βααβ∠+=∠+⎧⎨∠+=∠+⎩， 43P C B ∴∠=∠+∠，1(3)4P x y ∴∠=+， 故答案为1(3)4P x y ∠=+． （5）如图5中，延长AB 交PD 于J ，设PBJ x ∠=，ADP PDE y ∠=∠=．则有21802A x C y ∠+=∠+︒-，190()2x y C A ∴+=︒+∠-∠， 180P x A y ∠++∠+=︒，119022P C A ∴∠=︒-∠-∠． 故答案为119022P C A ∠=︒-∠-∠．23．（5分）（2020春•西城区期末）在ABC ∆中，BD 是ABC ∆的角平分线，点E 在射线DC 上，EF BC ⊥于点F ，EM 平分AEF ∠交直线AB 于点M ．（1）如图1，点E 在线段DC 上，若90A ∠=︒，M α∠=．①AEF ∠= 1802α︒- ；（用含α的式子表示）②求证：//BD ME ；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，EM 交BD 的延长线于点N ，用等式表示BNE ∠与BAC ∠的数量关系，并证明．【解答】解：（1）①90A ∠=︒，M α∠=，1809090AEM αα∴∠=︒-︒-=︒-， EM 平分AEF ∠，21802AEF AEM α∴∠=∠=︒-，故答案为：1802α︒-；②证明：EF BC ⊥，90EFC ∴∠=︒，90A ∠=︒，90C ABC ∴∠+∠=︒，CEF ABC ∴∠=∠，1802AEF α∠=︒-，2CEF α∴∠=，2ABC α∴∠=， BD 是ABC ∆的角平分线，12ABD ABC α∴∠=∠=， ABD M ∴∠=∠，//BD ME ∴；（2）290BNE BAC ∠=︒+∠，证明：BD 平分ABC ∠，EM 平分AEF ∠，设ABD x ∠=，AEM y ∠=，2ABC x ∴∠=，2AEF y ∠=，180ABD BAD ADB ∠+∠=︒-∠，180NED END NDE ∠+∠=︒-∠，ADB NDE ∠=∠，ABD BAD NED END ∴∠+∠=∠+∠，x BAD y END ∴+∠=+∠，x y END BAD ∴-=∠-∠，同理，ABC BAC FEC EFC ∠+∠=∠+∠，22x BAC y EFC ∴+∠=+∠，22x y EFC BAC ∴-=∠-∠，EF BC ⊥，90EFC ∴∠=︒，2()90x y BAC ∴-=︒-∠，2()90END BAD BAC ∴∠-∠=︒-∠，即2()90BNE BAC BAC ∠-∠=︒-∠，290BNE BAC ∴∠=︒+∠．24．（5分）（2020春•润州区期末）已知ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 是AC 边上的高，AE 平分BAC ∠，分别交BC 、BD 于点E 、F ．求证：BFE BEF ∠=∠．【解答】证明：AE 平分BAC ∠，BAE CAE ∴∠=∠，BD AC ⊥，90ABC ∠=︒，90BAE BEF CAE AFD ∴∠+∠=∠+∠=︒，BEF AFD ∴∠=∠，BFE AFD ∠=∠（对顶角相等）， BEF BFE ∴∠=∠25．（6分）（2019秋•市中区期末）已知将一块直角三角板DEF 放置在ABC ∆上，使得该三角板的两条直角边DE ，DF 恰好分别经过点B 、C ．（1）DBC DCB ∠+∠= 90 度；（2）过点A 作直线//MN DE ，若20ACD ∠=︒，试求CAM ∠的大小．【解答】解：（1）在DBC ∆中，180DBC DCB D ∠+∠+∠=︒，而90D ∠=︒，90DBC DCB ∴∠+∠=︒；故答案为90；（2）在ABC ∆中，180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒，即180ABD DBC DCB ACD BAC ∠+∠+∠+∠+∠=︒，而90DBC DCB ∠+∠=︒，90ABD ACD BAC ∴∠+∠=︒-∠，9070ABD BAC ACD ∴∠+∠=︒-∠=︒．又//MN DE ，ABD BAN ∴∠=∠．而180BAN BAC CAM ∠+∠+∠=︒，180ABD BAC CAM ∴∠+∠+∠=︒，180()110CAM ABD BAC ∴∠=︒-∠+∠=︒．26．（7分）（2019秋•揭阳期末）探究与发现：如图①，在ABC ∆中，45B C ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且ADE AED ∠=∠，连接DE ．（1）当60BAD ∠=︒时，求CDE ∠的度数；（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试猜想BAD ∠与CDE ∠的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若B C ∠=∠，但45C ∠≠︒，其他条件不变，试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系．【解答】解：（1）ADC ∠是ABD ∆的外角，105ADC BAD B ∴∠=∠+∠=︒，30DAE BAC BAD ∠=∠-∠=︒，75ADE AED ∴∠=∠=︒，1057530CDE ∴∠=︒-︒=︒；（2）2BAD CDE ∠=∠，理由如下：设BAD x ∠=，45ADC BAD B x ∴∠=∠+∠=︒+，90DAE BAC BAD x ∠=∠-∠=︒-，902x ADE AED ︒+∴∠=∠=， 9014522x CDE x x ︒+∴∠=︒+-=， 2BAD CDE ∴∠=∠；（3）设BAD x ∠=，ADC BAD B B x ∴∠=∠+∠=∠+，1802DAE BAC BAD C x ∠=∠-∠=︒-∠-，12ADE AED C x ∴∠=∠=∠+， 11()22CDE B x C x x ∴∠=∠+-∠+=， 2BAD CDE ∴∠=∠．27．（7分）（2020春•泰州期末）已知在四边形ABCD 中，A x ∠=，C y ∠=，(0180,0180)x y ︒<<︒︒<<︒．（1）ABC ADC ∠+∠= 360x y ︒-- （用 含x 、y 的代数式直接填空） ；（2） 如图 1 ，若90x y ==︒．DE 平分ADC ∠，BF 平分CBM ∠，请写出DE 与BF 的位置关系， 并说明理由；（3） 如图 2 ，DFB ∠为四边形ABCD 的ABC ∠、ADC ∠相邻的外角平分线所在直线构成的锐角 ． ①若120x y +=︒，20DFB ∠=︒，试求x 、y ．②小明在作图时， 发现DFB ∠不一定存在， 请直接指出x 、y 满足什么条件时，DFB ∠不存在 ．【解答】解： （1）360A ABC C ADC ∠+∠+∠+∠=︒，A x ∠=，C y ∠=，360ABC ADC x y ∴∠+∠=︒--．故答案为：360x y ︒--．（2）DE BF ⊥．理由： 如图 1 ，DE 平分ADC ∠，BF 平分MBC ∠，12CDE ADC ∴∠=∠，12CBF CBM ∠=∠， 又180180(180)CBM ABC ADC ADC ∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠，CDE CBF ∴∠=∠，又DGC BGE ∠=∠，90BEG C ∴∠=∠=︒，DE BF ∴⊥；（3）①由 （1） 得：360(360)CDN CBM x y x y ∠+∠=︒-︒--=+， BF 、DF 分别平分CBM ∠、CDN ∠，1()2CDF CBF x y ∴∠+∠=+， 如图 2 ，连接DB ，则180CBD CDB y ∠+∠=︒-，111180()180222FBD FDB y x y y x ∴∠+∠=︒-++=︒-+， 112022DFB y x ∴∠=-=︒， 解方程组：120112022x y y x +=︒⎧⎪⎨-=︒⎪⎩， 可得：4080x y =︒⎧⎨=︒⎩； ②当x y =时，1118018022FBD FDB y x ∠+∠=︒-+=︒， ABC ∴∠、ADC ∠相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时，DFB ∠不存在 ．28．（7分）（2019秋•辽阳期末）已知如图①，BP 、CP 分别是ABC ∆的外角CBD ∠、BCE ∠的角平分线，BQ 、CQ 分别是PBC ∠、PCB ∠的角平分线，BM 、CN 分别是PBD ∠、PCE ∠的角平分线，BAC α∠=．（1）当40α=︒时，BPC ∠= 70 ︒，BQC ∠= ︒；（2）当α= ︒时，//BM CN ；（3）如图②，当120α=︒时，BM 、CN 所在直线交于点O ，求BOC ∠的度数；（4）在60α>︒的条件下，直接写出BPC ∠、BQC ∠、BOC ∠三角之间的数量关系： ．【解答】解：（1）DBC A ACB ∠=∠+∠，BCE A ABC ∠=∠+∠，180220DBC BCE A ∴∠+∠=︒+∠=︒， BP 、CP 分别是ABC ∆的外角CBD ∠、BCE ∠的角平分线，1()1102CBP BCP DBC BCE ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18011070BPC ∴∠=︒-︒=︒， BQ 、CQ 分别是PBC ∠、PCB ∠的角平分线，12QBC PBC ∴∠=∠，12QCB PCB ∠=∠， 55QBC QCB ∴∠+∠=︒，18055125BQC ∴∠=︒-︒=︒；（2）//BM CN ，180MBC NCB ∴∠+∠=︒， BM 、CN 分别是PBD ∠、PCE ∠的角平分线，BAC α∠=， ∴3()1804DBC BCE ∠+∠=︒， 即3(180)1804α︒+=︒， 解得60α=︒；（3）120α=︒，33()(180)22544MBC NCB DBC BCE α∴∠+∠=∠+∠=︒+=︒， 22518045BOC ∴∠=︒-︒=︒；（4）60α>︒，1902BPC α∠=︒-、 11354BQC α∠=︒-、 3454BOC α∠=-︒． BPC ∠、BQC ∠、BOC ∠三角之间的数量关系：113(90)(135)(45)180244BPC BQC BOC ααα∠+∠+∠=︒-+︒-+-︒=︒． 故答案为：70，125；60；180BPC BQC BOC ∠+∠+∠=︒．29．（8分）（2019秋•长白县期末）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别是ABC ∆边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令1PDA ∠=∠，2PEB ∠=∠，DPE α∠=∠．（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且50α∠=︒，则12∠+∠= 140 ︒；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则α∠、1∠、2∠之间有何关系？（3）若点P 在Rt ABC ∆斜边BA 的延长线上运动()CE CD <，则α∠、1∠、2∠之间有何关系？猜想并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接PC ，由三角形的外角性质，1PCD CPD ∠=∠+∠，2PCE CPE ∠=∠+∠，12PCD CPD PCE CPE DPE C ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠，50DPE α∠=∠=︒，90C ∠=︒，125090140∴∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：140︒；（2）连接PC ，由三角形的外角性质，1PCD CPD ∠=∠+∠，2PCE CPE ∠=∠+∠， 12PCD CPD PCE CPE DPE C ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠， 90C ∠=︒，DPE α∠=∠，1290α∴∠+∠=︒+∠；（3）如图1，由三角形的外角性质，21C α∠=∠+∠+∠， 2190α∴∠-∠=︒+∠；如图2，0α∠=︒，2190∠=∠+︒；如图3，21C α∠=∠-∠+∠，1290α∴∠-∠=∠-︒．。

专题 有理数运算中的6大技巧【专题综述】有理数运算是中学数学中一切运算的基础，同学们在理解有理数的概念、法则的基础上，能够利用法则、公式等正确地运算。

但有些有理数计算题，数字大、项数多，结构貌似复杂，致使同学们望题生畏，不知所措。

下面介绍几种有理数的计算方法，以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

【典型例题】一、连续自然数的和 112123123412481.2334445555494949++++++++++++++L L 例计算 【答案】588练习：观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示） 【答案】23322n n +．二、凑整法例2.计算3998＋2997＋1996＋195【答案】9186练习：（1）﹣556+（﹣923）+1734+（﹣312） 【答案】﹣114练习：（2）（﹣200856）+（﹣200723）+401723+（﹣112） 【来源】【全国市级联考】山东省潍坊市高密市2017-2018学年七年级（上）期中数学试卷【答案】-13三、拆项相消法 1113.12231011+++⨯⨯⨯L 例计算： 【答案】1011=练习：计算：2222122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+＝__________（n 为正整数）． 【来源】2014－2015学年江苏省启东市长江中学八年级12月月考数学试卷【答案】21n n +四、分组法例4.计算123420012002s =-+-++-L【答案】1001=-练习：计算：101﹣102＋103﹣104＋…＋199﹣200=______．【来源】苏科版七年级数学上册第二章 2.5 有理数的加法与减法同步测试【答案】－50五、错位相减法例5.计算232018*********s =+++++L 【答案】20181(2)(1)22s =-减得：练习：在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1，∴S ＝9312-. 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________.【来源】2016年初中毕业升学考试（山东东营卷）数学（带解析）【答案】201711m m --.六、倒序相加法例6.计算135799+++++L【答案】2500s ∴=练习：符号“H ”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H （1）=2，H （2）=3，H （3）=4，H （4）=5… 则H （7）+H （8）+H （9）+…+H （91）的结果为____．【来源】人教版七年级数学上册1.3有理数的加法【答案】4250【强化训练】1．计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2005﹣2006的结果是（ ）A. 0B. 100C. ﹣1003D. 1003【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C2．六个整数的积36a b c d e f ⋅⋅⋅⋅⋅=， a b c d e f 、、、、、互不相等，则a b c d e f +++++= ( ) ．A. 0B. 4C. 6D. 8【来源】北师大版七年级数学上册2.11 有理数的混合运算 课堂练习【答案】A3．50个连续正奇数的和1+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（ ）A. 0B. 50C. ﹣50D. 5050【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C4．对于正数x ，规定f （x ）=x x +1，例如f （2）=32212=+，f (31)=4131131=+，根据规定，计算f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2015）+f (21)+f (31)+f (41)+…+f (20151)= ． 【来源】2016届四川南充市中考二诊数学试卷（带解析）【答案】201412 5．已知f （x ）=1+x 1，其中f （a ）表示当x ＝a 时代数式的值，如f （1）=1+11，f （2）＝1＋21， f （a ）=1+a1，则f （1）·f （2）·f （3）…·f （100）= ． 【来源】2015－2016学年江苏省江阴市要塞片七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】1016．已知0|1||2|=-+-a ab ，则： a ＝ ，b ＝ ．在此条件下，计算：+ab 1()()111++b a ()()221+++b a ++Λ()()201420141++b a ＝ ． 【来源】2014－2015学年浙江省新登镇中学共同体七年级10月月考数学试卷（带解析）【答案】1; 2；20152016． 7．请观察下列等式的规律：111(1)1323=-⨯，1111()35235=-⨯， 1111()57257=-⨯，1111()79279=-⨯， …则111113355799101+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（湖南郴州卷）数学（带解析） 【答案】50101．8．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M =1+3+32+33+…+3100，则3M =3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M =3101﹣1，所以M =101312-，即1+3+32+33+…+3100=101312-，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．【来源】2015年初中毕业升学考试（广东茂名卷）数学（带解析） 【答案】2016514-． 9．若1(21)(21)n n -+=21a n -+ 21b n +，对任意自然数n 都成立，则a = ，b = ； 计算：m =113⨯+135⨯+157⨯+ …+11921⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（广东汕尾卷）数学（带解析）【答案】a =12，b =－12；m =102110．【问题一】：观察下列等式 111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯， 将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）猜想并写出： ()11n n =+_____________． （2）直接写出下列各式的计算结果：①111112233420162017++++=⨯⨯⨯⨯L ____________； ②()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+L ______________． （3）探究并计算：①111113355720152017++++⨯⨯⨯⨯L ． ②1111111132435465717191820-+-+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【问题二】：为了求23201712222+++++L 的值，可令23201712222S =+++++L ，则23201822222S =++++L ，因此2018221S S -=-，所以． 23201720181222221+++++=-L .仿照上面推理计算：（1）求23201715555+++++L 的值；（2）求23499100333333-+-++-L 的值.【来源】浙江省慈溪市2017－2018学年七年级上学期期中考试数学试题 【答案】111n n -+；20162017；111n -+。

2015-2016学年山东省潍坊市高密市崇文中学八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形2．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A．2 B．3 C．5 D．2.53．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，则下列结论：①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（）对全等三角形．A．2 B．3 C．4 D．55．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，∠B=40°，∠BAC=82°，则∠DAE=（）A．7 B．8°C．9°D．10°6．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DFB，只要（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC8．如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．9．如图，在四边形ABCD中，边AB与AD关于AC对称，则下面结论正确的是（）①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③DB⊥AC；④BE=DE．A．②B．①② C．②③④D．①②③④10．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对二、填空题（每小题4分，共36分）11．如图，AB=AC，BD=CD，若∠B=28°，则∠C= ．12．如图，在∠AOB的两边截取OA=OB，OC=OD，连接AD，BC交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是；（填序号）13．如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= 度．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．15．如图，在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE= ．16．观察下面的英文字母，其中是轴对称图形的有个．A，C，D，E，F，H，J，S，M，Y，Z．17．等腰三角形的一个角是70°，则它的另外两个角的度数是．18．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=46°，则x= ．19．点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为．关于y轴对称的点的坐标为．三、解答题（共34分）20．以AB为对称轴，画出如图的对称图形．21．已知∠α、∠β，线段a，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=∠β．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法、证明）22．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．23．如图：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．2015-2016学年山东省潍坊市高密市崇文中学八年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形考点：全等三角形的应用．分析：依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．解答：解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．故选B．点评：本题主要考查全等三角形的定义，全等是指形状相同，大小相同，两个方面必须同时满足．2．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A．2 B．3 C．5 D．2.5考点：全等三角形的性质．专题：计算题．分析：根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案．解答：解：∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5，∵AE=2，∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选B．点评：本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，则下列结论：①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AB=AC，∠BAD=∠CAD，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BD，BD=CD，∠B=∠C，从而易证△ABD≌△ACD．解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BD，BD=CD，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACD（SSS）．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定．等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．4．如图，AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（）对全等三角形．A．2 B．3 C．4 D．5考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，易证得△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE；由以上全等易证得△DCE≌△BCE（SSS），即可得全等三角形的对数．解答：解：∵AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，∴△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE（SAS），∴DE=BE，DC=BC，EC为公共边，∴△DCE≌△BCE（SSS）．所以共有3对三角形全等．故选B．点评：本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，∠B=40°，∠BAC=82°，则∠DAE=（）A．7 B．8°C．9°D．10°考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：根据三角形内角和定理可求得∠BAE的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAD的度数，从而不难求解．解答：解：∵AE⊥BC于E，∠B=40°，∴∠BAE=180°﹣90°﹣40°=50°，∵AD平分∠BAC交BC于D，∠BAC=82°，∴∠BAD=41°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=9°．故选C．点评：此题主要考查三角形内角和定理及三角形的外角性质的综合运用．6．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：证明题．分析：根据角平分线性质求出DF=DE即可；根据勾股定理和DE=DF即可求出AE=AF；求出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一定理即可判断③④正确．解答：解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，∴①正确；由勾股定理得：AF=，AE=，∵AD=AD，DF=DE，∴AE=AF，∴②正确；∵AF=AE，BF=CE，∴AB=AC，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，AD⊥BC，∴③④都正确；∴正确的有4个．故选D．点评：本题考查了勾股定理，角平分线性质和等腰三角形的性质等的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，题目比较典型，难度不大．7．如图，EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DFB，只要（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC考点：全等三角形的判定．分析：四项分别一试即可，要判定△AEC≌△DFB，已知AE=DF、∠A=∠D，要加线段相等，只能是AC=DB，而AB=CD即可得．解答：解：∵AB=CD∴AC=DB又AE=DF、∠A=∠D∴△AEC≌△DFB故选A．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：观察书写的四个汉字，只有“善”字是轴对称图形．故选B．点评：掌握好轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．9．如图，在四边形ABCD中，边AB与AD关于AC对称，则下面结论正确的是（）①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③DB⊥AC；④BE=DE．A．②B．①② C．②③④D．①②③④考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质得出∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，BE=DE，根据线段垂直平分线性质得出BC=DC，根据等腰三角形性质得出∠BCA=∠DCA即可．解答：解：∵在四边形ABCD中，边AB与AD关于AC对称，∴∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，BE=DE，∴BC=DC，∴∠BCA=∠DCA，∴①②③④都正确；故选D．点评：本题考查了轴对称的性质线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生推理能力，注意：如果两个图形关于某一直线对称，那么这两个图形是全等形，对称轴是对应点连线的垂直平分线．10．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长．解答：解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，又AC=BC，∴AC=AE=BC，又AB=6cm，∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．故选A．点评：此题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法﹣HL，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键．二、填空题（每小题4分，共36分）11．如图，AB=AC，BD=CD，若∠B=28°，则∠C= 28°．考点：全等三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：首先连接AD，就构成了两个三角形，根据边角边定理，证明△ABD≌△ACD．再根据三角形全等的性质得到∠B=∠C．至此问题得解．解答：解：连接线段AD在△ABD与△ACD中，⇒△ABD≌△ACD⇒∠B=∠C又∵∠B=28°∴∠C=28°故答案为28°点评：本题考查全等三角形的性质及判定．解决本题的关键是通过连接线段AD，构造出两个三角形，根据已知条件证明全等．12．如图，在∠AOB的两边截取OA=OB，OC=OD，连接AD，BC交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是①②③；（填序号）考点：全等三角形的判定与性质．专题：应用题．分析：根据题中条件，由两边夹一角可得△AOD≌△BOC，得出对应角相等，又由已知得出AC=BD，可得△APC≌△BPD，同理连接OP，可证△AOP≌△BOP，进而可得出结论．解答：解：∵OA=OB，OC=OD，∠O为公共角，∴△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，又∠APC=∠BPD，∴∠ACP=∠BDP，OA﹣OC=OB﹣OD，即AC=BD，∴△APC≌△BPD，∴AP=BP，连接OP，即可得△AOP≌△BOP，得出∠AOP=∠BOP，∴点P在∠AOB的平分线上．故题中结论都正确．故答案为：①②③．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．13．如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= 50 度．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可知∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，利用平角是180°，求出∠ADE与∠AED 的和，然后利用三角形内角和定理求出∠A的度数．解答：解：∵将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∴∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED=180°+180°，∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）=360°，又∵∠1+∠2=100°，∴∠ADE+∠AED=130°，∴∠A=180°﹣（∠ADE+∠AED）=50°．故答案是：50点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是180°、平角的度数也是180°．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是 5 ．考点：角平分线的性质．分析：要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离=CD=2，∴△ABD的面积是5×2÷2=5．故答案为：5．点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．15．如图，在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE= 35°．考点：等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：根据AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，可知△ADB≌△AEC，可得出AB=AC，根据等腰三角形的性质即可解答．解答：解：∵AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∴△ADB≌△AEC，∴AB=AC，∴∠B=∠C=40°，在△AEC中，∠CAE+∠C+∠AEC=180°，∴∠CAE=180°﹣40°﹣105°=35°，故答案为：35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，关键是先求出AB=AC，再根据等腰三角形等边对等角的关系即可．16．观察下面的英文字母，其中是轴对称图形的有7 个．A，C，D，E，F，H，J，S，M，Y，Z．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：轴对称图形有：A、C、D、E、H、M、Y，共7个．故答案为：7．点评：本题考查了轴对称图形的特点，轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．17．等腰三角形的一个角是70°，则它的另外两个角的度数是55°、55°或70°、40°．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．解答：解：（1）当顶角为70°时，则它的另外两个角的度数是55°，55°；（2）当底角70°时，则它的另外两个角的度数是70°，40°；所以另外两个角是55°，55°或70°，40°．故答案为：55°，55°或70°，40°．点评：此题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．18．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=46°，则x= 24°．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质可得∠3=∠1，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵两个三角形关于某条直线对称，∴∠3=∠1=110°，∴x=180°﹣∠2﹣∠3=180°﹣46°﹣110°=24°．故答案为：24°．点评：本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质并求出∠3的度数是解题的关键．19．点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．关于y轴对称的点的坐标为（2，3）．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答；根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．解答：解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3），关于y轴对称的点的坐标为（2，3）．故答案为：（﹣2，﹣3）；（2，3）．点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．三、解答题（共34分）20．以AB为对称轴，画出如图的对称图形．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题．分析：作出三角形三个顶点关于直线AB的对称点，然后顺次连接即可．解答：解：如图所示．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，准确确定出对称点的位置是解题的关键．21．已知∠α、∠β，线段a，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=∠β．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法、证明）考点：作图—复杂作图．分析：首先作BC=a，再以B为顶点，BC为边作∠B=∠α，再以C为顶点，BC为边作∠C=∠β，即可得到△ABC．解答：解：如图所示：．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．22．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）首先根据角平分线的性质可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后证明Rt△COE≌Rt△DOE 可得CO=DO；（2）证明COF≌△DOF可根据全等三角形的性质可得FC=FD．解答：证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，在Rt△COE和Rt△DOE中，，∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），∴CO=DO；（2）∵EO平分∠AOB，∴∠AOE=∠BOE，在△COF和△DOF中，，∴△COF≌△DOF（SAS），∴FC=FD．点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．23．如图：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：先求证△AEC和△ADB全等，推出AE=AD，再求证△AEF和△ADF全等，可得EF=DF，进而可得推出AF平分∠BAC．解答：证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠AEC=∠ADB=90°，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AE=AD，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定，关键是掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上．初中数学试卷金戈铁骑制作。

山东省高密市高二上学期语文期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、积累运用 (共13题；共94分)1. （2分） (2015高一上·大庆期中) 下列词语中注音和书写正确的一组是（）A . 青荇（xìnɡ）怅寥廓长歌当哭（dāng）切齿拊心B . 河畔（pàn）万户候叱咤风云（zhà）书生意气C . 桀骜（ào）岁月稠刀俎（zǔ）星辉斑斓D . 弄堂（lònɡ）橘子洲浸渍（zé）夜缒而出2. （2分）下列各句中字形有误的一句是（）A . 恨相见得迟，怨归去得疾B . 遥望见十里长亭，减了玉肌，此恨谁知?C . 意似痴，心如醉，昨霄今日，消减了小腰围D . 青宵有路终须到，金榜无名誓不归3. （2分）下列各句中，划线的成语使用不恰当的一句是（）A . 刘颖为帮助李小刚度过难关所做的一切，虽然有点操之过急，但从事理上讲也无可厚非。

B . 只有我们党加强党的建设，始终保持党员的先进性，才能上行下效，加快推动我国和谐社会的建设进程。

C . 加入世贸组织，我们开始可能会很难堪，但只有在高水平的国际竞争中，我们的本领才能增强，水平才能提高，而不会躲在小圈子里夜郎自大。

D . 对灾区人民，首先是要解决他们的燃眉之急，然后才是组织他们生产自救。

4. （2分）下列各句中，没有语病的一句是（）A . 罗丹那些充满人道精神的雕塑，通过强烈的变形展示人物心灵，成为米开朗琪罗之后西方最伟大的雕塑家之一。

B . 英国雷丁大学一位名叫朱利安•文森特的生物学家和一位复合材料专家领导的科研小组正在从事这项研究。

C . 有时候，解决问题的方法会突然在脑海中闪现，于是问题便茅塞顿开，这种一下子使问题解决的顿悟，便是所谓灵感。

D . 多年来这位芭蕾舞演员除国内各地外还到国外许多地方巡回演出，获得极大成功，一时蜚声舞坛，倾倒无数观众，其艺术造诣已使其同行望尘莫及。

2018-2019学年山东省潍坊市高密市七年级（下）期中地理试卷一、选择题．下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每小题6分，共50分．）1. 读亚洲简图，回答下列（1）~（3）题。

（1）有关亚洲的地理位置的叙述，正确是（）A.亚洲完全位于北半球B.亚洲东临太平洋，西临大西洋C.亚洲占据了亚欧大陆的西部D.北回归线穿过阿拉伯半岛、印度半岛、中南半岛（2）有关亚洲自然环境的叙述，正确的是（）A.地势中部高四周低，河流流向呈向心状B.气候类型复杂多样，大陆性气候分布最广C.亚洲被称为热带大陆、高原大陆D.②是恒河，恒河流域地形平坦，沃野千里（3）亚洲是世界第一大洲，主要依据是（）①跨纬度最广②面积最大③周围被大面积海洋包围④东西距离最长⑤绝大部分位于南半球、东半球A.①②③B.③④⑤C.①②④D.②③⑤2. 自然环境是由地形、气候、水文等自然要素相互影响、相互制约形成的，是人类赖以生存和发展的自然基础。

读东南亚地形图，完成（1）~（3）题。

（1）下面有关甲半岛的地形特征叙述正确的是（）A.地形复杂，中高周低B.平原为主，地形平坦C.山河相间，地势北高南低D.南高北低，纵列分布（2）我国一漂流瓶顺澜沧江流到（）A.伊落瓦底江B.红河C.湄南河D.湄公河（3）甲半岛的气候类型主要是（）A.热带雨林气候B.热带季风气候C.热带草原气候D.亚热带湿润气候3. 读南亚冬季等温线分布图和南亚地区农作物分布图，回答下列（1）~（3）题。

（1）图示地区等温线分布特点及成因，叙述正确的是（）A.北部等温线密集---地势起伏小B.中部等温线与纬线平行---纬度位置影响C.南部向南凸出---该季节陆地气温高D.等温线自南向北递减---西南季风影响（2）据右图可知，有关南亚农作物分布叙述正确的是（）A.棉花分布在东北部地区B.小麦分布在恒河三角洲C.水稻分布在东北部和西部沿海D.黄麻分布在印度河平原（3）有关南亚城市分布，叙述正确的是（）A.卡拉奇位于恒河三角洲B.孟买位于孟加拉湾沿岸C.班加罗尔位于德干高原D.加尔各答位于印度河平原4. 西亚是世界上石油储量最为丰富、石油产量和输出量最多的地区。

2022-2023学年山东省潍坊市、诸城市、安丘市、高密市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(1，3)，b →=(x ，6)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣12．若α是第四象限的角，则π﹣α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角3．如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π44．设e 1→，e 2→是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．2e 1→−3e 2→和4e 1→−6e 2→C ．e 1→+2e 2→和2e 1→+e 2→D ．e 2→和e 1→+e 2→5．已知tan α＝2，则sin 2α+sin αcos α的值为（ ） A ．23B ．1C ．45D ．656．如图，已知OA →，OB →，OC →的模均为4，且∠AOB ＝∠BOC ＝60°，则AC →⋅AB →=（ ）A ．24B ．﹣24C ．8D ．﹣87．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35，OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，则（ ）A ．sinβ=45 B ．cosβ=−35 C ．cos(α+β)=2425 D ．sin(α+β)=−7258．已知函数f （x ）＝sin x +sin|x |，则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（ ）A ．a→|a →|是与非零向量a →共线的单位向量B ．若a →与b →共线，则a →=b →或a →=−b →C ．若|a →|=0，则a →=0→D ．若a →⊥b →，a →⊥c →，则b →∥c →10．设平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=2，a →在b →方向上的投影向量为c →，则（ ） A ．a →⋅b →的最大值为4 B ．|a →−b →|最大值为2C ．|b →⋅c →|≤4D ．a →⋅b →=a →⋅c →11．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系，设O 到地面的高OT 为lm ，点P 为转轮边缘上任意一点，点P 在x 轴上的垂足为M ，转轮半径为rm ，记以OP 为终边的角为αrad ，点P 离地面的高度为hm ，则（ ）A ．点P 坐标为（r cos α，r sin α）B ．|MT →|=√r 2+l 2 C ．OP →⋅OT →≤lrD ．h ＝l +r sin α12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=910π B ．f(x)≤f(43π)C ．f （x ）图象的对称中心为(56kπ−π12，32)(k ∈Z) D ．函数f(x +43π)为偶函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．记cos （﹣55°）＝k ，那么tan125°＝ ． 14．写出一个最小正周期为6的奇函数f （x ）＝ ．15．设函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，若f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值是 ． 16．已知平面向量a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=3，|b →−c →|=2|a →−c →|=6，c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)．当λ+μ＝3时，|c →|= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．18．（12分）在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量a →以A 为始点． （1）试以B 为始点画出向量b →，使b →⋅a →=2，且|b →|=√2，并求向量b →的坐标；（2）在（1）的条件下，求(a →+b →)⋅BC →．19．（12分）已知向量a →=(cosθ，sinθ)，b →=(−1，√3)，−π2≤θ≤π3． （1）当a →⊥b →时，求θ的值； （2）求|a →−b →|的取值范围．20．（12分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将如表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数f （x ）的解析式；（2）先将y ＝f （x ）图象上的所有点，向左平移m （m ＞0）个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，求当m 取得最小值时，函数y ＝g （x ）的单调递增区间．21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD →=13BC →．（1）令AB →=a →，AC →=b →，用a →，b →表示AD →，BD →，CD →； （2）若AB ＝AD ＝2，且AC →⋅BD →=12，求cos ∠ABC ，|AC →|．22．（12分）定义函数f （x ）＝a sin x +b cos x 的“积向量”为m →=(a ，b)，向量m →=(a ，b)的“积函数”为f （x ）＝a sin x +b cos x ． （1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，求ba的值；（2）已知|m →|=|n →|=2，设OP →=λm →+μn →(λ＞0，μ＞0)，且OP →的“积函数”为g （x ），其最大值为t ，求（t ﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时m →，n →的关系．2022-2023学年山东省潍坊市、诸城市、安丘市、高密市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(1，3)，b →=(x ，6)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1解：a →=(1，3)，b →=(x ，6)，a →∥b →，则1×6＝3x ，解得x ＝2． 故选：A ．2．若α是第四象限的角，则π﹣α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角解：若α是第四象限的角，即：2k π−12π＜α＜2k π，k ∈Z ，所以2k π＜﹣α＜2k π+12π，k ∈Z 2k π+π＜π﹣α＜2k π+3π2k ∈Z 故选：C ．3．如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π4解：圆盘的半径为4，则圆的面积为π×42＝16π，故其中每一份的扇形面积为16π32=π2．故选：C ．4．设e 1→，e 2→是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．2e 1→−3e 2→和4e 1→−6e 2→C ．e 1→+2e 2→和2e 1→+e 2→D ．e 2→和e 1→+e 2→解：对于ACD ，两个向量均不共线，可以作为基底，对于B ，2e 1→−3e 2→=12（4e 1→−6e 2→），两个向量共线，不符合基底的定义． 故选：B ．5．已知tan α＝2，则sin 2α+sin αcos α的值为（ ） A ．23B ．1C ．45D ．65解：∵tan α＝2，∴sin 2α+sin αcos α=sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=4+24+1=65．故选：D ．6．如图，已知OA →，OB →，OC →的模均为4，且∠AOB ＝∠BOC ＝60°，则AC →⋅AB →=（ ）A ．24B ．﹣24C ．8D ．﹣8解：AC →⋅AB →=（OC →−OA →）•（OB →−OA →）=OC →•OB →−OC →•OA →−OA →•OB →+OA →2=4×4×cos60°﹣4×4×cos120°﹣4×4×cos60°+42＝24． 故选：A ．7．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35，OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，则（ ）A ．sinβ=45 B ．cosβ=−35 C ．cos(α+β)=2425D ．sin(α+β)=−725解：因为角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35， 所以由三角函数的定义可得sin α=45，cos α=35，又OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，即β＝α+π2，所以sin β＝sin （α+π2）＝cos α=35，故A 错误； cos β＝cos （α+π2）＝﹣sin α=−45，故B 错误；cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β=35×(−45)−45×35=−2425，故C 错误； sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β=45×(−45)+35×35=−725，故D 正确． 故选：D ．8．已知函数f （x ）＝sin x +sin|x |，则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称解：当x ≥0时，f （x ）＝2sin x ，当x ＜0时，f （x ）＝sin x ﹣sin x ＝0，则函数不可能是周期函数，故A 错误，当x ≥0时，f （x ）＝2sin x ，f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减，故B 正确， 若f （x ）的图象关于直线x =π2对称，则f （π2+x ）＝f （π2−x ），当x ＝π时，f （3π2）＝f （−π2），即﹣2＝0，不成立，则f （x ）的图象关于直线x =π2对称不正确，故C错误，若f （x ）的图象关于（π，0）对称，则f （π+x ）＝﹣f （π﹣x ），当x =3π2时，f （5π2）＝﹣f （−π2），即2＝﹣0，不成立，则f （x ）的图象关于（π，0）对称不正确，故D 错误， 故选：B ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是（ ）A ．a→|a →|是与非零向量a →共线的单位向量B ．若a →与b →共线，则a →=b →或a →=−b →C ．若|a →|=0，则a →=0→D ．若a →⊥b →，a →⊥c →，则b →∥c →解：A ．a→|a →|是单位向量且与a →共线，A 正确；B ．a →，b →共线时，若b →≠0→，则a →=kb →，B 错误； C ．根据零向量的定义知C 正确；D ．如图，空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，a →⊥c →，b →与c →不平行，D 错误．故选：AC ．10．设平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=2，a →在b →方向上的投影向量为c →，则（ ） A ．a →⋅b →的最大值为4 B ．|a →−b →|最大值为2C ．|b →⋅c →|≤4D ．a →⋅b →=a →⋅c →解：设向量a →，b →的夹角为θ，选项A ，a →⋅b →=|a →|•|b →|cos θ＝2×2×cos θ≤4，当且仅当θ＝0°时，等号成立，即A 正确； 选项B ，因为a →⋅b →=4cos θ∈[﹣4，4]，所以|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4+4−2a →⋅b →=√8−2a →⋅b →≤4，当且仅当a →⋅b →=−4，即θ＝180°时，等号成立，即B 错误；选项C ，因为a →在b →方向上的投影向量为c →，所以c →=|a →|cos θ•b→|b →|=cos θ•b →，所以|b →⋅c →|＝|cos θ•b →•b →|＝|4cos θ|≤4，即C 正确； 选项D ，a →⋅c →=cos θ•a →•b →=a →•b →不恒成立，即D 错误．故选：AC ．11．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系，设O 到地面的高OT 为lm ，点P 为转轮边缘上任意一点，点P 在x 轴上的垂足为M ，转轮半径为rm ，记以OP 为终边的角为αrad ，点P 离地面的高度为hm ，则（ ）A ．点P 坐标为（r cos α，r sin α）B ．|MT →|=√r 2+l 2 C ．OP →⋅OT →≤lrD ．h ＝l +r sin α解：选项A ，因为|OP |＝r ，∠POx ＝α，所以点P （r cos α，r sin α），即A 正确； 选项B ，因为PM ⊥x 轴于点M ，所以M （r cos α，0），而T （0，﹣l ），所以MT →=（﹣r cos α，﹣l ），所以|MT →|=√r 2cos 2α+l 2，即B 错误；选项C ，OP →⋅OT →=（r cos α，r sin α）•（0，﹣l ）＝﹣lr sin α≤lr ，当且仅当sin α＝﹣1时，等号成立，即C 正确；选项D ，当α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴上时，|MP |＝r sin α，此时h ＝|OT |+|MP |＝l +r sin α； 当α的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上时，|MP |＝﹣r sin α，此时h ＝|OT |﹣|MP |＝l +r sin α； 当α的终边在x 轴上时，sin α＝0，此时h ＝|OT |＝l +r sin α， 综上，不管α的终边在何处，都有h ＝l +r sin α，即D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=910π B ．f(x)≤f(43π)C ．f （x ）图象的对称中心为(56kπ−π12，32)(k ∈Z) D ．函数f(x +43π)为偶函数解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B 的部分图象知，{A +B =3−A +B =0，解得A ＝B =32，由T 2=π2−（−π3）=5π6，解得T =5π3，所以ω=2πT =65， 当x =−π3时，f （x ）=32sin[65×（−π3）+φ]+32=3，所以−2π5+φ=π2+2k π，k ∈Z ； 解得φ=9π10+2k π，k ∈Z ； 又因为|φ|＜π，所以φ=9π10，选项A 正确； 由f （x ）=32sin （65x +9π10）+32，计算f （4π3）=32sin （65×4π3+9π10）+32=3，所以f （x ）≤f （4π3），选项B 正确；令65x +9π10=k π，k ∈Z ，解得x =56k π−3π4，k ∈Z ；所以f （x ）图象的对称中心为（56k π−3π4，32），k ∈Z ；选项C 错误；因为f （x +4π3）=32sin[65（x +4π3）+9π10]+32=32cos 65x +32，所以函数f （x +43）为偶函数，选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．记cos （﹣55°）＝k ，那么tan125°＝ −√1−k 2k．解：∵cos （﹣55°）＝cos55°＝k ，且sin55°＞0， ∴sin55°=√1−cos 255°=√1−k 2，∴tan55°=sin55°cos55°=√1−k2k ，那么tan125°＝tan （180°﹣55°）＝﹣tan55°=−√1−k 2k．故答案为：−√1−k 2k．14．写出一个最小正周期为6的奇函数f （x ）＝ sin π3x （答案不唯一） ． 解：根据题意，要求函数是最小正周期为6的奇函数， 可以考查三角函数，则该函数可以为f （x ）＝sin π3x ，故答案为：sin π3x （答案不唯一）．15．设函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，若f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值是 34．解：函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，且f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立， ∴ω•π3−π4=2k π，k ∈Z ，解得ω＝6k +34，k ∈Z ；又ω＞0，∴ω的最小值为34． 故答案为：34．16．已知平面向量a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=3，|b →−c →|=2|a →−c →|=6，c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)．当λ+μ＝3时，|c →|= 3√3 ． 解：如图，作OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，由题意知，|b →−c →|=6，|a →−c →|＝3，则OA ＝OB ＝3，CA ＝3，CB ＝6， 设直线OC 与直线AB 交点为P ，则OP →∥OC →，且OP →=1OA +(1−t)OB →，t ≠0， 即OA →=1t OP →+t−1t OB →，因为c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)，且λ+μ＝3，所以OC →=λOA →+(3−λ)OB →=λ(1t OP →+t−1t )+(3−λ)OB →=λt OP →+(3−λ−λt +λ)OB →=λt OP →+(3−λt )OB →，3−λt =0，即λt=3，所以OC →=3OD →，作OG ⊥AB 于G ，CH ⊥AB 于H ，则△OGP 与△CHP 相似，且相似比为1：2， 所以CH ＝2OG ．设∠OBA ＝θ，则BG ＝3cos θ，OG ＝3sin θ，又OA ＝OB ， 所以AG ＝BG ＝3cos θ，所以CH ＝2OG ＝6sin θ．又6cos θ＝3cos θ+3cos θ＝AG +BG ＝AB ，所以AH ＝0，即点H 与点A 重合，故∠BAC =π2， 所以AB =6cosθ=√BC 2−AC 2=√36−9=3√3，故cosθ=√32，sinθ=12，又△OGP 与△CAP 相似，且相似比为1：2， 于是GP =13AG =cosθ=√32 OG =3sinθ=32， 所以在Rt △OGP 中，OP =√GP 2+OG 2=√3，从而OC =3√3，故|c|=3√3． 故答案为：3√3．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．证明：公式：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β，由图知，P （cos α，sin α），Q （cos β，sin β），OP →⋅OQ →=(cosα，sinα)⋅(cosβ，sinβ)=cos αcos β+sin αsin β， 又存在k ∈Z ，使得＜OP →，OQ →＞=β−α+2kπ， 所以cos ＜OP →，OQ →＞=cos(α−β)， 因为|OP →|=|OQ →|=1，所以OP →⋅OQ →=|OP →||OQ →|cos ＜OP →，OQ →＞=cos （α﹣β）， 所以cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β．18．（12分）在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量a →以A 为始点． （1）试以B 为始点画出向量b →，使b →⋅a →=2，且|b →|=√2，并求向量b →的坐标； （2）在（1）的条件下，求(a →+b →)⋅BC →．解：（1）由图知，向量a →=（2，0），设b →=（x ，y ）， ∵b →⋅a →=2，∴2x ＝2，x ＝1，∵|b →|=√2，∴1+y 2＝2，∴y ＝±1， 则b →=(1，±1)， 如图，这两个向量b →均满足题意；（2）①若b →=(1，1)，则a →+b →=(3，1)，BC →=(3，−1)，∴(a →+b →)⋅BC →=8， ②若b →=(1，−1)，则a →+b →=(3，−1)，BC →=(3，−1)，∴(a →+b →)⋅BC →=10， 综上，(a →+b →)⋅BC →=8或(a →+b →)⋅BC →=10．19．（12分）已知向量a →=(cosθ，sinθ)，b →=(−1，√3)，−π2≤θ≤π3． （1）当a →⊥b →时，求θ的值； （2）求|a →−b →|的取值范围．解：（1）因为a →⊥b →，所以a →⋅b →=√3sinθ−cosθ=0，得tanθ=√33，又因为−π2≤θ≤π3，所以θ=π6． （2）|a →−b →|=√|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2=√1−2(√3sinθ−cosθ)+4=√5−4sin(θ−π6)，因为−π2≤θ≤π3，所以−2π3≤θ−π6≤π6， 所以−1≤sin(θ−π6)≤12， 所以3≤5−4sin(θ−π6)≤9， 所以√3≤|a →−b →|≤3， 故|a →−b →|的取值范围为[√3，3]．20．（12分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将如表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数f （x ）的解析式；（2）先将y ＝f （x ）图象上的所有点，向左平移m （m ＞0）个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，求当m 取得最小值时，函数y ＝g （x ）的单调递增区间． 解：（1）根据表中数据，得A ＝2，T =4(5π6−7π12)=π，∴ω＝2， 当x =7π12时，2x +φ＝π，解得φ=−π6，∴f(x)=2sin(2x −π6)． 数据补充完整如下表：（2）将f （x ）图象上所有的点向左平移m （m ＞0）个单位长度，得到y =2sin[2(x +m)−π6]的图象，再把所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，∴g(x)=2sin(4x +2m −π6)；∵y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，则x =5π24时，函数取得最值， ∴4×5π24+2m −π6=kπ+π2，k ∈Z ，∴m =kπ2−π12，k ∈Z ， ∵m ＞0，k ＝1时，m min =5π12，此时g(x)=2sin(4x +2π3)， 由2kπ−π2≤4x +2π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，可得kπ2−7π24≤x ≤kπ2−π24，k ∈Z ，∴函数y ＝g （x ）的单调递增区间为[kπ2−7π24，kπ2−π24]，k ∈Z ． 21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD →=13BC →．（1）令AB →=a →，AC →=b →，用a →，b →表示AD →，BD →，CD →； （2）若AB ＝AD ＝2，且AC →⋅BD →=12，求cos ∠ABC ，|AC →|．解：（1）∵AB →=a →，AC →=b →，∴BC →=AC →−AB →=b →−a →则AD →=13BC →=13(b →−a →)=，可得CD →=BD →−BC →=13b →−43a →−(b →−a →)=−13a →−23b →；（2）∵AD →=13BC →，AD ＝2，∴BC ＝6，由AC →⋅BD →=(BC →−BA →)⋅(BA →+13BC →)=−BA →2+23BA →⋅BC →+13BC →2=12，得−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=12，解得cos ∠ABC =12； ∵|BA →|=2，|BC →|=6，且AC →=BC →−BA →，∴|AC →|2=|BC →−BA →|2=|BC →|2+|BA →|2−2BC →⋅BA →=4+36−2×2×6×12=28， 可得|AC →|=2√7．22．（12分）定义函数f （x ）＝a sin x +b cos x 的“积向量”为m →=(a ，b)，向量m →=(a ，b)的“积函数”为f （x ）＝a sin x +b cos x ． （1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，求ba的值；（2）已知|m →|=|n →|=2，设OP →=λm →+μn →(λ＞0，μ＞0)，且OP →的“积函数”为g （x ），其最大值为t ，求（t ﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时m →，n →的关系．解：（1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，则f （x ）＝a sin x +b cos x ， f （π7）＝a sin π7+b cos π7，f （9π14）＝a sin9π14+b cos9π14=a cos π7−b sin π7，所以f(π7)f(9π14)=asin π7+bcosπ7acos π7−bsinπ7=b a +tan π71−b a ⋅tan π7， 可令tan θ=b a ，f(π7)f(9π14)=tan10π21，即为tan （θ+π7）＝tan10π21，则θ+π7=k π+10π21，即θ＝k π+π3，k ∈Z ， 所以tan θ＝tan π3=√3，即ba =√3；（2）设m →=(2cosα，2sinα)，n →=(2cosβ，2sinβ)，因为OP →=λm →+μn →=(2(λcosα+μcosβ)，2(λsinα+μsinβ))， 所以g （x ）＝2（λcos α+μcos β）sin x +2（λsin α+μsin β）cos x＝2λ（cos αsin x +sin αcos x ）+2μ（cos βsin x +sin βcos x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）， h （x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）≤2λ+2μ， 当且仅当存在x 0使得{x 0+α=2k 1π+π2x 0+β=2k 2π+π2时，等号成立，其中k 1，k 2∈Z ，所以α﹣β＝2（k 1﹣k 2）π，即m →=n →，所以α＝β+2k π，k ∈Z ，所以h （x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）＝2（λ+μ）sin （x +α）≤2（λ+μ）， 所以t ＝2（λ+μ），此时(t −2)(λ+μ)=t(t−2)2=(t−1)22−12，所以当t ＝1时，（t ﹣1）（λ+μ）的最小值为−12．。