新高中数学第二章圆锥曲线与方程2-3-2双曲线的几何性质学案苏教版选修1_1

2．3 双曲线2．3.1 双曲线的标准方程[学习目标] 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．[知识链接]1．与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M 到两定点F 1、F 2距离之差的绝对值为定值2a ”中，“绝对值”三个字去掉．答：不能．否则所得轨迹仅是双曲线一支．2．如何判断双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点位置？答：x 2系数是正的焦点在x 轴上，否则焦点在y 轴上． [预习导引] 1．双曲线的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距F 1F 2＝2c ，c 2＝a 2＋b 2要点一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9. (舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法． 跟踪演练1 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1 (a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1 (－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.要点二 由方程判断曲线的形状例2 已知0°≤α≤180°，当α变化时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 解 (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin a >0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1.它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．规律方法 像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：①定型：以x 2和y 2的系数的正负来确定；②定量：以a 、b 的大小来确定． 跟踪演练2 方程ax 2＋by 2＝b (ab <0)表示的曲线是____________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 原方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，∵ab <0，∴ba <0，知曲线是焦点在y 轴上的双曲线．要点三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为 x 22－y 26＝1(x >2)． 规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪演练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3<10＝F 1F 2.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).1．椭圆x 234－y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________．答案 ±3解析 由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是________________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1.∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 3．过点(1,1)且ba ＝2的双曲线的标准方程是________________________．答案 x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1解析 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.4．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足PF 1－PF 2＝6，则动点P 的轨迹方程是______________． 答案 x 29－y 216＝1(x ≥3)解析 根据双曲线的定义可得．1.双曲线定义中|PF 1－PF 2|＝2a (2a <F 1F 2)不要漏了绝对值符号，当2a ＝F 1F 2时表示两条射线． 2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解．一、基础达标1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________．答案 43解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3. 2．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．答案 m >－1解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.3．已知A (0，－5)、B (0,5)，P A －PB ＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为________________． 答案 双曲线一支或一条射线解析 当a ＝3时，2a ＝6，此时AB ＝10， ∴点P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点B )． 当a ＝5时，2a ＝10，此时AB ＝10，∴点P 的轨迹为射线，且是以B 为端点的一条射线．4．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．答案 x 2－y 2＝1解析 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上， 且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.5．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有MB ＝r ，另设A (4，0)，则有MA ＝r ±4，即MA －MB ＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<AB ，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4,2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1. 6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若AB ＝5，则△AF 1B 的周长为________． 答案 18解析 由双曲线定义可知AF 1＝2a ＋AF 2＝4＋AF 2； BF 1＝2a ＋BF 2＝4＋BF 2，∴AF 1＋BF 1＝8＋AF 2＋BF 2＝8＋AB ＝13. △AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝18.7．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a,0)，C (a,0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形． 解 设顶点A 的坐标为(x ，y )，则 k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)．当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上； 当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)． 二、能力提升8．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________． 答案 x 216－y 29＝1解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过点P (42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.9．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 (1,3)解析 将方程化为x 2k －1－y 23－k ＝1，若表示焦点在x 轴上的双曲线，则有k －1>0且3－k >0，即1<k <3.10．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若PF 1＝17，则PF 2的值为________． 答案 33解析 由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴|PF 1－PF 2|＝2a ＝16， 又PF 1＝17，∴PF 2＝1或PF 2＝33. 又PF 2≥c －a ＝2，∴PF 2＝33.11．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，求m 的值．解 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5， 则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7； (2)当焦点在y 轴上时，有m <0， 则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2； 综上，m ＝7或m ＝－2.12．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)当0<k <1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．三、探究与创新13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状． 解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23，又F 1F 2＝25， 因此在△MF 1F 2中，MF 1边最长，而cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212·MF 2·F 1F 2<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

3PF1＝ 4PF2，
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则△ PF1F2 的面积为 ________．
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) a＝3， c＝ 4，焦点在 x 轴上；
(2) 焦点为 (0 ，－ 6) ， (0,6) ，经过点 A( －5,6) ； x2 y2
(3) 以椭圆 8 ＋ 5 ＝ 1 长轴的顶点为焦点，且过 (3 ， 10) ．
(1) c＝ 6，经过点 A( － 5,2) ，焦点在 x 轴上；
(2) 经过点 P(4 ，－ 2) 和点 Q(2 6， 2 2) ；
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x2 y2 (3)) 已知双曲线与椭圆 27＋ 36＝ 1 有共同的焦点，且过点 ( 15， 4) ．
类型二 由方程判断曲线的形状 例 2 已知 0°＜α <180°，当 α 变化时，方程 x2cos α＋ y2sin α ＝ 1 表示的曲线怎样变 化？
条件列出 a， b， c 的方程组． 如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如
mx2＋ ny2＝ 1( mn<0) 的形式求
解．
提醒：完成作业 第 2 章 §2.3 2.3.1
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答案精析
问题导学 知识点一
思考 (1) ∵｜ x ＋ 5 2＋ y2 － x－ 5 2＋y2| 表示点 P( x ， y) 到两定点 F1( － 5,0) 、 F2(5,0) 的距离之差的绝对值， F1F2＝ 10， ∴｜PF1－ PF2| ＝ 6<F1 F2， 故点 P的轨迹是双曲线．
y2 x2 a2－ b2＝ 1( a>0， b>0)
F1( － c, 0) ， F2( c, 0)
F1(0 ，－ c) ， F2(0 ， c)

江苏省涟水县第一中学高中数学 2.3.2 双曲线的几何性质（2）教学案苏教版选修1-1教学目标：1．了解双曲线简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等．2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．教学重点：双曲线的几何性质及初步运用．教学难点：双曲线的渐近线．教学过程：一复习回顾b>0)对称轴：坐标轴对称中线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双2．椭圆的标准方程及其几何性质±b ) 例1、设双曲线22221x y a b -=的半焦距为c ，直线l 过( , 0) (0 , )a b 、两点，且原点到直线l 的距离为。

求双曲线的离心率.班级：高二（ ）班 姓名：____________1.双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角等于______________2.椭圆222134x y n +=和双曲线 222116x y n -=有共同的焦点，则实数n 的值是3.双曲线22221(0, 0)-=>>x y a b a b 的两个焦点分别为1212F F F F 、，以、为边作等边三角形12MF F ，若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为4.已知双曲线22221x y a b -=，过两点( , 0) (0 , )a b 、的直线的倾斜角为︒150， 双曲线的离心率是 .5．椭圆192522=+y x 与曲线25(192522<=-+-k k y k x 且)9=/k 有A ．相同的离心率 B.相同的焦距 C ．相同的渐近线 D ．相同的顶点6.求双曲线1222=-x y 的焦点和顶点坐标、离心率、渐近线.7.已知离心率为53的双曲线与椭圆2214015x y +=有公共焦点，求双曲线的方程.。

2.3.2 双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的几何性质．(重点) 2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点) 3.会用双曲线的几何性质处理简单的问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．双曲线的几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e ＝ 2. 3．离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)为例．e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a 2，故当b a 的值越大，渐近线y ＝bax 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．[基础自测]1．判断正误：(1)等轴双曲线的离心率是 2.( )(2)方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x .( )(3)离心率越大，双曲线x 2a －y 2b＝1的渐近线斜率绝对值越大．( )【解析】 (1)√.因为a ＝b ，所以c ＝2a ，所以e ＝c a＝ 2.(2)×.由y 2a 2－x 2b 2＝1，得y ＝±a b x ，所以渐近线方程为y ＝±abx .(3)√.由b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1(e ＞1)，所以e 越大，渐近线y ＝±b ax 斜率的绝对值越大．【答案】 (1)√ (2)× (3)√2．双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________，离心率e ＝________.【导学号：95902117】【解析】 a ＝1，b ＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ， 离心率e ＝c a ＝1＋31＝2. 【答案】 y ＝±3x 2[合 作 探 究·攻 重 难]求双曲线nx 2率、顶点坐标和渐近线方程．[思路探究]化为标准方程形式→求出a 、b 、c →得双曲线的几何性质【自主解答】 把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)，化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m.顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)．∴渐近线的方程为y ＝±n mx ＝±mn m x .[规律方法]1．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤： (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质．2．(1)由双曲线方程求其几何性质时，要与椭圆区分开，不能混淆，如对椭圆a 2＝b2＋c 2，而对双曲线则是c 2＝a 2＋b 2；对椭圆e ＝ca＝1－b 2a 2，对双曲线则是e ＝c a ＝1＋b 2a2. (2)求双曲线的渐近线方程时，只需将双曲线方程中的常数项化为零即可得到． [跟踪训练]1．求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【导学号：95902118】【解】 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a ＝2，b ＝23，c ＝4，因此顶点A 1(0，－2)，A 2(0,2)，焦点坐标F 1(0，－4)，F 2(0,4)，实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝43，离心率e ＝2，渐近线方程为y ＝±33x .(1)离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共的渐近线，且过点M (2，－2)． [思路探究] 分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程【自主解答】 (1)依题意，b ＝3，c a＝2⇒a ＝1，c ＝2， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1或y 2－x 23＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴所求的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x24＝1.[规律方法]1．根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．2．利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．[跟踪训练]2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________.【导学号：95902119】【解析】 由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1.【答案】x 24－y 23＝1[探究问题]1．双曲线离心率的定义式是什么？你能从其定义式得到其离心率的范围吗？ 【提示】 e ＝c a，因为c 2＝a 2＋b 2，所以c ＞a ＞0，所以e ＝c a＞1.2．利用a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，双曲线的离心率还有其它表达方式吗？ 【提示】 e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2或e ＝11－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2.3．根据探究2可知，求双曲线的离心率并不一定要求出a ，b ，c 的具体数值，只要知道a ，b ，c 三个参数中任意两个的比值就可以求出离心率，如果c 2－ac －2a 2＝0，那么双曲线的离心率是什么？【提示】 由c 2－ac －2a 2＝0可得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c a－2＝0，即e 2－e －2＝0，所以(e ＋1)(e －2)＝0，因为e ＞1，所以e ＝2. 4．如何求双曲线的离心率的取值范围？【提示】 解关于离心率e 的不等式，或者利用基本不等式、双曲线上点的坐标的范围求出c a 或b a的取值范围可求离心率的取值范围．(1)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(PF 1－PF 2)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若PF 21PF 2的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是________．[思路探究] (1)(PF 1－PF 2)2＝b 2－3ab ――――――→双曲线的定义4a 2＝b 2－3ab ――――――→a ，b ，c 的关系离心率(2)利用双曲线的定义及基本不等式寻找a ，c 之间的不等关系，可求出双曲线离心率的取值范围．【自主解答】 (1)由双曲线的定义知，(PF 1－PF 2)2＝4a 2，又(PF 1－PF 2)2＝b 2－3ab ， 所以4a 2＝b 2－3ab ，等号两边同除a 2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2－3·b a －4＝0，解得b a ＝4，或b a＝－1(舍去)故离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝17. (2)因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以PF 1＝2a ＋PF 2，所以PF 21PF 2＝PF 2＋4a 2PF 2＋4a ≥2PF 2·4a2PF 2＋4a ＝8a ，当且仅当PF 2＝2a ，PF 1＝4a ，可得2a ＋4a ≥2c 解得e ≤3， 又因为双曲线离心率大于1，故答案为(1,3]． 【答案】 (1)17 (2)(1,3][规律方法] 求双曲线离心率的两种方法直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解.方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝c a，转化为关于e 的n 次方程求解.[跟踪训练]3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为________．【解析】 依题意⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴a ＝b .则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.【答案】2[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________．【解析】 双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，∴a 2＝4，∴2a ＝4.【答案】 42．已知双曲线x 2m 2＋3－y 24m＝1(m ＞0)的离心率为2， 则m ＝__________.【导学号：95902120】【解析】 这里a 2＝m 2＋3，b 2＝4m ，c 2＝m 2＋4m ＋3，∴m 2＋4m ＋3m 2＋3＝2，解得m ＝1或m ＝3.【答案】 1或33．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1,3)，离心率为2的双曲线的标准方程为________．【解析】 由离心率为2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2，即a ＝b ，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，又点P (1,3) 在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 28＝1.【答案】y 28－x 28＝1 4．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 22－y 2m ＝1(m ＞0)的离心率为62，则该双曲线的两条渐近线方程是__________．【解析】 a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2＋m ，又e ＝c a ，∴e 2＝c 2a ，即32＝2＋m 2，得m ＝1，故渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x . 【答案】 y ＝±22x 5．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率.【导学号：95902121】【解】 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上，∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ，∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a2＝1.又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24.∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1.由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.。