3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。

3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。

类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。

上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。

)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

asin 日 + bcosT = J a 1 2+b 2sin ®a= cos —b ■. a 2b 2a 2b 2二，a 2b 2sin v其中 cos 9 =a, Ja 2+b 2sinMa 2+b 2或 asin r bcos 二a 2b 2cos 丁 -:，其中 cos =sin =(2)求证:叱 2cos 「「也；sin ：sin :3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第1课时)30 **学习目标**1 •能用诱导公式推导两角和与差的正弦公式； 2.进一步熟悉化角技巧，初步掌握合一变换；3 •能对公式正用、逆用、活用，解决化简、求值、证明题的同时初步掌握有关三角函数性 质的题的解法. **要点精讲**1 .两角差的正弦公式： sin 「- - - sin cos '-cos 〉sin ； 2.两角和的余弦公式：sin ： ： = sin ： cos^ cos ：3 .对于a sin v - bcosv 可作如下变换:我们把上述变换称为合一变换，它实质上是两角和与差的正余公式的逆用. **范例分析**例 1.求值：(1) sin 75： ； ( 2) sin x 60〃 2sin x -60〃 -、：3cos 120 -x2b 2例3. (1)化简：、、2cosx -sin x(2)求函数f(x) =sin(x ) - sin x的周期、值域、单调区间。

3例4. (1)在L ABC中，已知2cosBcosC =1 -cosA，2sin BcosC = 1 sin B - C ，试判断此三角形的形状.(2)在ABC 中，如果4sin A 2cosB =1, 4cos A 2sin B =3、3，则.C 等于( )A. 30B. 150C. 30 或150D. 60；或120；**规律总结**1.在例2中，观察角之间的联系：2 - -- - ，2〉「=(二' ■■-■) ^:^.将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，这种代换方法称之为角的变换.2.变角”、变函数名”、变结构”是三角变换的三个主要方向，合一变换是一种结构变换.其中「角可以是特殊角，也可以不是特殊角。

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第一课时）一、教学目标1．知识与技能：(1).理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用。

(2).能够利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的求值、化简和证明。

2．过程与方法：(1).在换元的思想指导下推导出公式()C αβ+；(2).根据()C αβ+、()C αβ-及诱导公式五（或六），推导出公式()S αβ±；(3).根据公式()C αβ±、()S αβ±和同角三角关系，探究公式()T αβ±；(4).熟练掌握公式()C αβ±、()S αβ±、()T αβ±的正用、逆用、变形用。

3．情态与价值（1）能运用联系的观点解决问题。

（2）认识事物之间的相互联系与相互转化。

（3）通过探究两角和与差的三角公式，培养逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识，提高数学素质教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.学法与教学用具(1)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程.(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑.教学过程设计：（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）cos sin =α？（二）新课讲授问题1：由两角差的余弦公式，怎样得到两角和的余弦公式呢？()[]()()βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin cos cos cos )cos(-=-+-=--=+即：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （()C αβ+）问题2：请大家再思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．即：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ （()S αβ+）()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦即：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-） 探究2、请同学们观察认识两角和与差正弦公式的特征，思考两角和与差的正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． （()cos 0αβ+≠） 通过什么方法可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，（cos cos 0αβ≠）得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- （()T αβ+） 我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 即：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ （()T αβ-） 温馨提示：公式()T αβ±在,,222k k k πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+（()T αβ+需满足），()()2k T k z αβπαβπ--≠+∈需满足，时成立，否则不成立。