宏运拓展数学建模

宏运拓展数学建模摘要：本文研究宏运公司为巩固和进一步开拓销售市场，在公司管理层给出了既定目标（多个）和有限客户人数条件下，将任务分配给4名销售人员，对新老用户建立联系，以达到总目标完成程度最大化的规划问题。

采用面积法多目标综合量化，利用lingo ，matlab 软件求出最优解。

问题一：对目标进行转化，以每个目标为轴建立坐标系，利用面积法对公司管理层给定的任务进行综合量化，从而求出销售人员实际完成量和既定目标之比，即总目标完成程度。

问题二：引入购买因数α，新老客户比x y。

取点，描点，利用lingo软件分别找出αβ，与完成总总量w 之间的关系，利用matlab 软件描出αβ，与完成总总量w 之间的直观图。

综合结果得出()()0.1250.250.1250.2511164016401340707032032040x y x y x y x y W t t αα++⎡⎤++⎛⎫⎛⎫=--++⋅+--+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦在直观的对公司进行建议。

问题三：另外建立一个模型，使用枚举法，并分别引入新客户、老客户、资深客户的购买率o,p,q ，罗列出每个周期后销售时间、销售额、客户余量来进行讨论，并最通过讨论确定出目标函数和约束条件。

利用Lingo 编程求解关键词： 量化 面积法多目标综合 总目标完成程度问题重述宏运是一家办公用品公司。

为了公司进一步巩固和开辟销售市场，公司决定成立由4个销售人员组成的销售部，并为其制定相应的工作月目标（4周）。

公1.公司管理层的客户联系战略所确定的目标可以完成到什么程度？2. 同时从公司和销售部的角度出发，提出合理的建议，论证说明实施这些建议能取得什么样的结果，并与公司原定目标进行比较3. 如果公司和销售部考虑的不仅仅是一个周期（4周），而是一段时间，比如一个季度（12周），在这样一段时间内销售人员和客户都在成熟，销售人员对资深客户（上一周就已经接洽过的老客户）的销售工作时间可以适当再缩短（比如1.5小时）。

假设期望销售额不变，销售部人员暂不再增加，同时也并非所有的客户都会连续购买，请提出合理的目标和方案。

问题分析由该模型，作出如下图所示的接洽示意图：图中每个小圆圈代表一个人（并分别用A 、B 、C 、D 标注不同的销售人员，1,2,3,…120或1,2,3,…200标注不同的客户）；从销售部向客户区引了若干条箭头，表示销售人员与客户进行接洽。

我们从公司管理层给出的目标入手：看到公司的目标里完全没有提及利润，所以没必要假设销售人员的工资，而直接考虑销售人员所洽谈的新老客户数。

但应该销售部 客户区注意到，该公司明确给出他们的目标不止一个，有第一目标——销售工作时间；第二目标——销售额；第三目标——接洽客户数量。

为了明确地给出公司管理层的客户联系战略所确定的目标可以完成到什么程度，我们采用了图形法把这三个目标进行归一化和量化处理（转化为图形的面积比），从而构造一个统一的目标函数，并用百分比的形式显示出完成的程度。

模型假设i. 忽略销售人员的等待、出差等时间消耗ii. 认为接洽过一次后，该客户即产生相应的销售额iii. 以4周为一个工作周期，以后的讨论都基于一个工作周期展开 iv. 忽略工作周期内新客户转化为老客户v. 不考虑销售人员在一个工作周期内与同一客户多次接洽vi. 为方便计算，所有的销售额都以万元为统一单位；时间都以小时为统一单位符号说明x ………………………………………………………………接洽的新客户总人数y ………………………………………………………………接洽的老客户总人数W ……………………………………………………………………总目标完成程度 i T ………………………………………………………………第i 项目标标完成程度o ………………………………………………………………接恰新客户的购买率p ………………………………………………………………接洽老客的户购买率q ……………………………………………………………接洽资深客户的购买率t …………………………………………………………一个周期总销售工作时间 ij t ………………………………………………………第i 周期接洽某客户所需时间（1i t 为接洽老用户所用时间，2i t 为接洽新用户所用时间，3i t 为接洽资深用户所用时间。

）模型建立问题一：目标函数我们对每个目标都进行归一化，把刚好完成某一单个目标赋值为1（允许超额完成目标）对于第一目标（关于销售工作时间），认为刚好正常工作是最好的，因为这样公司既不用加倍付给销售人员报酬，对于公司也不会因为销售人员少工作而造成损失。

这样就需要构造一个形如下图的函数，来满足这一特点。

这样，我们就构造出了第一目标的函数为()[]()11640 1 600680400 600,680t t T t ⎧--+≤≤⎪=⎨⎪∉⎩易知t 与决策变量的关系为32t x y =+第二目标（关于销售额），用实际的销售额与计划销的售额相除，即可归一化。

这样第二目标函数为：20.1250.2570x yT +=第三目标（关于接洽客户人数），也用实际接洽客户人数与总客户人数相除的形式，表出为：3320x yT +=W ，并用百分比的形式显示出完成的程度 我们利用图形法，作图如下：分别用OA 、OB 、OC 三条射线代表1T 、2T 、3T 三个目标的取值轴（它们两两间夹角为120°），实际计算出来的每个目标就分别在这些轴上取值，从而有了D 、E 、F 三点。

在图上看到由A 、B 、C 点围成了一个大的正三角形ABC ，我们不妨用这三角形ABC 的面积——ABC S ∆来代表总目标完成数值。

又发2T 1T 3T O B ACDEF图形法多目标综合示意图现由点D 、E 、F 这三点又围成一个新的三角形DEF ，同理，用它的面积——DEF S ∆来代表实际完成的目标情况。

由我们的模型易知图上的一个基本的数量关系：1OA OB OC === 由几何知识可以得到其他的一些重要的几何数量关系：AB BC CA ===1OD T =；2OE T =；3OF T =这样，我们就可以把总目标完成程度转化为三角形面积比，即DEFABCS W S ∆∆= 再利用三角形面积公式1sin 2S ab θ=，可轻松地把上面的三角形面积表出：1sin 2ABC S BC CA BCD ∆=⋅∠=())1223311sin sin sin 2 4DEF DOE EOF FODS S S S OD DE DOE OE OF EOF OF OD OFD TT T T T T ∆∆∆∆=++=⋅∠+⋅∠+⋅∠=++ 综上，总目标完成程度就可表出为一个函数：)()1223312233113TT T T T T W TT T T T T ++==++由于公司的第一目标是销售工作时间，所以把它作为一个约束条件，这样总目标完成程度就可以表出为显含决策变量,x y 的表达式：110.1250.250.1250.25164016401340707032032040x y x y x y x y W t t ⎡++++⎤⎛⎫⎛⎫=--++⋅+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦约束条件时间与决策变量的约束：32t x y =+ 为了先满足第一目标的约束：600680t ≤≤ 接洽总人数约束：0120x ≤≤；0200y ≤≤ 接洽的人数实际中只能是整数的约束：,x y N ∈模型求解对上述模型编写Lingo 程序优化求解，详细的Lingo 程序代码，参见附录——Pro1.lg4，如果把程序Pro1.lg4中的目标函数中的max 改成min ，即可求得在满足公司对地目标的要求下的最少总目标完成程度。

经计算，求解结果是：在保证公司管理层对销售工作时间的首要目标后，顶多能完整总目标的82.74%；至少能完成总目标的16.07%。

在这两种情况下，对于销售部整体的在未来4为了更直观的表示，出带有数据的“图形法多目标综合示意图”如下，从而实现数据的可视化。

这样，我们就能回答宏运拓展问题的第一问：公司管理层的客户联系战略所确定的目标最多可以完成到82.74%，最少可以完成到16.07%模型改进问题二：为了给出更符合实际的模型，我们现在考虑不是所有接洽过的客户都要会产生销售额；另外，作为一家考虑长远发展的公司，必须考统筹兼顾到其客户类型的比例，不能因为老客户销售额高，就一味地把公司发展的筹码都压在老客户上，因为老客户也是有新客户培养过来的，所以要找到一个比较合适的新老客户的比例，才能使公司长远发展。

2T 3T 0.0000 1T 2T A D 0.6429E F 0.7500 最小的总目标完成程度示意图 16.07%B C 1.0000 1T 3T B A C 82.74% 0.8571最大的总目标完成程度示意图 E 0.8570 D F考虑不是所有接洽的客户都会产生销售额引入一个比例系数α，称为客户购买率，它表示洽谈过的客户中，有α倍的人会选择购买本公司的产品（既产生相应的销售额）。

当然这里的α显然是介于0~1的比例常数由于公司没给我们任何以往的数据资料，我们拟取α为0.1、0.2、0.3…1.0这样一系列的数值，作为实验测得数据点的横坐标，带入原始的模型中就会相应地得到总目标完成程度的百分数的最大值。

然后再描点，插值，最后从得到的曲线上，观察斜率较大的时候α的取值范围，这就是比较合理的α当引入α后，要对原始模型的第二目标函数2T 做相应修改。

这里应改为：()20.1250.2570x y T α+=相应的总目标完成程度的函数也应修改为：()()0.1250.250.1250.2511164016401340707032032040x y x y x y x y W t t αα++⎡⎤++⎛⎫⎛⎫=--++⋅+--+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦这样模型求解时的Lingo 程序，也要稍作修改，具体修改请参见附录里的Pro2.lg4格转化为直观的曲线图形如下（详细的Matlab 程序代码，参见附录的Mypoly1.m ）从图上很清楚地看到，原来α与W 最大值是呈线性关系的 这表明，作为公司，应该要求它的销售人员尽量多地保证客户的购买率。

而且这个客户购买率与公司给定的总目标完成程度是线性关系的。

它不存在说在某个斜率较大的α取值范围，也就是说α应该是越大越好直观判断出客户购买率α与总目标完成程度W 是呈线性关系后。

我们进一步编写了一个m 文件，来拟合出了这条直线方程如下（详细的Matlab 程序代码，参见附录的Mypoly1_imp.m ）5893145830.535730.291661100050000W αα=+≈+以上结果显然是符合实际的。