2017_2018学年高中数学课下能力提升二十三圆与圆的位置关系北师大版必修37

课下能力提升(二十四) 圆与圆的位置关系1．圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x －10y －7＝0的位置关系是________．2．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.4．过点A (4，－1)，且与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B (1,2)的圆的方程是________．5．已知点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则PQ 的最小值是________．6．求与已知圆x 2＋y 2－7y ＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x －3y －1＝0，且过点(－2,3)，(1,4)的圆的方程．7．求下列圆的方程：(1)以(0,2)为圆心，且与圆x 2＋y 2＝1相外切；(2)过圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0与圆x 2＋y 2＋x ＋y －1＝0的交点及点(3,1)．8．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．答案1．解析：圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0的圆心是C 1(－2,2)，半径长r 1＝1；圆x 2＋y 2－4x －10y －7＝0的圆心是C 2(2,5)，半径长r 2＝6，则|C 1C 2|＝5＝r 2－r 1，故两圆内切．答案：内切2．解析：设圆心坐标为(a ，b )，由题意知b ＝6，a 2＋32＝5可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.答案：(x ±4)2＋(y －6)2＝363．解析：x 2＋y 2＋2ay －6＝0的半径为6＋a 2，由圆的几何性质可知6＋a 2－(－a －1a)2＝(3)2，解之得a ＝1.答案：14．解析：圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为(－1,3)，半径为5，所以两圆的圆心连线的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 设要求的圆的圆心为(x ，y )， 则(x －4)2＋(y ＋1)2＝ (x －1)2＋(y －2)2，化简得x －y －2＝0即圆心所在直线方程，联立两条直线方程得圆心坐标为(3,1)，半径为 5.答案：(x －3)2＋(y －1)2＝55．解析：两圆的圆心和半径分别为C 1(4,2)，r 1＝3，C 2(－2，－1)，r 2＝2，∴PQ min ＝C 1C 2－r 1－r 2 ＝(4＋2)2＋(2＋1)2－3－2＝35－5.答案：35－56．解：公共弦所在直线的斜率为23，已知圆的圆心坐标为(0，72)，故两圆圆心所在直线的方程为y －72＝－32x ， 即3x ＋2y －7＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2＋32－2D ＋3E ＋F ＝0，12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0，3(－D 2)＋2(－E 2)－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－10，F ＝21.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －10y ＋21＝0.7．解：(1)两圆的圆心距d ＝(0－0)2＋(2－0)2＝2，又圆x 2＋y 2＝1的半径为1，由题意可知，所求圆的半径r ＝2－1＝1，∴所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)设过两圆交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋λ(x 2＋y 2＋x ＋y －1)＝0(λ≠－1)，又过点(3,1)，∴λ＝－2013， ∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－67x －327y －207＝0. 8．解：法一：考虑到圆B 的圆心在直线l 上移动，可先写出动圆B 的方程，再设法建立圆B 的半径r 的目标函数．设圆B 的半径为r .∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②∴②－①，得两圆的公共弦方程为(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215. ∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215. 法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解．如下图，设圆A ，圆B 的圆心分别为A ，B ，则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连结AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M ，N 两点．∴MN 为圆A 的直径． ∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M ，N 两点．∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ，∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值．∵A 是定点，B 是l 上的动点，∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小．于是，可求得直线AB 方程为y ＋1＝－12(x ＋1)， 即y ＝－12x －32，与直线l ：y ＝2x 联立可求得B ⎝⎛⎭⎫－35，－65，r min ＝215. ∴圆B 的方程是 ⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215.。

总 课 题 圆与方程 总课时 第36课时 分 课 题 圆与圆的位置关系分课时 第 2 课时 教学目标 掌握圆心距和半径的大小关系；判断圆和圆的位置关系．重点难点 根据两圆的方程判断两圆的位置关系，会求相交两圆的公共弦所在直线方程及弦长．引入新课圆与圆有哪些位置关系？怎样进行判断呢？需要哪些步骤呢？第一步：第二步：第三步：外离 外切 相交 内切内含例题剖析例1 判断下列两圆的位置关系： （1）1)3()2(22=-++y x 与16)5()2(22=-+-y x ；（2）07622=-++x y x 与027622=-++y y x ．例2 求过点)60( ，A 且与圆01010:22=+++y x y x C 切于原点的圆的方程．变式训练：求过点)14(- ，A 且与圆0562:22=+-++y x y x C 切于点)21( ，Q 的 圆的方程．例3 已知两圆4)2(22=+-y x 与1)4(22=+-y x ：（1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆的公切线．巩固练习1．判断下列两圆的位置关系：（1）1)2()3(22=++-y x 与36)1()7(22=-+-y x ；（2）0232222=+-+y x y x 与03322=---+y x y x ．2．已知圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的取值范围．3．已知以)34( -，C 为圆心的圆与圆122=+y x 相切，求圆C 的方程．4．已知一圆经过直线042:=++y x l 与圆0142:22=+-++y x y x C 的两个 交点，并且有最小面积，求此圆的方程．课堂小结利用圆心距和半径的大小关系判断圆和圆的位置关系．根据两圆的方程判断两圆的位置关系，会求相交两圆是公共弦所在的直线方程及弦长．课后训练一 基础题1．圆0122:221=+-++y x y x C 与圆0442:222=-+-+y x y x C 的位置关 系是 ．2．圆5:221=+y x C 和与圆032:222=-++x y x C 的交点坐标为 ．3．圆0124:221=-++y y x C 与圆04:222=-+x y x C 的公共弦所在直线方 程为 ．4．已知动圆0264222=-+--+m my mx y x 恒过定点P ，则点P 的坐标是 ．二 提高题5．求圆心在直线04=--y x 上，且经过圆046:221=-++x y x C 与圆222:y x C +0286=-+y 交点的圆的方程．6．求圆053:221=+-+y x y x C 与圆042:222=--++y x y x C 的公共弦所在 直线方程．三 能力题7．已知一圆经过圆098:221=--+x y x C 与圆0158:222=+-+y y x C 的两个交 点，且圆心在直线012=--y x 上，求该圆的方程．。