苏教版选修2-3高中数学离散型随机变量的方差和标准差教案

教案：离散型随机变量的方差教学目标：1. 理解离散型随机变量的概念；2. 掌握方差的定义和计算方法；3. 能够运用方差分析数据的不均匀程度。

教学内容：一、离散型随机变量的概念1. 引入随机变量的概念，引导学生理解随机变量是随机现象的结果；2. 讲解离散型随机变量的定义，强调其取值有限且可数的特点；3. 通过实例让学生了解离散型随机变量的具体应用。

二、方差的定义1. 引入方差的概念，引导学生理解方差是衡量数据分散程度的指标；2. 讲解方差的计算公式，强调方差等于各个数据与平均数差的平方的平均数；3. 通过实例让学生了解方差的计算过程。

三、方差的计算方法1. 讲解如何计算离散型随机变量的方差，强调先求平均数，再求各个数据与平均数差的平方的平均数；2. 通过实例让学生掌握方差的计算步骤；3. 引导学生运用数学软件或工具进行方差的计算。

四、方差的应用1. 讲解方差在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、自然科学等领域；2. 通过实例让学生了解如何运用方差分析数据的不均匀程度，如判断数据的分布情况、比较不同数据的离散程度等；3. 引导学生运用方差进行数据分析，培养学生的实际应用能力。

五、总结与练习1. 总结本节课的主要内容，让学生掌握离散型随机变量的概念、方差的定义和计算方法及其应用；2. 布置练习题，让学生巩固所学内容，提高解题能力。

教学资源：1. 离散型随机变量的定义和方差的计算方法的相关教材或教辅；2. 数学软件或工具，如Excel、MATLAB等；3. 实例数据，如统计数据、经济数据等。

教学评价：1. 学生能正确理解离散型随机变量的概念；2. 学生能熟练运用方差的计算方法计算离散型随机变量的方差；3. 学生能运用方差分析数据的不均匀程度，解决问题。

教案：离散型随机变量的方差（续）教学内容：六、方差的性质1. 讲解方差的性质，包括对称性、非负性、不变性和可加性等；2. 通过实例让学生了解方差的性质在实际应用中的作用；3. 引导学生运用方差的性质进行数据分析。

2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的概率分布如下：思考1 试求E(X)，E(Y)．思考2 能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差和标准差设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布表如下：i 12＋…＋p n ＝1.变形公式：V (X )＝∑i ＝1nx 2i p i －μ2.②标准差：σ＝________.③意义：方差刻画了随机变量X 与其均值μ的________程度． (2)方差的性质：V (aX ＋b )＝________.知识点二 两点分布、超几何分布与二项分布的方差 1．两点分布：若X ～0－1分布，则V (X )＝________________________________________________________________________. 2．超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).3．二项分布：若X ～B (n ，p )，则V (X )＝__________.类型一 求随机变量的方差例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．反思与感悟求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的概率分布．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求V(X)．跟踪训练1 甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差．类型二两点分布与二项分布的方差例2 某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p (1－p )；若其服从二项分布，则其方差为np (1－p )(其中p 为成功概率)． 跟踪训练2 (1)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，V (X )＝20，则p ＝________.(2)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，则V (3ξ)＝________.1．已知随机变量X 的概率分布为则下列式子：①E (X )＝－13；②V (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确式子的序号为________．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则V (ξ)＝________. 3．已知离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，若E (X )＝0，V (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.4.已知随机变量X ～B (100,0.2)，那么V (4X ＋3)的值为________．5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和V (ξ)．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差V(X)或标准差V(X)越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差V(X)或标准差V(X)越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的概率分布；(4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X)．答案精析问题导学 知识点一思考1 E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝710， E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 不能，因为E (X )＝E (Y )． 思考3 方差．梳理 (1)①(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n ②V (X ) ③平均偏离 (2)a 2V (X ) 知识点二1．p (1－p ) 3.np (1－p ) 题型探究例1 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的概率分布为由定义知，E (X )＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，V (X )＝15×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.跟踪训练1 解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B . 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2， 则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，∴P (A ＋B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2) ＝P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92， ∴0.6＋P 2－0.6P 2＝0.92， 则0.4P 2＝0.32，即P 2＝0.8. (2)P (X ＝0)＝P (A )·P (B ) ＝0.4×0.2＝0.08，P (X ＝1)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44. ∴X 的概率分布为E (X )＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝0.44＋0.96＝1.4，V (X )＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4. 例2 解 (1)用ξ表示抽得的正品数， 则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P (ξ＝0)＝0.02，P (ξ＝1)＝0.98，所以V (ξ)＝p (1－p )＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6. (2)用X 表示抽得的正品数， 则X ～B (10,0.98)，所以V (X )＝10×0.98×0.02＝0.196， 标准差为V (X )≈0.44. 跟踪训练2 (1)13(2)10解析 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.(2)由题意知，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， 则V (ξ)＝5×13×23＝109，所以V (3ξ)＝9V (ξ)＝9×109＝10.当堂训练1．①③ 2.158 3.512 144.2565．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.V (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.。

2.3.2 离散型随机变量的方差整体设计教材分析本课仍是一节概念新授课，方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念，是反映随机变量取值分布的特征数．离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题．从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力．课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．过程与方法了解方差公式“D(aX＋b)＝a2D(X)”，以及“若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差．情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的方差、标准差．教学难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题．教学过程复习旧知1．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为ξ的数学期望．2．数学期望的一个性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b.3．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np.教师指出：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．探究新知已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的分布列如下：ξ18 9 10P 0.2 0.6 0.2ξ28 9 10P 0.4 0.2 0.4试比较两名射手的射击水平高低．提出问题：下面的分析你赞成吗？为什么？∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．设计意图：展示错解，引出课题活动结果：不对，显然两名选手的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．教师指出：初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差．在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，S 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]叫做这组数据的方差．类似于这个概念，我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)1．方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是x 1，x 2，…，x i ，…x n ，且取这些值的概率分别是p 1，p 2，…，p i ，…p n ，那么，D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2·p n 称为随机变量X 的方差，式中的E (X )是随机变量X 的均值．标准差：D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，记作σ(X )．理解新知(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；(2)随机变量X 的方差、标准差也是随机变量X 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 对“探究”的再思考：(1)如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ (2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 解：∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9， Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9， ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．又∵Dξ1＝0.4，Dξ2＝0.8，∴甲射击水平更稳定．若对手在8环左右，派甲参赛，易赢．若对手在9环左右，则派乙参赛，可能超常发挥． 提出问题：前面我们知道若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差为s 2，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n )的方差为a 2s 2.离散型随机变量X 的方差是否也有类似性质？ 活动结果：同样具有．2．方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X )； 其他：D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2(了解)； 3．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．运用新知例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 P161616161616从而E (X )＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5；D (X )＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16≈2.92，D (X )≈1.71.例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X 1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P 10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X 2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P 20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位． 变练演编设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.ξ －1 0 1 P121－2qq 2剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出Eξ、Dξ.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2p ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－22. 于是，ξ的分布列为ξ －1 0 1 P122－132－ 2 所以Eξ＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，Dξ＝[－1－(1－2)]2×12＋(1－2)2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.教师点评：解答本题时，应防止机械地套用均值和方差的计算公式，出现以下误解：Eξ＝(－1)×12＋0×(1－2q )＋1×q 2＝q 2－12.另外既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，发展逆向思维．变式：若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝35，P (ξ＝x 2)＝25，且x 1<x 2，又知Eξ＝75，Dξ＝625，求ξ的分布列．解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有 Eξ＝35x 1＋25x 2＝75，Dξ＝35x 21＋25x 22－Eξ2＝625， 从而得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 1＋2x 2＝7，3x 21＋2x 22＝11.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，或⎩⎨⎧x 1＝95，x 2＝45.而x 1<x 2，∴x 1＝1，x 2＝2.∴ξ的分布列为：ξ 1 2 P3525达标检测1．设随机变量ξ的分布列为ξ12…nP1n1n…1n求Dξ.解：Eξ＝n ＋12，Dξ＝n 2－112.2．有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ.分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ～B (200,1%)，从而可用公式：Eξ＝np ，Dξ＝npq (这里q ＝1－p )直接进行计算．解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ～B (200,1%)．因为Eξ＝np ，Dξ＝npq ，这里n ＝200，p ＝1%，q ＝99%，所以，E ξ＝200×1%＝2，Dξ＝200×1%×99%＝1.98.课堂小结1．求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由均值的定义求出Eξ； ④根据方差、标准差的定义求出Dξ、D ξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．2．对于两个随机变量ξ1和ξ2，在Eξ1和Eξ2相等或很接近时，比较Dξ1和Dξ2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合问题的需要．补充练习基础练习1．已知ξ～B (n ，p )，且Eξ＝7，Dξ＝6，则p 等于( ) A.17 B.16 C .15 D.14 【解析】Eξ＝np ＝7，Dξ＝np (1－p )＝6，所以p ＝17.【答案】A2．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于( )A ．0.2B ．0.8C ．0.196D ．0.804 【解析】D ξ＝10×0.02×0.98＝0.196. 【答案】C3．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好．【解析】Eξ1＝Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样．Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定．∴乙机质量好． 【答案】乙4．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案．每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分．学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的均值和标准差．解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B (50,0.8)，η＝2ξ，故成绩的均值为Eη＝E (2ξ)＝2Eξ＝2×50×0.8＝80；成绩的标准差为Dη＝D (2ξ)＝4Dξ＝250×0.8×0.2＝42≈5.7. 拓展练习若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差Dξ的最大值； (2)求2Dξ－1E ξ的最大值．剖析：要求Dξ、2Dξ－1E ξ的最大值，需求Dξ、Eξ关于p 的函数式，故需先求ξ的分布列．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而Eξ＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，Dξ＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2. (1)Dξ＝p －p 2＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，Dξ取得最大值为14.(2)2D ξ－1E ξ＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p)，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时，2D ξ－1E ξ取得最大值2－2 2.评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视．设计说明本节课从新课标评价理念出发，以问题作为教学的主线，教师适时点拨为辅助手段，使学生在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法．教学中以课堂作为教学的辐射源，通过教师、学生、多媒体多点辐射，带动和提高所有学生的学习积极性与主动性．。

2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)课时目标1.进一步理解方差的概念，解决一些应用题.2.掌握几种特殊随机变量的方差．1．特殊随机变量的方差(1)若随机变量X ～0－1分布，则V (X )＝________.(2)若随机变量X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).(3)当X ～B (n ，p )时，V (X )＝________.2．若X 是任意一个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，其中a 、b 为常数， 则Y 也是随机变量，且E (Y )＝________，V (Y )＝________.一、填空题1．若X ～B (n ，p )，E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则P (X ＝1)＝________.(用式子表示)2．某射手每次射击命中目标的概率为35，若现在连续射击3次，则击中次数X 的方差为________．3．某射手击中目标的概率为p ，则他射击一次击中目标的次数X 的期望是________，标准差是________．4．已知随机变量ξ的方差V (ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则V (η)＝________.5．甲、乙两人同时解一道数学题，每人解出此题的概率均为0.3.设X 表示解出此题的人数，则E (X )＝________，V (X )＝________.6．假定300名同学中有20名女同学，从中抽取了3人进行体检，抽到女同学的个数为X ，则V (X )大约为________．7．已知ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝8，D (ξ)＝1.6，则n 与p 的值分别为________．8．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．二、解答题9．同寝室的四位同学分别写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X ，求：(1)随机变量X 的概率分布表；(2)X的数学期望和方差．10．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时的误差分别为X，Y(单位：s)，其概率分布表如下表，试比较两种品牌手表的质量．X －10 1P 0.10.80.1Y －2－101 2P 0.10.20.40.20.1能力提升11．已知离散型随机变量X的概率分布如下表：X －101 2P a b c 1 12若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝______，b＝________.12．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1 200 1 400 1 600 1 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1 000 1 400 1 8002 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1 根据工资待遇差异情况，你愿意选择哪家单位？1．对特殊随机变量的方差，可直接利用公式计算． 2．可以利用期望和方差对一些实际问题作出判断．2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)答案知识梳理1．(1)p (1－p ) (3)np (1－p ) 2．aE (X )＋b a 2Y (X ) 作业设计1．C 16×0.4×0.65解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，∴n ＝6，p ＝0.4.∴P (X ＝1)＝C 16×0.4×0.65. 2.1825解析 X ～(3，35)，∴V (X )＝3×35×25＝1825.3．p p (1－p ) 4．165．0.6 0.42 6．0.123解析 X ～H (3,20,300)，则V (X )＝3×20×280×19790 000×299≈0.123.7．10,0.8解析 因为ξ～B (n ，p )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝np ＝8，V (ξ)＝np (1－p )＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.8.8.125 解析 V (X )＝100p (1－p )＝100[p (1－p )]2≤100×⎣⎡⎦⎤p ＋(1－p )22＝25，故标准差V (X )≤5，当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时，等号成立．9．解 (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,4，则P (X ＝4)＝1A 44＝124；P (X ＝2)＝624；P (X ＝1)＝824；P (X ＝0)＝924.因此X 的概率分布表为X 0 1 2 4 P924824624124(2)E (X )＝0×924＋1×824＋2×624＋4×124＝1，V (X )＝(0－1)2×924＋(1－1)2×824＋(2－1)2×624＋(4－1)2×124＝1.10．解 E (X )＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0(s)；E (Y )＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0(s)， 所以E (X )＝E (Y )，所以由期望值难以判断质量的好坏．又因为V (X )＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2(s 2)V (Y )＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2(s 2)，所以V (X )<V (Y )，可见乙的波动性大，甲的稳定性强，故甲质量高于乙． 11.512 14解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0a ＋c ＋13＝1，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.12．解 根据月工资的概率分布列，利用计算器可算得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，V (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，V (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000，因为E (X 1)＝E (X 2)，V (X 1)<V (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．。

2.5.2离散型随机变量的方差与标准差 教学案班级 学号 姓名学习目标1. 会求离散型随机变量的方差和标准差；2. 理解离散型随机变量的方差与标准差的意义；3. 掌握0-1分布、超几何分布、二项分布的方差和标准差的计算方法．重点难点重点：0-1分布、超几何分布、二项分布的方差和标准差的计算 难点：理解离散型随机变量的方差与标准差的意义课堂学习 问题情境（一）：甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用1X ，2X 表示，1X ，X 的概率分布如表所示．思考学生活动（一）：计算：()1E X = ；()2E X = ．意义建构（一）：当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢?数学理论（一）：一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如表所示，则()2ix μ-()()E X μ=描述了()1,2,,ix i n =相对于均值μ的偏离程度，故()()()2221122n n x p x p x p μμμ-+-++-（其中0i p ≥，1,2,,i n =，121n p p p +++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差．记为()V X 或2σ．即()()()()22221122n n V X x p x p x p σμμμ==-+-++-其中0i p ≥，1,2,,i n =，121n p p p +++=方差也可用公式()221nii i V X xp μ==-∑计算．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差．X 的方差()V X 的算术平方根称为X 的标准差．即σ=思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系?随机变量的方差和标准差都反映了随机变垦的取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小．随机变量偏离于均值的平均程度就越小．数学运用（一）： 例1.例2. 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望、方差和标准差．例3. 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望、方差和标准差．随堂反馈1. 设随机变量,X Y 的关系为32Y X =+，则()E X 与()E Y 的关系是 ，()V X 与()V Y 的关系是 ；2. 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如右表，则()E X = ；()V X = ；课后复习1. 已知随机变量X 的分布列如右图，则()V X = ；2. 如果随机变量()~100,0.2X B ，那么()43V X += ；3. 已知随机变量X 的分布列如右图，且() 1.1E X =，则()V X = ；4. 已知()~,X B n p ，且()7E X =，()6V X =，则p = ；5. 已知随机变量X 的分布列如右图，则m = ；()E X = ；()V X = ；()127V X += ；6. 一只口袋中装有20只白球，10只黑球，从中一次摸出5只球，其中黑球的个数X 的方差是 ；7. 甲、乙两种水稻在相同条件下各种100亩，结果如下：甲8.X 的标准差．9. 假定1500件产品中有100件不合格品，从中抽取15件进行检查，求15件中不合格品件数X 的标准差．10. 袋中装有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个求，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求：（1）取球次数ξ的概率分布；（取球次数ξ的数学期望及方差）．乙11. 某人有10把不同的钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，钥匙的每次取法是相互独立的，如果每次试开后的钥匙不再放回，求把门打开的试开次数的数学期望和方差．12. 某运动员投篮命中率0.6p =．（1） 求投篮一次时命中次数ξ的均值与方差； （2） 求重复5次投篮时，命中次数ξ的均值与方差．第二章 概率 2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差（1）编写人： 编号：009学习目标（1）理解随机变量的方差和标准差的含义；（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题． 学习过程： 一、预习：（一）问题：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．如何比较甲、乙两个工人的技术？ 我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？ （二）总结归纳：1．则2()(())i x E X μμ-=描述了(1,2,...,)i x i n =相对于均值μ的偏离程度，故2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()V X 或2σ． 2．方差公式也可用公式221()nii i V X xp μ==-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()V X 的算术平方根称为X的标准差，即σ=思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？ 练习：解答（一）中的问题。

2．5。

2离散型随机变量的方差和标准差错误!A,B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70。

20.060.04 B机床次品数X20123P 0。

80.060。

040.1问题1：试求E（X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0。

7＋1×0.2＋2×0。

06＋3×0.04＝0.44。

E（X2)＝0×0.8＋1×0。

06＋2×0。

04＋3×0。

10＝0。

44.问题2：由E（X1）和E（X2）的值说明了什么？提示：E(X1)＝E(X2）．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量?提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差和标准差（1)离散型随机变量的方差①定义:设离散型随机变量X的均值为μ, 其概率分布为X x1x2…x nP p1p2…p n则(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(x n－μ）2p n(其中p i≥0,i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1）称为离散型随机变量X的方差，也称为X 的概率分布的方差，记为V(X)或σ2。

②变形公式：V（X）＝错误!错误!p i－μ2.③意义:方差刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度．（2）离散型随机变量的标准差X的方差V（X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝错误!.2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1)若X~0－1分布,则V(X）＝p(1－p）；(2)若X ~H (n ,M ，N )，则V （X ）＝错误!；(3)若X ～B （n ，p ），则V (X )＝np (1－p ）．1．随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．V （X ）越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．错误!方差和标准差的计算[例1] X 01 x P错误! 错误! p若E (X ）＝23,求V （X ）． ［思路点拨］ 解答本题可先根据错误!i ＝1求出p 值，然后借助E（X）＝错误!,求出x的取值，最后代入公式求方差．[精解详析] 由错误!＋错误!＋p＝1，得p＝错误!.又E(X）＝0×错误!＋1×错误!＋错误!x＝错误!，∴x＝2。

2.5.2离散型随机变量的方差和标准差（一）学习目标1．理解随机变量的方差和标准差的含义；2．会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题． 学习过程 一、自学导航 1．复习：⑴离散型随机变量的数学期望X 1x 2x … n xP1p2p…n p()E X ，数学期望是反映离散型随机变量的 ． ⑵特殊的分布的数学期望若X ~0-1分布 则E (X ) ＝ ；若X ~B (n ,p ) 则E (X )＝ ；若X ~H (n ,M ,N ) 则E (X )＝ ． 2．思考：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．如何比较甲、乙两个工人的技术？1X 0 1 2 3 k p0.6 0.2 0.1 0.1 2X123二、探究新知1．离散型随机变量X 的方差及表示2．方差的意义:3．方差公式4．随机变量X 的标准差思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？三、例题精讲例1 若随机变量X 的分布如表所示：求方差()V X ．例2 求第2.5.1节例1中超几何分布(5,10,30)H 的方差和标准差．B的方差和标准差．例3 求第2.5.1节例2中的二项分布(10,0.05)例4 有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：试分析两名学生的答题成绩水平．四、课堂精练P 1,2⑴课本70⑵设X～B( n, p )，如果E（X）= 12，V（X）= 4，求n, p⑶设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：求q值，并求E（X），V（X）.⑷甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量大致相等，而两个野生动物保护区每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布如表，试评定这两个保护区的管理水平.(甲) (乙) 五、回顾小结六、拓展延伸书本P71 探究拓展题七、课后作业 71P 2，3，4教学反思在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

高中数学课程12.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题 【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解 一、 课前预习1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差.离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________ 2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________. 3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D 4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D 二、课上学习高中数学课程2例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲： 射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为另一随机变量32-=X Y ，求).(),(Y D X D 三、课后练习1.如果随机变量X 服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为：甲保护区： 乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.。