5.推理与证明(二)

第二章推理与证明知识系统整合规律方法收藏1.图形中的归纳推理问题主要涉及某些固定图形的个数，所以常常需要转化成数列问题来求解，常用的思路有两种：(1)直接查个数，找到变化规律后再猜想；(2)观察图形的变化规律.2.探索性问题是数学中的一类重要问题，如探讨数列的通项、前n 项和、立体几何、解析几何中的性质等，在处理时，先采用合情推理猜想、再采用演绎推理的论证方法.3.对于较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“结论”，还是由“结论”靠向“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析或综合显得较为困难．为保证探索方向准确且过程快捷，人们又常常把分析与综合两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．把分析法与综合法两者结合起来进行思考，寻求问题的解答途径的方式就是人们通常所说的分析综合法，也就是常说的“两路夹攻，一攻就通”的证明思路.4.解决数学中的证明问题，既要掌握常用的证明方法的思维过程、特点，又要有牢固的数学基础知识．另外，还应掌握证明的一些常用方法与技巧，证明常用的方法与技巧有以下几种：(1)换元法．换元法是结构较为复杂且量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当地引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结果，使其转化为便于研究的形式．常见的有代数换元与三角换元．在应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性.换元法步骤：①设元(或构造元)――→ 转化②求解――→ 等量③回代――→ 等价原则④检验(2)放缩法．放缩法常用于证明不等式．欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B ≤B 1，B 1≤B 2，…，B i ≤A 或A ≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B ，再利用传递性，以达到证明的目的，这种方法叫放缩法．应用放缩法时，放缩目标必须确定，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩方法有增项、减项或利用分式的性质、不等式性质、已知不等式、函数的性质等.其放缩技巧主要有以下几种：①添加或舍去一些项，如： a 2＋1>|a |；n n ＋1>n ；②将分子或分母放大(或缩小) 当a ，b ，c >0时，a b ＋c ＋b a ＋c ＋ca ＋b >a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋c ＋ca ＋b ＋c；③利用基本不等式，如：lg 3·lg 5<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 522＝lg 15<lg 16＝lg 4；④利用常用结论 ⅰ.1k的放缩：2k ＋k ＋1<22k <2k ＋k －1；ⅱ.1k 2的放缩(a)：1kk ＋1<1k 2<1k k －1(程度大)； ⅲ.1k 2的放缩(b)：1k 2<1k 2－1＝1k ＋1k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1(程度小)；ⅳ.1k2的放缩(c)：1k 2<44k 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1(程度更小)；ⅴ.分式放缩还可利用真(假)分数的性质：b a >b ＋m a ＋m (b >a >0，m >0)和b a <b ＋ma ＋m(a >b >0，m >0). (3)判别式法．判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出结论的方法．利用判别式法证明时，应先将问题转化为与二次三项式相关的问题，再利用判别式法求解，要注意二次项系数是否为零.此外还有导数法、添项法、几何法、构造函数法等. 5.用数学归纳法证题的步骤(1)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2)时结论正确.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确. 在完成了这两个步骤以后，就可以断定结论对于从n 0开始的所有正整数n 都正确. 应用数学归纳法证明时要注意以下几点：(1)步骤要完整、规范，即“两步一结论”缺一不可，且第二步证明一定要用到归纳假设. (2)n 的第一个值n 0应根据具体问题来确定.(3)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，并不一定都是证明n ＝k ＋1时结论也正确．如用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n－y n能被x ＋y 整除”，第一步应验证n ＝2时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋2时，命题也成立.(4)用数学归纳法可证明有关正整数的问题，但并不是所有的正整数问题都可以用数学归纳法证明的．例如：用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n (n ∈N *)的单调性就难以实现.一般来说，从n ＝k 时的情形过渡到n ＝k ＋1的情形时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．做题时要注意具体问题具体分析.学科思想培优一、归纳推理和类比推理的应用例1 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289 B ．1024 C ．1225 D ．1378[解析] 由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，则由b n ＝n 2(n ∈N *)可排除D.又由a n ＝n 2(n ＋1)，当a n ＝289时，即验证是否存在n ∈N *，使得n (n ＋1)＝578，经计算n 不存在；同理，依次验证，有1225×2＝49×50，且352＝1225，故选C.[答案] C 拓展提升解决此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，注意抽象出的是数列的哪类公式.例2 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________.[解析] 在进行类比推理时，应该注意平面图形中的点、线分别与空间图形中的线、面类比；平面图形的长度、面积分别与空间图形中的面积、体积类比，结论易得.[答案] S 21＋S 22＋S 23＝S 24 拓展提升类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论．通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积.二、演绎推理的应用例3 将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)所有偶数都能被2整除，0 是偶数，所以0能被2整除；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数； (3)通项公式a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列； (4)函数f (x )＝x 3是奇函数.[解] (1)所有偶数都能被2整除，(大前提) 0是偶数，(小前提) 0能被2整除．(结论)(2)循环小数是有理数，(大前提)0.332·是循环小数，(小前提)0.332·是有理数．(结论)(3)数列{a n }中，如果当n ≥2时，a n －a n －1为常数，则{a n }为等差数列，(大前提) 通项公式a n ＝2n ＋3时，若n ≥2，则a n －a n －1＝2n ＋3－[2(n －1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列{a n }为等差数列．(结论)(4)对于定义域关于原点对称的函数f (x )，若f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，(大前提)函数f (x )＝x 3的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，即f (－x )＝－f (x )，(小前提)所以函数f (x )＝x 3是奇函数．(结论) 拓展提升用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提同时省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.三、直接证明例4 设a ，b ，c 为三角形三边，面积S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，试证：S <2a .[证明] (分析法)要证S <2a ，由于S 2＝2ab ，即2a ＝S 2b ，所以只需证S <S 2b，即证b <S ，因为S ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证b <12(a ＋b ＋c )，即证b <a ＋c ，由于a ，b ，c 为三角形三边，所以上式显然成立，于是原命题成立.(综合法)因为a ，b ，c 为三角形三边，所以a ＋c >b ，所以a ＋b ＋c >2b ， 又因为S ＝12(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ＝2S ，所以2S >2b ，所以S ·S >b ·S ，由于S 2＝2ab ，所以2ab >bS ，即2a >S ，所以原命题得证. 拓展提升知识链之间的等价联系是产生一题多解的本质所在，掌握了这个“法宝”，必然会促进解题能力的逐步提高.四、反证法例5 设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列. [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾， ∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. 拓展提升当命题结论中出现“至多”“至少”“不可能”“都不”“不是”等否定性词语时，常用反证法．对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.五、数学归纳法例6 用数学归纳法证明：对一切n∈N *,1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1.[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1，只需证3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3.因为3k ＋12k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1k ＋12＝34k ＋12－1－1k ＋12＝1－k ＋12k ＋12[4k ＋12－1]＝－k k ＋2k ＋124k 2＋8k ＋3≤0，所以3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立. 拓展提升本题在知道结果以后，执果索因，用分析法进行证明．在解题过程中数学归纳法通常与其他方法综合运用，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法.例7 已知点的序列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1，x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此猜想数列{a n }的通项公式，并加以证明. [解] (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －22；(2)a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝14a ，由此猜想a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1a (n ∈N *)，用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a ，猜想成立；②假设当n ＝k (n ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1a 成立，那么，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k2－x k ＋1＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(k ＋1)－1a ，即当n ＝k ＋1时猜想也成立. 根据①和②，可知{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1a (n ∈N *).拓展提升由已知求出数列的前n项，提出猜想，然后再用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式的方法，证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k与a k＋1或S k与S k＋1之间的关系，从而为数学归纳法的实施做了必要的准备．。

推理与证明（二）教学目标：能用归纳和类比等进行简单的推理，理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。

了解合情推理和演绎推理的联系和区别；2010年考试说明要求B 。

基础训练：1.已知数列}{n a 满足.),.........3,2,1(1,111=+==+n a a a a n n n ，则通项公式为___________2.已知lg2=m ，计算lg0.8=__________3.设,R k ∈当k 变化时，直线0)11()3()12(=--+--k y k x k 有__________________性质4.当,5,4,3,2,1=n 时，41)(2++=n n n f 的值分别是43,47,53,61,71，它们都是素数，由归纳法得：___________________________典型例题：先解答（1）再通过结构类比解答（2）（1）求证：x x x tan 1tan 1)4tan(-+=+π；（2）设x R ∈，a 为非零常数，且)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论。

设数列)12)(12(1,751,531,311+-⨯⨯⨯n n 的前n 项和为S n ，计算S 1，S 2，S 3，并猜测S n 的表达式。

课堂检测：1.等式22216cos 2,228cos 2,24cos 2++=+==πππ，从中归纳出一般性的结论为__________________________________________2.观察下列等式，从中归纳出一般性的结论：____________________________________ (125)2927252321641917151327119785311=++++=+++=++=+=3.平面上画n 条直线，且满足条件：（1）任何两条直线都相交；（2）任何三条直线不共点。

试根据n=1、2、3、4、5的结论，归纳出这n 条直线将平面分成____________个部分。

姓名，年级：时间：习题课二错误!1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°"，故选B.2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似,故选C。

3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－错误!≤0C.错误!－1－a2b2≤0D．(a2－1)（b2－1）≥0解析：选D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1）（b2－1）≥0.故选D.4．用反证法证明命题“设a，b为实数,则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译．针对他们懂的语言,正确的推理是（)A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项,由①知,丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.6．设a，b是两个实数,给出下列条件:①a＋b〉1；②a＋b＝2;③a＋b>2；④a2＋b2〉2;⑤ab〉1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1"的条件是（)A．②③B．①②③C．③D．③④⑤解析：选C 若a＝错误!，b＝错误!，则a＋b〉1,但a〈1，b<1,故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2〉2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法:假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b〉2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是。

第十五章推理与证明1.[2020安徽省示范高中名校联考]某校高一年级组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘”“酿酒”“野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同。

已知1班既不选“农耕",也不选“采摘”;2班既不选“农耕"，也不选“酿酒”；3班既不选“野炊”,也不选“农耕”;5班选择“采摘"或“酿酒”；如果1班不选“酿酒"，那么4班不选“农耕”。

则选择“饲养”的班级是（)A。

2班 B.3班C。

4班D。

5班2。

［2020河南省实验中学模拟]在平面几何中有射影定理：在三角形ABC中,AB⊥AC，D是点A在BC上的射影,则AB2=BD·BC。

拓展到空间，在三棱锥A—BCD中，AD⊥平面ABC,点O是点A 在平面BCD内的射影,且O在△BCD内，类比平面三角形中的射影定理,得出的正确结论是(）A.S△ABC2=S△BCD·S△BCOB。

S△ABD2=S△BCD·S△BCOC.S△ADC2=S△DOC·S△BOCD。

S△BDC2=S△ABD·S△ABC3。

［2020安徽模拟］观察图15-1中各正方形图案,记第n个图案中圆点的总数为S n.按此规律推出S n与n的关系式为(）A.S n=2nB.S n=4nC。

S n=2n D.S n=4n—44.[2020江西模拟］用反证法证明命题“若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c∈Z)有有理根,那么当a,b，c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是（)A。

假设a，b，c都是偶数B。

假设a，b,c都不是偶数C.假设a，b，c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数5。

某市为了缓解交通压力,实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A，B,C,D，E五辆车,每天至少有四辆车可以上路行驶。

2019-2020学年选修2-2第二章训练卷推理与证明（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．非以上错误【答案】C【解析】该推理的推理形式不符合三段论推理的要求，故推出的结论错误． 2．设π02θ<<，已知12cos a θ=，12n n a a +=+，则猜想n a =（ ） A ．2cos2nθB ．12cos2n θ-C ．12cos2n θ+D ．2sin2nθ【答案】B【解析】∵12cos a θ=，2222cos 2(1cos )=22cos 2cos22a θθθθ=+=+⨯=，2322cos2(1cos )=22cos 2cos 2244a θθθθ=+=+⨯=， ∴猜想12cos2n n a θ-=．3．已知0a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0【答案】D【解析】由2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=， 知2221()02ab bc ca a b c ++=-++≤． 4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（ ） A ．62n - B ．82n -C ．62n +D ．82n +【答案】C【解析】归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为62n a n =+．5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111112341n n-+-++--L 1112()242n n n=+++++L 时，若已假设(2n k k =≥且为偶数)真，则还需利用归纳假设再证（ ）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．22n k =+时等式成立D ．2(2)n k =+时等式成立【答案】B【解析】由于k 是偶数，故2k +是k 后面的第1个偶数． 6．有以下结论：（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥； （2）已知a ，b R ∈，||||1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程至少有一根1x 的绝对值大于或等于1．下列说法中正确的是（ ） A ．（1）与（2）的假设都错误 B ．（1）与（2）的假设都正确 C ．（1）的假设正确；（2）的假设错误 D ．（1）的假设错误；（2）的假设正确 【答案】D【解析】用反证法证题时一定要将对立面找全，在（1）中应假设2p q +>． 故（1）的假设是错误的，而（2）的假设是正确的．7．已知1()cos f x x =，21()()f x f x '=，32()()f x f x '=，43()()f x f x '=，L ，1()()n n f x f x -'=，则2019()f x 等于（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -【答案】D【解析】由已知，有1()cos f x x =，2()sin f x x =-，3()cos f x x =-，4()sin f x x =，5()cos f x x =，可以归纳出：4()sin n f x x =，41()cos n f x x +=，42()sin n f x x +=-，43()cos ()n f x x n +=-∈*N ．故20193()()cos f x f x x ==-．8．已知a ，b ，c 是ABC △的内角A ，B ，C 对应的三边，若满足222a b c +=，即22()()1a b cc+=，则ABC △为直角三角形，类比此结论可知，若满足(,3)n n n a b c n n +=∈≥N ，则ABC △的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】A【解析】由题意知角C 最大，由(,3)nnna b c n n +=∈≥N ， 得()()1(,3)nna b n n cc+=∈≥N ，又c a >，c b >，所以22()()()()1nna b a b cccc+>+=，即222a b c +>，所以222cos 02a b c C ab +-=>，所以π02C <<，故ABC △为锐角三角形． 9．观察下列事实：||||1x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为4，||||2x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为8，||||3x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为12，...，则||||20x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为（ ） A ．76 B ．80C ．86D ．92【答案】B【解析】通过观察可以发现||||x y +的值为1，2，3时， 对应的(,)x y 的不同整数解的个数为4，8，12，可推出||||x y n +=时，对应的不同整数解(,)x y 个数为4n ，∴||||20x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为80．10．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，n ∈*N ．下列命题中真命题是（ ）A ．若n ∀∈*N ，总有n n ∥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若n ∀∈*N ，总有n n ∥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若n ∀∈*N ，总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若n ∀∈*N ，总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列 【答案】A【解析】∵对n ∀∈*N 总有n n ∥c b ，则存在实数0λ≠，使n n λ=c b ，∴n a n λ=，∴{}n a 是等差数列．11．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n ∈*N 的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则2019a =（ ） A ．504 B ．504-C ．505-D ．505【答案】C【解析】由1a ，3a ，5a ，7a ，L 组成的数列恰好对应数列1x ，2x ，3x ，4x ，L 故21n n x a -=，所以20191010505a x ==-．12．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a ab a b b a b≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b≤⎧∨=⎨>⎩； 若正数a ，b ，c ，d 满足4ab ≥，4c d +≤，则（ ） A ．2a b ∧≥，2c d ∧≤ B ．2a b ∧≥，2c d ∨≥ C ．2a b ∨≥，2c d ∧≤ D ．2a b ∨≥，2c d ∨≥【答案】C【解析】从定义知，min(,)a b a b ∧=，即求a ，b 中的最小值；max(,)a b a b ∨=，即求a ，b 中的最大值；假设02a <<，02b <<，则4ab <，与已知4ab ≥相矛盾， 则假设不成立，故max(,)2a b ≥，即2a b ∨≥；假设2c >，2d >，则4c d +>，与已知4c d +≤相矛盾，则假设不成立， 故min(,)2c d ≤，即2c d ∧≤．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为 ． 【答案】A【解析】由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．14．设函数()(0)2xf x x x =>+，观察： 1()()2xf x f x x ==+， 21()(())34xf x f f x x ==+，32()(())78xf x f f x x ==+，43()(())1516xf x f f x x ==+，L根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈*N 且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== ．【答案】(21)2n nxx -+ 【解析】由已知可归纳如下：111()(21)2xf x x =-+，222()(21)2x f x x =-+，333()(21)2xf x x =-+， 444()(21)2x f x x =-+，L ，()(21)2nn nxf x x =-+． 15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn nm =”类比得到“⋅=⋅a b b a ”；②“()m n t mt nt +=+”类比得到“()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ”；③“0t ≠，mt nt m n =⇒=”类比得到“≠0c ，⋅=⋅⇒=a c b c a b ”； ④“||||||m n m n ⋅=⋅”类比得到“||||||⋅=⋅a b a b ”；⑤“()()m n t m n t ⋅=⋅”类比得到“()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c ”；⑥“ac a bc b =”类比得到“⋅=⋅a c a b c b”． 以上类比得到的结论正确的是 ． 【答案】①②【解析】①②都正确，由向量不能相除，故③⑥错误，④可由数量积定义判断，故错误；⑤向量中结合律不成立，故错误．16．将正整数12分成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当(p q p q ⨯≤且p ，)q ∈*N 是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()pf n q=，例如：3(12)4f =． 关于函数()f n 有下列叙述：①1(7)7f =；②3(24)8f =；③4(28)7f =； ④9(144)16f =，其中所有的正确的序号为 ． 【答案】①③【解析】利用题干中提供的新定义信息可得， 对于①：∵717=⨯，∴1(7)7f =，①正确； 对于②，∵241242123846=⨯=⨯=⨯=⨯，∴42(24)63f ==，②不正确； 对于③，∵2812821447=⨯=⨯=⨯，∴4(28)7f =，③正确； 对于④，∵14411442723484366248189161212=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，∴12(144)112f ==，④不正确．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）观察下面所示的“三角数阵”记第n 行的第2个数为*(2,)n a n n N ≥∈，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：（1）依次写出2a 、3a 、4a 、5a ；（2）归纳出1n a +与n a 的关系式并求出数列{}(2,)n a n n ≥∈*N 的通项公式．【答案】（1）22a =，34a =，47a =，511a =；（2）1(2,)n n a a n n n +=+≥∈*N ，2111(2,)22n a n n n n =-+≥∈*N ．【解析】（1）22a =，34a =，47a =，511a =． （2）∵322a a =+，433a a =+，544a a =+，由此归纳1(2,)n n a a n n n +=+≥∈*N ．由1123212(3,)2n n n n a a n a a n n n a a ----=-⎧⎪-=-⎪≥∈⎨⎪⎪-=⎩*N L ，累加得2(2)(1)2n n n a a -+-=，且当2n =时，22n a a ==， 故2(2)(1)1121(2,)222n n n a n n n n -+=+=-+≥∈*N ．18．（12分）若a 、b 、c 均为实数，且2π22a x y =-+，2π23b y z =-+，2π26c z x =-+，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0． 【答案】证明见解析．【解析】假设a 、b 、c 都不大于0，且0a ≤，0b ≤，0c ≤，∴0a b c ++≤． 而222π2(2)(2)236ππa b c x y y z z x ⎛⎫++=-++-++-+ ⎪⎝⎭ 222(2)(2()2)πx x y y z z =-+-+-+ 222(1)(1)(1)π3x y z =-+-+-+-．∴0a b c ++>，这与0a b c ++≤矛盾． 故a 、b 、c 中至少有一个大于0．19．（12分）（1）求证：2233()a b ab a b ++≥++；（2）已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵222a b ab +≥，2323a a +≥，2323b b +≥（当且仅当3a b ==将此三式相加得()222322323a b ab a b ++≥++，∴2233()a b ab a b ++≥+．（2）∵a ，b ，c 均为正实数，且1a b c ++=， ∴11(1)(1)1(1)a b c a a b c b a b c a c cb a b c++-++-++=⋅⋅----2228b c a c a b bc ac aba b c a b c +++=⋅⋅≥⋅⋅⋅=（当且仅当13a b c ===时取等号）故111(1)(1)(1)8a b c---≥．20．（12分）已知ABC △的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：111()()3()a b b c a b c ---+++=++．【答案】证明见解析．【解析】要证明111()()3()a b b c a b c ---+++=++，即证113a b b c a b c+=++++， 只需证3a b c a b c a b b c +++++=++，化简得1c aa b b c+=++，即()() ()()c b c a b a a b b c +++=++，∴只需证222c a b ac +=+．∵ABC △的三个内角A ，B ，C 成等差数列，∴60B =︒，∴2221cos 22a cb B ac +-==，即222a c b ac +-=成立．∴111()()3()a b b c a b c ---+++=++成立．21．（12分）试求常数m 的范围，使曲线2y x =的所有弦都不能被直线(3)y m x =-垂直平分．【答案】12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．【解析】假设抛物线上存在两点211(,)x x ，222(,)x x 关于直线(3)y m x =-对称，由题意易知0m ≠，故满足221212221212(3)221x x x x m x x x x m ⎧++=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩， 消去2x ，得2112212610x x m m m++++=． 由2221()8(61)0Δm m m=-++>，得2(21)(621)0m m m +-+<．故12m <-，即当12m <-时，抛物线上存在两点关于直线(3)y m x =-对称． 而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求m 的范围为12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．22．（12分）已知函数()()f n n ∈*N 满足条件：①(2)2f =，②()()()f xy f x f y =⋅，③()f n ∈*N ，④当x y >时，有()()f x f y >． （1）求(1)f ，(3)f 的值；（2）由(1)f ，(2)f ，(3)f 的值，猜想()f n 的解析式； （3）证明你猜想的()f n 的解析式的正确性．【答案】（1）(1)1f =，(3)3f =；（2）()()f n n n =∈*N ；（3）证明见解析． 【解析】（1）∵(2)(21)(2)(1)f f f f =⨯=⋅， 又(2)2f =，∴(1)1f =．又∵(4)(22)(2)(2)4f f f f =⨯=⋅=，2(2)(3)(4)4f f f =<<=，且(3)f ∈*N ，∴(3)3f =．（2）由(1)1f =，(2)2f =，(3)3f =，猜想()()f n n n =∈*N ． （3）用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，(1)1f =，函数解析式成立．（ⅱ）假设()n k k =∈*N 时，()f k k =，函数解析式成立．①若12()k m m +=∈*N ，(1)(2)(2)()21f k f m f f m m k +==⋅==+．②若121()k m m +=+∈*N ，(22)[2(1)](2)(1)2(1)22f m f m f f m m m +=+=⋅+=+=+， 2(2)(21)(22)22m f m f m f m m =<+<+=+，∴(1)(21)211f k f m m k +=+=+=+． 即当1n k =+时，函数解析式成立．综合（ⅰ）（ⅱ）可知，()()f n n n =∈*N 成立．。

20192019学度高中数学人教A版选修22：阶段质量检测（二）推理与证明Word版含解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目要求旳)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”旳推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理旳定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中旳大前提、小前提及推理形式都是正确旳．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确旳个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确旳是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法旳结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)旳表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选B f(2)＝22＋1，f(3)＝23＋1，f(4)＝24＋1，猜想f(x)＝2x＋1.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B证明过程中旳“为了证明……”，“只需证明……”这样旳语句是分析法所特有旳，是分析法旳证明模式．7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}旳类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列解析：选C设等比数列{a n}旳公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．∴当q≠－1时，{a n ＋a n＋1}一定是等比数列；当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，此时为等差数列．9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca旳值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 旳值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样旳a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }旳前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 旳表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2nn ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意旳自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4旳数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中旳横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 旳大小关系是________． 解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b2>a ＋b 2⇒lg a ＋b2>lg a ＋b2. 答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 旳值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b＝6ab，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形旳命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 旳正方形，其中一个旳某顶点在另一个旳中心，则这两个正方形重叠部分旳面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 旳正方体，其中一个旳某顶点在另一个旳中心，则这两个正方体重叠部分旳体积恒为________．解析：解法旳类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分旳体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2.证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立旳， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5旳值，观察并归纳出这个数列旳通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n＝a n ， 解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n－12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形旳内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它旳四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形旳内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 旳方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 旳方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0旳判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 旳方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根． 解：(1)犯了偷换论题旳错误，在证明过程中，把论题中旳四边形改为矩形．(2)使用旳论据是“无理数与无理数旳和是无理数”，这个论据是假旳，因为两个无理数旳和不一定是无理数，因此原题旳真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设旳结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }旳前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }旳通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同旳三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同旳三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立． 假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )旳表达式；(2)已知数列{x n }旳项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }旳通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝⎛⎭⎫1－19＝23， x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝⎛⎭⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎫1－125＝35. (3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22(n ＋1).证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立， 即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1)) ＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1＋1)2＝k＋22(k＋1)·(k＋1)(k＋3)(k＋2)2＝12·k＋3k＋2＝(k＋1)＋2 2[(k＋1)＋1].∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝n＋22(n＋1)都成立．。