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人教A版高中数学必修两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件

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数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(24张)

数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(24张)

a sin x b cos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
cos sin
a2 b2 b
a2 b2
b
cos x
a2 b2
a2 b2 sin x cos cos x sin
2
2
sin cos - cos sin
两角和与差的正弦公式
sin sin cos cos sin
简记：S( )
sin( ) ? 用 代
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
复习
cos ( – ） =cos cos + sinsin cos( ) ? cos cos – sin sin
sin( ) ?
sin( ) ?
二、公式的推导
sin
cos
2
sin( ) ? 用 代
cos
2
cos cos sin sin
tan 1 1 tan
4
3 1
4 1 (
3)
7
4
例3：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1)sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。;
(2) cos 20。cos 70。 sin 20。sin 70。;
1 tan15。 (3) 1- tan15。.
解：（1)由公式得：
sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。
3
2
∵ tan(17
28
)
tan17 tan 28 1 tan17 tan 28

数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
tan 4 sin 4 ( 120) 169 120 . cos 4 169 119 119
练习：课本135页 5(1)(3)
例2 (1) sin15cos15
44 . 117
2
练习：课本223页 3
解：∵sin 2 sin ,sin 2 sin 0,
即：2sin cos sin 0,
∵ ( , ),sin 0,2 cos 1 0,
2
cos 1 , 2 ,
2
3
tan tan 2 3
3
练习：课本223页 4
解：∵tan 2
tan 22.5 （3）1 tan2 22.5 ；
（2）cos2 π sin2 π ；
8
8
（4）2cos2 22.5°－1．
(1).原式=
1 2
sin30°=
1 4
(3).原式=
1 2
tan45°=
1 2
(2).原式=cos
π 4
=
2
2
(4).原式= cos45°=
2
2
3. 2 sin2 2 cos 4的值是( )
变形公式
升幂公式：1＋cos 2 1 cos 2
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cco2o2ss22
例1. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求 cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .

人教A版高中数学 必修4 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教学课件

人教A版高中数学 必修4 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教学课件

tan
45
15
tan 30 3 3
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
3 tan15
例3:利用和角公式计算 3
的值
3 tan15
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
两角和的正切公式 Ｔ（α+ β）
tan(α β) sin(α β)
(这里有什么要求？）
cos(α β)
sin α cos β cos α sin β 提问：能否化简？
cos α cos β sin α sin β
S( ) , T() , T( ) .
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
新课导入
知识与能力
能利用两角差的余弦公式推导出两 角和与差的正弦、余弦公式、正切公式。
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
两角和与差的余弦函数
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
两角和的正弦公式 Ｓ（α+β）
cos sin 2
sin
cos
1- sin2α =
1
-
-
5 13

5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着 点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，
P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP
与 A1P1 重合，从而 AP A1P1，所以
AP= A1P1.
根据两点间的距离公式，得
cos 12 sin2 cos cos 2 sin sin 2
化简得 cos cos cos sin sin
A. 2 2
B. 3 2
C. 1 2
D. 2 2
3
2. cos 40 cos 70 cos 20 cos 50 ___2____
分析：原式= cos 40 cos 70 sin 70 sin 40 cos(70 40 ) cos 30
例1、利用公式 C ( ) 证明：
(1) cos( ) sin
视察诱导公式，可以发现它们都是特殊角
与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意 角α的三角函数的恒等关系.如果把特殊角换为 任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三 角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？下
面来研究这个问题.
思考：
你认为 cos( ) cos cos 成立吗？
一般不成立.
72 10
cos
4
cos
4
cos
sin
4
sin
24 25
2 2
3 5
72 10
tan
4
tan tan
4
1 tan tan
tan 1 1 tan
4
3 1
4 7
1
3 4
那如何用角 , 的正弦、余弦来表示
cos( ) 呢？
下面，我们来探究cos(α-β)与角α，β的正弦、余弦之间 的关系. 不妨令α≠2kπ+β, k∈Z.

数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(40张)

数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(40张)
__α_，__β_为__任__意__角_____.
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α＋β)＝ _s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β___
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．理解两角和与差的正、余弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导 S(α－β) 中的作用．
2．掌握并能运用两角和与差的正、余弦公式化简或求值．
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝__c_o_s_α_c_o_s_β__－__si_n__α_si_n__β__，简记为_C__(α_＋_β_) _，使用的条件为
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．求值：(1)sin(－15°)；
(2)化简scions
7°＋cos 7°－sin
15°sin 15°sin
8° 8°.
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析： (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝－sin 30°＝－12. 答案： A
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
3．sin 75°＝ ． 解析： sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin30°＝ 22·23＋ 22·12

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件——高中数学人教A版必修第一册

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件——高中数学人教A版必修第一册
1 tan15
分析：解此类题第一要学会视察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和 与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
解：
（1）sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 sin 72 42
sin 30 1 ； 2
（2） cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 cos 20 70 cos90 0 ；
cos 12 sin2 cos cos 2 sin sin 2
化简得
cos cos cos sinsin
2k ， k Z ，上述公式还成立
对于任意角, ，有
cos cos cos sin sin
我们把此公式称为差角的余弦公式.简记为C .
则 sin BOx 1 ， cos BOx 3 ，sin AOx 3 ，cos AOx 2 ，
10
10
13
13
故 cos AOB cos(AOx BOx) cos AOx cos BOx sin AOxsin BOx
3213 9 ， 10 13 10 13 130
故
cos
2AOB
2
证明：
（1）
cos(
2
)
cos
2
cos
sin
2
sin
0cos 1sin sin .
（2） cos( ) cos cos sin sin
(1)cos 0sin cos .
例2
已知
sin
4 5
，
2
,
，
cos
5 ，
13
是第三象限角，求 cos 的
值.
解：由 sin
4 5
sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2sin cos ；

5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式(课件)


辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公
式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响。
辅助角公式的步骤:
第一步：提常数，提出 a2＋b2，
得到aΒιβλιοθήκη ＋b2 a a2＋b2sin
x＋
第二步：定角度，确定一个角 φ
a满2b＋足bc2ocsosφ＝x；a2a＋b2，sin
φ＝
a2b＋b2，
得到 a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x)；
1 复习回顾
两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
那么，两角差的其它三角函数有类似公式吗？ 两角和有三角函数公式吗？
2 两角和的余弦公式 cos( ) ?
两角和的余弦公式
C 简记： （）
3 两角和的正弦公式 sin(α+β)= ?
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
课堂小结
二、本节课提升的核心素养
数据分析 逻辑推理 数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归 类比思想 逆向思维
解： 原式 sin(14 74 ) sin(60 ) 3 .
2
化简求值：sin1π2－ 3cos1π2
【解析】法一
原式＝212sin1π2－
3π 2 cos12
＝2sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二 原式＝212sin1π2－ 23cos1π2 ＝2cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2 ＝－2sinπ3－1π2 ＝－2sinπ4＝－ 2.
于是有sin(
)

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第二课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

＝sin（72°－42°）＝sin 30°＝ 1 ； 2
（2）由公式C（α＋β），得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70° ＝cos（20°＋70°）＝cos 90°＝0；
新知探究
立德树人 和谐发展
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（3） sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；
如果α是第四象限角，则所求的三个三角函数值依次是
72 10
，7 2 10
，7．
头脑风暴
立德树人 和谐发展
思考：由以上解答可以看到，在本题的条件下有sin( ) cos( ),
4
4
那么对于任意角，此等式都成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
解：方法一、sin( ) cos[ ( )] cos( )
解：（3）方法一：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝cos24°cos 36°－sin 36°sin 24°，
由公式C（α＋β），原式＝cos（36°＋24°）＝cos60°＝
1 2
．
方法二：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，
所以 sin
+π
π
π
=sinθcos +cosθsin
4
4
4
= 2× 2 2 + 1 =4+ 2,
2
3
3
6
sin - π =sinθcosπ-cosθsinπ
6
66Leabharlann =2 2× 3-1×1=2 . 6-1
3
23 2 6

【课件】两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册


(5)∵(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°
=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24°
=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24°
4
变式训练1
sin50°-sin20°cos30°
求
的值.
cos20°
解
sin(20°+30°)-sin20°cos30°
原式=
cos20°
sin20°cos30°+cos20°sin30°-sin20°cos30°
=
cos20°
cos20°sin30°
=
=sin
cos20°
1
30°= .
2
探究点二 利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题
角和与差的正弦吗？
π


π

sin(α＋β)＝cos 2－α＋β ＝cos 2－α－β 利用两角差的余弦公式展开





即可，或者
π




sin(α＋β)＝－cos2＋α＋β利用两角和的余弦展开即可.



对于 sin(α－β)我们可利用已知的三种表示方法得到 sin(α－β)＝sin[α＋
也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,
是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=

高中数学人教A版 必修第一册 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件


tan(4530)=
tan45o - tan30o 1+ tan45o tan30o
1
3 3 3
3 12 6
3 2
3
1 3 3 3
6
3
1
tan75= tan(45+30)=
1
3 3 3 3 3
3 12 6
3
6
3
3
=2+ 3
复习练习
2、化简： (1)tan(α+β)(1- tanαtanβ) (2) tan(α-β)+ tanβ 1- tan(α-β)tanβ
解：1原式=
tan 45 tan 75 1 tan 45 tan75
tan(45 75 ) tan120
3
2
∵ tan(17
28
)
tan17 tan 28 1 tan17 tan 28
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28)
=1 tan17tan28
∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
答案: (1)tanα+ tanβ (2)tanα
3、求值： (1) tan71o - tan26o 1+ tan71otan26o
(2)1- 3tan75o 3 + tan75o
答案: (1) 1
(2) -1
典型例题
(1) 1 tan 75 1 tan75
求下列各式的值：
(2) tan17+tan28+tan17tan28
( T(+) ) 正切： 符号上同
( T(-) ) 下不同
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知识回顾
复习引入：
上一节学过的公式 C( )（1）它的结
构特点是什么？（2）它的正用逆用；（3） 这里、可以是怎样的角？
新课导入
在数学解题过程中，换元的思 想广泛应用，在公式的推导过程中， 有时候也应用到这种思想。
问题：由公式 C( ) 出发，你能推导出 两角和与差的其它公式 C() , S() ,
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 第 三 章 3 .1.2 两角和 与差的 正弦、 余弦、 正切公 式 教 学 课件( 共35张 PPT)
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两角和的正切公式 Ｔ（α+ β）
S( ) , T() , T( ) .
新课导入
知识与能力
能利用两角差的余弦公式推导出两 角和与差的正弦、余弦公式、正切公式。
过程与方法
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角 和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变 换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用。
情感态度与价值观
通过公式的推导，了解它们内在的联 系．进一步培养学生的逻辑推理能力。
=
- 5 -1 12
1
+
-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 12
1
=
- 17 7
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 第 三 章 3 .1.2 两角和 与差的 正弦、 余弦、 正切公 式 教 学 课件( 共35张 PPT)
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两角差的正弦公式 Ｓ（α- β）
S : sin sin cos cossin
用 代替得到
sin sin cos() cossin()
S : sin sin cos cos sin
两角差的正切公式 Ｔ（α- β）
tan( ) tan tan 1 tan tan
公式成立的条件是： α β kπ π，
α kπ π , 2
β kπ π 2 2
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两角和的正弦公式 Ｓ（α+β）
cos sin 2
sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cossin
S : sin sin cos cossin
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tan(α β) sin(α β)
(这里有什么要求？）
cos(α β)
sin α cos β cos α sin β 提问：能否化简？
cos α cos β sin α sin β
sin α cos β cos α sin β
cos α cos cos α cos
β β
cos α cos β sin α sin β
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两角和与差的余弦函数
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教学重难点
重点
两角和、差正弦和正切公式的推 导过程及运用；
难点
两角和与差正弦、余弦和正切公 式的灵活运用。
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 第 三 章 3 .1.2 两角和 与差的 正弦、 余弦、 正切公 式 教 学 课件( 共35张 PPT)
两角差的余弦公式 C（α-β）
cos（ – ）=cos cos +sin sin 在上式中，若将β替换成-β，则可得:
是第四象限角，得
cosα =
1- sin2α =
1
-
-
5 13
2
=
12 13
tanα
=
sinα cosα
=
-5 13 12
=
-5 12
13
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 第 三 章 3 .1.2 两角和 与差的 正弦、 余弦、 正切公 式 教 学 课件( 共35张 PPT)
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人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 第 三 章 3 .1.2 两角和 与差的 正弦、 余弦、 正切公 式 教 学 课件( 共35张 PPT)
例1：已知 sinα = - 5 ,α 是第四象限角，求
13
sin
π 4
-
α
,cos
π 4
+
α
,
tan
α
-
π 4
的值.
解：因为
sinα = - 5 ,α 13
cos（-（-））=coscos（-）+sinsin（-）
即：
两角和的余弦公式 C（α+ β）
cos（+）=coscos–sinsin
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 第 三 章 3 .1.2 两角和 与差的 正弦、 余弦、 正切公 式 教 学 课件( 共35张 PPT)
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 第 三 章 3 .1.2 两角和 与差的 正弦、 余弦、 正切公 式 教 学 课件( 共35张 PPT)
于是有
sin
π 4
-
α
=
sin
π 4
cosα
-
cos
π 4
sinα
=
2 12 2 13
2 2
-5 13
=
17 2 26
cos
π 4
+
α
=
cos
π 4
cosα
-
sin
π 4
sinα
=
2 12 2 13
2 2
-5 13
=
17 2 26
tan
α
-
π 4
=
tanα - tan π 4
1 + tanαtan π 4
(又有什么要求？）
cos α cos β cos α cos β
tan α tan β
1 tan α tan β
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 第 三 章 3 .1.2 两角和 与差的 正弦、 余弦、 正切公 式 教 学 课件( 共35张 PPT)
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 第 三 章 3 .1.2 两角和 与差的 正弦、 余弦、 正切公 式 教 学 课件( 共35张 PPT)