2019学年高二数学下学期期末考试试题 文 人教 目标版(1)

2019-2020学年广西省南宁三中重点班高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．108．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣211．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．1012．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为．15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.220．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM 的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得∁B A．解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x+1＞1}＝{x|x＞﹣1}，∁B A＝[3，+∞）．故选：A．2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：z（i﹣2）＝5，则z＝﹣＝﹣＝﹣2﹣i．则在复平面内，＝﹣2+i对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故选：B．3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A．4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点【分析】对f（x）求导，分析f′（x）的正负，进而得f（x）的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f（1），f（3），可得函数f（x）的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．解：f′（x）＝3x2﹣4x，令f′（x）＝3x2﹣4x＞0，解得x＜0或x＞，所以当x∈[﹣1，0），（，3]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，C错误，所以x＝0是它的极大值点，D正确，因为f（0）＝0，f（3）＝27﹣2×9＝9，所以函数f（x）的最大值为9，A正确，因为f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3，f（）＝﹣2×＝﹣，所以函数f（x）的最小值为﹣3，B正确，故选：C．5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）【分析】由y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数，可得故f（x）＝+x 在[，+∞）上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域解：函数f（x）＝+x的定义域为[，+∞）∵y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数故f（x）＝+x在[，+∞）上为增函数∴当x＝时，函数取最小值，无最大值，故函数f（x）＝+x的值域是[，+∞）故选：A．6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用命题的否定的应用，真值表的应用，三角函数关系式的恒等变换，指数函数的性质的应用求出结果．解：①若p∧q为假命题，则命题p和q为一真一假和全部为假，故p，q均为假命题错误；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0；故错误．③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数；当函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数，则a＞1．故③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；正确．④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数则φ＝kπ+（k∈Z），故错误．故选：A．7．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．10【分析】令g（x）＝x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值．解：令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．8．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，构造函数h（x）＝f（x）﹣2x，根据增减性求出导函数，即可求出a的范围．解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，假设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）＞2x1﹣2x2，即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2对于任意x1＞x2＞0成立，令h（x）＝f（x）﹣2x，h（x）在（0，+∞）为增函数，∴h'（x）＝+x﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，+x﹣2≥0，则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．解：设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），则＝6x2﹣3，化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，则x＝0，x＝1．g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则（t+3）（t+1）＜0，解得，﹣3＜t＜﹣1．故选：B．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣2【分析】根据题意，分析可得f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数，据此可得f（100）＝﹣f（），结合函数的解析式分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（）＝f（），则有f（﹣x）＝f（+x），又由f（x）为定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数；则f（100）＝f（﹣+67×）＝f（﹣）＝﹣f（），又由f（）＝f（+）＝f（﹣）＝f（）＝﹣1＝1；故f（100）＝﹣f（）＝﹣1；故选：B．11．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，结合图象容易解答本题．解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．12．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝0．【分析】进行对数的运算即可．解：原式＝3+2×0﹣3×1+3×0＝0．故答案为：0．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为（0，3]．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．解：定义域（0，+∞），＝，易得当0＜x≤3时，f′（x）≤0，函数单调递减，故函数的单调递减区间（0，3]，故答案为：（0，3]15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，由导数值等于0求得a 的值．解：由y＝ax2﹣lnx，得：，∴y′|x＝1＝2a﹣1．∵曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1＝0，即a＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是[﹣，+∞）．【分析】由已知可知x＝2是f′（x）＝0唯一的根，进而可转化为﹣k＝在x＞0时没有变号零点，构造函数g（x）＝，x＞0，结合导数及函数的性质可求．解：函数定义域（0，+∞），＝，由题意可得，x＝2是f′（x）＝0唯一的根，故e x+kx2＝0在（0，+∞）上没有变号零点，即﹣k＝在x＞0时没有变号零点，令g（x）＝，x＞0，则，当x＞2时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝2时，g（x）取得最小值g（2）＝，故﹣k即k．故答案为：[﹣）．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．【分析】（1）在△ADC中，应用正弦定理即可得出答案；（2）从面积公式入手，将面积的最大值问题转移到边的上面，然后通过已知条件，应用余弦定理找出边的关系．解：（1）∵∠B＝，，BD＝2，∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝在△ADC中，由正弦定理得：又，∴∠C＝（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos B，即∴，∵BD＝3CD．∴，当且仅当时，取“＝”．所以△AC面积的最大值为．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．【分析】（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，由三角形中位线定理可得DE∥BC1，再由直线与平面平行的判定，可得BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，证明B1H⊥平面ABC，得B1H 是三棱柱的高，且，再求出三角形ABC的面积，然后利用等体积法求三棱锥A﹣DCA1的体积．解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，∵D是AB的中点，E是AC1的中点，∴DE∥BC1．又DE⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，∵BC＝BB1，∠CBB1＝60°，∴△CBB1是等边三角形，得B1H⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴B1H⊥平面ABC，∴B1H 是三棱柱的高，且．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴．则．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.2【分析】（1）分别求出＝3，＝16，从而＝10，＝254，＝47，求出＝≈0.933，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）完善列联表，求出K2＝18.75＞10.828，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）依题意＝＝3，＝＝16，故＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，则＝≈0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得K2的观测值为：＝＝＝18.75＞10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，故X的分布列为：X0123P则数学期望为：E（X）＝+3×＝．20．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为，且原点到直线FM的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设F（c，0），M（0，b），由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．解：（1）可设F（c，0），M（0，b），可得﹣＝﹣，直线FM的方程为bx+cy＝bc，即有＝，解得b＝1，c＝，a＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2＝x12+y12﹣1＝x12+1﹣﹣1＝x12，即|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，∴|AB|＝|AQ|+|BQ|＝（x1+x2），∴|AB|+|AF|+|BF|＝（x1+x2）+﹣x1+﹣x2＝2，∴△ABF的周长是定值2．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．【分析】（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）＝的最大值即可得出a的范围；（II）令＝t，根据分析法构造关于t的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可．解：（I）f′（x）＝lnx﹣4ax+2，若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，即4a≥在（0，+∞）上恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）的最大值为g（）＝e，∴4a≥e，即a≥．∴a的取值范围是[，+∞）．（II）∵f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有两解，即4a＝有两解，由（1）可知0＜a＜．由lnx1﹣4ax1+2＝0，lnx2﹣4ax2+2＝0，可得lnx1﹣lnx2＝4a（x1﹣x2），不妨设0＜x1＜x2，要证明x1+x2＞，只需证明＜，即证明＞lnx1﹣lnx2，只需证明＞ln，令h（x）＝﹣lnx（0＜x＜1），则h′（x）＝＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即＞lnx在（0，1）上恒成立，∴不等式＞ln恒成立，综上，x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；（Ⅱ）先表示出△ABM的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，又，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由＝，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝4代入f（x）中，然后将f（x）写为分段函数的形式，再根据f（x）＞9，分别解不等式可得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，可得f（x）min≥5﹣a，再解关于a的不等式可得a的范围．解：（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣4|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＜﹣1或，∴不等式的解集为；（2）∵f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（2x﹣a）|＝|a﹣1|，∴f（x）min＝|a﹣1|．∵对任意x∈一、选择题，恒有f（x）≥5﹣a，∴f（x）min≥5﹣a，即|a﹣1|≥5﹣a，∴a≥3，∴a的取值范围为[3，+∞）．。

h2019 版高二数学下学期期末考试试题 文(含解析) (I)选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．1. 已知，集合，集合，若，则()A. 1 B. 2 【答案】AC. 4D. 8【解析】因为则，,n=1, 则 =8.故答案为：D.2.()A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：由复数的乘法运算展开即可。

详解：故选 D.点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。

3. 某学校有男学生 400 名，女学生 600 名为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生 40 名，女学生 60 名进行调查,则这种抽样方法是()A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法【答案】D【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选 D.考点：分层抽样.【方法点晴】分层抽样是将总体按照一定标志分成若干层，分别从各层中抽检一定数量样本，最后汇总推算所需的总体估计量的一种统计抽样技术．分层抽样一般有三个步骤：第一，将样本分层；第二，确定在每个层次上总体的比例（或抽样比）；第三，利用这个比例，可计算出样本中每组（层）应调查的人数；第四，调查者必须从每层中抽取独立简单随机样本．4. 一个锥体的正视图和左视图如图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ()hhA.B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：A，B，D 对应的直观图分别如下：故选 C. 考点：空间几何体的三视图与直观图.5. 已知函数，则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于，当 x＞0 时，3+log2x≤5，即 log2x≤2=log24，解得 0＜x≤4， 当 x≤0 时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式 f（x）≤5 的解集为[﹣2，4]， 故选：B． 点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值 域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的 最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.hh6. 如果函数的图像关于点中心对称，那么 的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：因为函数的图象关于点 中心对称，所以，根据诱导公式可得，所以，即，，令得故选 C.考点：正弦函数的图象与性质.7. 函数（其中 ）的图象如图所示，为了得到的图象上所有点（ ）的图象，只需把A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】分析：根据周期求出 ω，再由五点法作图求出∅，从而得到函数 f（x）=sin2（x+ ）， 故把 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度可得 y=sinωx 的图象，从而得出结论．hh详解：由题意可得∴ω=2．再由五点法作图可得 2× +∅=π，∴∅= ，故函数 f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+ ）=sin2（x+ ）．故把 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度可得 y=sinωx 的图象，故选：D． 点睛：本题主要考查由函数 y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数 y=Asin（ωx+∅） 的图象变换，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加 右减的原则，在写解析式时保证要将 x 的系数提出来，针对 x 本身进行加减和伸缩.8. 若函数在区间内单调递增，则 可以是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：利用四个选项代入 f（x），分别求出函数 y 的解析式化简后，通过函数的单调 增区间判断正确选项即可．详解：对于 A，y=f（x）+sinx=2sinx，显然函数在区间内 x= 时函数取得最大值，函数存在增函数区间也存在减函数的区间，所以函数不单调递增，不正确；对于 B，y=f（x）+sinx=sinx﹣cosx= sin（x﹣ ），区间内，所以函数是单调增函数，正确．对于 C，y=f（x）+sinx=sinx+cosx= sin（x+ ），区间内，所以，函数不是单调增函数，不正确．对于 D，y=f（x）+sinx=0，在区间内单调递增，不正确；hh故选：B． 点睛：本题考查函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数，三角函数的单调性的判断， 考查计算能力．两角正余弦公式无法应用时可以采用化一公式，三角函数辅助角公式将函数化为的形式.9. 已知向量，且 与 垂直，那么 的值为 ( )A. 4 B. 3 C. 2 D.【答案】D【解析】分析：由已知向量的坐标，再由 与 垂直，列式求得 k 值．详解：∵ =（1，k）， =（2，2），又 与 垂直，∴1×2+2k=0，解得 k=-1．故选：D．点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直的坐标表示，是基础题．10. 已知双曲线的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为 ( )A.B. 2 C.D.【答案】D【解析】分析：由离心率计算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。

2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。

2018-2019学年湖北省咸宁市高二下学期期末数学（文）试题一、单选题1．实数集R ，设集合{2,{4}P x y Q x x ===<，则()R P C Q ⋃=A ．[2，3]B ．(1，3)C ．(2，3]D ．][(),21,-∞-⋃+∞【答案】D【解析】求出集合P ，Q ，从而求出R C Q ，进而求出()R P C Q ⋃． 【详解】∵集合P ＝{x |y =＝{x |2430x x -+-≥}＝{x |13x ≤≤}，2{4}Q x x =<＝{22}x x -<<，∴R C Q ＝{x |2x ≤-或2x ≥}，∴()R P C Q ⋃＝{x |x ≤﹣2或x ≥1}＝（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）． 故选：D ． 【点睛】本题考查并集、补集的求法，涉及函数的定义域及不等式的解法问题，是基础题． 2．将0x =代入检验，下列式子成立的是() A ．3sin33cos 4cos x x x =- B ．3sin34cos 3cos x x x =- C ．3cos33cos 4cos x x x =- D ．3cos34cos 3cos x x x =-【答案】D【解析】代入0x =逐项检验是否正确. 【详解】A ：sin00=，23cos04cos 0341-=-=-，不相等，故错误；B ：sin00=，24cos 03cos0431-=-=，不相等，故错误；C ：cos01=，23cos04cos 0341-=-=-，不相等，故错误；D ：cos01=，24cos 03cos0431-=-=，相等，故正确； 故选：D. 【点睛】本题考查根据三角函数值判断等式是否成立,难度较易.常见的三倍角公式有：3cos34cos 3cos x x x =-，3sin 33sin 4sin x x x =-.3．已知函数()()2log 31,02,0xx f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()()3f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先求()3f -，再求()()3f f -，即得结果.【详解】依题意得()31f -=，()()()()231log 312f f f -==+=故选：B 【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值. 4．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ）A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确【答案】C【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.5．某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（ ） A ．一本达线人数减少 B ．二本达线人数增加了0.5倍 C ．艺体达线人数相同 D ．不上线的人数有所增加 【答案】D【解析】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.分别根据扇形图算出2015和2018年一本、二本、艺术生上线人数以及落榜生人数，再进行比较即可. 【详解】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.2015年一本达线人数为28,2018年一本达线人数为36，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；2015年二本达线人数为32，2018年二本达线人数为60，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；艺体达线比例没变，但是高考人数是不相同的，所以艺体达线人数不相同，故选项C 错误；2015年不上线人数为32,2018年不上线人数为42，不上线人数有所增加，选项D 正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对扇形图的理解与应用，意在考查灵活应用所学知识解答实际问题的能力，属于简单题.6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。

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——高斯202-2021学年山东省高二（下）期末考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A，B，C满足：A∪B=B，B∩C=B，则下列关系一定正确的是( )A.A∩C=AB.A∩B=BC.A∪B=CD.A∪C=B2. “a>2”是“函数f(x)=a x+log a x(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5=S2+a11，且a1=1，则S8=( )A.42B.56C.64D.824. 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=ln|x|2+cos x B.f(x)=2−ln|x|sin xC.f(x)=cos x⋅ln|x|D.f(x)=sin x⋅ln|x|5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg E1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.16. 函数f(x)=x3−2021x+1图象的对称中心为（）A.(0,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,1)7. 已知a=2−12，b=log1225，c=log283，则( )A.c<b<aB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c8. 已知函数f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)上的点到直线y=−2x+1的最小距离为（）A.1B.2√55C.3√55D.4√55二、多选题已知随机变量X∼N(3,22)，Y∼B(10,0.6)，则（）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545.A.D(X)=2B.E(Y)=6C.P(X<5)=0.84135D.D(Y)=2.5设全集U=R，集合A={y|y=x−2+2}，集合B={x|x2−2x−3<0,x∈R}，则( )A.A∩B=(2,3)B.A∪B=[2,+∞)C.A∩(∁R B)=[3,+∞)D.A∪(∁R B)=R已知数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=3n，n∈N∗，则下列说法正确的是（）A.a6=8 B.{a2n}是等差数列C.S20=300D.a2n−a2n−1=3已知函数f(x)=e x−cos2x，则下列结论正确的是（）A.f(x)在(0,π2)上单调递增 B.f(x)在(π2,π)上单调递减C.∀x0≥0，f(x0)≥0D.∃x0<0，f(x0)<0三、填空题(√x−x2)4展开式中x3的系数为________.已知函数f(x)=−x2+ax+1−ln x，若f(x)在(0,12)上是减函数，则实数a的最大值为________.给出一个满足以下条件的函数f(x)=________.①f(x)的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0,+∞)不是单调函数；④f(x)有无数个零点．O为平面直角坐标系xOy的坐标原点，点W0(0,2)在x轴正半轴上依次取OW0中点W1，OW中点W2，OW2中点W3，⋯，OW n中点W n+1，⋯，记|OW|=a n，n∈N∗．则(1)数列{a n}的通项公式a n=________；(2)记c n=n2a n，数列{c n}的最大值为________.四、解答题在①a n+1>a n，a2a9=51，a4+a7=22；②S5=25a1，a2=3；③S n=n2三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且________，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．阿根廷球员马拉多纳曾经是上个世纪最伟大的足球运动员之一，其精湛的足球技术在几十年当中始终无人超越．科学家通过电脑计算发现：马拉多纳在高速运动、高强度对抗、视角受限的情况下，传球和助攻有高达90%与电脑计算的最佳路线一样！为纪念“球王”马拉多纳，某地区举行了系列足球运动推广活动．(1)受推广活动的影响，该地区球迷观看足球联赛的热情持续高涨，据统计相关轮次观看联赛的球迷人数y（单位：人）如下表：现建立该地区观看球赛的人数y与轮次x的线性回归模型：ŷ=b测第几轮次该地区观看球赛的人数y超过10000人？(2)为了参加该地区举行的“花式足球大赛”，某球队需要从甲、乙所在的6名运动员中选三名队员参赛，求在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率．附：回归方程ŷ=b̂x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式和参考数据：b̂=∑x ini=1y i−nx¯⋅y¯∑x i2ni=1−nx¯2=∑(ni=1x i−x¯)(y i−y¯)∑(ni=1x i−x¯)2，a=y¯−b̂x¯，∑x ini=1y i=103000．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+2=4(a n+1−a n)，a1=1，a2=4，n∈N∗．(1)证明：数列{a n+1−2a n}为等比数列；(2)记b n=a n2n，证明数列{b n}为等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．已知函数f(x)=ax33−x22，a≥0．(1)若a=1，求函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值；(2)求函数f(x)的极值点．为治疗病毒Y引发的疾病，某医药公司研发了一种新药W，为了解W的药效，进行“双盲”对比试验，统计得到如下数据列联表：(1)依据α=0.001的独立性检验，能否认为使用药W与治愈病毒Y引发的疾病有关联？(2)假设该药的治愈率为80%，该公司生产了一批该药共100份赠予某医院，该医院对于赠药有这样的接受规定：随机选择4份该药给4名患者试用，如果治愈患者数量少于3则拒绝接受整批药物．求该批药物被拒绝的概率；(3)已知该地区某医院收治的2k(k≥3，k∈N∗)名病毒Y感染者使用该药W治疗，需要通过被治疗者血液样本检测后确定是否治愈，若样本为阴性说明已经治愈，若样本为阳性说明未治愈．如果将样本混合后检测为阴性则说明每份样本为阴性，若检测为阳性则说明其中至少一份样本为阳性，样本之间是否呈阳性相互独立．假设该药治愈的概率p=0.91．现将2k份样本均分成两组进行检测，若任何一组为阳性则对该组每份逐一检测．当k=10时，预测检测次数是否小于15次？，n=a+b+c+d．附：参考公式及数据：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)②0.91已知函数f(x)=e x−a[ln(1+x)+ln a+1](a>0)．(1)当a=1时，证明：f(x)≥0．(2)若f(x)有且仅有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1x2<0．参考答案与试题解析202-2021学年山东省青岛市高二（下）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】分析题意，对照选项—一验证各选项的正确性，具体分析选项可得答案．【解答】解：∵A∩B=B，∴A⊆B，∵B∩C=B，∴B⊆C，∴A⊆B⊆C，A，A∩C=A，故A正确；B，A∩B=A，故B错误；C，A∪B=B，故C错误；D，A∪C=C，故D错误．故选A．2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】当a>1时，函数f(x)单调递增．即可判断出．【解答】解：当a>2时，可以得出函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．由函数f(x)=a x+log a x(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增，可以得出a>1，无法得出a>2，∴ “a>2”是“函数f(x)=a x+logax(a>0，a≠1)在(0,+∞)上单调递增”的充分非必要条件．故选A．3. 【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=S2+a11，a1=1，∴5+5×42d=2+d+1+10d，解得：d=2，则S8=8+8×72×2=64．故选C．4.【答案】D【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】根据题意，依次分析选项中函数是否符合函数的图象，综合即可得答案．【解答】解：A，f(x)=ln|x|2+cos x，其定义域为x≠0，f(−x)=ln|−x|2+cos(−x)=ln|x|2+cos x=f(x)，不符合题意，排除A；B，f(x)=2−ln|x|sin x，其定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，不符合题意，排除B；C，f(x)=cos x⋅ln|x|，其定义域为x≠0，f(−x)=cos(−x)⋅ln|−x|=f(x)，不符合题意，排除C；D，f(x)=sin x⋅ln|x|，其定义域为x≠0，f(−x)=sin(−x)⋅ln|−x|=−sin x⋅ln|x|=−f(x)，符合题意．故选D．5.【答案】A【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，所以m2−m1=52lg E1E2，且m2=−1.45，m1=−26.7，所以lg E1E2=10.1,即E1E2=1010.1，所以太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.6.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．【解答】解：设对称中心的坐标为(a,b)，则有2b=f(a+x)+f(a−x)对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=(a+x)3−2021(a+x)+1+(a−x)3−2021(a−x)+1对任意x均成立，解得a=0，b=1，即对称中为(0,1)．故选C．7.【答案】C【考点】对数值大小的比较指数式、对数式的综合比较【解析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：因为a=2−12=√22，b=log1225=log252，c=log283>log252=b>1，则a<b<c．故选C．8.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由偶函数的定义，可得f(−x)=f(x)，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：由f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，则f′(x)=1x−3，可得f(1)=ln1−3=−3，f′(1)=1−3=−2，则曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=−2(x−1)，即为2x+y+1=0，则曲线y=f(x)上的点到直线y=−2x+1的最小距离为：√22+12=2√55．故选B．二、多选题【答案】B,C【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据对称性，由题意可求出答案．【解答】解：已知随机变量X∼N(3,22)，Y∼B(10,0.6)，∴D(X)=3，E(Y)=10×0.6=6，P(1<x<5)=0.6827，∴D(Y)=6×0.4=2.4，P(x<5)=0.5+12×0.6827=0.84135.故选BC．【答案】A,C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．【解答】解：由题意得，A={y|y>2}，B={x|−1<x<3}，∴A∩B=(2,3)，A∪B=(−1,+∞)，∁R B={x|x≤−1或x≥3}，∴A∩(∁R B)=[3,+∞)，A∪(∁R B)=(−∞,−1)∪(2,+∞)，故AC正确，BD错误．故选AC．【答案】A,B,C【考点】数列递推式等差数列数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a1=1，a1+a2=3，∴a2=2，由题意得，a n+a n+1=3n，①则n≥2时，a n−1+a n=3(n−1)，②①−②，得a n+1−a n−1=3，则a2(n+1)−a2n=3.∴数列{a2n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴a2n=2+3(n−1)=3n−1，∴a6=8.同理可得，数列{a2n−1}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴a2n−1=1+3(n−1)=3n−2，∴S20=2+292×10+1+282×10=155+145=300，∵a2n=3n−1，a2n−1=3n−2，∴a2n−a2n−1=1.故选ABC.【答案】A,C,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题【解析】通过对函数求导来解决单调性问题，判断单调区间。

宣城市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试卷一、选择题：在每小题四个选项中，只有一项是符合要求的．1.设{}2430A x x x =-+≤，(){}ln 320B x x =-<，则A B =I （ ）A. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. (]1,3C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |0＜3﹣2x ＜1}3{|1}2x x =＜＜； ∴312A B ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭，． 故选：C ．【点睛】本题考查描述法、区间表示集合的定义，考查了对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算，属于基础题．2.设i 为虚数单位，复数z 满足()12i z i -⋅=，则z =（ ） A. 1 23D. 2【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解． 【详解】由z （1﹣i ）＝2i ，得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+， ∴|z |2=故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A.13B.3 C. 3D. 3【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由S 1，2S 2，3S 3成等差数列，可得S 1+3S 3＝2×2S 2，化简即可得出． 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵S 1，2S 2，3S 3成等差数列，∴S 1+3S 3＝2×2S 2， ∴a 1+3（a 1+a 2+a 3）＝4（a 1+a 2），化为：3a 3＝a 2，解得q 13=． 故选：A ．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A. 0B. 2C. 4D. 14【答案】B 【解析】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变14﹣4=10，由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选：B ．5.函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π⎛⎫⎪⎝⎭的符号进行排除即可． 【详解】()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-， 函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A Ccos sin 102222f ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除B ，故选：D ．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.6.已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数=21z x y =+-的最大值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，联立150x x y =⎧⎨+-=⎩，解得A （1，4），化目标函数z ＝x +2y ﹣1y 1222x z =-++， 由图可知，当直线y 1222x z =-++过A 时，z 有最大值为8．故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7.将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ） A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,02π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，再结合余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】将函数y ＝sin （2x 6π+）的图象向左平移6π个单位长度后，可得函数y ＝sin （2x 36ππ++）＝cos2x 的图象．令2x ＝k π2π+，求得x 24k ππ=+，k ∈Z ． 令k ＝0，可得x 4π=，故所得图象的一个对称中心为（4π，0），故选：B ．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A. 华为的全年销量最大B. 苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C. 华为销量最大的是第四季度D. 三星销量最小的是第四季度【答案】A 【解析】 【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误．【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大； 每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ．【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解。

2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，则M∪N＝（）A．{x|﹣4＜x≤3}B．{x|﹣4＜x≤﹣2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|2＜x≤3} 3．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10B．11C．12D．134．设函数f（x）＝，则f（9）的值为（）A．﹣7B．﹣1C．0D．5．命题“∀x＞0，＞0”的否定是（）A．∃x＜0，≤0B．∃x＞0，0≤x≤1C．∀x＞0，≤0D．∀x＜0，0≤x≤16．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，18，则输出的a的值为（）A．1B．2C．3D．67．函数y＝x3lg的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称8．一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计白色部分的面积为（）A．4B．5C．8D．99．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1] 10．十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（）（提示：1.0653≈1.208）A．93.8万亿元B．97万亿元C．99.9万亿元D．106.39万亿元11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），且在[﹣1，0]上单调递减，设a ＝f（），b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b12．对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）＝0}，β∈{x∈R|g（x）＝0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．[2，3]D．[2，4]二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a＝0.40.6，b＝0.40.2，c＝20.2，则a，b，c的大小关系是．14．已知f（x）＝x2，则曲线y＝f（x）过点P（﹣1，0）的切线方程是．15．若幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m在R上为增函数，则log m＝．16．定义在R上函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（x+2）＝﹣f（x）且f（x）在[﹣1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于x＝1对称；③f（x）在[1，2]上是增函数；④f（2）＝f（0）．其中正确命题的序号是．三．解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0～30003001～60006001～80008001～1000010000以上男生人数/人127155女性人数/人03791规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；积极性懈怠性总计男女总计附：P（K2≥k0）0.100.050.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．18．已知定义域为R的函数是奇函数，（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．19．某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x i，y i）（i＝1，2，…，6），如表所示：试销单价x/元456789产品销量y/件q8483807568已知＝y i＝80．（1）求q的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程＝x+；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与x i对应的产品销量的估计值，当|﹣y i|≤1时，将销售数据（x i，y i）称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率．参考公式：＝＝，＝﹣．20．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）左顶点M（﹣2，0），离心率为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）过N（1，0）的直线AB交椭圆Γ于A、B两点，当取得最大值时，求△MAB面积．21．已知函数f（x）＝xlnx（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥恒成立，求实数m的最大值．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：y ＝kx（x≥0）与曲线C交于A，B两点．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求的最大值．参考答案一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝．故选：B．2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，则M∪N＝（）A．{x|﹣4＜x≤3}B．{x|﹣4＜x≤﹣2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|2＜x≤3}【分析】推导出集合M，N，由此能求出M∪N．解：∵集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，∴M∪N＝{x|﹣4＜x≤3}．故选：A．3．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10B．11C．12D．13【分析】利用平均数求出m的值，中位数求出n的值，解答即可．解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92＝88×7，∴m＝3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n＝9，∴m+n＝12．故选：C．4．设函数f（x）＝，则f（9）的值为（）A．﹣7B．﹣1C．0D．【分析】推导出f（9）＝f（0），由此能求出结果．解：∵函数f（x）＝，∴f（9）＝f（0）＝02﹣20＝﹣1．故选：B．5．命题“∀x＞0，＞0”的否定是（）A．∃x＜0，≤0B．∃x＞0，0≤x≤1C．∀x＞0，≤0D．∀x＜0，0≤x≤1【分析】写出命题“∀x＞0，＞0”的否定，再等价转化即可得到答案．解：命题“∀x＞0，＞0”的否定是“∃x＞0，≤0或x＝1“，又由≤0得0≤x＜1”，故命题“∀x＞0，＞0”的否定是“∃x＞0，0≤x≤1”，故选：B．6．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，18，则输出的a的值为（）A．1B．2C．3D．6【分析】直接利用程序框图的循环结构和条件结构的应用求出结果．解：根据程序框图：a＝12，b＝18，由于：a≠b，所以：b＝b﹣a＝6，由于a＝12，b＝6，所以：a＝6，由于a＝b，所以输出a＝6．故选：D．7．函数y＝x3lg的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称【分析】先求出函数的定义域，再计算y＝f（﹣x）的表达式，并观察f（x）与f（﹣x）的联系，发现f（x）＝f（﹣x），故而得解．解：∵，∴x＞2或x＜﹣2，即函数的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）（定义域关于原点对称），∵y＝f（x）＝x3lg，∴f（﹣x）＝（﹣x）3lg＝﹣x3lg＝x3lg＝f（x），∴函数y＝f（x）是偶函数，关于y轴对称，故选：B．8．一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计白色部分的面积为（）A．4B．5C．8D．9【分析】计算正方形的面积为：S正＝3×3＝9，由几何概型可知白色部分的面积占正方形面积的概率为：≈P＝，可得答案，解：一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则可知落入白色部分的频率为：P＝，正方形的面积为：S正＝3×3＝9，由几何概型可知白色部分的面积占正方形面积的概率为：近似于频率P＝，即：≈，S白＝4，据此可估计白色部分的面积4，故选：A．9．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【分析】求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解：∵＜1，∴﹣1＝＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．10．十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（）（提示：1.0653≈1.208）A．93.8万亿元B．97万亿元C．99.9万亿元D．106.39万亿元【分析】代入指数类增长函数模型计算即可．解：82.7×（1+6.5%）3≈82.7×1.208≈99.9（万亿元），故选：C．11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），且在[﹣1，0]上单调递减，设a ＝f（），b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：∵偶函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），故周期T＝2，∵在[﹣1，0]上单调递减，根据偶函数的对称性可知在[0，1]上单调递增，距对称轴越远，函数值越大，∵a＝f（）＝f（），＝f（2﹣），b＝f（2）＝f（0），c＝f（3）＝f（1），则b＜a＜c．故选：C．12．对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）＝0}，β∈{x∈R|g（x）＝0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．[2，3]D．[2，4]【分析】先得出函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为x＝1．再设g（x）＝x2﹣ax﹣a+3的零点为β，根据函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g（x）＝x2﹣ax﹣a+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．解：函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为x＝1．设g（x）＝x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）＝x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故选：C．二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a＝0.40.6，b＝0.40.2，c＝20.2，则a，b，c的大小关系是a＜b＜c．【分析】可以得出0.40.6＜0.40.2＜1，20.2＞1，从而可得出a，b，c的大小关系．解：0.40.6＜0.40.2＜0.40＝1，20.2＞20＝1，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．14．已知f（x）＝x2，则曲线y＝f（x）过点P（﹣1，0）的切线方程是y＝0或y＝﹣4x ﹣4．【分析】设切点为（m，n），求得f（x）的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得切点，再由点斜式方程可得所求切线的方程．解：设切点为（m，n），f（x）＝x2的导数为f′（x）＝2x，可得切线的斜率为k＝2m，又2m＝＝，解得m＝0或m＝﹣2，当m＝0时，k＝0；m＝﹣2时，k＝﹣4；曲线y＝f（x）过点P（﹣1，0）的切线方程为y＝k（x+1），则切线的方程为y＝0或y＝﹣4x﹣4．故答案为：y＝0或y＝﹣4x﹣4．15．若幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m在R上为增函数，则log m＝4．【分析】根据幂函数的定义以及函数的单调性求出m的值，代入代数式计算即可．解：由题意得：m2﹣5m+7＝1，解得：m＝2或m＝3，若f（x）在R递增，故f（x）＝x3，m＝3，log m＝log3+2lg10+＝+2+＝4，故答案为：4．16．定义在R上函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（x+2）＝﹣f（x）且f（x）在[﹣1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于x＝1对称；③f（x）在[1，2]上是增函数；④f（2）＝f（0）．其中正确命题的序号是①②④．【分析】令x+2替换x即可得出f（x）的周期为4；计算f（0）＝0，再令y＝﹣x得出f（x）为奇函数，用x﹣1替换x可得f（x）的对称轴；根据奇函数的对称性和对称轴得出f（x）在[1，2]上的单调性；根据f（0）＝0和f（x+2）＝﹣f（x）即可得出f（2）＝f（0）．解：由f（x+2）＝﹣f（x）可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故f（x）的周期为4，故①正确；由f（x+y）＝f（x）+f（y）可知f（0）＝2f（0），故f（0）＝0，再令y＝﹣x可得：f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），∴f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，∴f（x）是奇函数，由f（x+2）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x），故f（x）的图象关于x＝1对称，故②正确；∵f（x）在[﹣1，0]上是增函数，且f（x）是奇函数，∴f（x）在[0，1]上是增函数，又f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（x）得图象在[1，2]上是减函数，故③错误；由f（x+2）＝﹣f（x）可知f（2）＝﹣f（0），又f（0）＝0，故f（2）＝f（0），故④正确．故答案为：①②④．三．解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0～30003001～60006001～80008001～1000010000以上男生人数/人127155女性人数/人03791规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；积极性懈怠性总计男女总计附：P（K2≥k0）0.100.050.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．【分析】（1）根据题意，由频率分布表分析可得2×2 列联表，由独立性检验计算公式计算K2的值，结合独立性检验的意义可得答案；（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a、b、c，由列举法分析可得从中任选3人和男性人数超过女性人数的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案．解：（1）根据题意，由频率分布表分析可得：积极性懈怠性总计男201030女101020总计302050则K2＝≈1.389＜2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），（1，a，b），（1，a，c），（1，b，c），（2，a，b），（2，a，c），（2，b，c），（a，b，c）；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P＝．18．已知定义域为R的函数是奇函数，（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的性质，定义域包括0，则有f（0）＝0，定义域为R，f（﹣1）＝﹣f（1）即可求得a，b的值．（2）将f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）0变形为：f（t2﹣2t）+＜﹣f（2t2﹣k），因为f（x）是奇函数，﹣f（2t2﹣k）＝﹣f（k﹣2t2），在利用f（x）减函数解不等式即可解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即＝0⇒b＝1；∴f（x）＝；又∵定义域为R，则有f（﹣1）＝﹣f（1），可得：＝﹣⇒a＝2；经检验：f（x）是奇函数，满足题意．所以a，b的值分别为2，1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝＝﹣+，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；又因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）＝f（k﹣2t2），因f（x）为减函数，f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），得：t2﹣2t＞k﹣2t2即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，开口向上，从而判别式△＝4+12k＜0⇒k＜﹣即k的取值范围是19．某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x i，y i）（i＝1，2，…，6），如表所示：试销单价x/元456789产品销量y/件q8483807568已知＝y i＝80．（1）求q的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程＝x+；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与x i对应的产品销量的估计值，当|﹣y i|≤1时，将销售数据（x i，y i）称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率．参考公式：＝＝，＝﹣．【分析】（1）由＝y i＝80直接求得q值；（2）由已知数据求出回归系数，进一步求得，可得线性回归方程；（3）确定基本事件的个数，再由古典概型概率计算公式求解．解：（1）由＝y i＝80，求得q＝90；（2），＝80+4×6.5＝106，∴所求的线性回归方程为＝﹣4x+106；（3）当x1＝4时，y1＝90；当x2＝5时，y2＝86；当x3＝6时，y3＝82；当x4＝7时，y4＝78；当x5＝8时，y5＝74；当x6＝9时，y6＝70．与销售数据对比可知满足|﹣y i|≤1（i＝1，2，…，6）的共有3个“好数据”：（4，90）、（6，83）、（8，75）．从6个销售数据中任意抽取2个的所有可能结果有＝15种，其中2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有3×3+3＝12种，于是从抽得2个数据中至少有一个销售数据中的产品销量不超过80的概率为．20．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）左顶点M（﹣2，0），离心率为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）过N（1，0）的直线AB交椭圆Γ于A、B两点，当取得最大值时，求△MAB面积．【分析】（1）由已知a＝2，＝可得c＝，由a2﹣b2＝2，可得b2＝2，即可求出椭圆方程，（2）当直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x＝ty+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理和向量的数量积，可求出取得最大值为，此时t＝0，直线l为x＝1，即可求出三角形的面积解：（1）由已知a＝2，＝可得c＝，∴a2﹣b2＝2，即4﹣b2＝2，∴b2＝2，∴椭圆方程为+＝1．（2）当直线AB与点x轴重合时，点M与点A重合，此时＝，∴＝0，当直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x＝ty+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（t2+2）y2+2ty﹣3＝0，显然△＞0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴＝（x1+2）（x2+2）+y1y2＝（ty1+3）（ty2+3）+y1y2＝（t2+1）y1y2+3t（y1+y2）+9，＝（t2+1）+3t•+9，＝+9＝≤，∴取得最大值为，此时t＝0，直线l为x＝1，此时A（1，），B（1，﹣），∴|AB|＝，|MN|＝3，∴S＝|MN|•|AB|＝×3×＝21．已知函数f（x）＝xlnx（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥恒成立，求实数m的最大值．【分析】（1）由，f′（x）＞0⇒x＞，f′（x）＜0⇒0＜x＜，可得f（x）的单增区间，即可得f（x）的极值（2）由变形，得恒成立，令，利用导数求解【解答】解析：（1）f'（x）＝lnx+1，f′（x）＞0⇒x＞，f′（x）＜0⇒0＜x＜∴f（x）的单调增区间是，单调减区间是．∴f（x）在处取得极小值，极小值为．（2）由变形，得恒成立，令，，由g'（x）＞0⇒x＞1，g'（x）＜0⇒0＜x＜1．所以，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．所以，g（x）min＝g（1）＝4，即m≤4，所以m的最大值是4．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：y ＝kx（x≥0）与曲线C交于A，B两点．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求的最大值．【分析】（1）先由参数方程得到普通方程，再由普通方程即可得到极坐标方程；（2）先设A（ρ1，α），B（ρ2，α），以及直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），代入（1）中的结果，得到ρ2﹣6ρcosα+5＝0，由韦达定理，以及+＝+，即可求出结果解：（1）由（θ为参数），得（x﹣3）2+y2＝4，即x2+y2﹣6x+5＝0．故C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5＝0．（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），直线l：y＝kx（k≥0）的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），代入ρ2﹣6ρcosθ+5＝0，得ρ2﹣6ρcosα+5＝0，所以ρ1+ρ2＝6cosα，ρ1ρ2＝5．因为k≥0，所以cosα＞0，则ρ1＞0，ρ2＞0，则+＝+＝＝．当cosα＝1时，+取得最大值，且最大值为．。