3.1.2 两角和与差的正弦课件

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课件9：3.1.2 两角和与差的正弦

1．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为( )
A．21
B．
2 2
C．
3 2
D．以上都不对
解析：原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝21. 答案：A
2．函数y＝sin x－cos x的最小正周期是( )
A．π2
B．π
C．2π
D．4π
解析：y＝sin x－cos x＝
17°cos
30°
＝cosc1o7s°s1i7n°30°＝sin 30°＝12.
答案：C
(2)解：原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67° ＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1. (3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－ 3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)· cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－ 3cos(θ＋15°) ＝12sin(θ＋15°)＋ 23cos(θ＋15°)＋ 23cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°) － 3cos(θ＋15°)＝0.
辑推理和数学运算核心素养.
新知初探
1．两角和与差的正弦公式
(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β .
(2)Sα－β：sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β .
2．辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝ a2＋b2 sin(x＋θ)(a，b 不同时为 0)，

两角和与差的正弦，正切公式一等奖-完整版PPT课件

cos( ) cos cos sin sin
讲授新课
问题：由两角差的余弦公式，怎样得到
两角差的正弦公式呢？
sin( )
探究1：
问题：由两角和的余弦公式，怎样得到
两角和的正弦公式呢？
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
2
2
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
探究3：通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan 、 tan 的形式呢？
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究4：两角差的正切公式：
探究4：两角差的正切公式： tan( ) tan[ ( )]
探究4：两角差的正切公式： tan( ) tan[ ( )]
两角差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) sin cos cos sin
探究1：两角和与差的正弦公式：
S( ) : sin( ) sin cos cos sin S( ) : sin( ) sin cos cos sin
2
2
sin cos cos sin
探究1：
问题：
由两角和的正弦公式，怎样得到
两角差的正弦公式呢？
探究1：两角差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )]

数学：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件

存在商数关系，从 S( )、C( )出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、
tanβ有什么关系
tan(
)
tan 1 tan
tan tan
,
tan(
)
tan tan 1 tan tan
.
思考6：上述公式就是两角和与差的正切
公式，分别记作 T( )，T( ) ，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成
小结作业
1.两角差的余弦公式 C 是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.
2.公式 S( ) 与 S( ) ，C( 与) C T( ) 与 T( )的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适kkss5当u精品变课件件形.
3.有了两角差的余弦公式，自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究，让希望成为现实.
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第三页，编辑于星期日：十二点二十四分。
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第四页，编辑于星期日：十二点二十四分。
探究（一）：两角和与差的基本三角公式
思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α ＋β)等于什么？
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作记忆？
C，( 该)公式有什么特点？如何
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第五页，编辑于星期日：十二点二十四分。
思考3：诱导公式 sin(2 ) cos 可以实现由正弦到余弦的转化，结合 C( 和) C( ) 你能推导出sin(α＋β)，sin(α －β)分别等于什么吗？

必修4课件_3.1.2两角和与差的正弦正切公式

1必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，
2注意公式的结构，尤其是符号。
二【探究】
2.T(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin
cos(－ ) cos cos ＋sin sin
二【探究】
2.T(α±β)公式的推导
tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2 tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2
二【探究】
1.S(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
sin(＋ ) sin cos cos sin sin( - ) sin[ ( )] sin cos cos sin
3.1.2
两角和与差的正弦正切公式
一【引入】
1、两角和与差的余弦公式
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
2、使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.符号判断、角的变形.
β = α +β α
a sin x b cos x
a b sin x
2 2
b tan ，所在象限就是点(a, b)所在象限 a
四
【课堂小结】
1.两角差的余弦公式 C＋是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程. 2.公式S ( a + b )与 S ( a 与T T

高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

∟
∟
∟
x
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值. 解： sin75°=sin( 45°+30°) =sin45°cos30° +cos45°sin30° 2 3 2 1 6 2 ; 2 2 2 2 4 cos75°=cos(45°+30°) =cos45°cos30° –sin45°sin30° 2 1 2 3 6 2 ; 2 2 2 2 4
在研究三角函数时，我们还常常遇到这样
的问题：已知任意角α、β的三角函数值，
如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？下面我们先引出平面内两点间的距离公式，并从两角和的余弦公式谈起.
在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),
P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，
∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，
（C（α+β））
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ
（C（α+β））
这个公式对于任意角α、β都成立.
例如 cos(62° +59°) cos59° ＝cos62° sin59°; – sin62° cos(113° +27°) cos27° sin27°; – sin113° ＝cos113° cos[α +(–β)] ＝cosα cos(–β) – sinα sin(–β)，
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, （S（α+β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，（C（α+β））记忆方式： y sin(α+β) Q =QM =NE+QF =ONsinα+QNcosα α = sinαcosβ + cosαsinβ; P F cos(α+β) N β =OM =OE–FN α =ONcosα– QNsinα 1 O M E = cosαcosβ – sinαsinβ.

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)2课件人教新课标

tan[(β－α)－α]＝1t＋antaβn－βα－－αttaannαα＝1＋－－2－22×2＝43．
答案
4 3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型三给值求角问题
【例 3】 (1)在△ABC 中，tan A＝13，tan B＝－2，则角 C＝
________；
解析
tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－1313×－2－2＝－1，
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练 1】求值：
1＋tan (1)1－tan
1155°°；(2)tan
10°＋tan
35°＋tan
10°tan
35°．
解
1＋tan (1)1－tan
1155°°＝1t－ant4a5n°1＋5°ttaann1455°°
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3．
(2)由 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的变形
______________．
解析 ∵B 为锐角，sin B＝ 55，∴cos B＝255，∴tan B＝12，
∴tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－13＋13×12 12＝1．
∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4．
答案
π 4
课前预习
课堂互动
课堂反馈
5．求tant1an8°1＋8°ttaann4422°°＋tanta6n01°20°的值．
答案 B
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3．已知 tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则 tanα＋2 β＝________．
解析
tanα＋2 β＝tan[(α－β2)＋(β－α2)]＝1－1212×－13－13＝17．

课件5：3.1.2 两角和与差的正弦

∴sin(A－B)＝0，∴A＝B．
【答案】等腰三角形
6．已知 cos4π－α＝35，sin54π＋β＝－1123，且 β∈0，4π， α∈4π，34π.求 sin(α＋β)．解：由 α∈4π，34π，β∈0，4π，可得π4－α∈－π2，0， 54π＋β∈54π，32π， ∴sin4π－α＝－45，cos54π＋β＝－153，
2 5
，sinβ＝
310，
得 sinα＝
1－
252＝
15，
cosβ＝
1－
3102＝
1， 10
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝
1 5×
1－ 10
2 5×
3 ＝－ 10
2 2.
又∵sinα<sinβ，∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0，∴α－β＝－π4.
点评已知α、β的三角函数值求α、β的和或差的值，通常是先求其三角函数值，再求角．需要注意的是，要对角的范围进行判断，再确定其值．
又 cosα＝ 55，sinβ＝31010，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝2
5 5×
1100＋
53 5×
1010＝
22，
∴α＋β＝34π.
解法二：∵α、β 为锐角，sinα＝255，cosβ＝ 1100，
∴0<α＋β<π，cosα＝ 55，sinβ＝31010，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
①当 α 为第一象限角，β 为第二象限角时，
cosα＝ 35，sinβ＝ 415，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

课件8：3.1.2 两角和与差的正弦

题型二三角函数的化简例 2 化简：sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]．【解】原式＝sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)] ＝sin(α＋β)cos α－12[sin αcos(α＋β)＋ cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α－12×2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β.
跟踪训练已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1123， sin(α＋β)＝－35，求 sin 2α 的值．解：因为π2＜β＜α＜34π，所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 又 cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，
所以 sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β）＝ 1－（1123）2＝153， cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β）＝－ 1－（－35）2＝－45. 所以 sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝153×(－45)＋1123×(－35)＝－5665.
跟综训练 1.设 a＝sin 14°＋cos 14°， b＝sin 16°＋cos 16°，c＝ 26，则 a、b、c 的大小关系是________(用“＜”连接)．
解析：a＝ 2sin(14°＋45°)＝ 2sin 59°， b＝ 2sin(16°＋45°)＝ 2sin 61°， c＝ 2·23＝ 2sin 60°，由 y＝sin x 在(0°，90°)上的单调性可知 a<c<b. 答案：a<c<b

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第一课时)课件人教新课标

余名同号！
公式总结：两角和与差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S
sin( ) sin cos cos sin
S
其结构特征是：
异名相乘，符号相同
cos( ) cos cos sin sin (C )
cos( ) cos cos sin sin (C )
课堂小结
sin( ) sin cos cos sin
S
sin( ) sin cos cos sin
S
其结构特征是：
异名相乘，符号相同
cos( ) cos cos sin sin (C )
cos( ) cos cos sin sin (C )
其结构特征是：
同名相乘，符号相反
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
谢谢观看
求 sin的值. 33
13
5
思路1：cos
65
cos
sin
sin
5， 13
sin2 cos2 1.
公式应用
变题1 已知cos( ) 5 ,cos 4 , , 均为锐角,
求 sin的值. 33
13
5
65
思路2：利用 ( ) ，求出sin( )、sin
再求解．配角:化单角为复角，运算简化
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
＝(2s)(inta[n(x1＋0°2－7°)＋3)(cs1oin8s°51－00°°x＝)]＝(tasnin1405°°－＝tan226. 0°)csoins

3.1.2两角和与差的正弦课件人教新课标B版

明目标、知重点
呈重点、现规律
1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律四个公式 Cα±β、Sα±β 虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为 cos(α－β)―以―－―β换―β→cos(α＋β)―以―π2－――α＋―β―换―α―＋→β sin(α＋β)―以―－―β换―β→sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式 cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式. 对于公式Cα－β与Cα＋β，可记为“同名相乘，符号反”. 对于公式Sα－β与Sα＋β，可记为“异名相乘，符号同”.
明目标、知重点
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 反思与感悟证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构情势的差异.
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
5100°°＝－cos160°＝－2.
反思与感悟解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.
明目标、知重点
跟踪训练1 (1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；解原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12. (2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x). 解原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.

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，对应的的x值是
x ' x cos y sin ' y x sin y cos
例1（自主天地）合作要求
（1）先自主思考3分钟，再集体讨论 3分钟；（2）根据组员思考情况确定出讨论的重点；（3）组长安排好展示人，未展示的同学要及时补充总结。（4）争取达到目标。A.有拓展.B.有总结.C.全部掌握.
已知sinα ，α ，），求sin（ α ），sin（ -α ）（ . 17 2 3 3
要注意将非特殊值向特殊角转化，充分拆角、凑角，
【点评】
同时活用、逆用公式，大角要利用诱导公式化为小角，同时要特别注意题目中角的范围．
四.公式与旋转变换的沟通能力—合作共赢 • 例2.（1）在直角坐标系中，以ox轴为始边的角 α的终边OP交半径为R的圆于P点，则P点的坐标是( )； • （2）已知点P（3,4），把射线OP逆时针旋转45o到OP/的位置，求点P/的坐标； • (3)已知点P（x,y），与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到P/（x/，y/) .求证：
sin
二、公式的推导
sin sin cos cos sin
用代
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
2、化简： sin cos cos sin . 3、把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 2 sin cos
3 1 (2) sin cos 2 2
4、(1)求函数y sin x cos x的值域.
(2)函数y 3sin 2 x 3 3 cos 2 x 1的最小值是对应的x值是；最大值是，？
小结：两角和与差的正弦
• 1.公式的推导及正用逆用； • 2.公式在旋转变换中的应用； • 3.公式在变asinα+bcosα为一个角的三角函数的形式中的应用。
课堂检测
1、求下列各式的值： o o o o （1） sin 5 ；（2） sin 70 cos 25 sin 25 cos 70 . 12
3.1.2两角和差的正弦公式
学习目标
1.知识与技能：掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会
用公式求值与化简；（例1突破） 2.过程与方法：培养学生的观察、分析、沟通、联想及学以致用的能力。即重点是建立公式的应用与旋转变换的沟通（例2突破）；难点是利用公式变asinα+bcosα为一个角的三角函数的形式
内容
例2（1）例2（2）例2（3）
展示组
评价组
1组（B)
2组 (B)
3组(A2)
4组(A1)
5组(A1)
6组(A1)
五.学以致用的公式变用能力—探究舞台
例3.把下列各式化为一个角的正弦型函数形式
3 1 (1) sin cos 2 2
(2)sin cos
(3)a sin x b cos x
a 2 b2 sin x cos cos x sin a 2 b2 sin x a 2 b2 cos x
【点评】形如 f(x)＝asinx＋bcosx 的函数在讨论其性质时一定要化成一个角的三角函数形式，方法是提取 2 2 a ＋b ，增设辅助角，逆用 Sα±β 与 Cα±β 公式，特别注意角的范围对三角函数值的影响．
简记： S( )
S C S C
三.公式识记辨识能力—自主天地
做后你有何感何悟？
例1. (1)求值：sin1650 (2化简：sin(α+β）cosα-cos(α+β）sinα； (3)求值： sin119°sin181°-sin91°sin29°; 15 (4)
展示要求
• （1）展示人规范，快速，总结规律 • （2）展示期间未展示的同学要及时整理总结，不浪费一分钟，力争全部过关。 • （3）小组长注意安排：检查、落实、力争全部达标。
点评要求
（1）分工：先小组内点评；后小组间互评（2）要求： ①指出展示的对与错。 ②如果展示的答案错了，指出错在哪里？纠正的措施是什么？ ③如果展示的答案正确，那么书写是否规范？ ④本题的解题思路、解题规律，解题方法和易错点是什么? ⑤其他同学积极倾听、积极思考、重点内容记好笔记（有不明白的或有补充的人要大胆提出，勇于质疑，力争达标，不会点评的要勇于让出给其他组或老师。）
两角和与差的正弦公式
1、两角和的正弦公式
（1）公式有何特点？如何记忆？ (2)公式有何用处？
sin( ) sin cos cos sin
简记： S( )
2、两角差的正弦公式
S C S C
sin( ) sin cos cos 价值：发展学生的正向，逆向思维和发散思维能力，构建良好地数学思维品质。
一、复习：
cos（ + ） =cos cos – sin sin cos ( – ） =cos cos + sinsin
sin( ) ?
sin( ) ?
化 a sin x b cos x 为一个角的三角函数形式
a sin x b cos x
a b a b sin x cos x 2 2 a 2 b2 a b a cos a 2 b2 令 b sin a 2 b2
2 2

cos 2 cos cos sin sin 2 2
sin cos cos sin
cos 2